Център на масата на тялото. Равновесие

Преглед:тази статия е прочетена 11269 пъти

Pdf Изберете език... Руски Украински Английски

Кратък преглед

Целият материал се изтегля по-горе, след избор на език

Преглед

Рамо на лоста - това е твърдо тяло, което има неподвижна ос на въртене и е под действието на сили, лежащи в равнина, перпендикулярна на тази ос.

Ако лостът е в покой, тогава алгебричната сума на моментите на всички сили, приложени към лоста спрямо референтната точка, е равна на нула

Произволна плоска система от сили е система от сили, чиито линии на действие са разположени независимо в една равнина.

По метода на Поансо ще се получи система от сили и система от двойки в центъра на редукция O, моментите на всяка от които са равни на моментите на съответната сила спрямо центъра на редукция.

Основният вектор на системата се нарича вектор, който е равен на геометричната сума на всички сили на системата.

Основната точка на системата спрямо центъра O в равнината се нарича алгебрична сума от моментите на силите на системата спрямо центъра на редукция O.

Главният вектор не зависи от избора на центъра на редукция O. Главният момент на силите зависи от центъра на редукция.

Основната теорема на статиката за привеждане на система от сили към даден център : Всяка плоска произволна система от сили, действаща върху абсолютно твърдо тяло, когато бъде доведена до произволно избран център O, може да бъде заменена с една сила, равна на главния вектор на системата и приложена в центъра на намаляване O, и една двойка с a момент, равен на главния момент на системата спрямо центъра на O.

Разглеждат се случаи на редуциране на плоска система от сили до по-проста форма

Условия на равновесие за произволна равнинна система от сили.

1. Условия на геометрично равновесие : за равновесието на равнинна произволна система от сили е необходимо и достатъчно главният вектор и главният момент на системата да са равни на нула

2. Аналитични условия на равновесие .

Основна форма на условията на равновесие: За равновесието на произволна равнинна система от сили е необходимо и достатъчно сумата от проекциите на всички сили върху координатните оси и сумата от техните моменти спрямо всеки център, който лежи в равнината на действие на силите са равни на нула.

Втора форма на равновесни условия: За равновесието на произволна равнинна система от сили е необходимо и достатъчно сумата от моментите на всички сили спрямо всеки два центъра A и B и сумата от техните проекции върху ос, която не е перпендикулярна на правата линия AB са равни на нула.

Трета форма на равновесни условия (тримоментно уравнение): За равновесието на равнинна произволна система от сили е необходимо и достатъчно сумите от моментите на всички сили спрямо всеки три центъра A, B и C, които не лежат на една и съща права линия, да са равни на нула.

Център на паралелни сили

Система от успоредни сили, насочени в една посока, не може да бъде балансирана или сведена до двойка сили; тя винаги има резултатна.

Линията на действие на резултантната е успоредна на силите. Положението на точката на неговото приложение зависи от големината и положението на точките на приложение на силите на системата.

Център на паралелни сили - точка C е точката на приложение на резултантната система от успоредни сили.
Положението на центъра на успоредните сили - точка С, се определя от координатите на тази точка

Център на тежестта на твърдо тяло и неговите координати

Център на тежестта на тялото - геометрична точка, неизменно свързана с това тяло, в която се прилага резултантната от силите на гравитацията на отделните частици на тялото, т.е. телесно тегло в пространството.

Координатите на центъра на тежестта се определят подобно на координатите на центъра на паралелните сили C (), съставени от силите на тежестта на частиците на тялото.

Положението на центъра на тежестта на хомогенно тяло зависи само от неговата геометрична форма и размери и не зависи от свойствата на материала, от който е направено тялото.

Сумата от продуктите на елементарните области, които съставляват равнинна фигура, и алгебричните стойности на техните разстояния до определена ос се нарича статичен момент на площта на равнинната фигура.

Статичен момент Площта на плоска фигура е равна на произведението на площта на фигурата и алгебричното разстояние от центъра на тежестта до тази ос. Единица за статичен въртящ момент [cm3].
статичният момент на площта на плоска фигура спрямо ос, която минава през центъра на тежестта на фигурата, е равен на нула.

Теглото на тялото е резултат от силите на гравитацията на отделните частици на тялото.

Методи за определяне на положението на центъра на тежестта .

1. Метод на симетрия : Ако хомогенното тяло има равнина, ос или център на симетрия, тогава центърът на тежестта лежи съответно или в равнината на симетрия, или върху оста на симетрия, или в центъра на тежестта на линия с дължина е в средата. Центърът на тежестта на кръг (или кръг) с радиус е в неговия център, т.е. в точката на пресичане на диаметрите. Центърът на тежестта на успоредник, ромб или паралелепипед е в точката на пресичане на диагоналите. Центърът на тежестта на правилния многоъгълник е в центъра на вписана или описана окръжност.
2. Метод на разбивка : Ако едно тяло може да бъде разделено на краен брой елементи (обеми, равнини, линии), за всеки от които е известно положението на центъра на тежестта, тогава координатите на центъра на тежестта на цялото тяло могат да бъдат определени, като се знае стойностите за елементите директно с помощта на формулите
3. Метод на добавяне (отрицателни равнини): Ако едно тяло има изрязани елементи, тогава когато се раздели на елементи, изрязаната част (площ, обем) се изважда от общата сума, т.е. на изрязаните елементи се дават отрицателни стойности за площ или обем

Формат: pdf

Размер: 700 KV

Език: руски, украински

Пример за изчисление на цилиндрично зъбно колело
Пример за изчисляване на цилиндрично зъбно колело. Извършен е избор на материал, изчисляване на допустимите напрежения, изчисляване на контактна и якост на огъване.

Пример за решаване на задача за огъване на лъч
В примера са построени диаграми на напречни сили и огъващи моменти, намерено е опасно сечение и е избран I-лъч. Проблемът анализира изграждането на диаграми с помощта на диференциални зависимости и извърши сравнителен анализ на различни напречни сечения на гредата.

Пример за решаване на задача с усукване на вал
Задачата е да се тества якостта на стоманен вал при даден диаметър, материал и допустимо напрежение. По време на решението се изграждат диаграми на въртящи моменти, напрежения на срязване и ъгли на усукване. Собственото тегло на вала не се взема предвид

Пример за решаване на задача за опън-компресия на прът
Задачата е да се тества якостта на стоманен прът при определени допустими напрежения. По време на решението се изграждат диаграми на надлъжни сили, нормални напрежения и премествания. Собственото тегло на пръта не се взема предвид

Приложение на теоремата за запазване на кинетичната енергия
Пример за решаване на задача с помощта на теоремата за запазване на кинетичната енергия на механична система

Определяне на скоростта и ускорението на точка чрез дадени уравнения на движение
Пример за решаване на задача за определяне на скоростта и ускорението на точка чрез дадени уравнения на движение

Определяне на скорости и ускорения на точки на твърдо тяло при плоскопаралелно движение
Пример за решаване на задача за определяне на скоростите и ускоренията на точки на твърдо тяло по време на равнинно-паралелно движение

Ако твърдо тяло се намира близо до повърхността на Земята, тогава гравитацията се прилага към всяка материална точка на това тяло. Освен това размерите на тялото са толкова малки в сравнение с размера на Земята, че силите на гравитацията, действащи върху всички частици на тялото, могат да се считат за успоредни една на друга

Централна точка СЪС) се нарича система от паралелни гравитационни сили във всички точки на тялото център на тежестта на твърдо тяло , а сумата от гравитационните сили на всички негови материални точки се нарича земно притегляне , действайки върху него

Координатите на центъра на тежестта на твърдо тяло се определят по формулите:

където са координатите на точките на прилагане на действащите гравитационни сили кта материална точка.

За хомогенно тяло:

където V е обемът на цялото тяло;

V к- сила на звука к-та частица.

За равномерна тънка чиния:

където S е площта на плочата;

С к –квадрат к-о част от чинията.

За ред:

Където Л- дължина на цялата линия;

Лк- дължина к-та част от линията.

Методи за определяне на координатите на центровете на тежестта на телата:

Теоретичен

Симетрия.Ако едно хомогенно тяло има равнина, ос или център на симетрия, тогава неговият център на тежестта лежи съответно или в равнината на симетрия, или върху оста, или в центъра на симетрия.

Разделяне.Ако едно тяло може да бъде разделено на краен брой такива части, за всяка от които е известно положението на центъра на тежестта, тогава координатите на центъра на тежестта на цялото тяло могат да бъдат директно изчислени с помощта на горните формули.

Допълнение.Този метод е специален случай на метода на разделяне. Прилага се за тела, които имат изрези, ако са известни центровете на тежестта на тялото без изреза и на изреза. Те се включват в изчисленията със знак „-“.

Интеграция. Когато едно тяло не може да бъде разделено на съставни части, чиито центрове на тежестта са известни, се използва методът на интегриране, който е универсален.

Експериментален

Метод на окачване.Тялото е окачено на две или три точки, изчертавайки вертикални линии от тях. Точката на тяхното пресичане е центърът на масата.

Метод на претегляне. Тялото се поставя в различни части на везни, като по този начин се определят опорните реакции. Съставят се уравнения на равновесието, от които се определят координатите на центъра на тежестта.

Използване на теоретични методи, формули за определяне координати на центъра на тежестта най-често еднородни тела:

Дъга от кръг

Всяко тяло може да се разглежда като съвкупност от материални точки, които могат да се приемат например като молекули. Нека тялото се състои от n материални точки с маси m1, m2, ...mn.

Център на масата на тялото, състояща се от n материални точки се нарича точка (в геометричен смисъл), чийто радиус вектор се определя по формулата:

Тук R1 е радиус векторът на точка номер i (i = 1, 2, ... n).

Това определение изглежда необичайно, но всъщност дава позицията на самия център на масата, за който имаме интуитивна представа. Например центърът на масата на пръта ще бъде в средата му. Сумата от масите на всички точки, включени в знаменателя на горната формула, се нарича маса на тялото. Телесно теглоНаречен сумата от масите на всички негови точки: m = m1 + m2 + ... + mn.

В симетричните еднородни тела CM винаги се намира в центъра на симетрия или лежи на оста на симетрия, ако фигурата няма център на симетрия. Центърът на масата може да бъде разположен както вътре в тялото (диск, квадрат, триъгълник), така и извън него (пръстен, рамка, квадрат).

За човек позицията на COM зависи от заетата поза. В много спортове важен компонент на успеха е способността да се поддържа баланс. И така, в гимнастиката, акробатиката

голям брой елементи ще включват различни видове равновесие. Способността за поддържане на баланс при фигурно пързаляне и бързо пързаляне с кънки, където опората има много малка площ, е важна.

Условията за равновесие на тялото в покой са едновременното равенство на нула на сумата от силите и сумата от моментите на силите, действащи върху тялото.

Нека разберем каква позиция трябва да заема оста на въртене, така че тялото, фиксирано към нея, да остане в равновесие под въздействието на гравитацията. За да направим това, нека разделим тялото на много малки парчета и да начертаем силите на гравитацията, действащи върху тях.

В съответствие с правилото на моментите, за равновесие е необходимо сумата от моментите на всички тези сили спрямо оста да е равна на нула.

Може да се покаже, че за всяко тяло има една точка, където сумата от моментите на гравитация спрямо всяка ос, минаваща през тази точка, е равна на нула. Тази точка се нарича център на тежестта (обикновено съвпада с центъра на масата).

Център на тежестта на тялото (CG)Наречен точката, спрямо която сумата от моментите на гравитацията, действащи върху всички частици на тялото, е равна на нула.

По този начин силите на гравитацията не карат тялото да се върти около центъра на тежестта. Следователно всички гравитационни сили могат да бъдат заменени с една единствена сила, която е приложена към тази точка и е равна на силата на гравитацията.

За изследване на движенията на тялото на спортиста често се въвежда терминът общ център на тежестта (GCG). Основни свойства на центъра на тежестта:

Ако тялото е фиксирано върху ос, минаваща през центъра на тежестта, тогава силата на гравитацията няма да го накара да се върти;

Центърът на тежестта е точката на прилагане на гравитацията;

В еднородно поле центърът на тежестта съвпада с центъра на масата.

Равновесието е положение на тялото, в което то може да остане в покой толкова дълго, колкото желае. Когато тялото се отклони от равновесното си положение, силите, действащи върху него, се променят и балансът на силите се нарушава.

Има различни видове равновесие (фиг. 9). Прието е да се разграничават три вида равновесие: стабилно, нестабилно и безразлично.

Стабилното равновесие (фиг. 9, а) се характеризира с факта, че тялото се връща в първоначалното си положение, когато се отклони. В този случай възникват сили или моменти на сила, стремящи се да върнат тялото в първоначалното му положение. Пример за това е позицията на тялото с горна опора (например висене на напречна греда), когато при всякакви отклонения тялото има тенденция да се върне в първоначалното положение.

Безразличното равновесие (фиг. 9, б) се характеризира с факта, че когато позицията на тялото се промени, не възникват сили или моменти на сила, които да се стремят да върнат тялото в първоначалното му положение или допълнително да отстранят тялото от него. Това е рядко явление при хората. Пример е състоянието на безтегловност на космически кораб.

Нестабилно равновесие (фиг. 9, в) се наблюдава, когато при малки отклонения на тялото възникват сили или моменти на сила, които се стремят да отклонят тялото още повече от първоначалното положение. Такъв случай може да се наблюдава, когато човек, стоящ на опора на много малка площ (много по-малка от площта на двата му крака или дори един крак), се навежда настрани.

Фигура 9. Баланс на тялото: стабилен (a), безразличен (b), нестабилен (c)

Наред с изброените видове равновесие на телата биомеханиката разглежда и друг вид равновесие - ограничено-устойчиво. Този тип равновесие се отличава с факта, че тялото може да се върне в първоначалното си положение, когато се отклони от него до определена граница, например, определена от границата на опорната зона. Ако отклонението надхвърли тази граница, равновесието става нестабилно.

Основната задача при осигуряване на баланса на човешкото тяло е да се гарантира, че проекцията на GCM на тялото е в рамките на опорната зона. В зависимост от вида на дейността (поддържане на статично положение, ходене, бягане и др.) и изискванията за стабилност, честотата и скоростта на коригиращите въздействия се променят, но процесите на поддържане на равновесие са еднакви.

Разпределение на масата в човешкото тяло

Телесната маса и масите на отделните сегменти са много важни за различни аспекти на биомеханиката. В много спортове е необходимо да се знае разпределението на масата, за да се развие правилната техника за изпълнение на упражненията. За анализиране на движенията на човешкото тяло се използва методът на сегментиране: условно се разчленява на определени сегменти. За всеки сегмент се определя неговата маса и позицията на центъра на масата. В табл 1 масите на части от тялото се определят в относителни единици.

Маса 1. Маси на части от тялото в относителни единици

Често вместо понятието център на масата се използва друго понятие - центърът на тежестта. В еднородно поле на тежестта центърът на тежестта винаги съвпада с центъра на масата. Положението на центъра на тежестта на връзката се посочва като разстоянието й от оста на проксималната става и се изразява спрямо дължината на връзката, взета като единица.

В табл Фигура 2 показва анатомичното положение на центровете на тежестта на различни части на тялото.

Таблица 2. Центрове на тежестта на частите на тялото

Част от тялото	Положение на центъра на тежестта
Хип	0,44 дължина на връзката
Шин	0,42 дължина на връзката
Рамо	0,47 дължина на връзката
Предмишница	0,42 дължина на връзката
Торс
Глава
Четка
Крак
Рамо	0,47 дължина на връзката
Предмишница	0,42 дължина на връзката
Торс	0,44 разстояния от напречната ос на раменните стави до оста на тазобедрените стави
Глава	Намира се в областта на sela turcica на клиновидната кост (проекция отпред между веждите, отстрани - 3,0 - 3,5 над външния слухов проход)
Четка	В областта на главата на третата метакарпална кост
Крак	На права линия, свързваща калценалния туберкул на калценуса с края на втория пръст на крака на разстояние 0,44 от първата точка
Общ център на тежестта с вертикално положение на тялото	Намира се в основната стойка в областта на таза, пред сакрума

Център на тежестта на твърдо тяло

Център на тежесттана твърдо тяло е геометрична точка, която е твърдо свързана с това тяло и е център на паралелни гравитационни сили, приложени към отделни елементарни частици на тялото (Фигура 1.6).

Радиус вектор на тази точка

Фигура 1.6

За хомогенно тяло положението на центъра на тежестта на тялото не зависи от материала, а се определя от геометричната форма на тялото.

Ако специфичното тегло на хомогенно тяло γ , тегло на елементарна частица от тяло

P k = γΔV k (P = γV)

заместете във формулата, за да определите r C , ние имаме

Откъдето, проектирайки се върху осите и преминавайки към границата, получаваме координатите на центъра на тежестта на хомогенен обем

Аналогично за координатите на центъра на тежестта на хомогенна повърхност с площ С (Фигура 1.7, а)

Фигура 1.7

За координатите на центъра на тежестта на хомогенна дължина Л (Фигура 1.7, b)

Методи за определяне на координатите на центъра на тежестта

Въз основа на общите формули, получени по-рано, можем да посочим методи за определяне на координатите на центровете на тежестта на твърдите тела:

Фигура 1.8

Фигура 1.9

11. Основни понятия на кинематиката. Кинематика на точка. Методи за уточняване на движението на точка. Скорост и ускорение на точка.

Основни понятия на кинематиката

Кинематика- дял от механиката, който изучава движението на телата, без да отчита причините, предизвикали това движение.

Основната задача на кинематиката е да намери позицията на тялото във всеки момент, ако са известни неговата позиция, скорост и ускорение в началния момент.

Механично движение- това е промяна в положението на телата (или части от тялото) едно спрямо друго в пространството във времето.

За да се опише механичното движение, е необходимо да се избере отправна система.

Референтно тяло- тяло (или група от тела), взето в този случай като неподвижно, спрямо което се разглежда движението на други тела.

Справочна система- това е координатната система, свързана с референтното тяло, и избрания метод за измерване на времето (фиг. 1).

Позицията на тялото може да се определи с помощта на радиус вектор r⃗ r→ или с помощта на координати.

Радиус вектор r⃗ r→ точки Μ - насочен прав сегмент, свързващ началото ОТНОСНОс точка Μ (фиг. 2).

Координирайте x точки Μ е проекцията на края на радиус вектора на точката Μ на ос о. Обикновено се използва правоъгълна координатна система. В този случай позицията на точката Μ на права, равнина и в пространството се определят съответно от един ( х), две ( х, при) и три ( х, при, z) числа - координати (фиг. 3).

В начален курс физиците изучават кинематиката на движението на материална точка.

Материална точка- тяло, чиито размери могат да бъдат пренебрегнати при дадени условия.

Този модел се използва в случаите, когато линейните размери на разглежданите тела са много по-малки от всички други разстояния в дадена задача или когато тялото се движи постъпателно.

Прогресивене движение на тяло, при което права линия, минаваща през произволни две точки от тялото, се движи, като остава успоредна на себе си. При постъпателно движение всички точки на тялото описват еднакви траектории и във всеки един момент имат еднакви скорости и ускорения. Следователно, за да се опише такова движение на тяло, е достатъчно да се опише движението на една произволна точка.

По-нататък думата „тяло” ще се разбира като „материална точка”.

Правата, която движещо се тяло описва в определена отправна система, се нарича траектория. На практика формата на траекторията се определя с помощта на математически формули ( г = f(х) - уравнение на траекторията) или изобразено на фигурата. Видът на траекторията зависи от избора на отправна система. Например траекторията на свободно падащо тяло в каретка, която се движи равномерно и праволинейно, е права вертикална линия в референтната система, свързана с каретката, и парабола в референтната система, свързана със Земята.

В зависимост от вида на траекторията се разграничават праволинейно и криволинейно движение.

Пътека с- скаларна физическа величина, определена от дължината на траекторията, описана от тялото за определен период от време. Пътят винаги е положителен: с > 0.

Движещ сеΔr⃗ Δr→ на тяло за определен период от време - насочена права отсечка, свързваща началната (т. М 0) и финал (точка М) позиция на тялото (виж фиг. 2):

Δr⃗ =r⃗ −r⃗ 0, Δr→=r→−r→0,

където r⃗ r→ и r⃗ 0 r→0 са радиус-векторите на тялото в тези моменти от време.

Проекция на движение върху оста вол

Δrx=Δx=x−x0 Δrx=Δx=x−x0

Където х 0 и х- координати на тялото в началния и крайния момент от времето.

Модулът за пътуване не може да бъде по-голям от пътя

|Δr⃗ |≤s |Δr→|≤s

Знакът за равенство се отнася за случая на праволинейно движение, ако посоката на движение не се променя.

Познавайки изместването и първоначалната позиция на тялото, можете да намерите неговата позиция в момент t:

r⃗ =r⃗ 0+Δr⃗ ; r→=r→0+Δr→;

(x=x0+Δrx;y=y0+Δry. (x=x0+Δrx;y=y0+Δry.

Скорост

Средната скорост hυ⃗ i hυ→i е векторна физическа величина, числено равна на съотношението на движението към периода от време, през което се е случило, и насочена по протежение на движението (фиг. 4):

hυ⃗ i=Δr⃗ Δt;hυ⃗ i⇈Δr⃗ . hυ→i=Δr→Δt;hυ→i⇈Δr→.

Единицата SI за скорост е метър в секунда (m/s).

Средната скорост, намерена с помощта на тази формула, характеризира движението само на този участък от траекторията, за който е определена. В друга част от траекторията може да е различно.

Понякога използват средна скорост

hυi=sΔt hυi=sΔt

Където s е пътят, изминат за период от време Δ T. Средната скорост на пътя е скаларна величина.

Мигновена скоростυ⃗ υ→ на тялото - скоростта на тялото в даден момент от време (или в дадена точка от траекторията). Тя е равна на границата, към която средната скорост клони за безкрайно малък период от време υ⃗ =limΔt→0Δr⃗ Δt=r⃗ ′ υ→=limΔt→0Δr→Δt=r→ ′. Тук r⃗ ′ r→ ′ е производната на радиус вектора по отношение на времето.

В проекция върху оста о:

υx=limΔt→0ΔxΔt=x′. υx=limΔt→0ΔxΔt=x′.

Моментната скорост на тялото е насочена тангенциално към траекторията във всяка точка по посока на движението (виж фиг. 4).

Ускорение

Средно ускорение- физическа величина, числено равна на съотношението на изменението на скоростта към времето, през което е настъпило:

ha⃗ i=Δυ⃗ Δt=υ⃗ −υ⃗ 0Δt. ha→i=Δυ→Δt=υ→−υ→0Δt.

Векторът ha⃗ i ha→i е насочен успоредно на вектора на изменение на скоростта Δυ⃗ Δυ→ (ha⃗ i⇈Δυ⃗ ha→i⇈Δυ→) към вдлъбнатината на траекторията (фиг. 5).

Незабавно ускорение:

a⃗ =limΔt→0Δυ⃗ Δt=υ⃗ ′. a→=limΔt→0Δυ→Δt=υ→ ′.

Единицата SI за ускорение е метър в секунда на квадрат (m/s2).

Като цяло моментното ускорение е насочено под ъгъл спрямо скоростта. Познавайки траекторията, можете да определите посоката на скоростта, но не и ускорението. Посоката на ускорението се определя от посоката на резултантните сили, действащи върху тялото.

При праволинейно движение с нарастваща скорост (фиг. 6, а) векторите a⃗ a→ и υ⃗ 0 υ→0 са еднакви (a⃗ ⇈υ⃗ 0 a→⇈υ→0) и проекцията на ускорението върху посоката на движение е положителен.

При праволинейно движение с намаляваща скорост (фиг. 6, b) посоките на векторите a⃗ a→ и υ⃗ 0 υ→0 са противоположни (a⃗ ↓υ⃗ 0 a→↓υ→0) и проекцията на ускорението върху посоката на движение е отрицателна.

Вектор a⃗ a→ по време на криволинейно движение може да се разложи на два компонента, насочени по скоростта a⃗ τ a→τ и перпендикулярно на скоростта a⃗ n a→n (фиг. 1.7), a⃗ τ a→τ е тангенциалното ускорение, характеризиращо скоростта на изменение на модула на скоростта при криволинейно движение, a⃗ n a→n - нормално ускорение, характеризиращо скоростта на изменение на посоката на вектора на скоростта при криволинейно движение Модул на ускорение a=a2τ+a2n−−−−−−√ a=aτ2 +an2.

Методи за определяне на движение на точка

За да укажете движението на точка, можете да използвате един от следните три метода:

1) вектор, 2) координата, 3) естествен.

1. Векторен метод за определяне на движението на точка.

Нека точката Мсе движи по отношение на някаква отправна система Oxyz. Позицията на тази точка по всяко време може да бъде определена чрез указване на нейния радиус вектор, изтеглен от началото ОТНОСНОточно М(фиг. 3).

Фиг.3

Когато една точка се движи Мвекторът ще се променя с времето както по величина, така и по посока. Следователно, това е променлив вектор (функционален вектор) в зависимост от аргумента t:

Равенството определя закона за движение на точка във векторна форма, тъй като ни позволява да конструираме съответен вектор по всяко време и да намерим позицията на движещата се точка.

Геометричното местоположение на краищата на вектора, т.е. ходограф този вектор определя траекторията на движещата се точка.

2. Координатен метод за определяне на движението на точка.

Позицията на точка може да бъде директно определена от нейните декартови координати x, y, z(Фиг. 3), които ще се променят с времето, когато точката се движи. Да се ​​знае закона за движение на точка, т.е. нейното положение в пространството във всеки момент от времето, трябва да знаете координатите на точката за всеки момент от времето, т.е. знаят зависимостите

x=f 1 (t), y=f 2 (t), z=f 3 (t).

Уравненията са уравненията на движението на точка в правоъгълни декартови координати. Те определят закона за движение на точка, като използват координатния метод за определяне на движението.

За да се получи уравнението на траекторията, е необходимо да се изключи параметърът t от уравненията на движението.

Не е трудно да се установи връзка между векторните и координатните методи за определяне на движението.

Нека разложим вектора на компоненти по координатните оси:

където r x , r y , r z - проекции на вектора върху оста; – единични вектори, насочени по осите, единични вектори на осите.

Тъй като началото на вектора е в началото на координатите, проекциите на вектора ще бъдат равни на координатите на точката М. Ето защо

Ако движението на точката е зададено в полярни координати

r=r(t), φ = φ(t),

където r е полярният радиус, φ е ъгълът между полярната ос и полярния радиус, тогава тези уравнения изразяват уравнението на траекторията на точка. Елиминирайки параметъра t, получаваме

r = r(φ).

Пример 1.Движението на точка се дава от уравненията

Фиг.4

За да изключите времето, параметърът T, намираме от първото уравнение sin2t=x/2, от второто cos2t=y/3. След това го повдигнете на квадрат и го добавете. Тъй като sin 2 2t+cos 2 2t=1, получаваме . Това е уравнението на елипса с полуоси 2 cm и 3 cm (фиг. 4).

Позиция на началната точка М 0 (при T=0) се определя от координатите x 0 =0, y 0 =3 cm.

След 1 сек. точката ще бъде на място М 1 с координати

x 1 =2sin2=2∙0.91=1.82 cm, y 1 =2cos2=3∙(-0.42)= -1.25 cm.

Забележка.

Движението на точка може да бъде определено с помощта на други координати. Например, цилиндрични или сферични. Сред тях ще има не само линейни размери, но и ъгли. Ако е необходимо, можете да се запознаете със задаване на движение с помощта на цилиндрични и сферични координати от учебниците.

3. Естествен начин за уточняване на движението на точка.

Фиг.5

Удобно е да се използва естественият метод за уточняване на движение в случаите, когато траекторията на движеща се точка е известна предварително. Нека кривата ABе траекторията на точката Мкогато се движи спрямо отправната система Oxyz(Фиг. 5) Нека изберем някаква фиксирана точка на тази траектория ОТНОСНО", което приемаме за начало на отправна точка и задаваме положителни и отрицателни референтни посоки на траекторията (както на координатната ос).

След това позицията на точката Мвърху траекторията ще се определя еднозначно от криволинейната координата с, което е равно на разстоянието от точката ОТНОСНО'към основния въпрос М, измерена по дъгата на траекторията и взета със съответния знак. При преместване на точка Мсе премества на позиции М 1 , М 2 ,... . следователно разстоянието сще се промени с времето.

Да се ​​знае позицията на точка Мна траекторията по всяко време, трябва да знаете зависимостта

Уравнението изразява закона за движение на точка Мпо траекторията. Функцията s= f(t) трябва да бъде уникална, непрекъсната и диференцируема.

Положителната референтна посока на дъговата координата s се приема за посоката на движение на точката в момента, когато тя заема позиция O. Трябва да се помни, че уравнението s=f(t) не определя закона за движение на точката в пространството, тъй като за да определите позицията на точката в пространството, трябва да знаете повече траекторията на точка с началната позиция на точката върху нея и фиксирана положителна посока. По този начин движението на точка се счита за дадено по естествен начин, ако са известни траекторията и уравнението (или законът) на движението на точката по траекторията.

Важно е да се отбележи, че дъговата координата на точката s е различна от пътя σ, изминат от точката по траекторията. По време на своето движение точката изминава определен път σ, който е функция на времето t. Въпреки това изминатото разстояние σ съвпада с разстоянието s само когато функцията s = f(t) се променя монотонно с времето, т.е. когато една точка се движи в една посока. Да приемем, че точка M се движи от M 1 към M 2. Позицията на точката в M ​​1 съответства на времето t 1, а позицията на точката в M ​​2 съответства на времето t 2. Нека разложим времевия интервал t 2 - t 1 на много малки времеви интервали ∆t 1 (i = 1.2, ...n), така че във всеки от тях точката да се движи в една посока. Нека означим съответното увеличение на дъговата координата като ∆s i. Пътят σ, изминат от точката, ще бъде положителна стойност:

Ако движението на точка е зададено чрез координатния метод, тогава изминатият път се определя от формулата

където dx=xdt, dy= ydt, dz=zdt.

следователно

Пример 2.Точката се движи праволинейно, по закона s=2t+3 (cm) (фиг. 6).

Фиг.6

В началото на движението, при t=0 s=OM 0 =s 0 =3 cm М 0 се извиква начална позиция. При t=1 s, s=OM 1 =5 cm.

Разбира се, за 1 секунда. точката е изминала разстоянието М 0 М 1 = 2см с– това не е пътят, изминат от точката, а разстоянието от началото до точката.

Вектор на точкова скорост

Една от основните кинематични характеристики на движението на точка е векторна величина, наречена скорост на точката. Понятието скорост на точка при равномерно праволинейно движение е едно от елементарните понятия.

Скорост- мярка за механичното състояние на тялото. Характеризира скоростта на промяна на положението на тялото спрямо дадена отправна система и е векторна физическа величина.

Единицата за скорост е m/s. Често се използват и други единици, например км/ч: 1 км/ч=1/3,6 м/с.

Движението на точка се нарича равномерно, ако увеличенията на радиус-вектора на точката за еднакви периоди от време са равни помежду си. Ако траекторията на точката е права линия, тогава движението на точката се нарича праволинейно.

За равномерно линейно движение

∆r= v∆t, (1)

Където v– постоянен вектор.

вектор vнаречена скорост на праволинейно и равномерно движение напълно го определя.

От съотношението (1) става ясно, че скоростта на праволинейно и равномерно движение е физическа величина, която определя движението на точка за единица време. От (1) имаме

Векторна посока vпосочени на фиг. 6.1.

Фиг.6.1

За неравномерно движение тази формула не е подходяща. Нека първо въведем концепцията за средната скорост на точка за определен период от време.

Нека движещата се точка е в момента от времето Tбременна М, определена от радиус вектора, и в момента t 1 идва на позиция М 1, определена от вектор (фиг. 7). Тогава движението на точката за период от време ∆t=t 1 -t се определя от вектор, който ще наричаме вектор на движение на точката. От триъгълник OMM 1 е ясно, че ; следователно,

Ориз. 7

Съотношението на вектора на движение на точка към съответния период от време дава векторна величина, наречена средна скорост на точката по абсолютна стойност и посока за периода от време ∆t:

Скоростта на точка в даден момент t е векторната величина v, към която средната скорост v cf клони, когато интервалът от време ∆t клони към нула:

И така, векторът на скоростта на точка в даден момент е равен на първата производна на радиус вектора на точката по отношение на времето.

Тъй като граничната посока на секанса ММ 1 е допирателна, тогава векторът на скоростта на точката в даден момент е насочен допирателна към траекторията на точката в посоката на движение.

Определяне на скоростта на точка с помощта на координатния метод за уточняване на движение

Векторът на точковата скорост, като се вземе предвид, че r x =x, r y =y, r z =z, намираме:

Така проекциите на скоростта на точката върху координатните оси са равни на първите производни на съответните координати на точката по отношение на времето.

Познавайки проекциите на скоростта, ще намерим нейната големина и посока (т.е. ъглите α, β, γ, които векторът v образува с координатните оси), използвайки формулите

И така, числената стойност на скоростта на точка в даден момент е равна на първата производна на разстоянието (криволинейна координата) сточки във времето.

Векторът на скоростта е насочен тангенциално към траекторията, която ни е известна предварително.

Определяне на скоростта на точка с помощта на естествения метод за определяне на движение

Стойността на скоростта може да се определи като граница (∆r – дължина на хордата ММ 1):

където ∆s – дължина на дъгата ММ 1. Първата граница е равна на единица, втората граница е производната ds/dt.

Следователно скоростта на точка е първата производна по време на закона за движение:

Векторът на скоростта е насочен, както беше установено по-рано, допирателна към траекторията. Ако стойността на скоростта в даден момент е по-голяма от нула, тогава векторът на скоростта е насочен в положителна посока

Вектор на точковото ускорение

Ускорение- векторно физическо количество, характеризиращо скоростта на промяна на скоростта. Той показва колко се променя скоростта на тялото за единица време.

Единицата SI за ускорение е метър в секунда на квадрат. към съответния интервал от време ∆t определя вектора на средното ускорение на точката за този период от време:

Векторът на средното ускорение има същата посока като вектора, т.е. насочен към вдлъбнатината на траекторията.

Ускорение на точка в даден момент от времето Tсе нарича векторна величина, към която средното ускорение клони, когато интервалът от време ∆t клони към нула: Векторът на ускорението на точка в даден момент е равен на първата производна на вектора на скоростта или втората производна на радиус вектора на точката по отношение на времето.

Ускорението на точка е нула само когато скоростта на точката vпостоянна както по големина, така и по посока: това съответства само на праволинейно и равномерно движение.

Нека намерим как е разположен векторът спрямо траекторията на точката. При праволинейно движение векторът е насочен по правата линия, по която се движи точката. насочен към вдлъбнатината на траекторията и лежи в равнината, минаваща през допирателната към траекторията в точката Ми права, успоредна на допирателната в съседна точка М 1 (фиг. 8). В границата, когато точката Мсе стреми към М, тази равнина заема позицията на така наречената оскулираща равнина, т.е. равнината, в която се получава безкрайно малко завъртане на допирателната към траекторията по време на елементарно движение на движеща се точка. Следователно в общия случай векторът на ускорението лежи в контактната равнина и е насочен към вдлъбнатината на кривата.

Определяне на ускорението с помощта на координатния метод за определяне на движение

Получава се векторът на ускорението на точка в проекция върху оста:

тези. проекцията на ускорението на точка върху координатните оси е равна на първите производни на проекциите на скоростта или вторите производни на съответните координати на точката по отношение на времето. Големината и посоката на ускорението могат да бъдат намерени от формулите

Фиг.10

Проекции на ускорението a x = =0, a y = =-8 cm∙s -2. Тъй като проекцията на вектора на ускорението върху оста хравно на нула, а на оста г– е отрицателна, тогава векторът на ускорението е насочен вертикално надолу, а стойността му е постоянна и не зависи от времето.

Център на тежесттана твърдо тяло е геометрична точка, която е твърдо свързана с това тяло и е център на паралелни гравитационни сили, приложени към отделни елементарни частици на тялото (Фигура 1.6).

Радиус вектор на тази точка

Фигура 1.6

За хомогенно тяло положението на центъра на тежестта на тялото не зависи от материала, а се определя от геометричната форма на тялото.

Ако специфичното тегло на хомогенно тяло γ , тегло на елементарна частица от тяло

П k = γΔV к (П = γV ) заместете във формулата, за да определите r ° С , ние имаме

Откъдето, проектирайки се върху осите и преминавайки към границата, получаваме координатите на центъра на тежестта на хомогенен обем

Аналогично за координатите на центъра на тежестта на хомогенна повърхност с площ С (Фигура 1.7, а)

Фигура 1.7

За координатите на центъра на тежестта на хомогенна дължина Л (Фигура 1.7, b)

Методи за определяне на координатите на центъра на тежестта

Въз основа на общите формули, получени по-рано, можем да посочим методи за определяне на координатите на центровете на тежестта на твърдите тела:

1 Аналитичен(чрез интеграция).

2 Метод на симетрия. Ако едно тяло има равнина, ос или център на симетрия, тогава неговият център на тежестта лежи съответно в равнината на симетрия, оста на симетрия или центъра на симетрия.

3 Експериментален(метод на окачване на тялото).

4 Разделяне. Тялото е разделено на краен брой части, за всяка от които е позицията на центъра на тежестта ° С и площ С известен. Например проекцията на тяло върху равнина xOy (Фигура 1.8) може да се представи като две плоски фигури с площи С 1 И С 2 (S=S 1 +S 2 ). Центровете на тежестта на тези фигури са разположени в точки ° С 1 (х 1 , г 1 ) И ° С 2 (х 2 , г 2 ) . Тогава координатите на центъра на тежестта на тялото са равни

Фигура 1.8

5Допълнение(метод на отрицателните площи или обеми). Специален случай на метода на разделяне. Прилага се за тела, които имат изрези, ако са известни центровете на тежестта на тялото без изреза и на изреза. Например, трябва да намерите координатите на центъра на тежестта на плоска фигура (Фигура 1.9):

Фигура 1.9

Центрове на тежестта на най-простите фигури

Фигура 1.10

1 Триъгълник

Центърът на тежестта на зоната на триъгълника съвпада с точката на пресичане на неговите медиани (Фигура 1.10, а).

DM = MB , CM= (1/3)А.М. .

2 Кръгова дъга

Дъгата има ос на симетрия (Фигура 1.10, b). Центърът на тежестта лежи на тази ос, т.е. г ° С = 0 .

дл – дъгов елемент, дл = Rdφ , Р – радиус на окръжността, x = Rcosφ , L= 2αR ,

Следователно:

х ° С = R(sinα/α) .

3 Кръгъл сектор

Радиус сектор Р с централен ъгъл 2 α има ос на симетрия вол , върху който е разположен центърът на тежестта (Фигура 1.10, c).

Разделяме сектора на елементарни сектори, които могат да се считат за триъгълници. Центровете на тежестта на елементарните сектори са разположени върху кръгова дъга с радиус (2/3) Р .

Центърът на тежестта на сектора съвпада с центъра на тежестта на дъгата AB :

14. Методи за уточняване на движението на точка.

С векторния метод за уточняване на движение, позицията на точка се определя от радиус вектор, начертан от фиксирана точка в избраната референтна система.

С координатния метод за определяне на движение, координатите на точка се определят като функция на времето:

Това са параметрични уравнения на траекторията на движеща се точка, в които времето играе ролята на параметър T . За да напишем уравнението му в ясен вид, е необходимо да ги изключим T .

С естествения метод за уточняване на движението се уточняват траекторията на точката, началото на референтната траектория, указваща положителната посока на референтната линия, и законът за промяна на дъговата координата: s=s(t) . Този метод е удобен за използване, ако траекторията на точката е известна предварително.

15. 1.2 Точкова скорост

Помислете за движението на точка за кратък период от време Δt :

средна скорост на точка за определен период от време Dt . Скорост на точка в даден момент

Точкова скоросте кинематична мярка на неговото движение, равна на производната по време на радиус вектора на тази точка в разглежданата отправна система. Векторът на скоростта е насочен тангенциално към траекторията на точката в посоката на движение.