Частни решения на хомогенна система. Системи линейни еднородни уравнения
Калужски клон на федералната държавна бюджетна образователна институция за висше професионално образование
„Московският държавен технически университет на името на N.E. Бауман"
(KB MSTU на името на N.E. Бауман)
Влайков Н.Д.
Разтвор на хомогенни SLAE
Насоки за провеждане на упражнения
по курса на аналитична геометрия
Калуга 2011 г
Цели на урока, страница 4
План на урока, страница 4
Необходими теоретични сведения т.5
Практическа част стр.10
Контрол на усвояването на преминатия материал 13
Домашна работа стр.14
Брой часове: 2
Цели на урока:
Систематизират придобитите теоретични знания за видовете СЛАУ и методите за тяхното решаване.
Придобийте умения за решаване на хомогенни SLAE.
План на урока:
Накратко очертайте теоретичния материал.
Решете хомогенен SLAE.
Намерете фундаменталната система от решения на хомогенна СЛАУ.
Намерете конкретно решение на хомогенен SLAE.
Формулирайте алгоритъм за решаване на хомогенен SLAE.
Проверете текущото си домашно.
Извършете работа по проверка.
Представете темата на следващия семинар.
Изпратете текущата домашна работа.
Необходима теоретична информация.
Ранг на матрицата.
Деф.Рангът на матрица е числото, което е равно на максималния ред сред нейните ненулеви второстепенни. Рангът на матрицата се обозначава с .
Ако квадратната матрица е неособена, тогава нейният ранг е равен на нейния ред. Ако квадратната матрица е сингулярна, тогава нейният ранг е по-малък от нейния ред.
Рангът на диагонална матрица е равен на броя на нейните ненулеви диагонални елементи.
теор.Когато една матрица се транспонира, нейният ранг не се променя, т.е. 
.
теор.Рангът на матрицата не се променя с елементарни трансформации на нейните редове и колони.
Теоремата за базиса минор.
Деф.Незначителен 
матрици 
се нарича основен, ако са изпълнени две условия:
а) не е равно на нула;
б) неговият ред е равен на ранга на матрицата 
.
Матрица 
може да има няколко базисни второстепенни.
Матрични редове и колони 
, в които се намира избраният базисен минор, се наричат основни.
теор.Теоремата за базиса минор. Основни редове (колони) на матрицата 
, съответстваща на който и да е от нейните базисни второстепенни 
, са линейно независими. Всякакви редове (колони) на матрицата 
, не са включени в 
, са линейни комбинации от базовите редове (колони).
теор.За всяка матрица нейният ранг е равен на максималния брой нейни линейно независими редове (колони).
Изчисляване на ранга на матрица. Метод на елементарните преобразувания.
Използвайки елементарни трансформации на редове, всяка матрица може да бъде намалена до ешалонна форма. Рангът на стъпковата матрица е равен на броя на ненулевите редове. Базисът в него е минорът, разположен в пресечната точка на ненулеви редове с колоните, съответстващи на първите ненулеви елементи отляво във всеки от редовете.
СЛАУ. Основни определения.
Деф.Система 
(15.1)
Числа 
се наричат SLAE коефициенти. Числа 
се наричат свободни членове на уравнения.
Записът на SLAE във формуляра (15.1) се нарича координата.
Деф. SLAE се нарича хомогенен ако 
. В противен случай се нарича разнороден.
Деф.Решението на SLAE е набор от неизвестни стойности, така че при заместване всяко уравнение на системата се превръща в идентичност. Всяко конкретно решение на SLAE се нарича още негово конкретно решение.
Решаването на SLAE означава решаване на два проблема:
Разберете дали SLAE има решения;
Намерете всички решения, ако съществуват.
Деф. SLAE се нарича съединение, ако има поне едно решение. В противен случай се нарича несъвместим.
Деф.Ако SLAE (15.1) има решение, и то уникално, тогава то се нарича определено, а ако решението не е уникално, то се нарича неопределено.
Деф.Ако в уравнение (15.1) 
,SLAE се нарича квадрат.
Формуляри за запис на SLAU.
В допълнение към координатната форма (15.1), SLAE записите често се използват в други нейни представяния.
(15.2)
Отношението се нарича векторна форма на SLAE нотация.
Ако вземем за основа произведението на матриците, тогава SLAE (15.1) може да се запише по следния начин:
(15.3)
или 
.
Нотацията на SLAE (15.1) във формата (15.3) се нарича матрица.
Хомогенни SLAE.
Хомогенна система 
линейни алгебрични уравнения с 
неизвестни е система от формата
Хомогенните SLAE винаги са последователни, тъй като винаги има нулево решение.
Критерий за съществуване на ненулево решение.За да съществува ненулево решение за хомогенен квадрат SLAE, е необходимо и достатъчно неговата матрица да е сингулярна.
теор.Ако колоните 
,
,
…,
са решения на хомогенна SLAE, тогава всяка линейна комбинация от тях също е решение на тази система.
Последица. Ако хомогенна SLAE има ненулево решение, тогава тя има безкраен брой решения.
Естествено е да се опитваме да намерим такива решения 
,
,
…,
системи, така че всяко друго решение да бъде представено като линейна комбинация от тях и освен това по уникален начин.
Деф.Всеки набор от 
линейно независими колони 
,
,
…,
, които са решения на хомогенна СЛАУ 
, Където 
- броят на неизвестните и 
- ранга на неговата матрица 
, се нарича фундаментална система от решения на тази хомогенна SLAE.
Когато изучаваме и решаваме хомогенни системи от линейни уравнения, ще фиксираме базисния минор в матрицата на системата. Базисният минор ще съответства на базовите колони и следователно на базисните неизвестни. Ще наречем останалите неизвестни безплатни.
теор.За структурата на общото решение на хомогенна СЛАУ. Ако 
,
,
…,
- произволна фундаментална система от решения на хомогенна СЛАУ 
, тогава всяко негово решение може да бъде представено във формата
Където 
,
…,
- някои са постоянни.
Че. общото решение на хомогенен SLAE има формата
Практическа част.
Разгледайте възможните набори от решения на следните типове SLAE и тяхната графична интерпретация.
;
;
.
Обмислете възможността за решаване на тези системи с помощта на формулите на Крамер и матричния метод.
Обяснете същността на метода на Гаус.
Решете следните задачи.
Пример 1. Решаване на хомогенен SLAE. Намерете FSR.
.
Нека напишем матрицата на системата и я редуцираме до поетапна форма.
.
системата ще има безкрайно много решения. FSR ще се състои от 
колони.
Нека изхвърлим нулевите редове и напишем системата отново:
.
Ще считаме, че основният минор е в горния ляв ъгъл. Че. 
- основни неизвестни и 
- Безплатно. Да изразим 
чрез безплатно 
:
;
Да сложим 
.
Накрая имаме:
- координатна форма на отговора, или
- матрична форма на отговора, или
- векторна форма на отговора (вектор - колоните са FSR колони).
Алгоритъм за решаване на хомогенна СЛАУ.
Намерете FSR и общото решение на следните системи:
№2.225(4.39)
. Отговор: 
№2.223(2.37)
. Отговор:
№2.227(2.41)
. Отговор: 
Решете хомогенен SLAE:
. Отговор: 
Решете хомогенен SLAE:
. Отговор: 
Представяне на темата на следващия семинар.
Решаване на системи от линейни нееднородни уравнения.
Проследяване на усвояването на преминатия материал.
Контролна работа 3 - 5 минути. Участват 4 ученика с нечетни номера в дневника, започвайки от No10
|
Следвай тези стъпки:
|
Следвай тези стъпки:
|
|
|
Изчислете детерминантата:
|
;
;
|
Следвай тези стъпки:
|
Следвай тези стъпки:
|
|
Намерете обратната матрица на тази:
|
Изчислете детерминантата:
|
недефиниран
Домашна работа:
1. Решете проблеми:
№ 2.224, 2.226, 2.228, 2.230, 2.231, 2.232.
2. Работа чрез лекции по следните теми:
Системи от линейни алгебрични уравнения (СЛАУ). Координатни, матрични и векторни форми на запис. Критерий на Кронекер-Капели за съвместимост на SLAE. Хетерогенни SLAE. Критерий за съществуване на ненулево решение на хомогенна СЛАУ. Свойства на разтворите на хомогенна СЛАУ. Фундаментална система от решения на хомогенна СЛАУ, теорема за нейното съществуване. Нормална фундаментална система от решения. Теорема за структурата на общото решение на хомогенна СЛАУ. Теорема за структурата на общото решение на нехомогенна СЛАУ.
Системи линейни еднородни уравнения- има формата ∑a k i x i = 0. където m > n или m Една хомогенна система от линейни уравнения е винаги последователна, тъй като rangA = rangB. Очевидно има решение, състоящо се от нули, което се нарича тривиален.Цел на услугата. Онлайн калкулаторът е предназначен да намери нетривиално и фундаментално решение на SLAE. Полученото решение се записва във файл на Word (вижте примерно решение).
Инструкции. Изберете измерение на матрицата:
Свойства на системи от линейни еднородни уравнения
За да има системата нетривиални решения, е необходимо и достатъчно рангът на неговата матрица да бъде по-малък от броя на неизвестните.Теорема. Система в случай m=n има нетривиално решение тогава и само ако детерминантата на тази система е равна на нула.
Теорема. Всяка линейна комбинация от решения на система също е решение на тази система.
Определение. Множеството от решения на система от линейни еднородни уравнения се нарича фундаментална система от решения, ако това множество се състои от линейно независими решения и всяко решение на системата е линейна комбинация от тези решения.
Теорема. Ако рангът r на системната матрица е по-малък от броя n на неизвестните, тогава съществува фундаментална система от решения, състояща се от (n-r) решения.
Алгоритъм за решаване на системи от линейни еднородни уравнения
- Намиране на ранга на матрицата.
- Избираме основния минор. Различаваме зависими (основни) и свободни неизвестни.
- Зачеркваме онези уравнения на системата, чиито коефициенти не са включени в базисния минор, тъй като те са следствия от останалите (според теоремата за базисния минор).
- Преместваме членовете на уравненията, съдържащи свободни неизвестни, в дясната страна. В резултат на това получаваме система от r уравнения с r неизвестни, еквивалентна на дадената, чиято детерминанта е различна от нула.
- Ние решаваме получената система чрез елиминиране на неизвестни. Намираме връзки, изразяващи зависими променливи чрез свободни.
- Ако рангът на матрицата не е равен на броя на променливите, тогава намираме основното решение на системата.
- В случай rang = n имаме тривиално решение.
Пример. Намерете основата на системата от вектори (a 1, a 2,...,a m), степенувайте и изразете векторите въз основа на основата. Ако a 1 =(0,0,1,-1), и 2 =(1,1,2,0), и 3 =(1,1,1,1), и 4 =(3,2,1 ,4) и 5 =(2,1,0,3).
Нека напишем основната матрица на системата:
Умножете 3-тия ред по (-3). Нека добавим 4-тия ред към 3-тия:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
Умножете 4-тия ред по (-2). Нека умножим 5-ия ред по (3). Нека добавим 5-ти ред към 4-ти:
Нека добавим 2-ри ред към 1-ви:
Нека намерим ранга на матрицата.
Системата с коефициентите на тази матрица е еквивалентна на оригиналната система и има формата:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Използвайки метода за елиминиране на неизвестни, намираме нетривиално решение:
Получихме отношения, изразяващи зависимите променливи x 1 , x 2 , x 3 чрез свободните x 4 , тоест намерихме общо решение:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4
Ще продължим да усъвършенстваме нашата технология елементарни трансформацииНа хомогенна система от линейни уравнения.
Въз основа на първите параграфи материалът може да изглежда скучен и посредствен, но това впечатление е измамно. В допълнение към по-нататъшното развитие на техниките, ще има много нова информация, така че, моля, опитайте се да не пренебрегвате примерите в тази статия.
Какво е хомогенна система от линейни уравнения?
Отговорът се подсказва сам. Система от линейни уравнения е хомогенна, ако свободният член всекиуравнението на системата е нула. Например:
Това е абсолютно ясно хомогенната система винаги е последователна, тоест винаги има решение. И, на първо място, това, което хваща окото е т.нар тривиаленрешение 
. Тривиално, за тези, които изобщо не разбират значението на прилагателното, означава без показност. Не академично, разбира се, но разбираемо =) ...Защо да се лутаме, нека да разберем дали тази система има други решения:
Пример 1
Решение: за решаване на хомогенна система е необходимо да се напише системна матрицаи с помощта на елементарни трансформации го приведете в стъпаловидна форма. Моля, обърнете внимание, че тук не е необходимо да записвате вертикалната лента и нулевата колона с безплатни термини - в крайна сметка, без значение какво правите с нули, те ще останат нули: 
(1) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по –2. Първият ред беше добавен към третия ред, умножен по –3.
(2) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по –1.
Разделянето на третия ред на 3 няма много смисъл.
В резултат на елементарни преобразувания се получава еквивалентна хомогенна система 
и, използвайки обратния метод на Гаус, е лесно да се провери, че решението е уникално.
Отговор: 
Нека формулираме един очевиден критерий: хомогенна система от линейни уравнения има просто тривиално решение, Ако ранг на системната матрица(в случая 3) е равен на броя на променливите (в случая – 3 броя).
Нека загреем и настроим нашето радио на вълната от елементарни трансформации:
Пример 2
Решете хомогенна система от линейни уравнения 
За да консолидираме окончателно алгоритъма, нека анализираме последната задача:
Пример 7
Решете хомогенна система, запишете отговора във векторна форма. 
Решение: нека напишем матрицата на системата и, използвайки елементарни трансформации, я привеждаме в поетапна форма: 
(1) Променен е знакът на първия ред. Още веднъж обръщам внимание на техника, която е била срещана много пъти, което ви позволява значително да опростите следващото действие.
(1) Първият ред беше добавен към 2-ри и 3-ти ред. Първият ред, умножен по 2, беше добавен към 4-тия ред.
(3) Последните три реда са пропорционални, два от тях са премахнати.
В резултат на това се получава стандартна стъпкова матрица и решението продължава по набраздената писта:
– основни променливи;
– свободни променливи.
Нека изразим основните променливи чрез свободни променливи. От второто уравнение:
– заместване в 1-вото уравнение:
Така че общото решение е:
Тъй като в разглеждания пример има три свободни променливи, фундаменталната система съдържа три вектора.
Нека заместим тройка от стойности 
в общото решение и да получим вектор, чиито координати удовлетворяват всяко уравнение на хомогенната система. И отново повтарям, че е силно препоръчително да проверявате всеки получен вектор - това няма да отнеме много време, но напълно ще ви предпази от грешки.
За тройка ценности 
намерете вектора
И накрая за тримата 
получаваме третия вектор:
Отговор: , Където
Тези, които желаят да избегнат дробни стойности, могат да обмислят тройки 
и да получите отговор в еквивалентна форма:
Говорейки за дроби. Нека разгледаме матрицата, получена в задачата 
и нека се запитаме: възможно ли е да се опрости по-нататъшното решение? В крайна сметка тук първо изразихме основната променлива чрез дроби, след това чрез дроби основната променлива и, трябва да кажа, този процес не беше най-простият и не най-приятният.
Второ решение:
Идеята е да се опита изберете други базисни променливи. Нека погледнем матрицата и забележим две единици в третата колона. Така че защо да няма нула в горната част? Нека извършим още една елементарна трансформация:
Система млинейни уравнения c ннаречени неизвестни система от линейни хомогенниуравнения, ако всички свободни членове са равни на нула. Такава система изглежда така:
Където и ij (аз = 1, 2, …, м; й = 1, 2, …, н) - дадени числа; x i– неизвестен.
Система от линейни хомогенни уравнения винаги е последователна, тъй като r(A) = r(). Винаги има поне нула ( тривиален) решение (0; 0; …; 0).
Нека разгледаме при какви условия хомогенните системи имат ненулеви решения.
Теорема 1.Система от линейни хомогенни уравнения има ненулеви решения тогава и само ако рангът на нейната основна матрица е rпо-малко неизвестни н, т.е. r < н.
□
1). Нека система от линейни еднородни уравнения има ненулево решение. Тъй като рангът не може да надвишава размера на матрицата, тогава, очевидно, r ≤ н. Позволявам r = н. След това един от малките размери n nразличен от нула. Следователно съответната система от линейни уравнения има уникално решение: 
. Това означава, че няма други решения освен тривиалните. Така че, ако има нетривиално решение, тогава r < н.
2). Позволявам r < н. Тогава хомогенната система, тъй като е последователна, е несигурна. Това означава, че има безкраен брой решения, т.е. има ненулеви решения. ■
Помислете за хомогенна система нлинейни уравнения c ннеизвестен:
(2)
Теорема 2.Хомогенна система нлинейни уравнения c ннеизвестни (2) има ненулеви решения тогава и само ако неговият детерминант е равен на нула: = 0.
□ Ако системата (2) има ненулево решение, тогава = 0. Защото когато системата има само едно нулево решение. Ако = 0, тогава рангът rосновната матрица на системата е по-малка от броя на неизвестните, т.е. r < н. И следователно системата има безкраен брой решения, т.е. има ненулеви решения. ■
Нека означим решението на система (1) х 1 = к 1 , х 2 = к 2 , …, x n = k nкато низ 
.
Решенията на система от линейни хомогенни уравнения имат следните свойства:
1.
Ако линията е решение на система (1), тогава линията е решение на система (1).
2.
Ако линиите 
и са решения на система (1), то за всякакви стойности с 1 и с 2 тяхната линейна комбинация също е решение на система (1).
Валидността на тези свойства може да се провери чрез директното им заместване в уравненията на системата.
От формулираните свойства следва, че всяка линейна комбинация от решения на система от линейни еднородни уравнения също е решение на тази система.
Система от линейно независими решения д 1 , д 2 , …, e rНаречен фундаментален, ако всяко решение на система (1) е линейна комбинация от тези решения д 1 , д 2 , …, e r.
Теорема 3.Ако ранг rматриците на коефициентите за променливи на системата от линейни хомогенни уравнения (1) са по-малки от броя на променливите н, тогава всяка фундаментална система от решения на система (1) се състои от n–rрешения.
Ето защо общо решениесистема от линейни хомогенни уравнения (1) има формата:
Където д 1 , д 2 , …, e r– всяка фундаментална система от решения на система (9), с 1 , с 2 , …, с п– произволни числа, Р = n–r.
Теорема 4.Общо решение на системата млинейни уравнения c ннеизвестни е равно на сумата от общото решение на съответната система от линейни хомогенни уравнения (1) и произволно частно решение на тази система (1).
Пример.Решете системата
Решение.За тази система м = н= 3. Детерминанта
според теорема 2 системата има само тривиално решение: х = г = z = 0.
Пример. 1) Намерете общи и частни решения на системата
2) Намерете основната система от решения.
Решение. 1) За тази система м = н= 3. Детерминанта
по теорема 2 системата има ненулеви решения.
Тъй като в системата има само едно независимо уравнение
х + г – 4z = 0,
тогава от него ще изразим х =4z- г. Откъде получаваме безкраен брой решения: (4 z- г, г, z) – това е общото решение на системата.
При z= 1, г= -1, получаваме едно конкретно решение: (5, -1, 1). Поставяне z= 3, г= 2, получаваме второто конкретно решение: (10, 2, 3) и т.н.
2) В общото решение (4 z- г, г, z) променливи гИ zса безплатни, а променливата х- зависим от тях. За да намерим фундаменталната система от решения, нека присвоим стойности на свободните променливи: първо г = 1, z= 0, тогава г = 0, z= 1. Получаваме частични решения (-1, 1, 0), (4, 0, 1), които образуват фундаменталната система от решения.
Илюстрации:
Ориз. 1 Класификация на системите от линейни уравнения
Ориз. 2 Изследване на системи от линейни уравнения
Презентации:
· Решение SLAE_матричен метод
· Решение на метода SLAE_Cramer
· Решение SLAE_метод на Гаус
· Пакети за решаване на математически задачи Mathematica, MathCad: търсене на аналитични и числени решения на системи от линейни уравнения
Контролни въпроси:
1. Дефинирайте линейно уравнение
2. Какъв тип система изглежда? млинейни уравнения с ннепознат?
3. Какво се нарича решаване на системи от линейни уравнения?
4. Какви системи се наричат еквивалентни?
5. Коя система се нарича несъвместима?
6. Каква система се нарича ставна?
7. Коя система се нарича определена?
8. Коя система се нарича неопределена
9. Избройте елементарните преобразувания на системи от линейни уравнения
10. Избройте елементарните трансформации на матрици
11. Формулирайте теорема за прилагането на елементарни трансформации към система от линейни уравнения
12. Какви системи могат да бъдат решени с помощта на матричния метод?
13. Какви системи могат да бъдат решени по метода на Крамър?
14. Какви системи могат да бъдат решени по метода на Гаус?
15. Избройте 3 възможни случая, които възникват при решаване на системи от линейни уравнения по метода на Гаус
16. Опишете матричния метод за решаване на системи от линейни уравнения
17. Опишете метода на Крамър за решаване на системи от линейни уравнения
18. Опишете метода на Гаус за решаване на системи от линейни уравнения
19. Какви системи могат да бъдат решени с помощта на обратна матрица?
20. Избройте 3 възможни случая, които възникват при решаване на системи от линейни уравнения по метода на Крамер
Литература:
1. Висша математика за икономисти: Учебник за университети / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М. Н. Фридман. Ед. Н.Ш. Кремер. – М.: ЕДИНСТВО, 2005. – 471 с.
2. Общ курс по висша математика за икономисти: Учебник. / Ед. В И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2006. – 655 с.
3. Колекция от задачи по висша математика за икономисти: Учебник / Под редакцията на V.I. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2006. – 574 с.
4. Gmurman V. E. Ръководство за решаване на проблеми в теорията на вероятностите и магматичната статистика. - М.: Висше училище, 2005. - 400 с.
5. Гмурман. V.E. Теория на вероятностите и математическа статистика. - М.: Висше училище, 2005.
6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Висша математика в упражнения и задачи. Част 1, 2. – М.: Оникс 21 век: Мир и образование, 2005. – 304 с. Част 1; – 416 стр. Част 2.
7. Математика в икономиката: Учебник: В 2 части / A.S. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандара. – М.: Финанси и статистика, 2006.
8. Шипачев В.С. Висша математика: Учебник за студенти. университети - М.: Висше училище, 2007. - 479 с.
Свързана информация.
6.3. ХОМОГЕННИ СИСТЕМИ ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ
Нека сега в системата (6.1).
Хомогенната система винаги е последователна. Решение () е наречен нула, или тривиален.
Една хомогенна система (6.1) има ненулево решение тогава и само ако нейният ранг ( 
) е по-малко от броя на неизвестните. По-специално, хомогенна система, в която броят на уравненията е равен на броя на неизвестните, има ненулево решение тогава и само ако нейният детерминант е нула.
Защото този път всичко
, вместо формули (6.6) получаваме следното:
(6.7)
Формулите (6.7) съдържат всяко решение на хомогенната система (6.1).
1. Множеството от всички решения на хомогенната система от линейни уравнения (6.1) образува линейно пространство.
2. Линейно пространствоРвсички решения на хомогенната система от линейни уравнения (6.1) сннеизвестни и рангът на основната матрица е равен наr, има измерениеn–r.
Всеки набор от (n–r) линейно независими решения на хомогенната система (6.1) образува базис в пространствотоРвсички решения. Нарича се фундаменталеннабор от решения на хомогенната система от уравнения (6.1). Специален акцент се поставя върху "нормален"фундаментално множество от решения на хомогенната система (6.1):
(6.8)
По дефиниция на основата всяко решение ххомогенна система (6.1) може да бъде представена във формата
(6.9)
Където 
– произволни константи.
Тъй като формула (6.9) съдържа всяко решение на хомогенната система (6.1), тя дава общо решениетази система.
Пример.
