1.1 Дефиниция на двоен интеграл

1.2 Свойства на двойния интеграл

Свойствата на двоен интеграл (и тяхното извеждане) са подобни на съответните свойства на единичен определен интеграл.

1°. Адитивност. Ако функцията f(x, y) е интегрируема в област D и ако областта D е разделена от крива Г с площ нула на две свързани области D1 и D2, които нямат общи вътрешни точки, тогава функцията f(x , y) е интегрируем във всяка от области D 1 и D 2, и

2°. Линейно свойство. Ако функциите f(x, y) и g(x, y) са интегрируеми в областта D, нали? И? - всякакви реални числа, тогава функцията [? · f(x, y) + ?· g(x, y)] също е интегрируем в областта D и

3°. Ако функциите f(x, y) и g(x, y) са интегрируеми в областта D, тогава произведението на тези функции също е интегрируемо в D.

4°. Ако функциите f(x, y) и g(x, y) са интегрируеми в областта D и навсякъде в тази област f(x, y)? g(x, y), тогава

5°. Ако функцията f(x, y) е интегрируема в областта D, тогава функцията |f(x, y)| интегрируем в домейн D, и

(Разбира се, интегрируемостта на |f(x, y)| в D не предполага интегрируемостта на f(x, y) в D.)

6°. Теорема за средната стойност. Ако и двете функции f(x, y) и g(x, y) са интегрируеми в област D, функцията g(x, y) е неотрицателна (неположителна) навсякъде в тази област, M и m са supremum и infimum на функцията f( x, y) в областта D, тогава има число, което удовлетворява неравенството m? ? ? M и такива, че формулата да е валидна

По-специално, ако функцията f(x, y) е непрекъсната в D и областта D е свързана, тогава в тази област има точка (?, ?), така че? = f(?, ?) и формулата приема формата

7°. Важно геометрично свойство. равна на площта на област D

Нека в пространството е дадено тяло T (фиг. 2.1), ограничено отдолу от областта D, отгоре - от графиката на непрекъсната и неотрицателна функция) z=f (x, y), която е определена в областта D, отстрани - от цилиндрична повърхност, чийто водач е граничната област D, а образуващите са успоредни на оста Oz. Тяло от този тип се нарича цилиндрично тяло.

1.3 Геометрична интерпретация на двойния интеграл

1.4 Концепцията за двоен интеграл за правоъгълник

Нека произволна функция f(x, y) е дефинирана навсякъде в правоъгълника R = ? (виж Фиг. 1).

Нека разделим отсечка a? х? b на n частични сегмента с помощта на точки a = x 0< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Това разделяне с помощта на прави линии, успоредни на осите Ox и Oy, съответства на разделянето на правоъгълника R на n · p частични правоъгълници R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Означаваме посоченото разделение на правоъгълника R със символа T. По-нататък в този раздел терминът "правоъгълник" ще се разбира като правоъгълник със страни, успоредни на координатните оси.

На всеки частичен правоъгълник R kl избираме произволна точка (? k, ? l). Поставяйки?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1, ние означаваме с?R kl площта на правоъгълника R kl. Очевидно ?R kl = ?x k ?y l .

се нарича интегралната сума на функцията f(x, y), съответстваща на даден дял T на правоъгълника R и даден избор от междинни точки (? k, ? l) върху частичните правоъгълници на дяла T.

Диагоналът ще наричаме диаметъра на правоъгълника R kl. Символ? нека означим най-големия от диаметрите на всички частични правоъгълници с R kl .

Числото I се нарича граница на интегралните суми (1) при? > 0, ако за всяко положително число? можете ли да посочите такова положително число?, какво ако?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - аз |< ?.

Функция f(x, y) се нарича интегрируема на Риман върху правоъгълник R, ако има крайна граница I на интегралните суми на тази функция при? > 0.

Посочената граница I се нарича двоен интеграл на функцията f(x, y) върху правоъгълника R и се обозначава с един от следните символи:

Коментирайте. По същия начин, както за единичен определен интеграл, се установява, че всяка функция f(x, y), интегрируема в правоъгълник R, е ограничена в този правоъгълник.

Това дава основание по-нататък да се разглеждат само ограничени функции f(x, y).

Проблем, водещ до концепцията за двоен интеграл.

Да приемем, че функцията на частите е дефинирана и запишете сумата

който се нарича интеграл.

О: Под определения интеграл (d.i.) на функцията и на избора

Обозначаване:

Числата се наричат ​​интегрируеми на Риман върху .

Т. съществуване: При условие, че .

В съответствие с дефиницията на o.i. отбелязваме, че интегралът зависи от типа, границите и, но не зависи от символа на обозначението на променливата, изразено по друг начин

В съответствие с клаузи 17.1.1 и 17.1.2 и дефиницията на o.i. Нека запишем формулата за площта на криволинейния трапец: , работа на силата

На :

Понятието двоен интеграл, интегрални суми.

Съществуването на двоен интеграл, т.е. граница на интегралната сума за, изглежда очевидно, тъй като тази граница дава обема на цилиндрично тяло. Това разсъждение обаче не е строго. В по-пълните курсове това твърдение е строго доказано и се нарича теорема за съществуването на двоен интеграл.

Теорема за съществуване. За всяка функция, която е непрекъсната в ограничена затворена област с площ a, има двоен интеграл, тоест има ограничение на интегралните суми с неограничено нарастване на броя на малките области, при условие че всяка от тях се свива до a точка. Тази граница не зависи от метода на разделяне на района на части или от избора на точки

По-нататък ще разглеждаме само функции, които са непрекъснати в областта на интегриране.

От теоремата за съществуване следва, че можем например да разделим областта a на малки правоъгълници с прави страни, успоредни на координатните оси (фиг. 230). При което. След това, избирайки точка във всеки малък правоъгълник, можем да напишем, според дефиницията на двойния интеграл

За да подчертаем, че двойният интеграл може да се получи като граница на сума от формата, вместо нотацията използваме и нотацията

Изразът се нарича елемент на площта в декартови координати и е равен на площта на правоъгълник със страни, успоредни на координатните оси.

Имайте предвид, че при съставянето на интегралната сума областите, съседни на границата на областта a, нямат формата на правоъгълници. Въпреки това може да се докаже, че грешката от замяната на такива области с правоъгълници с области в границата ще бъде намалена до нула.

Свойства на двойните интеграли

Свойствата на двоен интеграл (и тяхното извеждане) са подобни на съответните свойства на единичен определен интеграл.

1°. Адитивност. Ако функцията f(х, г) е интегрируем в домейна ди ако областта дс помощта на крива Жнулевата област е разделена на две свързани области, които нямат общи вътрешни точки д 1 и д 2, след това функцията f(х, г) е интегрируем във всяка от областите д 1 и д 2, и

2°. Линейно свойство. Ако функциите f(х, г) И ж(х, г) са интегрируеми в домейни д, А α И β - всякакви реални числа, тогава функцията [ α · f(х, г) + β · ж(х, г)] също е интегрируем в домейна д, и

3°. Ако функциите f(х, г) И ж(х, г) са интегрируеми в домейни д, тогава произведението на тези функции е интегрируемо в д.

4°. Ако функциите f(х, г) И ж(х, г) и двата са домейн интегрируеми ди навсякъде в тази област f(х, г) ≤ ж(х, г), Че

5°. Ако функцията f(х, г) е интегрируем в домейна д, тогава функцията | f(х, г)| интегрируеми в области д, и

(Разбира се, от интегрируемостта | f(х, г)| V дне следва интегрируемост f(х, г) В д.)

6°. Теорема за средната стойност. Ако и двете функции f(х, г) И ж(х, г) са интегрируеми в домейни д, функция ж(х, г) е неотрицателна (неположителна) навсякъде в този регион, МИ м- точни горни и точни долни граници на функцията f(х, г) в областта д, тогава има число μ , удовлетворяващи неравенството м ≤ μ ≤ Ми така че формулата да е валидна

По-специално, ако функцията f(х, г) е непрекъсната в д, и областта д съгласуван, тогава в тази област има такава точка ( ξ , η ), Какво μ = f(ξ , η ), а формула (11) приема формата

Свойства на двойните интеграли.

Някои от свойствата на двойните интеграли пряко следват от дефиницията на това понятие и свойствата на интегралните суми, а именно:

1. Ако функцията f(x, y)се интегрира в д, Че kf(x, y)също е интегрируем в тази област и (24.4)

2. Ако в района динтегрируеми функции f(x, y)И g(x, y), тогава в тази област функциите f(x, y) ± g(x, y), и при което

3. Ако за интегрираните в района дфункции f(x, y)И g(x, y)неравенството е в сила f(x, y)≤g(x, y), Че

(24.6)

Нека докажем още няколко свойства на двойния интеграл:

4. Ако областта дразделени на две зони д 1 и д 2 без общи вътрешни точки и функция f(x, y)непрекъснато в региона д, Че

(24.7) Доказателство . Интегрална сума по площта дможе да се представи като:

къде е разделянето на площта дначертана така, че границата между д 1 и д 2 се състои от границите на частите на дяла. Преминавайки след това до границата при , получаваме равенство (24.7).

5. При интегрируемост на дфункции f(x, y)в тази област функцията също е интегрируема | f(x, y) |, и неравенството е в сила

(24.8)

Доказателство.

откъдето, използвайки преминаването до границата при, получаваме неравенство (24.8)

6. къде S D– площ на района Д.Доказателството на това твърдение получаваме чрез заместване в интегралната сума f(x, y)≡ 0.

7. Ако е интегриран в района дфункция f(x, y)удовлетворява неравенството

m ≤ f(x, y) ≤ M,

Че (24.9)

Доказателство.

Доказателството се извършва чрез преминаване към границата от очевидното неравенство

Последица.

Ако разделим всички части на неравенството (24.9) на д, можем да получим така наречената теорема за средната стойност:

По-специално, при условие за непрекъснатост на функцията f V дима такава точка в този регион ( x 0, y 0), при което f(x 0, y 0) = μ , това е

-

Друга формулировка на теоремата за средната стойност.

Геометричен смисъл на двойния интеграл.

Помислете за тялото V, ограничена от частта от повърхността, дадена от уравнението z = f(x, y),проекция дтази повърхност към равнината O xyи странична цилиндрична повърхност, получена от вертикални образуващи, свързващи точките на границата на повърхността с техните проекции.

z=f(x,y)

V

г П и ДФиг.2.

Обемът на това тяло ще търсим като границата на сумата от обемите на цилиндрите, чиито основи са части Δ S iрегион д, а височините са сегменти от дължина f(P i), където точките P iпринадлежат на Δ S i. Преминавайки към границата при , получаваме това

(24.11)

тоест двойният интеграл представлява обема на така наречения цилиндроид, ограничен отгоре от повърхността z = f(x, y), а отдолу – обл д.

Изчисляване на двоен интеграл чрез свеждането му до повторен.

Помислете за района д, ограничени с линии x = a, x = b(а< b ), където φ 1 ( х) и φ 2 ( х) са непрекъснати на [ а, б]. Тогава всяка права линия, успоредна на координатната ос O прии преминавайки през вътрешността на региона д, пресича границата на региона в две точки: н 1 и н 2 (фиг. 1). Нека наречем тази област правилнов на-

приКонтрол на оста O при. По същия начин, определяне

y=φ 2 (х) има правилна област в посоката

н 2 О-ос х. Районът в правилната посока е

на двете координатни оси, ние ще

дпросто го наречете правилно. Например,

правилната област е показана на фиг. 1.

y=φ 1 (х) н 1

O a b x

Нека функцията f(x, y)непрекъснато в региона д. Помислете за израза

, (24.12)

Наречен двоен интегралот функция f(x, y)по региони д. Нека първо изчислим вътрешния интеграл (в скоби) върху променливата при, броене хпостоянен. Резултатът е непрекъсната функция на х:

Ние интегрираме получената функция върху хвариращи от Апреди b. В резултат на това получаваме числото

Нека докажем едно важно свойство на двойния интеграл.

Теорема 1. Ако областта д, правилно в посока О при, разделен на две зони д 1 и д 2 прави линии, успоредни на оста O приили ос O х, след това двойният интеграл по площта дще бъде равна на сумата от същите интеграли по площи д 1 и д 2:

Доказателство.

а) Нека е права линия x = cпрекъсвания дНа д 1 и д 2, правилно в посока О при. Тогава

+

+

б) Нека линията y = hпрекъсвания днадясно в посока О прирегион д 1 и д 2 (фиг. 2). Нека означим с М 1 (а 1 , ч) И М 2 (b 1 , ч) точки на пресичане на правата y = hс граница Лрегион д.

гРегион д 1, ограничени с непрекъснати линии

y=φ 2 (х) 1) y = φ 1 (х);

д 2 2) крива А 1 М 1 М 2 IN, чието уравнение записваме

ч М 1 М 2 y = φ 1 *(х), Където φ 1 *(х) = φ 2 (х) при a ≤ x ≤ a 1 и

А 1 д 1 Bb 1 ≤ x ≤ b, φ 1 *(х) = чпри А 1 ≤ x ≤ b 1 ;

3) прави х = а, x = b.

Регион д 2 ограничени от линии y = φ 1 *(х),

A y= φ 2 (х),А 1 ≤ x ≤ b 1 .

y=φ 1 (х) Нека приложим теоремата за

разделяне на интеграционния интервал:

О а а 1 b 1 b

+

Нека представим втория от получените интеграли като сума:

+ + .

Тъй като φ 1 *(х) = φ 2 (х) при a ≤ x ≤ a 1 и b 1 ≤ x ≤ b, първият и третият от получените интеграли са идентично равни на нула. следователно

I D = , това е .

Допирателна и нормална към повърхността

Определение. нормалнокъм повърхността в точка N 0 е права линия, минаваща през точка N 0, перпендикулярна на допирателната равнина към тази повърхност.

Във всяка точка повърхността има или само една допирателна равнина, или изобщо я няма.

Ако повърхността е дадена от уравнението z = f(x, y), където f(x, y) е функция, диференцируема в точката M 0 (x 0, y 0), допирателната равнина в точката N 0 ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) съществува и има уравнението:

Уравнението на нормалата към повърхността в тази точка е:

Геометричен смисълобщият диференциал на функция на две променливи f(x, y) в точката (x 0, y 0) е увеличението на приложението (z координати) на допирателната равнина към повърхността при движение от точката (x 0 , y 0) до точката (x 0 + Dx, y 0 +Dу).

Както можете да видите, геометричният смисъл на общия диференциал на функция на две променливи е пространствен аналог на геометричния смисъл на диференциала на функция на една променлива.

Пример.Намерете уравненията на допирателната равнина и нормалата към повърхността

в точка M(1, 1, 1).

Уравнение на допирателната равнина:

Нормално уравнение:

Изчисляване на двоен интеграл в полярни координати.

Нека област D е ограничена с линия r = r()и лъчи = И = , където и r– полярни координати на точка от равнината, свързани с нейните декартови координати хИ г

Връзки (фиг. 5). В такъв случай

Коментирайте.Ако областта D в декартови координати е дадена чрез уравнение, съдържащо двоична система, например и т.н., тогава е по-удобно да се изчисли двойният интеграл върху такава област в полярни координати.

Двоен интеграл. Основни определения и свойства.

Двойни интеграли.

Нека разгледаме затворена крива на равнината, чието уравнение е

Наборът от всички точки, лежащи вътре в кривата и върху самата крива, ще се нарича затворена област D. Ако изберете точки в региона, без да вземете предвид точките, лежащи на кривата, регионът ще се нарича отворен регион D.

От геометрична гледна точка D е площта на фигурата, ограничена от контура.

Нека разделим областта D на n частични области чрез решетка от линии, отдалечени една от друга по оста x на разстояние Dх i и по оста y на разстояние Dу i. Най-общо казано, този ред на разделяне е задължителен; възможно е площта да се раздели на части с произволна форма и размер.

Откриваме, че площта S е разделена на елементарни правоъгълници, чиито площи са равни на S i = Dx i × Dy i.

Във всяка частична област вземете произволна точка P(x i, y i) и съставете интегралната сума

където f е непрекъсната и еднозначна функция за всички точки от областта D.

Ако безкрайно увеличим броя на частичните области D i, тогава очевидно площта на всяка частична област S i клони към нула.

определение: Ако, когато стъпката на разделяне на домейна D се доближава до нула, интегралните суми имат крайна граница, тогава тази граница се нарича двоен интегралот функцията f(x, y) върху област D.

Като вземем предвид факта, че S i = Dx i × Dy i получаваме:

В горната нотация има два знака S, т.к сумирането се извършва върху две променливи x и y.

защото Разделянето на интеграционния регион е произволно и изборът на точки Р i също е произволен, тогава, считайки всички области Si за еднакви, получаваме формулата:

Условия за съществуване на двоен интеграл.

Нека формулираме достатъчни условия за съществуването на двоен интеграл.

Теорема. Ако функцията f(x, y) е непрекъсната в затворена област D, тогава двойният интеграл съществува

Теорема. Ако функцията f(x, y) е ограничена в затворена област D и е непрекъсната в нея навсякъде, с изключение на краен брой късово гладки линии, тогава двойният интеграл съществува.

Свойства на двойния интеграл.

3) Ако D = D 1 + D 2, тогава

4) Теорема за средната стойност. Двойният интеграл на функцията f(x, y) е равен на произведението на стойността на тази функция в дадена точка от интеграционния домейн и площта на интеграционния домейн.

5) Ако f(x, y) ³ 0 в област D, тогава .

6) Ако f 1 (x, y) £ f 2 (x, y), тогава .

No 43 ОпределениеДа приемем, че кривата ° Ссе дава от векторна функция, където променливата с− дължина на дъгата на кривата. След това производната на векторната функция

Това е единичен вектор, насочен по допирателната към тази крива (Фигура 1).
В горната формула α, β И γ − ъгли между допирателната и положителната посока на осите O х, О ги О z, съответно.

Нека въведем векторна функция, дефинирана върху кривата ° С, така че за скаларна функция

Имаше криволинеен интеграл. Такъв интеграл се нарича криволинеен интеграл от втория вид на векторна функция по крива ° Си се обозначава като

Така, по дефиниция,

където е единичният вектор на допирателната към кривата ° С.
Последната формула може също да бъде пренаписана във векторна форма:

Където.
Ако кривата ° Слежи в равнината О xy, след което се приема R= 0, получаваме

Свойства на криволинейния интеграл от втори род

Криволинейният интеграл от втори род има следните свойства: Нека ° Собозначава крива, започваща в точка Аи крайна точка б. Нека означим с −Cкрива в обратна посока – от бДа се А. Тогава

Ако ° С− комбиниране на криви ° С 1 и ° С 2 (Фигура 2 по-горе), тогава Ако кривата ° Се дадена параметрично във формата , тогава Ако кривата ° Слежи в равнината О xyи е дадено уравнението Tm (предполага се, че R= 0 и t = x), тогава последната формула е записана във формата

№ 49 Повърхността F е дадена изрично z = z(x,y), (x,y)О D (компактна),

където z(x,y) има непрекъснати частични производни от първи ред в D, функцията f(x,y,z) е дефинирана и непрекъсната върху F. Тогава съществува интеграл, равен на

Доказателство. За областите, които получаваме

Тогава интегралните суми ще бъдат равни

Първата от сумите е неразделна за , втората може да бъде направена произволно малка, като се избере достатъчно малък дял. Последното следва от равномерната непрекъснатост на функцията f(x,y,z(x,y)) върху D.

№ 40 (продължение) Достатъчно условие за съществуването на криволинеен интеграл от първи род ще бъде формулирано по-късно, когато покажем как се изчислява.

Дефиницията на криволинейния интеграл от първи род е същата по структура като дефиницията на определен интеграл. Следователно криволинейният интеграл от първи род има същите свойства като определен интеграл. Представяме тези свойства без доказателство.

СВОЙСТВА НА КРИВОЛИНЕЕН ИНТЕГРАЛ ОТ 1-ВИ РОД

1. , където е дължината на кривата.

2. Постоянният множител може да бъде изваден от знака на криволинейния интеграл от първи род, т.е.

3. Криволинейният интеграл от първи род от алгебричната сума на две (краен брой) функции е равен на алгебричната сума на криволинейните интеграли от първи род от тези функции, т.е.

4. Ако кривата е разделена на две части и няма общи вътрешни точки, то

(свойство за адитивност на криволинейния интеграл от първи род).

5. Ако функцията () е навсякъде по кривата, тогава

6. Ако навсякъде по кривата (),

7. (последствие от свойства 6 и 1) Ако и са съответно най-малката и най-голямата стойност на функцията на кривата, тогава

където е дължината на кривата.

8. (теорема за средната стойност за криволинеен интеграл от първи род) Ако функцията е непрекъсната върху кривата, тогава има точка, така че равенството

където е дължината на кривата.

No42 Извивка дълж.

Ако интегралната функция f(x, y, z) ≡ 1, тогава от дефиницията на криволинейния интеграл от 1-ви вид намираме, че в този случай тя е равна на дължината на кривата, по която се извършва интегрирането:

Крива маса.

Ако приемем, че интегралната функция γ (x, y, z) определя плътността на всяка точка от кривата, намираме масата на кривата, използвайки формулата

3. Ще намерим моментите на кривата l, разсъждавайки по същия начин, както в случая на плоска област: -

статични моменти на плоска крива l спрямо осите Ox и Oy;

инерционен момент на пространствената крива спрямо началото;

· инерционни моменти на кривата спрямо координатните оси.

4. Координатите на центъра на масата на кривата се изчисляват по формулите

№ 38(2) Смяна на променливи в тройни интеграли

Когато изчислявате троен интеграл, като двоен интеграл, често е удобно да направите промяна на променливите. Това ви позволява да опростите формата на домейна на интегриране или интегранта.

Нека оригиналният троен интеграл е даден в декартови координати x, y, z в областта U:

Необходимо е да се изчисли този интеграл в нови координати u, v, w. Връзката между стари и нови координати се описва от отношенията:

Приема се, че са изпълнени следните условия:

1. Функциите φ, ψ, χ са непрекъснати заедно с техните частни производни;

2. Съществува взаимно еднозначно съответствие между точките на интеграционната област U в пространството xyz и точките на U" област в uvw пространството;

3. Якобиан на трансформацията I (u,v,w), равна на

е различно от нула и поддържа постоянен знак навсякъде в областта на интегриране U.

Тогава формулата за промяна на променливи в троен интеграл се записва като:

В горния израз означава абсолютната стойност на Якобиан.

№ 38 Тройни интеграли в сферични координати

Сферичните координати на точката M(x,y,z) са три числа − ρ, φ, θ, където

ρ е дължината на радиус вектора на точка M;

φ е ъгълът, образуван от проекцията на радиус вектора върху равнината Oxy и оста Ox;

θ е ъгълът на отклонение на радиус вектора от положителната посока на оста Oz (Фигура 1).

Моля, обърнете внимание, че дефинициите на ρ, φ в сферични и цилиндрични координати са различни една от друга.

Сферичните координати на една точка са свързани с нейните декартови координати чрез отношенията

Якобианът на прехода от декартови към сферични координати има формата:

Разширявайки детерминантата върху втората колона, получаваме

Съответно абсолютната стойност на Якобиан е равна на

Следователно формулата за промяна на променливи при преобразуване на декартови координати в сферични координати има формата:

По-удобно е да се изчисли тройният интеграл в сферични координати, когато областта на интегриране U е топка (или част от нея) и/или когато интегралната функция има формата f (x2 + y2 + z2).

Повърхност

Нека изберем точка M0 върху гладка повърхност (затворена или ограничена от гладък контур) и да начертаем нормала към повърхността в нея, като изберем определена посока за нея (една от двете възможни). Нека начертаем затворен контур по повърхността, започващ и завършващ в точка M0. Нека разгледаме точка M, която обикаля този контур и във всяка нейна позиция начертаваме нормалата на посоката, в която непрекъснато преминава нормалата от предишната точка. Ако след преминаване на контура нормалата се върне в точка M0 в първоначалната си позиция за произволен избор на точка M0 на повърхността, повърхността се нарича двустранна. Ако посоката на нормалата, след преминаване на поне една точка, се промени в противоположна, повърхнината се нарича едностранна (пример за едностранна повърхнина е лентата на Мьобиус от горното следва, че изборът на посоката на нормалата в една точка еднозначно определя посоката на нормалата във всички точки на повърхността.

Определение

Съвкупността от всички точки на повърхност с еднаква нормална посока се нарича страна на повърхността.

Ориентация на повърхността.

Помислете за отворена гладка двустранна повърхност S, ограничена от контур L, и изберете едната страна на тази повърхност.

Определение

Нека наречем положителна посоката на преминаване на контура L, при която движението по контура се извършва обратно на часовниковата стрелка спрямо наблюдателя, разположен в крайната точка на нормалата към някаква точка от повърхността S, съответстваща на избраната страна на повърхността. Обратната посока на преминаване на контура ще се нарича отрицателна.

Поток на векторно поле.

Да разгледаме векторно поле A(M), дефинирано в пространствена област G, ориентирана гладка повърхност S G и поле от единични нормали n(M) от избрана страна на повърхността S.

Определение 13.3. Повърхнинен интеграл от 1-ви род, (13.1)

където An е скаларното произведение на съответните вектори, а An е проекцията на вектор A върху нормалната посока, наречена поток на векторното поле A(M) през избраната страна на повърхността S.

Бележка 1.

Ако изберете другата страна на повърхността, тогава нормата и, следователно, потокът ще променят знака.

Бележка 2.

Ако вектор A определя скоростта на флуидния поток в дадена точка, тогава интегралът (13.1) определя количеството флуид, протичащ за единица време през повърхността S в положителна посока (оттук и общият термин "поток").

№ 53 Повърхнинен интеграл от втори род. Определение и светци.

Определение

Помислете за двустранна повърхност, гладка или гладка на части, и фиксирайте всяка от двете й страни, което е еквивалентно на избор на определена ориентация върху повърхността.

За определеност, нека първо приемем, че повърхността е дадена от явно уравнение и точката варира в област на равнината, ограничена от частичен гладък контур.

Нека сега някаква функция е дефинирана в точките на тази повърхност. Разделяйки повърхността с мрежа от гладки криви на парчета на части и избирайки точка на всяка такава част, ние изчисляваме стойността на функцията в дадена точка и я умножаваме по площта на проекцията върху равнината на елементът, снабден с определен знак. Нека направим интегрална сума:

Крайната граница на тази интегрална сума, когато диаметрите на всички части клонят към нула, се нарича повърхностен интеграл от втория вид

се разстила до избраната страна на повърхността и се обозначава със символа

(тук) ни напомня за зоната на проекция на повърхностен елемент върху равнина

Ако вместо равнина проектираме повърхностни елементи върху равнина или , тогава получаваме два други повърхностни интеграла от втори тип:

В приложенията най-често се срещат връзки на интеграли от всички тези типове:

където са функции на , определени в точки от повърхността.

Връзка между повърхностни интеграли от втори и първи род

Къде е единичният нормален вектор на повърхността - орт.

Имоти

1. Линейност: ;

2. Адитивност: ;

3. Когато ориентацията на повърхността се промени, повърхностният интеграл променя знака.

№ 60 Operatornabla (оператор на Хамилтън)- векторен диференциален оператор, означаван със символа (nabla). За триизмерно евклидово пространство в правоъгълни декартови координати операторът nabla се дефинира по следния начин: къде са единичните вектори по осите x, y, z.

Свойства на оператора.Този вектор има смисъл, когато се комбинира със скаларната или векторната функция, към която се прилага. Ако умножите вектора по скалара φ, получавате вектор, който представлява градиента на функцията. Ако един вектор е скаларно умножен по вектор, резултатът е скаларен

т.е. дивергенцията на вектора. Ако умножите по вектор, получавате ротора на вектор:

Забележка: както и за означаване на скаларни и векторни произведения като цяло, когато се използват с оператора nabla, заедно с тези, използвани по-горе, често се използват алтернативни нотации, еквивалентни на тях, например вместо често пишат , и вместо те пишат ; това се отнася и за формулите, дадени по-долу.

Съответно, скаларното произведение е скаларен оператор, наречен оператор на Лаплас. Последният също е обозначен. В декартови координати операторът на Лаплас се дефинира по следния начин: Тъй като операторът nabla е диференциален оператор, при трансформиране на изрази е необходимо да се вземат предвид както правилата на векторната алгебра, така и правилата за диференциране. Например:

Тоест, производната на израз, зависещ от две полета, е сумата от изрази, във всеки от които е диференцирано само едно поле. За удобство на посочване върху кои полета действа nabla, общоприето е, че в произведението на полета и оператори всеки оператор действа върху израза вдясно от него, а не действа върху всичко вляво. Ако от оператора се изисква да действа върху поле отляво, това поле се маркира по някакъв начин, например чрез поставяне на стрелка над буквата: Тази форма на запис обикновено се използва при междинни трансформации. Заради неудобството, те се опитват да се отърват от стрелките в крайния отговор.

№61 Векторни диференциални операции от втори редИзвикват се следните пет операции:

1. където е операторът на Лаплас.

- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -

2

- - - - - - - - - - - - -

3 .

- - - - - - - - - - - - - - - - -

4. Ето векторното количество, получено чрез прилагане на оператора на Лаплас към всяка проекция на вектора.

- - - - - - - - - - - - - - -

Основни свойства на двойния интеграл

Свойствата на двоен интеграл (и тяхното извеждане) са подобни на съответните свойства на единичен определен интеграл.

1°. Адитивност. Ако функцията f(х, г) е интегрируем в домейна ди ако областта дс помощта на крива Жнулевата област е разделена на две свързани области, които нямат общи вътрешни точки д 1 и д 2, след това функцията f(х, г) е интегрируем във всяка от областите д 1 и д 2, и

2°. Линейно свойство. Ако функциите f(х, г) И ж(х, г) са интегрируеми в домейни д, А α И β - всякакви реални числа, тогава функцията [ α · f(х, г) + β · ж(х, г)] също е интегрируем в домейна д, и

3°. Ако функциите f(х, г) И ж(х, г) са интегрируеми в домейни д, тогава произведението на тези функции е интегрируемо в д.

4°. Ако функциите f(х, г) И ж(х, г) и двата са домейн интегрируеми ди навсякъде в тази област f(х, г) ≤ ж(х, г), Че

5°. Ако функцията f(х, г) е интегрируем в домейна д, тогава функцията | f(х, г)| интегрируеми в области д, и

(Разбира се, от интегрируемостта | f(х, г)| V дне следва интегрируемост f(х, г) В д.)

6°. Теорема за средната стойност. Ако и двете функции f(х, г) И ж(х, г) са интегрируеми в домейни д, функция ж(х, г) е неотрицателна (неположителна) навсякъде в този регион, МИ м- точни горни и точни долни граници на функцията f(х, г) в областта д, тогава има число μ , удовлетворяващи неравенството м ≤ μ ≤ Ми така че формулата да е валидна