Ensimmäisen ja toisen tyypin rajaehdot. Raja- ja alkuehdot

U| x=0 = g 1 (t),U| x=l = g 2 (t)

Nämä olosuhteet tarkoittavat fyysisesti sitä, että värähtelymoodit on määritelty päissä.

II. Toisen tyypin rajaehdot

U x | x=0 = g 1 (t), U x | x=l = g 2 (t)

Tällaiset olosuhteet vastaavat sitä tosiasiaa, että voimat on määritelty päissä.

III. Kolmannen tyypin rajaehdot

(U x -σ 1 U)| x=0 = g 1 (t) , (U x –σ 2 U)| x=l = g 2 (t)

Nämä olosuhteet vastaavat päiden elastista kiinnitystä.

Rajaehtoja (5), (6) ja (7) kutsutaan homogeenisiksi, jos oikeanpuoleiset sivut g 1 (t) ja g 2 (t) ovat identtisesti yhtä suuret kuin nolla kaikille t:n arvoille. Jos ainakin yksi oikealla puolella olevista funktioista ei ole nolla, niin reunaehtoja kutsutaan epähomogeenisiksi.

Rajaehdot muotoillaan samalla tavalla kolmen tai neljän muuttujan tapauksessa edellyttäen, että yksi näistä muuttujista on aika. Raja on näissä tapauksissa joko suljettu käyrä Г, joka rajoittaa tietyn tasaisen alueen, tai suljettu pinta Ω, joka rajoittaa alueen avaruudessa. Toisen ja kolmannen tyypin reunaehdoissa esiintyvä funktion derivaatta muuttuu vastaavasti. Tämä on derivaatta suhteessa normaaliin n käyrään Г tasolla tai pintaan Ω avaruudessa, ja pääsääntöisesti otetaan huomioon alueen ulkopuolinen normaali (katso kuva 5).

Esimerkiksi ensimmäisen tyyppinen (homogeeninen) rajaehto tasossa kirjoitetaan muodossa U| Γ =О, avaruudessaU| Ω =0. Toisen lajin rajaehto tasossa on muotoa , ja avaruudessa . Tietenkin näiden olosuhteiden fyysinen merkitys on erilainen eri ongelmissa.

Alku- ja reunaehtoja asetettaessa syntyy ongelmana ratkaisun löytäminen differentiaaliyhtälöön, joka täyttää annetut alku- ja reunaehdot. Aaltoyhtälön (3) tai (4) alkuehdot U(x,0)=φ(x), U t (x,0)=ψ(x) ja ensimmäisen tyyppisten rajaehtojen tapauksessa ( 5), ongelmaa kutsutaan ensimmäinen alkuraja-arvoongelma aaltoyhtälölle. Jos ensimmäisen tyypin reunaehtojen sijasta määritetään toisen tyypin (6) tai kolmannen tyypin ehdot (7), ongelmaa kutsutaan vastaavasti toinen ja kolmas alkuraja-arvoongelma. Jos reunaehdot rajan eri osissa ovat erityyppisiä, niin tällaisia ​​alkuraja-arvoongelmia kutsutaan ns. sekoitettu.

Harkitse kahta tyypillistä sähköstaattista ongelmaa:

1) Etsi sähkökentän potentiaali alkuvarausten tuntemattomalle sijainnille, mutta tietylle sähköpotentiaalille alueen rajoilla. (Esimerkiksi ongelma sähkökentän potentiaalin jakautumisesta, joka syntyy tyhjiöön sijoitettujen ja akkuihin kytkettyjen kiinteiden johtimien järjestelmän avulla. Tässä on mahdollista mitata jokaisen johtimen potentiaali, mutta sitä on erittäin vaikeaa määrittää sähkövarausten jakautumisen johtimissa niiden muodosta riippuen.)

2) Selvitä tietyn sähkövarausten jakauman avaruudessa synnyttämän sähkökentän potentiaali.

On hyvin tunnettua, että suora menetelmä sähkökentän potentiaalin laskemiseksi näissä ongelmissa on ratkaista Laplacen yhtälöt(tehtävä 1)

(1)

Ja Poissonin yhtälöt(tehtävä 2)

. (2)

Yhtälöt (1), (2) kuuluvat osittaisdifferentiaaliyhtälöiden luokkaan elliptinen tyyppi.

Edelleen tarkastellaan vain elliptisten yhtälöiden erikoistapausta kentällä , riippuen kahdesta tilamuuttujasta. On aivan ilmeistä, että ongelman täydelliseksi ratkaisemiseksi yhtälöitä (1), (2) on täydennettävä reunaehdoilla. Rajaehtoja on kolmenlaisia:

1) Dirichletin rajaehdot(:n arvot on määritelty jollakin suljetulla käyrällä (x,y)-tasossa ja mahdollisesti joissakin alueen sisällä sijaitsevissa lisäkäyrissä (kuva 1));

2) Neumannin rajaehdot(rajalla potentiaalin  normaaliderivaata on määritelty);

3) sekoitettu raja-arvoongelma(Potentiaalin  ja sen normaalin derivaatan lineaarinen yhdistelmä määritellään rajalla).

Määrittää kehon pinnan lämpötilan milloin tahansa, eli

T s = T s (x, y, z, t) (2.15)

Riisi. 2.4 – Isoterminen rajaehto.

Riippumatta siitä, kuinka lämpötila kehon sisällä muuttuu, pinnan pisteiden lämpötila noudattaa yhtälöä (2.15).

Lämpötilan jakautumiskäyrällä kehossa (kuva 2.4) kehon rajalla on annettu ordinaat T s , joka saattaa muuttua ajan myötä. Ensimmäisen tyyppisen rajaehdon erikoistapaus on isoterminen rajaehto, jossa kehon pintalämpötila pysyy vakiona koko lämmönsiirtoprosessin ajan:

T s = vakio.

Riisi. 2.5 – Ensimmäisen tyyppinen kunto

Tällaisen kehon tilan kuvittelemiseksi on oletettava, että symmetrisesti kehossa toimivaan lämmönlähteeseen nähden sen ulkopuolella on toinen, kuvitteellinen lämmönlähde, jolla on negatiivinen merkki (ns. jäähdytyselementti). Lisäksi tämän jäähdytyselementin ominaisuudet ovat täsmälleen samat kuin todellisen lämmönlähteen ominaisuudet, ja lämpötilajakauma kuvataan samalla matemaattisella lausekkeella. Näiden lähteiden kokonaisvaikutus johtaa tietyssä tapauksessa vakiolämpötilan muodostumiseen kehon pinnalle T = 0 8C , kun taas kehon sisällä pisteiden lämpötila muuttuu jatkuvasti.

Toisen tyypin rajaehto

Määrittää lämpövuon tiheyden missä tahansa kohdassa kehon pinnalla milloin tahansa, ts.

Fourierin lain mukaan lämpövuon tiheys on suoraan verrannollinen lämpötilagradienttiin. Siksi lämpötilakentällä rajalla on tietty gradientti (kuva b), tietyissä tapauksissa vakiot, kun

Toisen tyyppisen rajaehdon erikoistapaus on adiabaattinen rajatila, jolloin lämmön virtaus kehon pinnan läpi on nolla (kuva 2.6), ts.

Riisi. 2.6 - Toisen tyypin rajatila

Teknisissä laskelmissa on usein tapauksia, joissa lämmön virtaus kappaleen pinnalta on pieni verrattuna rungon sisäisiin virtauksiin. Sitten voimme hyväksyä tämän rajan adiabaattisena. Hitsattaessa tällainen tapaus voidaan esittää seuraavalla kaaviolla (kuva 2.7).

Riisi. 2.7 – Toisen luokan kunto

Pisteessä NOIN lämmönlähde on aktiivinen. Edellytyksen täyttämiseksi, että raja ei päästä lämpöä läpi, on välttämätöntä sijoittaa sama lähde kehon ulkopuolelle, symmetrisesti tähän lähteeseen, kohtaan. O 1 , ja siitä tuleva lämpövirta suunnataan päälähteen virtausta vastaan. Ne kumoavat toisensa, eli raja ei päästä lämpöä läpi. Kuitenkin kappaleen reunan lämpötila on kaksi kertaa korkeampi, jos tämä kappale olisi ääretön. Tätä lämpövirran kompensointimenetelmää kutsutaan heijastusmenetelmäksi, koska tässä tapauksessa lämpöä läpäisemätöntä rajaa voidaan pitää metallista tulevaa lämpövirtaa heijastavana rajana.

Kolmannen lajin rajaehto.

Määrittää ympäristön lämpötilan ja lämmönvaihdon lain kehon pinnan ja ympäristön välillä. Kolmannen lajin rajaehdon yksinkertaisin muoto saadaan, jos lämmönsiirto rajalla annetaan Newtonin yhtälöllä, joka ilmaisee, että rajapinnan läpi kulkevan lämmönsiirron lämpövuon tiheys on suoraan verrannollinen lämpötilaeroon rajapinta ja ympäristö

Kehon sivulta rajapinnalle virtaava lämpövuon tiheys on Fourierin lain mukaan suoraan verrannollinen rajapinnan lämpötilagradienttiin:

Vertaamalla kehosta tulevan lämpövirran lämmönsiirtovirtaukseen saadaan 3. tyyppinen rajaehto:

,

ilmaisee, että lämpötilagradientti rajapinnalla on suoraan verrannollinen kehon pinnan ja ympäristön väliseen lämpötilaeroon. Tämä ehto edellyttää, että lämpötilan jakautumiskäyrän tangentti rajapisteessä kulkee ohjauspisteen kautta NOIN lämpötila sijaitsee kehon ulkopuolella etäisyyden päässä rajapinnasta (kuva 2.8).

Kuva 2.8 – Kolmannen tyypin rajaehto

Kolmannen lajin rajaehdosta voidaan saada erikoistapauksena isoterminen rajaehto. Jos, mikä tapahtuu erittäin suurella lämmönsiirtokertoimella tai erittäin alhaisella lämmönjohtavuuskertoimella, niin:

ja ts. kehon pintalämpötila on vakio koko lämmönsiirtoprosessin ajan ja on yhtä suuri kuin ympäristön lämpötila.

Tuottavaa muodostumaa tai siitä eristettyä osaa voidaan pitää tietynä tila-alueena, jota rajaavat pinnat - rajat. Rajat voivat olla nesteitä tai kaasuja läpäisemättömiä, kuten muodostelman ylä- ja alaosa, viat ja puristuspinnat. Rajapinta on myös pinta, jota pitkin muodostuma on yhteydessä ruokinta-alueeseen (päiväpinnan kanssa, luonnollisen säiliön kanssa), tämä on ns. syöttöpiiri; kaivon seinä on muodostuman sisäraja.

Yhtälöjärjestelmän ratkaisun saamiseksi on tarpeen lisätä alku- ja reunaehdot.

Alkukunnossa koostuu halutun funktion määrittämisestä koko verkkotunnuksessa jossain vaiheessa, alkuperäisenä funktiona. Esimerkiksi, jos haluttu toiminto on säiliön paine, niin alkutilalla voi olla muoto

Reunaehdot asetetaan muodostuman rajoilla. Rajaehtojen lukumäärän on oltava yhtä suuri kuin differentiaaliyhtälön järjestys koordinaatteina.

Seuraavat reunaehdot ovat mahdollisia.

Ensimmäisen tyyppiset rajaehdot. Rajalla painearvot asetetaan:

Koska Darcyn lain mukaan suodatusnopeus on suhteessa painegradienttiin, tämä rajaehto voidaan kirjoittaa seuraavassa muodossa:

Tarkastellaanpa reunaehtoja, kun kyseessä on sisäänvirtaus galleriaan. Galleriassa on kaksi rajaa, yksi x = 0 , ja toinen (virtapiiri) x = L . Siksi jokaiselle rajalle on asetettava yksi rajaehto. Vakiopainetila tai rajatiiviyden tila asetetaan syöttöpiiriin

Suodatusnopeus on suhteessa painegradienttiin, joten toinen rajaehto kirjoitetaan seuraavasti:

Toinen rajaehto voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Suodatusnopeus on suhteessa painegradienttiin, joten toinen rajaehto kirjoitetaan seuraavasti:

Alku- ja reunaehdot. Olennainen ja tärkein elementti minkä tahansa jatkuvan mekaniikan ongelman muotoilussa on alku- ja reunaehtojen muotoilu. Niiden merkityksen määrittää se, että yksi tai toinen yhtälöjärjestelmä kuvaa vastaavan muotoaan muuttavan väliaineen kokonaista liikeluokkaa, ja vain tutkittavaa prosessia vastaavien alku- ja reunaehtojen asettaminen mahdollistaa tämän luokasta valinnan kiinnostavaa erityistapausta, joka vastaa ratkaistavaa käytännön ongelmaa.

Alkuehdot ovat ehtoja, jotka asettavat haluttujen ominaisfunktioiden arvot sillä hetkellä, kun tutkittavan prosessin tarkastelu alkaa. Määritettyjen alkuehtojen lukumäärä määräytyy ratkaisevayhtälöjärjestelmän sisältämien tärkeimpien tuntemattomien funktioiden lukumäärän sekä tähän järjestelmään sisältyvän korkeamman aikaderivaatan järjestyksen mukaan. Esimerkiksi ihanteellisen nesteen tai ihanteellisen kaasun adiabaattista liikettä kuvaa kuuden yhtälön järjestelmä, jossa on kuusi tärkeintä tuntematonta - kolme nopeusvektorin komponenttia, paine, tiheys ja ominaissisäenergia, kun taas aikaderivaatat nämä fyysiset määrät eivät ylitä ensimmäistä järjestystä. Vastaavasti näiden kuuden fyysisen suuren alkukentät on määritettävä alkuehdoksi: t =0,. Joissakin tapauksissa (esimerkiksi dynaamisessa elastisuusteoriassa) yhtälön ratkaisemisjärjestelmän tärkeimpinä tuntemattomina ei käytetä nopeusvektorin komponentteja, vaan siirtymävektorin komponentteja, ja liikeyhtälö sisältää toisen -asettaa siirtymäkomponenttien derivaatat, mikä edellyttää kahden alkuehdon asettamisen halutulle funktiolle: t = 0

Continuum-mekaniikan ongelmia asetettaessa rajaehdot määritellään monimutkaisemmin ja monipuolisemmin. Rajaehdot ovat ehtoja, jotka määrittelevät haettujen funktioiden arvot (tai niiden johdannaiset koordinaattien ja ajan suhteen) muotoaan muuttavan väliaineen miehittämän alueen pinnalla S. Rajaehtoja on useita tyyppejä: kinemaattiset, dynaamiset, seka- ja lämpötilaolosuhteet.

Kinemaattiset reunaehdot vastaavat tapausta, jossa kappaleen (tai sen osan) pinnalla S on määritelty siirtymät tai nopeudet, joissa on pinnan S pisteiden koordinaatit, jotka yleensä vaihtelevat ajasta riippuen.

Dynaamiset rajaehdot (tai jännitysrajaehdot) määritetään, kun pintavoimat p vaikuttavat pintaan S. Kuten jännitysteoriasta seuraa, tässä tapauksessa millä tahansa alkeispinta-alalla, jolla on yksikkönormaalivektori n, ominaispintavoimien vektori pn asettaa väkisin kokonaisjännitysvektorin?n = pn, joka vaikuttaa jatkuvassa väliaineessa pisteen pisteessä. annettu pinta-ala, mikä johtaa tässä pisteessä olevien tensorijännitysten (?) suhteeseen pintavoimaan ja vastaavan pinta-alan vektorin n orientaatioon: (?) · n = pn tai.

Sekareunaehdot vastaavat tapausta, jossa pinnalla S määritellään sekä kinemaattisten että dynaamisten suureiden arvot tai muodostetaan niiden välisiä suhteita.

Lämpötilarajaehdot on jaettu useisiin ryhmiin (sukuun). Ensimmäisen tyyppiset rajaolosuhteet asettavat tietyt lämpötilan T arvot muotoutuvan väliaineen pinnalle. Toisen tyypin rajaolosuhteet asettavat lämpövirtausvektorin q rajalle, mikä, kun otetaan huomioon lämmönjohtavuuden Fourier-laki. , q = -- ? grad T asettaa olennaisesti rajoituksia lämpötilajakauman luonteelle rajapisteen läheisyydessä. Kolmannen tyyppiset rajaolosuhteet määrittävät ympäristöstä tiettyyn väliaineeseen suunnatun lämpövirtausvektorin q ja näiden väliaineiden välisen lämpötilaeron jne.

On huomattava, että useimpien nopeiden prosessien fysiikan ongelmien muotoilu ja ratkaisu suoritetaan pääsääntöisesti adiabaattisessa approksimaatiossa, joten lämpötilan rajaehtoja käytetään melko harvoin erilaisissa yhdistelmissä. Tarkastellaan mahdollisia vaihtoehtoja reunaehtojen asettamiseen tietyn esimerkin avulla.

Kuvassa Kuvio 3 esittää kaavamaisesti vuorovaikutusprosessia, kun muotoaan muuttava kappale I läpäisee muotoaan muuttavan esteen II. Runkoa I rajoittavat pinnat S1 ja S5 ja runkoa II pinnat S2, S3, S4, S5. Pinta S5 on rajapinta vuorovaikutuksessa olevien muotoaan muuttavien kappaleiden välillä. Oletetaan, että kappaleen I liike ennen vuorovaikutuksen alkamista sekä sen prosessin aikana tapahtuu nesteessä, joka luo tietyn hydrostaattisen paineen

Kuva 3

ja määrittävät molempien kappaleiden ulkopuoliset pintavoimat pn = -- pn = -- pni ri, jotka vaikuttavat mihin tahansa esteen II rungon I ja S2 pintojen S1 alkeisalueisiin, jotka rajaavat nestettä. Oletetaan myös, että esteen pinta Sz on jäykästi kiinnitetty ja pinta S4 on vapaa pintavoimien vaikutuksesta (рп = 0).

Annetussa esimerkissä kaikkien kolmen päätyypin reunaehdot on määritettävä erilaisille pinnoille, jotka rajoittavat muotoaan muuttavia aineita I ja II. On selvää, että jäykästi kiinnitetylle pinnalle Sз on tarpeen asettaa kinemaattiset rajaehdot: tai S4-esteen pinnan jännitystensorin komponentit eivät myöskään voi olla mielivaltaisia, vaan ne ovat yhteydessä sen perusalueiden orientaatioon? kuten.

Vuorovaikutteisten muotoaan muuttavien väliaineiden rajapinnan (pinta S5) rajaolosuhteet ovat monimutkaisimmat ja liittyvät sekatyyppisiin olosuhteisiin, jotka puolestaan ​​sisältävät kinemaattisia ja dynaamisia osia (katso kuva 3). Sekoitettujen rajaehtojen kinemaattinen osa asettaa rajoituksia molempien väliaineiden yksittäisten pisteiden liikenopeudelle, jotka ovat kosketuksessa pinnan S5 kussakin tilapisteessä. Näiden rajoitusten asettamiseen on kaksi mahdollista vaihtoehtoa, jotka esitetään kuvassa. 4, a ja b. Yksinkertaisimman ensimmäisen vaihtoehdon mukaan oletetaan, että minkä tahansa kahden yksittäisen kosketuspisteen liikenopeudet ovat samat (? = ?) - tämä on ns. tarttumistila tai hitsaustila (ks. 4, a). Monimutkaisempi ja samalla sopivampi tarkasteltavalle prosessille on asettaa ehto "läpäisemättömyys" tai "ei vuoda" (? · n= ? · n; katso kuva 4, b), mikä vastaa kokeellisesti vahvistettua tosiasiaa: vuorovaikutuksessa olevat muotoaan muuttavat väliaineet eivät voi tunkeutua

Kuva 4

toisiinsa tai jäädä jäljessä, vai voivatko ne liukua suhteessa toisiinsa vauhdilla? - ?, suunnattu tangentiaalisesti rajapintaan ((?I - ?II) · n = 0). Sekoitettujen rajaehtojen dynaaminen osa kahden väliaineen rajapinnassa on muotoiltu Newtonin kolmannen lain perusteella käyttämällä jännitysteorian suhteita (kuva 4, c). Näin ollen kummassakin kosketuksessa olevan deformoituvan väliaineen I ja II yksittäisessä hiukkasessa toteutuu oma jännitystila, jolle on tunnusomaista jännitystensorit (a) I ja (a) II. Lisäksi väliaineessa I kullakin perusalueella rajapinnan yksikkönormaalivektorin nII kanssa, joka on tietyn väliaineen ulkopuolella, kokonaisjännitevektori vaikuttaa?nI = (?)·nI. Väliaineessa II, samalla alueella, mutta yksikkönormaalivektorilla nII, tämän väliaineen ulkopuolella, vaikuttaa kokonaisjännitysvektori nII = (?)II · nII. Kun otetaan huomioon toiminnan ja reaktion vastavuoroisuus?nI = - ? n II, samoin kuin ilmeinen ehto nI = --nII = n, muodostuu suhde jännitystensorien välille molemmissa vuorovaikutuksessa niiden rajapinnassa: (?)I · p = (?) II · p tai (?ijI) - ?ijII) nj = 0. Mahdolliset vaihtoehdot reunaehtojen määrittämiseksi eivät rajoitu tarkasteltuun esimerkkiin. Vaihtoehtoja alku- ja reunaehtojen määrittämiseen on yhtä monta kuin luonnossa ja tekniikassa on monia vuorovaikutusprosesseja deformoituvien kappaleiden tai väliaineiden välillä. Ne määräytyvät ratkaistavan käytännön ongelman ominaisuuksien perusteella ja ne asetetaan edellä annettujen yleisten periaatteiden mukaisesti.

Yksi liikeyhtälö (1.116) ei riitä fysikaalisen prosessin matemaattiseen kuvaamiseen. Prosessin yksiselitteistä määritelmää varten on tarpeen muotoilla riittävät ehdot. Kun tarkastellaan merkkijonovärähtelyn ongelmaa, lisäehtoja voi olla kahta tyyppiä: alku ja raja (reuna).

Muotoilkaamme lisäehdot merkkijonolle, jolla on kiinteät päät. Koska pituuden merkkijonon päät ovat kiinteät, niiden poikkeamien pisteissä ja on oltava yhtä suuria kuin nolla mille tahansa:

, .

(1.119)

Ehdot (1.119) kutsutaan rajaviiva ehdot; ne osoittavat, mitä tapahtuu merkkijonon päissä värähtelyprosessin aikana.

Ilmeisesti värähtelyprosessi riippuu siitä, kuinka merkkijono saatetaan pois tasapainosta. On helpompaa olettaa, että merkkijono alkoi värähtelemään aikanaan. Alkuhetkellä merkkijonon kaikille pisteille annetaan joitain siirtymiä ja nopeuksia:

,

, ,

(1.120)

missä ja niille annetaan toimintoja.

Ehdot (1.120) kutsutaan alkukirjain ehdot.

Joten merkkijonovärähtelyjen fysikaalinen ongelma on pelkistetty seuraavaan matemaattiseen ongelmaan: löytää yhtälöön (1.116) (tai (1.117) tai (1.118)) ratkaisu, joka täyttäisi reunaehdot (1.119) ja alkuehdot ( 1,120). Tätä ongelmaa kutsutaan sekaraja-arvoongelmaksi, koska se sisältää sekä raja- että alkuehdot. On todistettu, että funktioille ja tietyissä rajoituksissa sekaongelmalla on ainutlaatuinen ratkaisu.

Osoittautuu, että ongelma (1.116), (1.119), (1.120) vähentää merkkijonojen värähtelyongelman lisäksi monia muita fyysisiä ongelmia: elastisen tangon pitkittäisvärähtelyt, akselin vääntövärähtelyt, nesteiden ja kaasujen värähtelyt putkessa jne.

Reunaehtojen (1.119) lisäksi muun tyyppiset reunaehdot ovat mahdollisia. Yleisimmät ovat seuraavat:

minä , ;

II. , ;

III. , ,

jossa , ovat tunnetut funktiot, ja , ovat tunnettuja vakioita.

Annettuja reunaehtoja kutsutaan vastaavasti ensimmäisen, toisen ja kolmannen tyyppisiksi reunaehdoksi. Edellytykset I esiintyvät, jos esineen (merkkijono, sauva jne.) päät liikkuvat tietyn lain mukaan; ehdot II – jos päihin kohdistetaan määrättyjä voimia; Edellytykset III – jos päissä on elastinen kiinnitys.

Jos yhtälöiden oikealla puolella määritetyt funktiot ovat nolla, niin reunaehdot ovat ns. homogeeninen. Siten reunaehdot (1.119) ovat homogeeniset.

Yhdistämällä lueteltuja erityyppisiä reunaehtoja saadaan kuusi tyyppiä yksinkertaisimpia raja-arvoongelmia.

Toinen ongelma voidaan esittää yhtälölle (1.116). Olkoon kielen riittävän pitkä ja olemme kiinnostuneita sen pisteiden värähtelyistä, jotka ovat riittävän kaukana päistä ja lyhyen ajan kuluessa. Tässä tapauksessa päissä olevalla tilalla ei ole merkittävää vaikutusta, eikä sitä siksi oteta huomioon; merkkijonoa pidetään äärettömänä. Täydellisen ongelman sijaan raja-ongelma asetetaan alkuehdoilla rajattomalle alueelle: etsi ratkaisu yhtälöön (1.116) kohteelle , joka täyttää alkuehdot:

, .