Muutokset hitausmomenteissa akselien rinnakkaissiirron aikana. Leikkauksen hitausmomenttien määritys akselien rinnakkaissiirrossa Steiner-Huygensin lause akselien rinnakkaissiirrosta

Usein käytännön ongelmia ratkaistaessa on tarpeen määrittää poikkileikkauksen hitausmomentit suhteessa akseleihin, jotka on suunnattu eri tavoin sen tasossa. Tässä tapauksessa on kätevää käyttää jo tunnettuja koko osan (tai sen yksittäisten rakenneosien) hitausmomenttien arvoja suhteessa muihin akseleihin, jotka on annettu teknisessä kirjallisuudessa, erityisissä hakukirjoissa ja taulukoissa sekä laskettuna käytettävissä olevilla kaavoilla. Siksi on erittäin tärkeää selvittää saman leikkauksen hitausmomenttien väliset suhteet eri akseleihin nähden.

Yleisimmässä tapauksessa siirtymistä mistä tahansa vanhasta mihin tahansa uuteen koordinaattijärjestelmään voidaan pitää kaksi peräkkäistä vanhan koordinaattijärjestelmän muunnosa:

1) siirtämällä koordinaattiakseleita rinnakkain uuteen paikkaan ja

2) kiertämällä niitä suhteessa uuteen alkuperään. Tarkastellaan ensimmäistä näistä muunnoksista, eli koordinaattiakselien rinnakkaiskäännöstä.

Oletetaan, että tietyn poikkileikkauksen hitausmomentit suhteessa vanhoihin akseleihin (kuva 18.5) tunnetaan.

Otetaan uusi koordinaattijärjestelmä, jonka akselit ovat samansuuntaiset edellisten kanssa. Merkitään a ja b pisteen (eli uuden origon) koordinaatit vanhassa koordinaatistossa

Tarkastellaan perusalustaa Sen koordinaatit vanhassa koordinaattijärjestelmässä ovat yhtä kuin y ja . Uudessa järjestelmässä ne ovat tasa-arvoisia

Korvataan nämä koordinaattiarvot aksiaalisen hitausmomentin lausekkeeseen suhteessa akseliin

Tuloksena olevassa lausekkeessa hitausmomentti, leikkauksen staattinen momentti suhteessa akseliin, on yhtä suuri kuin leikkauksen pinta-ala F.

Siten,

Jos z-akseli kulkee leikkauksen painopisteen läpi, niin staattinen momentti ja

Kaavasta (25.5) käy selvästi ilmi, että hitausmomentti minkä tahansa akselin suhteen, joka ei kulje painopisteen kautta, on suurempi kuin hitausmomentti painopisteen läpi kulkevan akselin ympäri aina positiivisella määrällä. Tästä johtuen kaikista samansuuntaisiin akseleihin kohdistuvista hitausmomenteista aksiaalisella hitausmomentilla on pienin arvo suhteessa leikkauksen painopisteen kautta kulkevaan akseliin.

Hitausmomentti akselin ympäri [analogisesti kaavan (24.5) kanssa]

Erityisessä tapauksessa, kun y-akseli kulkee osan painopisteen läpi

Kaavoja (25.5) ja (27.5) käytetään laajalti laskettaessa monimutkaisten (komposiittisten) poikkileikkausten aksiaaliset hitausmomentit.

Korvataan nyt arvot akseleiden keskipakohitausmomentin lausekkeeseen

2. Poikkileikkausalan staattiset momentit suhteessa akseleihin Oz Ja vai niin(cm 3, m 3):

4. Leikkauksen keskipakohitausmomentti suhteessa akseleihin Oz Ja Oy(cm 4, m 4):

Siitä lähtien

Aksiaalinen Jz Ja Jy ja napainen J p hitausmomentit ovat aina positiivisia, koska toisen potenssin koordinaatit ovat integraalimerkin alla. Staattisia hetkiä Sz Ja S y, sekä keskipakohitausmomentti J zy voi olla sekä positiivista että negatiivista.

Valssatun teräksen valikoima kulmille antaa keskipakomomenttien arvot modulo. Niiden arvot tulee syöttää laskelmaan etumerkki huomioiden.

Kulman keskipakomomentin etumerkin määrittämiseksi (kuva 3.2) kuvittelemme sen henkisesti kolmen integraalin summana, jotka lasketaan erikseen koordinaattijärjestelmän neljänneksissä sijaitseville leikkauksen osille. On selvää, että ensimmäisellä ja kolmannella vuosineljänneksellä sijaitseville osille meillä on tämän integraalin positiivinen arvo, koska tuote zydA on positiivinen ja II ja IV neljänneksillä sijaitseville osille lasketut integraalit ovat negatiivisia (tulo zydA tulee olemaan negatiivinen). Siten kuvan kulmalle. 3.2, ja keskipakohitausmomentin arvo on negatiivinen.

Päättelemällä samalla tavalla osuutta, jolla on ainakin yksi symmetria-akseli (kuva 3.2,b), voimme päätellä, että keskipakohitausmomentti J zy on nolla, jos yksi akseleista (Oz tai Oy) on leikkauksen symmetria-akseli. Itse asiassa 1. ja 2. neljänneksellä sijaitsevien kolmion osien keskipakohitausmomentit eroavat vain etumerkistä. Samaa voidaan sanoa osista, jotka ovat III ja IV neljänneksillä.

Staattisia hetkiä. Painopisteen määrittäminen

Lasketaan staattiset momentit akseleista Oz Ja vai niin kuvassa näkyvä suorakulmio. 3.3.

Kuva 3.3. Kohti staattisten momenttien laskemista

Tässä: A- poikkileikkauksen pinta-ala, y C Ja z C– sen painopisteen koordinaatit. Suorakulmion painopiste on diagonaalien leikkauspisteessä.

On selvää, että jos akselit, joiden ympärille staattiset momentit lasketaan, kulkevat kuvion painopisteen läpi, niin sen koordinaatit ovat nolla ( z C = 0, y C= 0), ja kaavan (3.6) mukaisesti staattiset momentit ovat myös nolla. Täten, Leikkauksen painopiste on piste, jolla on seuraava ominaisuus: staattinen momentti minkä tahansa sen läpi kulkevan akselin ympäri,yhtä suuri kuin nolla.

Kaavojen (3.6) avulla voimme löytää painopisteen koordinaatit z C Ja y C monimutkaisen muotoisia osia. Jos osa voidaan esittää muodossa n osat, joiden painopisteiden alueet ja sijainnit tunnetaan, niin koko leikkauksen painopisteen koordinaattien laskenta voidaan kirjoittaa muodossa:

.

(3.7)

Muuttuvat hitausmomentit akselien rinnakkaissiirron aikana

Olkoon hitausmomentit tiedossa Jz, Jy Ja J zy suhteessa akseleihin Oyz. On tarpeen määrittää hitausmomentit JZ, JY Ja JZY suhteessa akseleihin O 1 YZ, yhdensuuntainen akselien kanssa Oyz(kuva 3.4) ja erotettu niistä kaukaa a(vaakasuuntaisesti) ja b(pystysuoraan)

Kuva 3.4. Muuttuvat hitausmomentit akselien rinnakkaissiirron aikana

Alkeispaikan koordinaatit dA liittyvät toisiinsa seuraavilla yhtäläisyyksillä: Z = z + a; Y = y + b.

Lasketaan hitausmomentit JZ, JY Ja JZY.

(3.8)

(3.9)

(3.10)

Jos kohta O akselin leikkauspisteet Oyz osuu yhteen asian kanssa KANSSA– profiilin painopiste (kuva 3.5) staattiset momentit Sz Ja S y tulee yhtä suureksi kuin nolla, ja kaavat yksinkertaistetaanY i ja Z i on otettava huomioon merkit. Koordinaatit eivät vaikuta aksiaalisiin hitausmomentteihin (koordinaatit nostetaan toiseen potenssiin), mutta koordinaatilla on merkittävä vaikutus keskipakohitausmomentiin (tulo Z i Y i A i voi osoittautua negatiiviseksi).

Jos akselit ovat keskellä, momenttiakselit näyttävät tältä:

15.Riippuvuus välillä hitausmomentteja akseleita käännettäessä:

J x 1 = J x cos 2a + J y sin 2 a - J xy sin2a; J y 1 = J y cos 2 a + J x sin 2 a + J xy sin2a;

J x 1 y1 = (J x - J y)sin2a + J xy cos2a;

Kulma a>0, jos siirtyminen vanhasta koordinaatistosta uuteen tapahtuu vastapäivään. J y 1 + J x 1 = J y + J x

Hitausmomenttien ääriarvoja (maksimi- ja minimiarvoja) kutsutaan tärkeimmät hitausmomentit. Akseleita, joiden aksiaalisilla hitausmomenteilla on ääriarvot, kutsutaan päähitausakselit. Päähitausakselit ovat keskenään kohtisuorassa. Keskipakohitausmomentit pääakseleiden ympärillä = 0, ts. päähitausakselit - akselit, joiden ympärillä oleva keskipakohitausmomentti = 0. Jos yksi akseleista osuu yhteen tai molemmat osuvat yhteen symmetria-akselin kanssa, ne ovat pääasiallisia. Pääakseleiden sijainnin määrittelevä kulma: , jos a 0 >0 Þ akselit pyörivät vastapäivään. Maksimiakseli muodostaa aina pienemmän kulman sen akselin kanssa, johon nähden hitausmomentti on suurempi. Painopisteen läpi kulkevia pääakseleita kutsutaan päähitausakselit. Hitausmomentit näistä akseleista:

J max + J min = J x + J y. Keskipakohitausmomentti suhteessa päähitausakseleihin on yhtä suuri kuin 0. Jos päähitausmomentit tunnetaan, kierrettyihin akseleihin siirtymisen kaavat ovat:

J x 1 = J max cos 2 a + J min sin 2 a; J y 1 = J max cos 2 a + J min sin 2 a; J x 1 y1 = (J max - J min)sin2a;

Leikkauksen geometristen ominaisuuksien laskennan perimmäisenä tavoitteena on määrittää keskeiset hitausmomentit ja keskeisten hitausakselien sijainti. Hitaussäde - ; Jx=F×ix2, Jy=F×i y2.

Jos J x ja J y ovat päähitausmomentit, niin i x ja i y - päähitaussäteet. Ellipsiä, joka on rakennettu päähitaussäteille kuten puoliakseleille, kutsutaan inertian ellipsi. Hitausellipsiä käyttämällä voit löytää graafisesti hitaussäteen i x 1 mille tahansa akselille x 1. Tätä varten sinun on piirrettävä tangentti ellipsiin, yhdensuuntainen x1-akselin kanssa, ja mitattava etäisyys tästä akselista tangenttiin. Kun tiedät hitaussäteen, voit löytää leikkauksen hitausmomentin suhteessa x-akseliin 1: . Leikkauksilla, joissa on enemmän kuin kaksi symmetria-akselia (esimerkiksi: ympyrä, neliö, rengas jne.), kaikkien keskiakseleiden aksiaaliset hitausmomentit ovat keskenään yhtä suuret, J xy = 0, hitausellipsi muuttuu hitausympyrä.

Annettu: kuvion hitausmomentit suhteessa z-, y-akseleihin; näiden ja yhdensuuntaisten akselien väliset etäisyydet z 1, y 1 – a, b.

Määritä: hitausmomentit z 1, y 1 -akseleiden ympärillä (kuva 4.7).

Minkä tahansa pisteen koordinaatit uudessa järjestelmässä z 1 Oy 1 voidaan ilmaista vanhan järjestelmän koordinaattien avulla seuraavasti:

z 1 = z + b, y 1 = y + a.

Korvaamme nämä arvot kaavoihin (4.6) ja (4.8) ja integroimme termi kerrallaan:

Kaavojen (4.1) ja (4.6) mukaisesti saamme

,

, (4.13)

Jos zCy-akselin alkutiedot ovat keskeisiä, niin staattiset momentit S z ja

S y ovat nolla ja kaavat (4.13) yksinkertaistetaan:

,

, (4.14)

.

Esimerkki: määritä suorakulmion aksiaalinen hitausmomentti suhteessa kannan läpi kulkevaan z 1 -akseliin (kuva 4.6, a). Kaavan (4.14) mukaan

4.4 Hitausmomenttien välinen riippuvuus akseleita käännettäessä

Annettu: mielivaltaisen kuvion hitausmomentit suhteessa koordinaattiakseleihin z, y; näiden akselien kiertokulma α (kuva 4.8). Pidämme vastapäivään pyörimiskulmaa positiivisena.

Määritä: kuvion hitausmomentit suhteessa z 1:een, y 1:een.

Satunnaisen alkeisalueen dF koordinaatit uusissa akseleissa ilmaistaan ​​edellisen akselijärjestelmän koordinaattien kautta seuraavasti:

z 1 = OB = OE + EB = OE + DC = zcos α + ysin α,

y 1 = AB = AC – BC = AC – ED = ycos α – zsin α.

Korvataan nämä arvot arvoiksi (4.6) ja (4.8) ja integroidaan termi kerrallaan:

,

,

Kun otetaan huomioon kaavat (4.6) ja (4.8), löydämme lopulta:

. (4.16)

Lisäämällä kaavat (4.15) saadaan: (4.17)

Täten, kun akselit pyörivät, aksiaalisten hitausmomenttien summa pysyy vakiona. Tässä tapauksessa jokainen niistä muuttuu kaavojen (4.15) mukaisesti. On selvää, että jossain akselin kohdassa hitausmomentilla on ääriarvot: yksi niistä on suurin, toinen pienin.

4.5. Pääakselit ja päähitausmomentit

Suurin käytännön merkitys on tärkeimmillä keskusakseleilla, joiden keskipakohitausmomentti on nolla. Tällaisia ​​akseleita merkitään kirjaimilla u, υ. Näin ollen J uυ = 0. Alkuperäistä mielivaltaista koordinaattijärjestelmää z, y on käännettävä sellaisella kulmalla α 0, että keskipakohitausmomentiksi tulee nolla. Yhdistämällä (4.16) nollaan saadaan

. (4.18)

Osoittautuu, että hitausmomenttien teoriaa ja tasojännitystilan teoriaa kuvataan samalla matemaattisella laitteistolla, koska kaavat (4.15) – (4.18) ovat identtisiä kaavojen (3.10), (3.11) ja (3.18) kanssa. Vain normaalijännitysten σ sijasta kirjataan aksiaaliset hitausmomentit J z ja J y ja tangentiaalisten jännitysten sijasta τ zy - keskipakohitausmomentti J zy. Siksi esitämme kaavat pääaksiaalisille hitausmomenteille ilman johtamista analogisesti kaavojen (3.18) kanssa:

.(4.19)

(4.18):sta saadut kulman α 0 kaksi arvoa eroavat toisistaan ​​90 0, pienempi näistä kulmista ei ylitä 45 0 absoluuttisena arvona.

Hitaussäde ja vastusmomentti

Kuvan hitausmomentti suhteessa mihin tahansa akseliin voidaan esittää kuvion pinta-alan tulona tietyn suuren neliöllä, ns. pyörimissäde:

, (4.20)

missä i z on pyörityksen säde suhteessa z-akseliin.

Lausekkeesta (4.20) seuraa, että

,
. (4.21)

Päähitausakselit vastaavat päähitaussäteitä

,
. (4.22)

Kun tiedät päähitaussäteet, voit löytää graafisesti hitaussäteen (ja siten hitausmomentin) suhteessa mielivaltaiseen akseliin.

Tarkastellaan toista geometristä ominaisuutta, joka luonnehtii tangon lujuutta vääntöä ja taivutusta varten - vastustuksen hetki. Vastusmomentti on yhtä suuri kuin hitausmomentti jaettuna etäisyydellä akselista (tai navasta) leikkauksen kaukaisimpaan pisteeseen. Vastusmomentin mitta on kuutiopituuden yksikkö (cm 3).

Suorakulmiolle (Kuva 4.6, a)
,
, siis aksiaaliset vastusmomentit

,
. (4.23)

Piirille
(Kuva 4.6, b),
, siis polaarinen vastusmomentti

. (4.24)

Piirille
,
, siis aksiaalinen vastusmomentti

. (4.25)

Otetaan käyttöön karteesinen suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä O xy . Tarkastellaan mielivaltaista leikkausta (suljettua aluetta), jonka alue A on koordinaattitasossa (kuva 1).

Staattisia hetkiä

Piste C koordinaatteineen (x C , y C)

nimeltään osan painopiste.

Jos koordinaattiakselit kulkevat leikkauksen painopisteen läpi, leikkauspisteen staattiset momentit ovat nolla:

Aksiaaliset hitausmomentit osia suhteessa x- ja y-akseleihin kutsutaan muodon integraaleiksi:

Napainen hitausmomentti Koordinaattien alkupisteeseen liittyvää osaa kutsutaan muodon integraaliksi:

Keskipakohitausmomentti osaa kutsutaan muodon integraaliksi:

Leikkauksen päähitausakselit kutsutaan kahta keskenään kohtisuoraa akselia, joiden suhteen I xy = 0. Jos toinen keskenään kohtisuorassa olevista akseleista on leikkauksen symmetria-akseli, niin I xy =0 ja siksi nämä akselit ovat pääakselit. Leikkauksen painopisteen läpi kulkevia pääakseleita kutsutaan osan päähitausakselit

2. Steiner-Huygensin lause akselien rinnakkaissiirrosta

Steiner-Huygensin lause (Steinerin lause).
Leikkauksen I aksiaalinen hitausmomentti mielivaltaisen kiinteän akselin x suhteen on yhtä suuri kuin tämän osan I aksiaalisen hitausmomentin summa, kun suhteellinen akseli x * kulkee sen kanssa yhdensuuntaisena, kulkee osan massakeskipisteen kautta, ja poikkileikkausalan A tulo kahden akselin välisen etäisyyden d neliöllä.

Jos hitausmomentit I x ja I y suhteessa x- ja y-akseleihin tunnetaan, niin suhteessa ν- ja u-akseleihin, jotka on kierretty kulmalla α, lasketaan aksiaaliset ja keskipakoiset hitausmomentit kaavojen avulla:

Yllä olevista kaavoista on selvää, että

Nuo. aksiaalisten hitausmomenttien summa keskenään kohtisuorassa olevien akselien pyöriessä ei muutu, eli u- ja v-akselit, joihin nähden poikkileikkauksen keskipakohitausmomentti on nolla, ja aksiaaliset hitausmomentit I u ja I v ovat äärimmäisiä arvoja max tai min, kutsutaan osan pääakseleiksi. Leikkauksen painopisteen läpi kulkevia pääakseleita kutsutaan osion pääakselit. Symmetrisillä osilla niiden symmetria-akselit ovat aina keskeisiä pääakseleita. Leikkauksen pääakseleiden sijainti suhteessa muihin akseleihin määritetään käyttämällä suhdetta:

missä α 0 on kulma, jolla x- ja y-akseleita on käännettävä niin, että niistä tulee pääakselit (positiivinen kulma asetetaan yleensä vastapäivään, negatiivinen kulma myötäpäivään). Pääakseleiden aksiaaliset hitausmomentit ovat nimeltään tärkeimmät hitausmomentit:

Plus-merkki toisen termin edessä viittaa maksimihitausmomenttiin, miinusmerkki minimiin.