Edellytys yhdensuuntaisille viivoille avaruudessa. Rinnakkaisviivat, merkit ja yhdensuuntaisten viivojen ehdot

TASOJEN VÄLINEN KULMA

Tarkastellaan kahta tasoa α 1 ja α 2, jotka määritetään vastaavasti yhtälöillä:

Alla kulma kahden tason välillä ymmärrämme yhden näiden tasojen muodostamista dihedraalisista kulmista. On selvää, että normaalivektorien ja tasojen α 1 ja α 2 välinen kulma on yhtä suuri kuin jokin osoitetuista vierekkäisistä dihedraalisista kulmista tai . Siksi . Koska Ja , Tuo

.

Esimerkki. Määritä tasojen välinen kulma x+2y-3z+4=0 ja 2 x+3y+z+8=0.

Kahden tason yhdensuuntaisuuden ehto.

Kaksi tasoa α 1 ja α 2 ovat yhdensuuntaisia ​​silloin ja vain jos niiden normaalivektorit ovat yhdensuuntaisia, ja siksi .

Joten kaksi tasoa ovat yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa, jos ja vain, jos vastaavien koordinaattien kertoimet ovat verrannollisia:

tai

Tasojen kohtisuoran ehto.

On selvää, että kaksi konetta ovat kohtisuorassa silloin ja vain, jos niiden normaalivektorit ovat kohtisuorassa, ja siksi tai .

Täten, .

Esimerkkejä.

SUORAAN AVARUUSSA.

VEKTORIN YHTÄLÖ JOHDOLLE.

PARAMETRISET SUORAT YHTÄLÖT

Viivan sijainti avaruudessa määritetään täysin määrittämällä mikä tahansa sen kiinteä piste M 1 ja tämän suoran suuntainen vektori.

Suoran suuntaista vektoria kutsutaan oppaita tämän viivan vektori.

Joten anna suoran linjan l kulkee pisteen läpi M 1 (x 1 , y 1 , z 1), makaa linjalla, joka on yhdensuuntainen vektorin kanssa.

Harkitse mielivaltaista kohtaa M(x,y,z) suoralla linjalla. Kuvasta käy selväksi, että .

Vektorit ja ovat kollineaarisia, joten on olemassa sellainen luku t, mitä , missä on kerroin t voi ottaa minkä tahansa numeerisen arvon pisteen sijainnista riippuen M suoralla linjalla. Tekijä t kutsutaan parametriksi. Määritettyään pisteiden sädevektorit M 1 ja M vastaavasti kautta ja , saamme . Tätä yhtälöä kutsutaan vektori suoran yhtälö. Se osoittaa, että jokaiselle parametriarvolle t vastaa jonkin pisteen sädevektoria M, makaa suoralla linjalla.

Kirjoitetaan tämä yhtälö koordinaattimuotoon. Huomaa, että , ja täältä

Tuloksena olevia yhtälöitä kutsutaan parametrinen suoran yhtälöt.

Kun muutat parametria t koordinaatit muuttuvat x, y Ja z ja kausi M liikkuu suorassa linjassa.

SUORAN KANONISET YHTÄLÖT

Antaa M 1 (x 1 , y 1 , z 1) – suoralla viivalla oleva piste l, Ja on sen suuntavektori. Otetaan jälleen mielivaltainen piste viivalla M(x,y,z) ja harkitse vektoria .

On selvää, että vektorit ovat myös kollineaarisia, joten niiden vastaavien koordinaattien on oltava verrannollisia, joten

– kanoninen suoran yhtälöt.

Huomautus 1. Huomaa, että suoran kanoniset yhtälöt voidaan saada parametrisista poistamalla parametri t. Todellakin, saamistamme parametriyhtälöistä tai .

Esimerkki. Kirjoita ylös suoran yhtälö parametrisessa muodossa.

Merkitään , täältä x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Muistio 2. Olkoon suora kohtisuorassa yhteen koordinaattiakseliin, esimerkiksi akseliin Härkä. Tällöin suoran suuntavektori on kohtisuorassa Härkä, siis, m=0. Näin ollen suoran parametriset yhtälöt saavat muodon

Parametrin poissulkeminen yhtälöistä t, saamme suoran yhtälöt muodossa

Kuitenkin myös tässä tapauksessa suostumme kirjoittamaan suoran kanoniset yhtälöt muotoon . Jos siis yhden murto-osan nimittäjä on nolla, tämä tarkoittaa, että suora on kohtisuorassa vastaavaa koordinaattiakselia vastaan.

Samanlainen kuin kanoniset yhtälöt vastaa suoraa, joka on kohtisuorassa akseleihin nähden Härkä Ja Oy tai yhdensuuntainen akselin kanssa Oz.

Esimerkkejä.

SUORAN YLEISYHTÄLÖT KAHDEN TASOJEN LEIKKAUSVIIRJOINA

Jokaisen avaruuden suoran läpi kulkee lukemattomia tasoja. Mitkä tahansa niistä leikkaavat, määrittelevät sen avaruudessa. Näin ollen minkä tahansa kahden tällaisen tason yhtälöt yhdessä tarkasteltuna edustavat tämän suoran yhtälöitä.

Yleisesti ottaen mitkä tahansa kaksi ei-rinnakkaista tasoa, jotka on annettu yleisten yhtälöiden avulla

määrittää niiden leikkauspisteen suoran. Näitä yhtälöitä kutsutaan yleiset yhtälöt suoraan.

Esimerkkejä.

Muodosta yhtälöiden antama suora

Suoran muodostamiseksi riittää, että löytää kaksi sen pistettä. Helpoin tapa on valita suoran ja koordinaattitasojen leikkauspisteet. Esimerkiksi leikkauspiste tason kanssa xOy saamme suoran yhtälöistä olettaen z= 0:

Kun tämä järjestelmä on ratkaistu, löydämme asian M 1 (1;2;0).

Samoin olettaen y= 0, saadaan suoran ja tason leikkauspiste xOz:

Suoran yleisistä yhtälöistä voidaan siirtyä sen kanonisiin tai parametrisiin yhtälöihin. Tätä varten sinun on löydettävä jokin kohta M 1 suoralla ja suoran suuntavektori.

Pistekoordinaatit M 1 saamme tästä yhtälöjärjestelmästä antamalla yhdelle koordinaatista mielivaltaisen arvon. Suuntavektorin löytämiseksi huomaa, että tämän vektorin on oltava kohtisuorassa molempiin normaalivektoriin nähden Ja . Siksi suoran suuntavektorin ulkopuolella l voit ottaa normaalivektorien vektoritulon:

.

Esimerkki. Esitä suoran yleiset yhtälöt kanoniseen muotoon.

Etsitään viivalla oleva piste. Tätä varten valitsemme mielivaltaisesti yhden koordinaateista, esimerkiksi y= 0 ja ratkaise yhtälöjärjestelmä:

Suoran määrittävien tasojen normaalivektoreilla on koordinaatit Siksi suuntavektori on suora

. Siten, l: .

SUORIEN VÄLINEN KULMA

Kulma avaruuden suorien välissä kutsumme mitä tahansa vierekkäisiä kulmia, jotka muodostuvat kahdesta suorasta, jotka on vedetty tiedon kanssa yhdensuuntaisen mielivaltaisen pisteen läpi.

Annetaan kaksi riviä avaruudessa:

On selvää, että suorien viivojen välinen kulma φ voidaan ottaa niiden suuntavektorien ja :n väliseksi kulmaksi. Koska , Sitten käyttämällä kaavaa kosini välisen kulman vektoreita saamme

Luento 8. Edellytykset suorien yhdensuuntaisuudelle ja kohtisuoralle. Suora viiva ja taso avaruudessa

Viivojen suhteellinen sijainti tasossa;

Tason yhtälö avaruudessa;

Suoraan avaruudessa;

Esimerkkejä ongelmanratkaisusta.

8.1. Viivojen suhteellinen sijainti tasossa

Kahden suoran välinen kulma. Olkoon kaksi tasossa olevaa suoraa: (1) ja
(2) ja se on määritettävä kulma niiden välillä (katso kuva 8.1).

Riisi. 8.1. Kahden suoran välinen kulma

Kuvasta 8.1. se on selvää
, ja
Ja
,
.

Sitten
tai

. (8.1)

Edellytykset suorien yhdensuuntaisuudelle ja kohtisuoralle.

Annetaan kaksi riviä:

(1);

(2).

Suorat (1) ja (2) ovat yhdensuuntaisia silloin ja vain silloin
.

Jos viivat ovat kohtisuorassa, niin
Ja .

silloin ja vain silloin
.

Esitetään suorat yleisillä yhtälöillä:

(1);

(2).

Tässä tapauksessa kulmakertoimet
Ja
ja rinnakkaisuusehto on muodossa:

Suorat (1) ja (2) ovat yhdensuuntaisia silloin ja vain silloin
.

Näin ollen yleisten yhtälöiden määrittämien suorien yhdensuuntaisuuden ehtona on muuttujien kertoimien suhteellisuus.

Kahden yleisen yhtälön antaman suoran kohtisuoran ehto on, että muuttujien kertoimien tulojen summa on nolla Ja .

Todellakin, koska
, Tuo
.

Suorat (1) ja (2) ovat kohtisuorassa silloin ja vain silloin
.

Viivojen leikkauspiste.

Esitetään suorat yleisillä yhtälöillä:
Ja
.

Koska leikkauspisteen koordinaattien on täytettävä kaikki yhtälöt, ne voidaan löytää järjestelmästä:

Etäisyys pisteestä viivaan.

Anna annettu piste
ja suoraan
.

Riisi. 8.2. Etäisyys pisteestä linjaan

Etäisyys pisteestä suoraan on kohtisuoran pituus
, putosi pisteestä
suoraan (Kuva 8.2).

Löytääksesi tarvitsemasi etäisyyden:

Tuloksena on kaava:

. (8.2)

8.2. Tason yhtälö avaruudessa

A) Tason määrittäminen pisteellä ja normaalivektorilla. Anna lentokoneen kulkee pisteen läpi
kohtisuorassa vektoriin nähden
(Kuva 8.3).

Riisi. 8.3 Pisteen ja normaalivektorin määrittelemä taso

Vektori
kutsutaan tason normaalivektoriksi .

Mennään koneeseen mielivaltainen piste
. Silloin vektori on kohtisuorassa vektoriin nähden
. Tämä tarkoittaa, että näiden vektorien skalaaritulo on yhtä suuri kuin nolla, ts. koordinaattimuodossa:

Tasoyhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Missä
.

Yhtälöä (8.4) kutsutaan tason yleiseksi yhtälöksi.

b) Tason määrittäminen kolmen pisteen avulla. Otetaan kolme pistettä tasosta, jotka eivät ole samalla linjalla:
,
,
.

Riisi. 8.4 Tason määrittäminen kolmen pisteen avulla

Asetetaan vektorit ja . Koska kolme annettua pistettä eivät ole samalla suoralla, annetut vektorit eivät ole kollineaarisia (eivät ole yhdensuuntaisia ​​eivätkä ole samalla suoralla). Vektorit
Ja
muodostavat kaksiulotteisen avaruuden perustan.

Lentokoneessa ota mielivaltainen kohta
. Asetetaan vektori. Vektoreista lähtien
Ja
muodostavat perustan, sitten vektorin
on kantavektoreiden lineaarinen yhdistelmä. Tämä tarkoittaa, että näiden vektorien koordinaateista koostuvan matriisin rivit ovat lineaarisesti riippuvaisia ​​ja tällaisen matriisin determinantti on yhtä suuri kuin nolla:

. (8.5)

V) Tason määrittäminen pisteeltä
tasossa ja kaksi suuntavektoria (vektorit sijaitsevat tietyssä tasossa tai ovat yhdensuuntaisia ​​tason kanssa)
Ja
.

Päättely on samanlainen kuin kohdan b) perustelu, joten saamme:

. (8.6)

Yleistasoyhtälön erikoistapaukset :

Jos
, sitten yhtälö
määrittää tason, joka kulkee origon kautta.

Jos
, sitten yhtälö
määrittää yhdensuuntaisen tason
. Samoin varten
rinnakkaisuus
ja klo
rinnakkaisuus
.

Jos
, Tuo
määrittää tason, joka on yhdensuuntainen tason kanssa
. klo
rinnakkaisuus
, klo
rinnakkaisuus
.

Jos
, Tuo
määrittää akselin läpi kulkevan tason
. klo
menee läpi
, klo
menee läpi
.

Jos
, Tuo
määrittää koordinaattitason
. klo
kone
, klo
kone
.

Tasojen yhdensuuntaisuuden ja kohtisuoran ehdot määritetään normaalivektorien kollineaarisuuden ja perpendikulaarisuuden ehdoilla
Ja
.

Kahden tason yhdensuuntaisuuden ehto on kertoimien suhteellisuus samoille muuttujille:

.

Kohtasuuntaisuusehto:

a) Suora avaruudessa voidaan määritellä kahden tason leikkausviivaksi:

b) Jos suora on yhdensuuntainen vektorin kanssa
(suuntavektori) ja kulkee pisteen läpi
, sitten vektorien kollineaarisuuden ehdosta ja
(Missä
- mielivaltainen suoran piste) saamme:

. (8.7)

Yhtälöitä (8.7) kutsutaan avaruuden suoran kanonisiksi yhtälöiksi.

c) Yhtälöt (8.7) voidaan kirjoittaa parametrimuotoon:

;

Jokaisen murtoluvun rinnastaminen parametriin
, saamme:

(8.8)

Yhtälöitä (8.8) kutsutaan avaruuden suoran parametrisiksi yhtälöiksi.

8.4 Esimerkkejä ongelmanratkaisusta

Esimerkki 1. Kirjoita yhtälö pisteen läpi kulkevalle suoralle
:

a) yhdensuuntainen suoran kanssa :
;

b) kohtisuorassa suoraa linjaa vastaan :
.

Ratkaisu.

a) Koska haluttu suora on yhdensuuntainen suoran kanssa :
, Tuo
. Me löydämme alkuperäinen suora viiva
. Mistä saamme sen
.

Joten asetamme tarvittavan suoran pisteeltä
ja kaltevuus
:

b) Koska haluttu suora on kohtisuorassa suoraa vastaan :
, Tuo
. Alkuperäisen suoran yhtälöstä saamme
. Sitten
.

Halutun rivin yhtälö:

Vastaus: a)
; b)
.

Esimerkki 2. Luo tason yhtälö , kulkee pisteen läpi
Ja:

a) yhdensuuntainen tason kanssa :
;

b) kohta
, yhdensuuntainen akselin kanssa
;

c) kulkee akselin läpi
.

Ratkaisu.

a) Koska haluttu taso on yhdensuuntainen tason kanssa
, silloin viimeisen tason normaalivektori on halutun tason normaalivektori. tarkoittaa,
ja yhtälön asettamiseen käytämme kaavaa (8.3):

b) Koska taso on yhdensuuntainen
, sitten yleisessä yhtälössä (8.4) kerroin
, ja yhtälöllä on muoto
. Pisteiden jälkeen
Ja
makaavat tasossa, niin niiden koordinaattien on täytettävä tason yhtälö:

Siksi tason yhtälö on:

c) Koska taso kulkee akselin läpi
, Tuo
, eli tason yhtälöllä on muoto
. Koska taso sisältää pisteen
, Tuo. Tason yhtälö kirjoitetaan:

Vastaus: a)
; b)
; V)
.

Luku V*. Suorat ja tasot avaruudessa.

§ 70. Kahden suoran yhdensuuntaisuuden ja kohtisuoran edellytykset.

Suorat viivat suuntavektoreilla A Ja b :

a) ovat samansuuntaisia ​​silloin ja vain, jos vektorit A Ja b kollineaarinen;

b) kohtisuorassa jos ja vain jos vektorit A Ja b kohtisuorassa, eli milloin A b = 0.

Tästä saadaan tarvittavat ja riittävät ehdot kahden kanonisten yhtälöiden antaman suoran yhdensuuntaisuudelle ja kohtisuoralle.

Ollakseen suora

rinnakkaiset, se on välttämätöntä ja riittävää, jotta ehto täyttyy

Jos jokin numeroista b 1 , b 2 , b 3 on yhtä suuri kuin nolla, silloin vastaavasta luvusta tulee nolla a 1 , a 2 , a 3 .

Jotta suorat viivat ovat kohtisuorassa, on välttämätöntä ja riittävää, että ehto täyttyy

a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 0. (2)

Tehtävä 1. Merkitse seuraavien viipaparien joukosta yhdensuuntaiset tai kohtisuorat viivat:

a) Suuntavektorit a = (2; 4; -13) ja b = (3; 5; 2) eivät selvästikään ole kollineaarisia. Siksi viivat eivät ole yhdensuuntaisia. Tarkastellaan kohtisuoraa ehtoa

a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 2 3 + 4 5 - 13 2 = 0.

Suorat viivat ovat kohtisuorassa.

b) Toisen suoran suuntavektorilla on koordinaatit b = (3; 2; 4). Ensimmäisen priman suuntavektoriksi voimme ottaa normaalivektorien vektoritulon
n 1 = (2; -3; 0) ja n 2 = (4; -2; -2) tasot, jotka määrittävät tämän suoran:

Ehto (1) täyttyy, koska 6/3 = 4/2 = 8/4. Viivat ovat yhdensuuntaisia.

c) Ensimmäisen rivin suuntavektorilla on koordinaatit A = (2; 3; 1). Toisen rivin yhtälöt pelkistyvät helposti kanoniseen muotoon

Siten, b =(- 1 / 2 ; 1; 3 / 2) .

Vektorit A Ja b ei rinnakkain. Ne eivät ole kohtisuorassa, koska

a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 2 (- 1 / 2) + 3 + 3 / 2 =/= 0.

Nämä suorat eivät ole yhdensuuntaisia ​​eivätkä kohtisuorassa.

Tehtävä 2. Etsi pisteen M 0 (2; -3; 4) kautta kulkevan suoran yhtälö, joka on kohtisuorassa suoria vastaan

Tämä artikkeli käsittelee yhdensuuntaisia ​​ja yhdensuuntaisia ​​viivoja. Aluksi annetaan tasossa ja avaruudessa olevien yhdensuuntaisten viivojen määritelmä, esitellään merkinnät, annetaan esimerkkejä ja graafisia kuvia yhdensuuntaisista viivoista. Seuraavaksi käsitellään suorien yhdensuuntaisuuden merkkejä ja ehtoja. Lopuksi esitetään ratkaisuja tyypillisiin suorien yhdensuuntaisuuden todistamisongelmiin, jotka on annettu tietyillä suoran yhtälöillä suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä tasossa ja kolmiulotteisessa avaruudessa.

Sivulla navigointi.

Rinnakkaisviivat - perustiedot.

Määritelmä.

Kahta tasossa olevaa suoraa kutsutaan rinnakkain, jos niillä ei ole yhteisiä kohtia.

Määritelmä.

Kaksi suoraa kolmiulotteisessa avaruudessa kutsutaan rinnakkain, jos ne sijaitsevat samassa tasossa eikä niillä ole yhteisiä pisteitä.

Huomaa, että lause "jos ne sijaitsevat samassa tasossa" avaruuden yhdensuuntaisten viivojen määrittelyssä on erittäin tärkeä. Selvennetään tämä kohta: kaksi kolmiulotteisen avaruuden suoraa, joilla ei ole yhteisiä pisteitä ja jotka eivät ole samassa tasossa, eivät ole yhdensuuntaisia, vaan leikkaavat.

Tässä on esimerkkejä yhdensuuntaisista viivoista. Muistikirjan vastakkaiset reunat ovat yhdensuuntaisilla viivoilla. Suorat viivat, joita pitkin talon seinän taso leikkaa katon ja lattian tasot, ovat yhdensuuntaiset. Tasaisella alustalla olevia rautatiekiskoja voidaan pitää myös yhdensuuntaisina linjoina.

Merkitse yhdensuuntaiset viivat symbolilla "". Eli jos suorat a ja b ovat yhdensuuntaisia, voimme kirjoittaa lyhyesti a b.

Huomaa: jos suorat a ja b ovat yhdensuuntaisia, voidaan sanoa, että suora a on yhdensuuntainen suoran b kanssa ja myös suora b on yhdensuuntainen suoran a kanssa.

Esitetään toteamus, jolla on tärkeä rooli tason yhdensuuntaisten viivojen tutkimisessa: pisteen kautta, joka ei sijaitse tietyllä suoralla, kulkee ainoa suora, joka on yhdensuuntainen tietyn kanssa. Tämä väite hyväksytään tosiasiaksi (ei voida todistaa planimetrian tunnettujen aksioomien perusteella), ja sitä kutsutaan rinnakkaisten suorien aksioomaksi.

Avaruuden tapauksessa lause pätee: minkä tahansa avaruuden pisteen kautta, joka ei ole annetulla suoralla, kulkee yksi suora yhdensuuntainen annetun kanssa. Tämä lause on helppo todistaa käyttämällä yllä olevaa rinnakkaisten viivojen aksioomaa (selle todistus löytyy luokkien 10-11 geometrian oppikirjasta, joka on lueteltu artikkelin lopussa lähdeluettelossa).

Avaruuden tapauksessa lause pätee: minkä tahansa avaruuden pisteen kautta, joka ei ole annetulla suoralla, kulkee yksi suora yhdensuuntainen annetun kanssa. Tämä lause voidaan helposti todistaa käyttämällä yllä olevaa yhdensuuntaista aksioomaa.

Viivojen rinnakkaisuus - yhdensuuntaisuuden merkit ja ehdot.

Merkki suorien yhdensuuntaisuudesta on riittävä ehto viivojen yhdensuuntaisuudelle, eli ehto, jonka täyttyminen takaa viivojen yhdensuuntaisuuden. Toisin sanoen tämän ehdon täyttyminen riittää osoittamaan, että suorat ovat yhdensuuntaiset.

Myös suorien yhdensuuntaisuudelle tasossa ja kolmiulotteisessa avaruudessa on tarpeelliset ja riittävät edellytykset.

Selittäkäämme ilmaisun "välttämätön ja riittävä ehto rinnakkaisille viivoille" merkitys.

Olemme jo käsitelleet yhdensuuntaisten linjojen riittävän ehdon. Mikä on "välttämätön ehto rinnakkaisille viivoille"? Nimestä "välttämätön" käy selväksi, että tämän ehdon täyttyminen on välttämätöntä rinnakkaisille viivoille. Toisin sanoen, jos suorien yhdensuuntaisuuden edellytys ei täyty, suorat eivät ole yhdensuuntaisia. Täten, välttämätön ja riittävä edellytys yhdensuuntaisille linjoille on ehto, jonka täyttyminen on sekä välttämätön että riittävä yhdensuuntaisille viivoille. Eli toisaalta tämä on merkki suorien yhdensuuntaisuudesta, ja toisaalta tämä on ominaisuus, joka rinnakkaisilla viivoilla on.

Ennen kuin muotoillaan välttämätön ja riittävä ehto suorien yhdensuuntaisuudelle, on suositeltavaa muistaa useita apumääritelmiä.

Sekantti linja on viiva, joka leikkaa jokaisen kahdesta annetusta ei-yhteensopivasta suorasta.

Kun kaksi suoraa leikkaa poikittaisviivan, muodostuu kahdeksan kehittymätöntä. Suoran yhdensuuntaisuuden välttämättömän ja riittävän ehdon muotoilussa ns ristikkäin makaa, vastaava Ja yksipuoliset kulmat. Esitetään ne piirustuksessa.

Lause.

Jos kaksi tasossa olevaa suoraa leikkaa poikittaisen, niin niiden yhdensuuntaisuuden kannalta on välttämätöntä ja riittävää, että leikkauskulmat ovat yhtä suuret tai vastaavat kulmat ovat yhtä suuret tai yksipuolisten kulmien summa on 180 astetta.

Esitetään graafinen esitys tästä välttämättömästä ja riittävästä ehdosta suorien yhdensuuntaisuudelle tasossa.

Näistä suorien yhdensuuntaisuuden ehdoista löytyy todisteita 7-9 luokkien geometrian oppikirjoista.

Huomaa, että näitä ehtoja voidaan käyttää myös kolmiulotteisessa avaruudessa - tärkeintä on, että kaksi suoraa ja sekantti ovat samassa tasossa.

Tässä on vielä muutama lause, joita käytetään usein osoittamaan suorien samansuuntaisuutta.

Lause.

Jos kaksi suoraa tasossa ovat yhdensuuntaisia ​​kolmannen suoran kanssa, ne ovat yhdensuuntaisia. Tämän kriteerin todistus seuraa rinnakkaisten suorien aksioomasta.

Sama ehto on samansuuntaisille viivoille kolmiulotteisessa avaruudessa.

Lause.

Jos kaksi suoraa avaruudessa ovat yhdensuuntaisia ​​kolmannen suoran kanssa, ne ovat yhdensuuntaisia. Tämän kriteerin todistamisesta keskustellaan geometrian tunneilla 10. luokalla.

Havainnollistetaan esitetyt lauseet.

Esitetään toinen lause, jonka avulla voimme todistaa suorien yhdensuuntaisuuden tasossa.

Lause.

Jos kaksi suoraa tasossa ovat kohtisuorassa kolmatta suoraa vastaan, ne ovat yhdensuuntaisia.

Samanlainen lause on olemassa avaruuden viivoille.

Lause.

Jos kaksi suoraa kolmiulotteisessa avaruudessa ovat kohtisuorassa samaan tasoon nähden, ne ovat yhdensuuntaisia.

Piirretään näitä lauseita vastaavat kuvat.

Kaikki edellä esitetyt lauseet, kriteerit ja tarpeelliset ja riittävät ehdot ovat erinomaisia ​​suorien yhdensuuntaisuuden todistamiseen geometrian menetelmin. Toisin sanoen kahden tietyn suoran yhdensuuntaisuuden todistamiseksi sinun on osoitettava, että ne ovat yhdensuuntaisia ​​kolmannen suoran kanssa, tai näytettävä poikkisuuntaisten makuukulmien yhtäläisyys jne. Monet samankaltaiset ongelmat ratkaistaan ​​lukion geometrian tunneilla. On kuitenkin huomattava, että monissa tapauksissa on kätevää käyttää koordinaattimenetelmää suorien yhdensuuntaisuuden osoittamiseen tasossa tai kolmiulotteisessa avaruudessa. Muotoilkaamme tarvittavat ja riittävät ehdot suorakulmaisessa koordinaatistossa määriteltyjen suorien yhdensuuntaisuudelle.

Viivojen rinnakkaisuus suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä.

Tässä artikkelin kohdassa muotoilemme tarvittavat ja riittävät edellytykset yhdensuuntaisille linjoille suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä, riippuen yhtälöiden tyypistä, jotka määrittävät nämä suorat, ja tarjoamme myös yksityiskohtaisia ​​ratkaisuja ominaisongelmiin.

Aloitetaan kahden suoran yhdensuuntaisuuden ehdolla suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa Oxy. Hänen todisteensa perustuu suoran suuntavektorin määrittelyyn ja tason suoran normaalivektorin määritelmään.

Lause.

Jotta kaksi ei-yhteensaavaa suoraa olisi yhdensuuntainen tasossa, on välttämätöntä ja riittävää, että näiden suorien suuntavektorit ovat kollineaarisia tai näiden suorien normaalivektorit ovat kollineaarisia tai yhden suoran suuntavektori on kohtisuorassa normaaliin nähden. toisen rivin vektori.

Ilmeisesti kahden tason suoran yhdensuuntaisuuden ehto pelkistyy arvoon (suorien suuntavektorit tai suorien normaalivektorit) tai (yhden suoran suuntavektori ja toisen suoran normaalivektori). Siten jos ja ovat suorien a ja b suuntavektorit ja Ja ovat suorien a ja b normaalivektoreita, niin suorien a ja b yhdensuuntaisuuden välttämätön ja riittävä ehto kirjoitetaan , tai , tai , jossa t on jokin reaaliluku. Viivojen a ja b ohjainten ja (tai) normaalivektorien koordinaatit puolestaan ​​löydetään käyttämällä tunnettuja suorayhtälöitä.

Erityisesti, jos suora a suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä Oxy tasossa määrittää yleisen suoran yhtälön muodossa , ja suora b - , silloin näiden viivojen normaalivektoreilla on koordinaatit ja vastaavasti, ja suorien a ja b yhdensuuntaisuuden ehto kirjoitetaan muodossa .

Jos suora a vastaa yhtälöä suorasta, jonka kulmakerroin on muotoa ja suoraa b-, niin näiden suorien normaalivektoreilla on koordinaatit ja, ja näiden suorien yhdensuuntaisuuden ehto on muodossa . Näin ollen, jos suorakaiteen muotoisen koordinaatiston tasossa olevat suorat ovat yhdensuuntaisia ​​ja ne voidaan määrittää kulmakertoimien suorien yhtälöillä, viivojen kulmakertoimet ovat yhtä suuret. Ja päinvastoin: jos suorakaiteen muotoisen koordinaatiston tasossa olevat ei-yhtenäiset suorat voidaan määrittää yhtälöillä, joilla on samat kulmakertoimet, niin tällaiset suorat ovat yhdensuuntaisia.

Jos suora a ja suora b suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa määritetään muodon tasossa olevan suoran kanonisilla yhtälöillä Ja , tai muodon tasolla olevan suoran parametriset yhtälöt Ja vastaavasti näiden viivojen suuntavektoreilla on koordinaatit ja , ja suorien a ja b yhdensuuntaisuuden ehto kirjoitetaan muodossa .

Katsotaanpa useiden esimerkkien ratkaisuja.

Esimerkki.

Ovatko viivat yhdensuuntaiset? Ja ?

Ratkaisu.

Kirjoitetaan suoran yhtälö uudelleen segmenteiksi suoran yleisen yhtälön muotoon: . Nyt voimme nähdä, että se on suoran normaalivektori , a on suoran normaalivektori. Nämä vektorit eivät ole kollineaarisia, koska ei ole olemassa reaalilukua t, jolle yhtälö ( ). Näin ollen välttämätön ja riittävä ehto suorien yhdensuuntaisuudelle tasossa ei täyty, joten annetut suorat eivät ole yhdensuuntaisia.

Vastaus:

Ei, viivat eivät ole yhdensuuntaisia.

Esimerkki.

Ovatko suorat ja yhdensuuntaiset?

Ratkaisu.

Pelkistetään suoran kanoninen yhtälö kulmakertoimella varustetun suoran yhtälöksi: . Ilmeisesti suorien ja yhtälöt eivät ole samoja (tässä tapauksessa annetut suorat olisivat samat) ja viivojen kulmakertoimet ovat yhtä suuret, joten alkuperäiset suorat ovat yhdensuuntaisia.