Exemples de solutions de formule Cardano. Solutions d'équations cubiques à coefficients réels

Explique comment résoudre des équations cubiques. Le cas est considéré lorsqu'une racine est connue. Méthodes pour trouver des racines entières et rationnelles. Application des formules de Cardano et Vieta pour résoudre n'importe quelle équation cubique.

Contenu

Nous considérons ici la résolution d'équations cubiques de la forme
(1) .
Ensuite, nous supposons qu’il s’agit de nombres réels.

(2) ,
puis en le divisant par , on obtient une équation de la forme (1) à coefficients
.

L'équation (1) a trois racines : , et . L'une des racines est toujours réelle. Nous désignons la vraie racine par . Les racines peuvent être réelles ou complexes conjuguées. Les vraies racines peuvent être multiples. Par exemple, si , alors et sont des racines doubles (ou des racines multiples de 2), et est une racine simple.

Si une racine est connue

Connaissons une racine de l’équation cubique (1). Désignons la racine connue par . En divisant ensuite l’équation (1) par , nous obtenons une équation quadratique. En résolvant l'équation quadratique, nous trouvons deux autres racines et .

Pour le prouver, nous utilisons le fait qu’un polynôme cubique peut être représenté comme suit :
.
Ensuite, en divisant (1) par , nous obtenons une équation quadratique.

Des exemples de polynômes diviseurs sont présentés sur la page
"Division et multiplication d'un polynôme par un polynôme avec un coin et une colonne."
La résolution d'équations quadratiques est discutée sur la page
"Racines d'une équation quadratique."

Si une des racines est entière

Si l'équation d'origine est :
(2) ,
et ses coefficients , , , sont des entiers, alors vous pouvez essayer de trouver la racine entière. Si cette équation a une racine entière, alors c'est un diviseur du coefficient. La méthode pour trouver des racines entières consiste à trouver tous les diviseurs du nombre et à vérifier si l'équation (2) est satisfaite pour eux. Si l’équation (2) est satisfaite, alors nous avons trouvé sa racine. Notons-le comme . Ensuite, nous divisons l'équation (2) par . Nous obtenons une équation quadratique. En le résolvant, nous trouvons deux autres racines.

Des exemples de définition de racines entières sont donnés sur la page
Exemples de factorisation de polynômes > > > .

Trouver des racines rationnelles

Si dans l'équation (2) , , , sont des nombres entiers et qu'il n'y a pas de racines entières, alors vous pouvez essayer de trouver des racines rationnelles, c'est-à-dire des racines de la forme , où et sont des nombres entiers.

Pour ce faire, multipliez l'équation (2) par et effectuez la substitution :
;
(3) .
Ensuite, nous recherchons les racines entières de l’équation (3) parmi les diviseurs du terme libre.

Si nous avons trouvé la racine entière de l'équation (3), alors, en revenant à la variable, nous obtenons la racine rationnelle de l'équation (2) :
.

Formules de Cardano et Vieta pour résoudre l'équation cubique

Si nous ne connaissons pas une seule racine et qu’il n’y a pas de racines entières, nous pouvons alors trouver les racines de l’équation cubique à l’aide des formules de Cardano.

Considérons l'équation cubique :
(1) .
Faisons une substitution :
.
Après cela, l'équation est réduite à une forme incomplète ou réduite :
(4) ,
Où
(5) ; .

Les références:
DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009.
G. Korn, Manuel de mathématiques pour les scientifiques et les ingénieurs, 2012.

MUNICIPAL VII CONFÉRENCE SCIENTIFIQUE ET PRATIQUE DES ÉTUDIANTS « JEUNESSE : CRÉATIVITÉ, RECHERCHE, RÉUSSITE »

District municipal d'Anninsky

Région de Voronej

Section:MATHÉMATIQUES

Sujet:"Formule Cardano : histoire et application"

École secondaire MKOU Anninskaya n° 3, 9e classe « B »

Niccolò Fontana Tartaglia (italien : NiccolòFontanaTartaglia, 1499-1557) - mathématicien italien.

En général, l'histoire raconte que la formule a été initialement découverte par Tartaglia et remise à Cardano sous sa forme finale, mais Cardano lui-même a nié ce fait, bien qu'il n'ait pas nié l'implication de Tartaglia dans la création de la formule.

Le nom « formule de Cardano » est fermement ancré derrière la formule, en l'honneur du scientifique qui l'a réellement expliquée et présentée au public.

1. Disputes mathématiques au Moyen Âge.

Les conflits au Moyen Âge ont toujours présenté un spectacle intéressant, attirant des citadins oisifs, jeunes et vieux. Les thèmes des débats étaient variés, mais toujours scientifiques. Dans le même temps, la science était considérée comme ce qui figurait dans la liste des sept arts libéraux, qui était bien sûr la théologie. Les conflits théologiques étaient les plus fréquents. Ils se disputaient sur tout. Par exemple, s'il faut associer une souris à l'Esprit Saint si elle mange la Sainte-Cène, si la Sibylle de Cumes aurait pu prédire la naissance de Jésus-Christ, pourquoi les frères et sœurs du Sauveur ne sont pas canonisés, etc.

À propos de la dispute qui était censée avoir lieu entre le célèbre mathématicien et le médecin non moins célèbre, seules les suppositions les plus générales ont été faites, puisque personne ne savait vraiment rien. Ils ont dit que l'un d'eux avait trompé l'autre (on ne sait pas qui exactement et à qui). Presque tous ceux qui se sont rassemblés sur la place avaient les idées les plus vagues sur les mathématiques, mais tout le monde attendait avec impatience le début du débat. C'était toujours intéressant, on pouvait rire du perdant, qu'il ait raison ou tort.

Lorsque l’horloge de la mairie sonna cinq heures, les portes s’ouvrirent grandes et la foule se précipita à l’intérieur de la cathédrale. De part et d'autre de la ligne médiane reliant l'entrée à l'autel, deux hautes chaires étaient érigées à proximité des deux colonnes latérales, destinées aux débatteurs. Les personnes présentes ont fait un grand bruit, sans prêter attention au fait qu'elles étaient dans l'église. Enfin, devant la grille de fer qui séparait l'iconostase du reste de la nef centrale, un crieur public en manteau noir et violet apparut et proclama : « Citoyens illustres de la ville de Milan ! Le célèbre mathématicien Niccolo Tartaglia de Brenia va maintenant vous parler. Son adversaire était censé être le mathématicien et médecin Geronimo Cardano. Niccolò Tartaglia accuse Cardano du fait que ce dernier, dans son livre « Arsmagna », a publié une méthode pour résoudre une équation du 3ème degré, qui lui appartient, Tartaglia. Cependant, Cardano lui-même n'a pas pu participer au débat et a donc envoyé son élève Luige Ferrari. Ainsi, le débat est déclaré ouvert, ses participants sont invités dans les départements.» Un homme maladroit au nez crochu et à la barbe bouclée monta jusqu'à la chaire à gauche de l'entrée, et un jeune homme d'une vingtaine d'années au beau visage sûr de lui monta à la chaire opposée. Son attitude tout entière reflétait la certitude que chacun de ses gestes et chacune de ses paroles seraient reçus avec plaisir.

commença Tartaglia.

Chers messieurs! Vous savez qu'il y a 13 ans, j'ai réussi à trouver un moyen de résoudre une équation du 3ème degré et ensuite, grâce à cette méthode, j'ai gagné le différend avec Fiori. Ma méthode a attiré l'attention de votre concitoyen Cardano, et il a utilisé tout son art rusé pour découvrir mon secret. Il ne s'est arrêté ni à la tromperie ni à la contrefaçon pure et simple. Vous savez aussi qu’il y a 3 ans a été publié à Nuremberg le livre de Cardano sur les règles de l’algèbre, où ma méthode, si éhontéement volée, a été mise à la disposition de tous. J'ai défié Cardano et son élève à un concours. J'ai proposé de résoudre 31 problèmes, le même nombre m'a été proposé par mes adversaires. Un délai a été fixé pour résoudre les problèmes - 15 jours. En 7 jours, j'ai réussi à résoudre la plupart des problèmes compilés par Cardano et Ferrari. Je les ai imprimés et envoyés par courrier à Milan. Cependant, j'ai dû attendre cinq mois complets jusqu'à ce que je reçoive des réponses à mes tâches. Ils ont été mal résolus. Cela m'a donné une raison de les inviter tous deux à un débat public.

Tartaglia se tut. Le jeune homme, regardant le malheureux Tartaglia, dit :

Chers messieurs! Mon digne adversaire s'est permis, dès les premiers mots de son discours, d'exprimer tant de calomnies contre moi et contre mon professeur ; son argument était si infondé que je ne me donnerais guère la peine de réfuter le premier et de vous montrer l'incohérence de celui-ci ; la deuxième. Tout d'abord, de quel genre de tromperie pouvons-nous parler si Niccolo Tartaglia partageait tout à fait volontairement sa méthode avec nous deux ? Et c’est ainsi qu’écrit Geronimo Cardano sur le rôle de mon adversaire dans la découverte de la règle algébrique. Il dit que ce n'est pas lui, Cardano, « mais mon ami Tartaglia qui a l'honneur de découvrir quelque chose de si beau et d'étonnant, surpassant l'esprit humain et tous les talents de l'esprit humain. Cette découverte est vraiment un don céleste, une preuve si merveilleuse de la puissance de l’esprit qui l’a compris, que rien ne peut être considéré comme inaccessible pour lui.

Mon adversaire nous accusait, moi et mon professeur, d'avoir prétendument donné une mauvaise solution à ses problèmes. Mais comment la racine d’une équation peut-elle être incorrecte si en la substituant dans l’équation et en effectuant toutes les actions prescrites dans cette équation, on arrive à l’identité ? Et si Senor Tartaglia veut être cohérent, alors il aurait dû répondre à la remarque pourquoi nous, qui, selon ses mots, avons volé son invention et l'avons utilisée pour résoudre les problèmes proposés, avons reçu la mauvaise solution. Nous - mon professeur et moi - ne considérons pas l'invention du Signor Tartaglia comme sans importance. Cette invention est merveilleuse. De plus, en m'appuyant largement sur elle, j'ai trouvé un moyen de résoudre une équation du 4ème degré, et à Arsmagna mon professeur en parle. Que nous attend le sénateur Tartaglia ? Que cherche-t-il à réaliser avec ce conflit ?

Messieurs, messieurs, cria Tartaglia, je vous demande de m'écouter ! Je ne nie pas que mon jeune adversaire soit très fort en logique et en éloquence. Mais cela ne peut pas remplacer une véritable preuve mathématique. Les problèmes que j'ai posés à Cardano et Ferrari n'ont pas été résolus correctement, mais je vais le prouver aussi. En effet, prenons par exemple une équation parmi celles résolues. C'est connu...

Un bruit inimaginable s'éleva dans l'église, absorbant complètement la fin de la phrase commencée par le malheureux mathématicien. Il n'a pas été autorisé à continuer. La foule a exigé qu'il se taise et que Ferrari prenne le relais. Tartaglia, voyant que continuer la discussion était complètement inutile, descendit précipitamment de la chaire et sortit par le porche nord jusqu'à la place. La foule a chaleureusement salué le « vainqueur » de la dispute, Luigi Ferrari.

Ainsi prit fin ce conflit, qui continue de susciter de plus en plus de nouveaux contentieux. À qui appartient réellement la méthode de résolution d’une équation du 3ème degré ? Nous parlons maintenant – Niccolo Tartaglie. Il l'a découvert et Cardano l'a trompé pour qu'il fasse la découverte. Et si maintenant on appelle la formule représentant les racines d’une équation du 3ème degré à travers ses coefficients la formule de Cardano, alors c’est une injustice historique. Mais est-ce injuste ? Comment calculer le degré de participation de chaque mathématicien à la découverte ? Peut-être qu'avec le temps, quelqu'un sera en mesure de répondre à cette question avec une précision absolue, ou peut-être qu'elle restera un mystère...

1. Formule Cardano

En utilisant un langage mathématique moderne et un symbolisme moderne, la dérivation de la formule de Cardano peut être trouvée à l'aide des considérations extrêmement élémentaires suivantes :

Donnons une équation générale du 3ème degré :

X 3 + hache 2 + bx + c = 0,

(1)

Oùune, b, c – nombres réels arbitraires.

Remplaçons la variable dans l'équation (1)X à une nouvelle variable ouiselon la formule :

X 3 +hache 2 +bx+c = (y ) 3 + une(y ) 2 + b(y ) + c = oui 3 3 ans 2 + 3 ans+ une(y 2 2 ans+ par = oui 3 oui 3 + (b

alors l'équation (1) prendra la formeoui 3 + ( b

Si l'on introduit la notationp = b, q = ,

alors l'équation prendra la formeoui 3 + py + q = 0.

C’est la fameuse formule Cardano.

Racines d'une équation cubiqueoui 3 + py + q = 0 dépend du discriminant

D=

SiD> 0, alorsun polynôme cubique a trois racines réelles différentes.

SiD< 0, то un polynôme cubique a une racine réelle et deux racines complexes (qui sont des conjuguées complexes).

SiD = 0, il a une racine multiple (soit une racine de multiplicité 2 et une racine de multiplicité 1, toutes deux réelles ; soit une seule racine réelle de multiplicité 3).

2.4. Exemples de méthodes universelles pour résoudre des équations cubiques

Essayons d'appliquer la formule de Cardan à la résolution d'équations spécifiques.

Exemple 1: X 3 +15 X+124 = 0

Icip = 15; q = 124.

Répondre:X

Simonian Albina

L'ouvrage traite des techniques et des méthodes de résolution d'équations cubiques. Application de la formule de Cardano pour résoudre des problèmes de préparation à l'examen d'État unifié de mathématiques.

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Établissement éducatif municipal pour l'enfance et la jeunesse Palais de la créativité des enfants et des jeunes

Don Académie des Sciences pour Jeunes Chercheurs

Section : Mathématiques - Algèbre et théorie des nombres

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"Regardons le monde des formules"

sur ce sujet "Résoudre des équations du 3ème degré"

Responsable : professeur de mathématiques Babina Natalya Alekseevna

G.Salsk 2010

1. Introduction……………………………………………………………………………….3
2. Partie principale……………………………………………………………………………….4
3. Partie pratique……………………………………………………………10-13
4. Conclusion………………………………………………………………………………….14
5. Littérature………………………………………………………………………………………..15
6. Applications

1. Introduction

L'enseignement mathématique reçu dans les écoles secondaires est une composante essentielle de l'enseignement général et de la culture générale de l'homme moderne. Presque tout ce qui entoure une personne est lié d’une manière ou d’une autre aux mathématiques. Et les progrès récents dans les domaines de la physique, de la technologie et des technologies de l’information ne laissent aucun doute sur le fait qu’à l’avenir, la situation restera la même. Par conséquent, résoudre de nombreux problèmes pratiques revient à résoudre différents types d'équations que vous devez apprendre à résoudre. On nous a appris à résoudre des équations linéaires du premier degré en première année et nous n'y avons pas montré beaucoup d'intérêt. Les équations non linéaires sont plus intéressantes - les équations de grands degrés. Les mathématiques révèlent l’ordre, la symétrie et la certitude, et ce sont les types de beauté les plus élevés.

Le but de mon projet « Regard sur le monde des formules » sur le thème « Résolution d'équations cubiques du troisième degré » est de systématiser les connaissances sur la façon de résoudre des équations cubiques, d'établir le fait de l'existence d'une formule pour trouver les racines d'une équation du troisième degré, ainsi que la relation entre les racines et les coefficients dans une équation cubique. En classe, nous avons résolu des équations, à la fois cubiques et de puissances supérieures à 3. En résolvant des équations en utilisant différentes méthodes, nous avons ajouté, soustrait, multiplié, divisé des coefficients, les avons élevés en puissances et en avons extrait des racines, bref, nous avons effectué des opérations algébriques. Il existe une formule pour résoudre des équations quadratiques. Existe-t-il une formule pour résoudre une équation du troisième degré, c'est-à-dire des instructions dans quel ordre et quel type d'opérations algébriques doivent être effectuées avec les coefficients afin d'obtenir les racines. J'étais curieux de savoir si des mathématiciens célèbres avaient essayé de trouver une formule générale adaptée à la résolution d'équations cubiques ? Et s’ils essayaient, seraient-ils capables d’obtenir une expression des racines grâce aux coefficients de l’équation ?

2. Partie principale :

À cette époque lointaine, où les sages ont commencé à penser aux égalités contenant des quantités inconnues, il n’existait probablement ni pièces ni portefeuilles. Dans les anciens problèmes mathématiques de la Mésopotamie, de l'Inde, de la Chine, de la Grèce, les grandeurs inconnues exprimaient le nombre de paons dans le jardin, le nombre de taureaux dans le troupeau et l'ensemble des choses prises en compte lors du partage des biens. Les sources qui nous sont parvenues indiquent que les scientifiques anciens disposaient de techniques générales pour résoudre des problèmes avec des quantités inconnues. Cependant, pas un seul papyrus ou tablette d’argile ne contient une description de ces techniques. Une exception est « Arithmétique » du mathématicien grec Diophante d'Alexandrie (IIIe siècle) - un ensemble de problèmes pour composer des équations avec une présentation systématique de leurs solutions. Cependant, le premier manuel de résolution de problèmes largement connu fut l'ouvrage du scientifique de Bagdad du IXe siècle. Muhammad Ben Musa al-Khwarizmi.

C’est ainsi que m’est venue l’idée de créer le projet « Regardons le monde des formules… », les questions fondamentales de ce projet étaient :

1. déterminer s'il existe une formule pour résoudre des équations cubiques ;
2. en cas de réponse positive, rechercher une formule exprimant les racines d'une équation cubique par un nombre fini d'opérations algébriques sur ses coefficients.

Étant donné que dans les manuels et dans d'autres livres de mathématiques, la plupart des raisonnements et des preuves sont effectués non pas sur des exemples spécifiques, mais en termes généraux, j'ai décidé de rechercher des exemples spécifiques qui confirment ou infirment mon idée. À la recherche d'une formule pour résoudre des équations cubiques, j'ai décidé de suivre des algorithmes familiers pour résoudre des équations quadratiques. Par exemple, résoudre l'équation x3 + 2x2 - 5x -6=0 isolé un cube complet en utilisant la formule (x+a) 3 =x 3 + 3x 2 une +3a 2 x+une 3 . Pour isoler le cube complet du côté gauche de l'équation que j'ai prise, j'y ai tourné 2x 2 en 3x 2 et celles. Je cherchais quelque chose pour que l'égalité soit juste 2x 2 = 3x 2 une . Il n'était pas difficile de calculer que a = . Transformé le côté gauche de cette équationcomme suit : x 3 + 2x2 -5x-6=0

(x 3 +3x 2 une+ 3x. +) - 3x. - - 5x - 6= (x+) 3 - 6x - 6 Effectué la substitution y = x +, c'est-à-dire x = y - y 3 - 6(oui -) - 6=0 ; 3 - 6 ans + 4- 6=0 ; L'équation originale prenait la forme : y 3 - 6у - 2=0 ; Le résultat n'est pas une très belle équation, car au lieu de coefficients entiers j'ai maintenant des coefficients fractionnaires, bien que le terme dans l'équation contenant le carré de l'inconnue ait disparu ! Suis-je plus proche de mon objectif ? Après tout, le terme contenant le premier degré de l'inconnu demeure. Peut-être a-t-il fallu sélectionner le cube complet pour que le terme 5x disparaisse ? (x+a) 3 =x 3 +3x 2 une+ 3une 2 x + une 3 . J'ai trouvé quelque chose comme ça pour que 3a 2x = -5x ; ceux. pour qu'un 2 = - Mais ici, cela s'est plutôt mal passé - dans cette égalité, il y a un nombre positif à gauche et un nombre négatif à droite. Une telle égalité ne peut pas exister. Je n'ai pas encore réussi à résoudre l'équation ; je n'ai pu que la mettre sous la forme 3 - 6у - 2=0.

Donc, le résultat du travail que j'ai fait au stade initial : j'ai pu supprimer le terme contenant le deuxième degré de l'équation cubique, c'est-à-dire si on lui donne l'équation canonique axe 3 +en 2 +сх+d, alors il peut être réduit à une équation cubique incomplète x 3 +px+q=0. De plus, en travaillant avec divers ouvrages de référence, j'ai pu découvrir que l'équation est de la forme x 3 + px = q Le mathématicien italien Dal Ferro (1465-1526) a réussi à le résoudre. Pourquoi pour ce type et pas pour ce type x 3 +px+q=0 ? Ce car les nombres négatifs n'avaient pas encore été introduits et les équations n'étaient considérées qu'avec des coefficients positifs. Et les nombres négatifs ont été reconnus un peu plus tard.Référence historique :Dal Ferro a sélectionné de nombreuses options par analogie avec la formule des racines de l'équation quadratique ci-dessus. Il raisonnait ainsi : la racine de l'équation quadratique est - ± c'est-à-dire a la forme : x=t ±. Cela signifie que la racine d'une équation cubique doit également être la somme ou la différence de certains nombres et, probablement, parmi eux, il doit y avoir des racines du troisième degré. Lesquels exactement ? Parmi les nombreuses options, l'une s'est avérée fructueuse : il a trouvé la réponse sous la forme d'une différence - Il était encore plus difficile de deviner que t et u devaient être choisis pour que =. En remplaçant à x la différence - , et à la place de p le produit reçu : (-) 3 +3 (-)=q. J'ai ouvert les parenthèses : t - 3 +3- u+3- 3=q. Après avoir ramené des termes similaires, nous obtenons : t-u=q.

Le résultat est un système d'équations :

t u = () 3 t-u=q. Construisons la droite et la gauchemettez au carré les parties de la première équation, multipliez la deuxième équation par 4 et additionnez la première et la deuxième équation. 4t 2 +2tu +u 2 =q 2 +4() 3 ; (t+u) 2 =4()+() 3 t+u =2 Du nouveau système t+u=2 ; t -u=q on a : t= + ; u = - . En substituant l'expression à x, nous obtenonsEn travaillant sur le projet, j'ai appris des matériaux intéressants. Il s'avère que Dal Ferro n'a pas publié la méthode qu'il a trouvée, mais certains de ses étudiants étaient au courant de cette découverte, et bientôt l'un d'eux, Antonio Fiore, a décidé d'en profiter.À cette époque, les débats publics sur les questions scientifiques étaient monnaie courante. Les gagnants de ces conflits recevaient généralement de bonnes récompenses et étaient souvent invités à des postes élevés.

Au même moment, dans la ville italienne de Vérone vivait un pauvre professeur de mathématiques, Nicolo (1499-1557), surnommé Tartaglia (c'est-à-dire le bègue). Il était très talentueux et a réussi à redécouvrir la technique Dal Ferro (Annexe 1).Un duel a eu lieu entre Fiore et Tartaglia. Selon la condition, les rivaux ont échangé trente problèmes, dont la solution a été fixée dans un délai de 50 jours. Mais parce que Fior ne connaissait essentiellement qu'un seul problème et était sûr qu'un enseignant ne pourrait pas le résoudre, alors les 30 problèmes se sont révélés être du même type. Tartaglia les a traités en 2 heures. Fiore n'a pas pu résoudre un seul problème proposé par l'ennemi. La victoire glorifiait Tartaglia dans toute l'Italie, mais le problème n'était pas complètement résolu. .

Gerolamo Cardano a réussi à faire tout cela. La formule même que Dal Ferro a découverte et redécouverte par Tartaglia s'appelle la formule de Cardano (Annexe 2).

Cardano Girolamo (24.9.1501-21.9.1576) - mathématicien, mécanicien et médecin italien. Né à Pavie. Il a étudié aux universités de Pavie et Padoue. Dans sa jeunesse, il a étudié la médecine. En 1534 devient professeur de mathématiques à Milan et Bologne. En mathématiques, le nom Cardano est généralement associé à une formule de résolution d'équation cubique, qu'il a empruntée à N. Tartaglia. Cette formule a été publiée dans le livre de Cardano « Le grand art ou les règles de l'algèbre » (1545). A partir de ce moment, Tartaglia et Cardano devinrent des ennemis mortels. Ce livre présente systématiquement les méthodes modernes de Cardano pour résoudre des équations, principalement cubiques. Cardano a effectué une transformation linéaire qui a permis de réduire une équation cubique à une forme libre d'un terme du 2ème degré et a souligné la relation entre les racines et les coefficients de l'équation, et la divisibilité du polynôme par la différence x – a, si a est sa racine. Cardano a été l'un des premiers en Europe à admettre l'existence de racines négatives d'équations. Dans son œuvre, des quantités imaginaires apparaissent pour la première fois. En mécanique, Cardano a étudié la théorie des leviers et des poids. L'un des mouvements d'un segment le long des côtés d'un angle droit en mécanique est appelé un nouveau mouvement de carda. Ainsi, en utilisant la formule de Cardano, vous pouvez résoudre des équations de la forme x 3 +рх+q=0 (Annexe 3)

Il semble que le problème ait été résolu. Il existe une formule pour résoudre des équations cubiques.

Elle est là!

L'expression à la racine est discriminant. ré = () 2 + () 3 3 - J'ai décidé de revenir à mon équation et d'essayer de la résoudre en utilisant la formule de Cardano : Mon équation ressemble à : y 6у - 2=0, où p= - 6=-; q = - 2 = - . C'est facile de calculer ça () 3 = =- et () 2 = =, () 2 + () 3 = = - = - . Alors, quelle est la prochaine étape ? J'ai facilement extrait la racine du numérateur de cette fraction, il s'est avéré être 15. Que faire du dénominateur ? Non seulement la racine n’est pas complètement extraite, mais il faut aussi l’extraire d’un nombre négatif ! Quel est le problème? On peut supposer que cette équation n’a pas de racines, car pour DAinsi, en travaillant sur le projet, j'ai rencontré un autre problème.

1. Quel est le problème? J'ai commencé à composer des équations qui ont des racines, mais ne contiennent pas le terme du carré de l'inconnu :

composé une équation de racine x = - 4. x3 3 +15*(-4)+124=- 64 – 60 +124=0,

+15x+124=0 Et effectivement, en vérifiant j'étais convaincu que -4 est la racine de l'équation. (-4)

J'ai vérifié si cette racine pouvait être obtenue en utilisant la formule de Cardano x=+=+= =1- 5 =- 4

1. Compris, x = -4. 3 composé la deuxième équation ayant une racine réelle x=1 : x

+ 3x – 4 =0 et vérifié la formule.

1. Et dans ce cas précis, la formule a parfaitement fonctionné. 3 +6x+2=0, qui a une racine irrationnelle.

Après avoir résolu cette équation, j'ai obtenu cette racine x = - Et puis j'ai eu une hypothèse : la formule fonctionnait si l'équation n'avait qu'une seule racine. Et mon équation, dont la solution m'a conduit dans une impasse, avait trois racines ! C’est ici qu’il faut chercher la raison !Maintenant, j'ai pris une équation qui a trois racines : 1 ; 2 ; -3. x3 – 7x +6=0 p= -7 ; q = 6. Vérifié le discriminant : D = () 2 + () 3 = () 3 + (-) 3 = 9 -

Comme je l’avais supposé, le signe de la racine carrée s’est à nouveau avéré être un nombre négatif. J'en suis arrivé à la conclusion :chemin vers trois racines de l'équation x 3 +px+q=0 conduit à l’opération impossible de prendre la racine carrée d’un nombre négatif.

1. Il ne me reste plus qu'à découvrir ce que je rencontrerai dans le cas où l'équation aurait deux racines. J'ai choisi une équation qui a deux racines : x 3 – 12 x + 16 = 0. p = -12, q = 16.

D=() 2 +() 3 =() 2 +() 3 =64-64=0 D = 64 – 64 = 0. Nous pourrions maintenant conclure que le nombre de racines d'une équation cubique de la forme x 3 +px+q=0 dépend du signe du discriminant D=() 2 +() 3 de la manière suivante :

Si D>0, alors l’équation a 1 solution.

Si D

Si D=0, alors l'équation a 2 solutions.

J'ai trouvé la confirmation de ma conclusion dans un ouvrage de référence sur les mathématiques, de l'auteur N.I. Bronshtein. Donc ma conclusion: La formule de Cardano peut être utilisée lorsque l'on est sûr que la racine est unique. Tome réussi à établir qu'il existe une formule pour trouver les racines d'une équation cubique, mais pour la forme x 3 + px + q = 0.

3. Partie pratique.

Travailler sur le projet «... m'a beaucoup aidé à résoudre certains problèmes avec les paramètres. Par exemple:1. Quelle est la plus petite valeur naturelle de a l'équation x 3 -3x+4=a a 1 solution ? L'équation a été réécrite comme x3-3x+4-a=0; p= -3 ; q=4-a. Selon la condition, il doit avoir 1 solution, c'est-à-dire D>0 Trouvons D. D=() 2 +(-) 3 = +(-1) 3 = == a 2 -8a+12>0

UNE (-∞;2) (6; ∞)

La plus petite valeur naturelle de a de cet intervalle est 1.

Répondre. 1

2. À quoi la plus grande valeur naturelle du paramètre a, l'équation x 3 + x2 -8x+2-a=0 a trois racines ?

Équation x 3 + 3x 2 -24x+6-3a=0 se réduit à la forme y 3 +py+q=0, où a=1 ; dans=3 ; c = -24 ; d=6-3a où q= - + et 3 p = q=32-3a; p=-27. Pour ce type d'équation D=() 2 + () 3 =() 2 +(-9) 3 = -729 =; D 2 -4 *9* (-1892) = 36864 + 68112 = 324 2 et 1 = ==28, et 2 == - = -7.

+_ . __-___ . _+

7 28

Un (-7 ; 28)

La plus grande valeur naturelle de a de cet intervalle est 28.

Réponse.28

3. En fonction des valeurs du paramètre a, trouvez le nombre de racines de l'équation x3 – 3x – a=0

Solution. Dans l'équation p = -3 ; q = -une. D=() 2 + () 3 =(-) 2 +(-1) 3 = -1=.

_+ . __-__ . _+

Pour a (-∞;-2) (2;∞) l'équation a 1 solution ;

Quand a (-2;2) l'équation a 3 racines ;

Quand a = -2 ; L'équation 2 a 2 solutions.

Essais :

1. Combien de racines les équations ont-elles :

1) x 3 -12x+8=0 ?

une) 1 ; b) 2 ; à 3; d)4

2)x3-9x+14=0

une) 1 ; b) 2 ; à 3; d)4

2. Pour quelles valeurs de p est l'équation x 3 +px+8=0 a deux racines ?

a)3 ; b) 5 ; à 3; d)5

Réponse : 1.d) 4

2.c) 3.

3.c)-3

Le mathématicien français François Viète (1540-1603) a su, 400 ans avant nous (Annexe 4), établir un lien entre les racines d'une équation du second degré et leurs coefficients.

X1 + X2 = -p ;

X 1 ∙x 2 =q.

Je voulais savoir : est-il possible d'établir un lien entre les racines d'une équation du troisième degré et leurs coefficients ? Si oui, quel est ce lien ? C'est ainsi qu'est né mon mini-projet. J'ai décidé d'utiliser mes compétences existantes en équations quadratiques pour résoudre mon problème. J'ai agi par analogie. J'ai pris l'équation x 3 + pixels 2 +qx+r =0. Si l'on note les racines de l'équation x1, x2, x3 , alors l'équation peut s'écrire sous la forme (x-x 1 ) (x-x 2) (x-x 3 )=0 En ouvrant les parenthèses, on obtient : x 3 -(x 1 +x 2 +x 3)x 2 +(x 1 x 2 + x 1 x 3 +x 2 x 3)x - x 1 x 2 x 3 =0. Nous avons le système suivant :

X 1 + x 2 + x 3 = - p ;

X 1 x 2 x 3 = -r.

Ainsi, il est possible d'associer les racines d'équations de degré arbitraire à leurs coefficients.Que peut-on apprendre du théorème de Vieta dans la question qui m’intéresse ?

1. Le produit de toutes les racines de l’équation est égal au module du terme libre. Si les racines de l’équation sont des nombres entiers, alors elles doivent être des diviseurs du terme libre.

Revenons à l'équation x 3 + 2x2 -5x-6=0. Les entiers doivent appartenir à l'ensemble : ±1 ; ±2 ; ±3 ; ±6. En remplaçant systématiquement les nombres dans l'équation, nous obtenons les racines : -3 ; -1; 2.

2. Si vous résolvez cette équation par factorisation, le théorème de Vieta donne un « indice » :Il est nécessaire que lors de la compilation des groupes pour la décomposition, des nombres apparaissent - diviseurs du terme libre. Il est clair que vous n’apprendrez peut-être pas tout de suite, car tous les diviseurs ne sont pas des racines de l’équation. Et, hélas, cela peut ne pas fonctionner du tout - après tout, les racines de l'équation peuvent ne pas être des nombres entiers.

Résolvons l'équation x 3 +2x2 -5x-6=0 factorisation. X 3 +2x 2 -5x-6=x 3 +(3x 2 - x 2)-3x-2x-6=x 2 (x+3)– x(x+3) – 2(x+3)=(x+3)(x 2 –x-2)= =(x+3)(x 2 +x -2x -2)=(x+3)(x(x+1)-2(x+1))=(x+2)(x+1)(x-2) L'équation originale est équivalente à : (x+2)(x+1)(x-2)=0. Et cette équation a trois racines : -3 ; -1 ;2. En utilisant « l’indice » du théorème de Vieta, j’ai résolu l’équation suivante : x 3 -12x+16=0 x 1 x 2 x 3 = -16. Diviseurs de termes libres : ±1 ;±2 ;±4 ;±8 ;±16. X 3 -12x+16= x 3 -4x-8x+16= (x 3 -4x)-(8x-16)=x(x 2 -4)-8(x-2)=x(x-2)(x+2)-8(x-2)=

=(x-2)(x(x+2)-8)=(x-2)(x 2 +2x-8) (x-2)(x 2 +2x-8)=0 x-2=0 ou x 2 +2x-8=0 x=2 x 1 =-4 ; x2 =2. Répondre. -4 ; 2.

3. Connaissant le système d'égalités résultant, vous pouvez trouver les coefficients inconnus de l'équation à partir des racines de l'équation.

Essais :

1. Équation x 3 + px 2 + 19x - 12=0 a les racines 1, 3, 4. Trouvez le coefficient p ; Répondre. une) 12 ; b) 19 ; à 12; d) -8 2. Équation x 3 – 10 x 2 + 41x +r=0 a les racines 2, 3, 5. Trouvez le coefficient r ; Répondre. a) 19 ; b) -10 ; c) 30 ; d) -30.

Les tâches permettant d'appliquer les résultats de ce projet en quantité suffisante peuvent être trouvées dans le manuel destiné aux candidats aux universités, édité par M.I. Skanavi. La connaissance du théorème de Vieta peut être d'une aide inestimable pour résoudre de tels problèmes.

№6.354

4. Conclusion

1. Il existe une formule exprimant les racines d'une équation algébrique à travers les coefficients de l'équation : où D==() 2 + () 3 D>0,1 solution. Formule Cardano.

2. Propriété des racines de l'équation cubique

X 1 + x 2 + x 3 = - p ;

X1. x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = q;

X 1 x 2 x 3 = -r.

En conséquence, je suis arrivé à la conclusion qu'il existe une formule qui exprime les racines des équations cubiques à travers ses coefficients, et qu'il existe également un lien entre les racines et les coefficients de l'équation.

5. Littérature :

1. Dictionnaire encyclopédique d'un jeune mathématicien. A.P. Savin. –M. : Pédagogie, 1989.

2.Examen d'État unifié en mathématiques - 2004. Problèmes et solutions. V.G.Agakov, N.D.Polyakov, M.P.Urukova et autres. Maison d'édition Tchouvache. Université, 2004.

3.Équations et inégalités avec paramètres. V.V. Mochalov, V.V. Silvestrov. Équations et inégalités avec paramètres : Manuel. allocation. – Cheboksary : ​​Maison d'édition Chuvash. Université, 2004.

4.Problèmes mathématiques. Algèbre. Manuel de référence. Vavilov V.V., Olehnik S.N.-M. : Nauka, 1987.

5. Solveur de tous les problèmes compétitifs en mathématiques, collection éditée par M.I. Skanavi. Maison d'édition "Encyclopédie ukrainienne" du nom de M.P. Bazhov, 1993.

6.Derrière les pages d'un manuel d'algèbre. L.F.Pichurin.-M. : Éducation, 1990.

Aperçu:

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Légendes des diapositives :

Jetons un coup d'œil au monde des formules

L'enseignement mathématique reçu dans les écoles secondaires est une composante essentielle de l'enseignement général et de la culture générale de l'homme moderne. Presque tout ce qui entoure une personne est lié d’une manière ou d’une autre aux mathématiques. Et les progrès récents dans les domaines de la physique, de la technologie et des technologies de l’information ne laissent aucun doute sur le fait qu’à l’avenir, la situation restera la même. Par conséquent, résoudre de nombreux problèmes pratiques revient à résoudre différents types d'équations que vous devez apprendre à résoudre. On nous a appris à résoudre des équations linéaires du premier degré en première année et nous n'y avons pas montré beaucoup d'intérêt. Les équations non linéaires sont plus intéressantes - les équations de grands degrés. Les mathématiques révèlent l’ordre, la symétrie et la certitude, et ce sont les types de beauté les plus élevés. Introduction:

l'équation a la forme (1) on transforme l'équation de manière à isoler le cube exact : on multiplie (1) les équations par 3 (2) on transforme (2) les équations on obtient l'équation suivante on relève la droite et la gauche côtés de (3) de l'équation à la puissance trois on trouve les racines de l'équation Exemples de solutions équations cubiques

Équations quadratiques de la forme où le discriminant Il n'y a pas de racines parmi les nombres réels

Équation du troisième degré

Contexte historique : À cette époque lointaine, lorsque les sages ont commencé à penser aux égalités contenant des quantités inconnues, il n’existait probablement ni pièces ni portefeuilles. Dans les anciens problèmes mathématiques de la Mésopotamie, de l'Inde, de la Chine, de la Grèce, les grandeurs inconnues exprimaient le nombre de paons dans le jardin, le nombre de taureaux dans le troupeau et l'ensemble des choses prises en compte lors du partage des biens. Les sources qui nous sont parvenues indiquent que les scientifiques anciens disposaient de techniques générales pour résoudre des problèmes avec des quantités inconnues. Cependant, pas un seul papyrus ou tablette d’argile ne contient une description de ces techniques. Une exception est « Arithmétique » du mathématicien grec Diophante d'Alexandrie (IIIe siècle) - un ensemble de problèmes pour composer des équations avec une présentation systématique de leurs solutions. Cependant, le premier manuel de résolution de problèmes largement connu fut l'ouvrage du scientifique de Bagdad du IXe siècle. Muhammad Ben Musa al-Khwarizmi.

l'équation a la forme (1) appliquer la formule 1) en sélectionnant trouver et pour que l'égalité suivante soit vraie, on transforme le côté gauche de (1) l'équation comme suit : en sélectionnant le cube complet, prendre la somme comme y, on obtient une équation pour y (2) simplifier (2) équation ( 3) Dans (3) le terme contenant le carré de l'inconnue a disparu, mais le terme contenant le premier degré de l'inconnue est resté 2) par sélection, trouver et pour que le L'égalité suivante est valable. Une telle égalité est impossible puisqu'il y a un nombre positif à gauche et un nombre négatif à gauche. Si nous suivons ce chemin, nous resterons bloqués... Nous échouerons sur le chemin choisi. Nous ne pouvons pas encore résoudre l’équation.

Les équations cubiques sont des équations de la forme où (1) 1. Simplifions les équations en les divisant par a, alors le coefficient de « x » devient égal à 1, donc la solution de toute équation cubique est basée sur la formule de la somme du cube : (2) si l'on prend alors l'équation (1) ne diffère de l'équation (2) que par le coefficient de x et le terme libre. Additionnons les équations (1) et (2) et présentons des équations similaires : si nous effectuons ici une substitution, nous obtenons une équation cubique pour y sans terme :

Cardano Girolamo

Cardano Girolamo (24.9.1501-21.9.1576) - mathématicien, mécanicien et médecin italien. Né à Pavie. Il a étudié aux universités de Pavie et Padoue. Dans sa jeunesse, il a étudié la médecine. En 1534 devient professeur de mathématiques à Milan et Bologne. En mathématiques, le nom Cardano est généralement associé à une formule de résolution d'équation cubique, qu'il a empruntée à N. Tartaglia. Cette formule a été publiée dans le livre de Cardano « Le grand art ou les règles de l'algèbre » (1545). A partir de ce moment, Tartaglia et Cardano devinrent des ennemis mortels. Ce livre présente systématiquement les méthodes modernes de Cardano pour résoudre des équations, principalement cubiques. Cardano a effectué une transformation linéaire qui a permis de réduire une équation cubique à une forme libre d'un terme du 2ème degré il a souligné la relation entre les racines et les coefficients de l'équation, et la divisibilité du polynôme par la différence x ; –a, si a est sa racine. Cardano a été l'un des premiers en Europe à admettre l'existence de racines négatives d'équations. Dans son œuvre, des quantités imaginaires apparaissent pour la première fois. En mécanique, Cardano a étudié la théorie des leviers et des poids. L'un des mouvements d'un segment le long des côtés d'un angle droit de la mécanique est appelé mouvement de cardan. Biographie de Cardano Girolamo

Au même moment, dans la ville italienne de Vérone vivait un pauvre professeur de mathématiques, Nicolo (1499-1557), surnommé Tartaglia (c'est-à-dire le bègue). Il était très talentueux et a réussi à redécouvrir la technique du Dal Ferro. Un duel a eu lieu entre Fiore et Tartaglia. Selon la condition, les rivaux ont échangé 30 problèmes, dont la solution a été donnée dans 50 jours. Mais comme Fior ne connaissait essentiellement qu'un seul problème et était sûr qu'un enseignant ne pourrait pas le résoudre, les 30 problèmes se sont révélés être du même type. Tartaglia s'en est occupé en deux heures. Fiore n'a pas pu résoudre un seul problème proposé par l'ennemi. La victoire a rendu Tartaglia célèbre dans toute l'Italie, mais le problème n'était pas complètement résolu. La technique simple avec laquelle nous pouvions traiter un membre de l'équation contenant un carré de valeur inconnue (sélection d'un cube complet) n'avait pas encore été découverte. et la solution d'équations de différents types n'a pas été introduite dans le système. Le duel de Fiore avec Tartaglia

une équation de la forme à partir d'une équation donnée et calculons le discriminant de l'équation. Non seulement la racine de cette équation n'est pas entièrement extraite, mais elle doit également être extraite d'un nombre négatif. Quel est le problème? On peut supposer que cette équation n’a pas de racines, car D

Les racines d'une équation cubique dépendent du discriminant l'équation a 1 solution l'équation a 3 solutions l'équation a 2 solutions Conclusion

l'équation a la forme : trouver les racines de l'équation à l'aide de la formule de Cardano Exemples de résolution d'équations cubiques à l'aide de la formule de Cardano

une équation de la forme (1) à partir d'une équation donnée et puisque, par condition, cette équation doit avoir 1 solution, alors Calculer le discriminant (1) de l'équation + - + 2 6 Réponse : la plus petite valeur naturelle de a de cette l'intervalle est 1. À quelle est la plus petite valeur naturelle de a, l'équation a-t-elle 1 solution ?

Résolution d'équations cubiques à l'aide de la méthode Vieta Les équations ont la forme

Résolvez une équation si l'on sait que le produit de ses deux racines est égal à 1 par le théorème de Vieta et la condition dans laquelle nous avons ou substituons la valeur dans la première équation ou substituons la valeur de la troisième équation dans la première, nous obtenons les racines de l'équation ou la réponse :

Littérature utilisée : « Mathématiques. Manuel pédagogique et méthodologique » Yu.A Gusman, A.O. Encyclopédie « J'explore le monde. Mathématiques" - Moscou, AST, 1996. " Mathématiques. Manuel pédagogique et méthodologique » V.T. Lisitchkine. Un manuel destiné aux candidats aux universités, édité par M.I. Skanavi. Examen d'État unifié en mathématiques - 2004.

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