Conditions aux limites du premier et du deuxième type. Conditions aux limites et initiales

U| x=0 = g 1 (t),U| x=l = g 2 (t)

Ces conditions signifient physiquement que les modes d'oscillation sont spécifiés aux extrémités.

II. Conditions aux limites du deuxième type

U X | x=0 = g 1 (t), U X | x=l = g 2 (t)

De telles conditions correspondent au fait que les forces sont spécifiées aux extrémités.

III. Conditions aux limites du troisième type

(U X -σ 1 U)| x=0 = g 1 (t) , (U X –σ 2 U)| x=l = g 2 (t)

Ces conditions correspondent à une fixation élastique des extrémités.

Les conditions aux limites (5), (6) et (7) sont dites homogènes si les membres droits g 1 (t) et g 2 (t) sont identiques à zéro pour toutes les valeurs de t. Si au moins une des fonctions des côtés droits n’est pas égale à zéro, alors les conditions aux limites sont dites inhomogènes.

Les conditions aux limites sont formulées de la même manière dans le cas de trois ou quatre variables, à condition que l'une de ces variables soit le temps. La frontière dans ces cas sera soit une courbe fermée Г, délimitant une certaine région plate, soit une surface fermée Ω, délimitant une région dans l'espace. La dérivée de la fonction, qui apparaît dans les conditions aux limites de deuxième et troisième espèces, changera en conséquence. Ce sera la dérivée par rapport à la normale n à la courbe Г sur le plan ou à la surface Ω dans l'espace, et, en règle générale, la normale externe à la région est considérée (voir Fig. 5).

Par exemple, une condition aux limites (homogène) du premier type sur un plan s’écrit U| Γ =О, dans l'espaceU| Ω =0. La condition aux limites du deuxième type dans le plan a la forme , et dans l'espace . Bien entendu, la signification physique de ces conditions est différente selon les problèmes.

Lors de la définition des conditions initiales et aux limites, le problème se pose de trouver une solution à une équation différentielle qui satisfait les conditions initiales et aux limites (aux limites) données. Pour l'équation d'onde (3) ou (4), les conditions initiales U(x,0)=φ(x), U t (x,0)=ψ(x) et dans le cas de conditions aux limites de première espèce ( 5), le problème s'appelle le premier problème de valeur limite initiale pour l'équation d'onde. Si, au lieu de conditions aux limites du premier type, des conditions du deuxième type (6) ou du troisième type (7) sont spécifiées, alors le problème sera appelé respectivement : les deuxième et troisième problèmes de valeurs limites initiales. Si les conditions aux limites sur différentes sections de la frontière ont des types différents, alors de tels problèmes de valeur aux limites initiales sont appelés mixte.

Considérez deux problèmes électrostatiques typiques :

1) Trouver le potentiel de champ électrique pour un emplacement inconnu des charges initiales, mais un potentiel électrique donné aux limites de la région. (Par exemple, le problème de la répartition du potentiel d'un champ électrique créé par un système de conducteurs fixes placés sous vide et connectés à des batteries. Ici il est possible de mesurer le potentiel de chaque conducteur, mais il est très difficile de déterminer la répartition des charges électriques sur les conducteurs, en fonction de leur forme.)

2) Trouver le potentiel du champ électrique créé par une répartition donnée des charges électriques dans l'espace.

Il est bien connu que la méthode directe pour calculer le potentiel du champ électrique dans ces problèmes consiste à résoudre Équations de Laplace(tache 1)

(1)

Et équations de Poisson(tâche 2)

. (2)

Les équations (1), (2) appartiennent à la classe des équations aux dérivées partielles type elliptique.

De plus nous ne considérerons qu'un cas particulier d'équations elliptiques pour le champ , dépendant de deux variables spatiales. Il est bien évident que pour résoudre complètement le problème, les équations (1), (2) doivent être complétées par des conditions aux limites. Il existe trois types de conditions aux limites :

1) Conditions aux limites de Dirichlet(les valeurs de  sont spécifiées sur une courbe fermée dans le plan (x,y) et, éventuellement, sur certaines courbes supplémentaires situées à l'intérieur de la région (Fig. 1)) ;

2) Conditions aux limites de Neumann(à la frontière la dérivée normale du potentiel  est spécifiée) ;

3) problème de valeur limite mixte(une combinaison linéaire du potentiel  et de sa dérivée normale est spécifiée à la frontière).

Détermine la température à la surface du corps à tout moment, c'est-à-dire

T s = T s (x, y, z, t) (2.15)

Riz. 2.4 – Condition aux limites isotherme.

Quelle que soit la façon dont la température à l'intérieur du corps change, la température des points à la surface obéit à l'équation (2.15).

La courbe de répartition de la température dans le corps (Fig. 2.4) à la limite du corps a une ordonnée donnée Ts , qui peut évoluer avec le temps. Un cas particulier de condition aux limites du premier type est isotherme condition limite dans laquelle la température de la surface du corps reste constante tout au long du processus de transfert de chaleur :

T s = const.

Riz. 2.5 – Condition de première espèce

Pour imaginer un tel état du corps, il faut supposer que symétriquement à la source de chaleur agissant dans le corps, il existe à l'extérieur de celui-ci une autre source de chaleur fictive avec un signe négatif (appelée dissipateur thermique). De plus, les propriétés de ce dissipateur thermique coïncident exactement avec les propriétés de la source de chaleur réelle, et la répartition de la température est décrite par la même expression mathématique. L'effet total de ces sources va conduire à l'établissement d'une température constante à la surface du corps, dans le cas particulier T = 0 8C , tandis qu'à l'intérieur du corps, la température des points change continuellement.

Condition aux limites du deuxième type

Détermine la densité du flux thermique en tout point de la surface du corps à tout moment, c'est-à-dire

Selon la loi de Fourier, la densité du flux thermique est directement proportionnelle au gradient de température. Par conséquent, le champ de température à la frontière a un gradient donné (Fig. b), dans le cas particulier constant, lorsque

Un cas particulier de condition aux limites du deuxième type est la condition aux limites adiabatique, lorsque le flux de chaleur à travers la surface du corps est nul (Fig. 2.6), c'est-à-dire

Riz. 2.6 - Condition aux limites du deuxième type

Dans les calculs techniques, il arrive souvent que le flux de chaleur provenant de la surface d'un corps soit faible par rapport aux flux à l'intérieur du corps. Nous pouvons alors accepter cette frontière comme adiabatique. Lors du soudage, un tel cas peut être représenté par le schéma suivant (Fig. 2.7).

Riz. 2.7 – Condition du deuxième type

À ce point À PROPOS la source de chaleur est active. Pour remplir la condition selon laquelle la frontière ne laisse pas passer la chaleur, il faut placer la même source à l'extérieur du corps, symétriquement à cette source, au point Ô 1 , et le flux de chaleur qui en découle est dirigé contre le flux de la source principale. Ils s’annulent, c’est-à-dire que la frontière ne laisse pas passer la chaleur. Or, la température du bord du corps serait deux fois plus élevée si ce corps était infini. Cette méthode de compensation du flux thermique est appelée méthode de réflexion, car dans ce cas la frontière imperméable à la chaleur peut être considérée comme une frontière réfléchissant le flux thermique provenant du métal.

Condition aux limites du troisième type.

Détermine la température ambiante et la loi de l'échange thermique entre la surface du corps et l'environnement. La forme la plus simple de la condition aux limites du troisième type est obtenue si le transfert de chaleur à la frontière est donné par l'équation de Newton, qui exprime que la densité du flux thermique de transfert de chaleur à travers la surface limite est directement proportionnelle à la différence de température entre le surface limite et environnement

La densité du flux thermique circulant vers la surface limite depuis le côté du corps est, selon la loi de Fourier, directement proportionnelle au gradient de température sur la surface limite :

En assimilant le flux de chaleur provenant du corps au flux de transfert de chaleur, on obtient une condition aux limites du 3ème type :

,

exprimant que le gradient de température sur la surface limite est directement proportionnel à la différence de température entre la surface du corps et l'environnement. Cette condition nécessite que la tangente à la courbe de répartition de la température au point limite passe par le point guide. À PROPOS avec une température située à l'extérieur du corps, à distance de la surface limite (Fig. 2.8).

Figure 2.8 – Condition aux limites de 3ème sorte

A partir de la condition aux limites du 3ème type, une condition aux limites isotherme peut être obtenue comme cas particulier. Si, ce qui se produit avec un coefficient de transfert thermique très élevé ou un coefficient de conductivité thermique très faible, alors :

et , c'est-à-dire la température de la surface du corps est constante tout au long du processus de transfert de chaleur et est égale à la température ambiante.

Une formation productive ou une partie isolée de celle-ci peut être considérée comme une certaine zone d'espace, limitée par des surfaces - limites. Les limites peuvent être imperméables aux liquides ou aux gaz, comme le haut et le bas d'une formation, les failles et les surfaces pincées. La surface limite est aussi la surface le long de laquelle la formation communique avec la zone d'alimentation (avec la surface diurne, avec un réservoir naturel), c'est ce qu'on appelle le circuit d'alimentation ; la paroi du puits constitue la limite interne de la formation.

Pour obtenir une solution à un système d’équations, il est nécessaire d’ajouter des conditions initiales et aux limites.

Condition initiale consiste à spécifier la fonction souhaitée dans l'ensemble du domaine à un moment donné, pris comme initial. Par exemple, si la fonction souhaitée est la pression du réservoir, alors la condition initiale peut avoir la forme

Les conditions aux limites (bords) sont définies aux limites de la formation. Le nombre de conditions aux limites doit être égal à l'ordre de l'équation différentielle en coordonnées.

Les conditions aux limites suivantes sont possibles.

Conditions aux limites du premier type. A la limite, les valeurs de pression sont fixées :

Puisque, selon la loi de Darcy, le débit de filtration est lié au gradient de pression, cette condition aux limites peut s’écrire sous la forme suivante :

Considérons les conditions aux limites dans le cas d'un afflux vers la galerie. La galerie a deux bordures, une à x = 0 , et le deuxième (circuit de puissance) x = L . Il est donc nécessaire de définir une condition aux limites à chaque frontière. La condition de pression constante ou la condition d'imperméabilité des limites est fixée sur le circuit d'alimentation

Le débit de filtration est lié au gradient de pression, donc la deuxième condition aux limites s'écrit :

La deuxième condition aux limites peut s’écrire :

Le débit de filtration est lié au gradient de pression, donc la deuxième condition aux limites s'écrit :

Conditions initiales et aux limites. Un élément essentiel et le plus important dans la formulation de tout problème de mécanique des milieux continus est la formulation des conditions initiales et aux limites. Leur importance est déterminée par le fait que l'un ou l'autre système d'équations de résolution décrit toute une classe de mouvements du milieu déformable correspondant, et seule la définition des conditions initiales et aux limites correspondant au processus étudié permet de sélectionner dans cette classe un cas particulier d’intérêt correspondant au problème pratique à résoudre.

Les conditions initiales sont les conditions qui fixent les valeurs des fonctions caractéristiques souhaitées au moment où commence l'examen du processus étudié. Le nombre de conditions initiales spécifiées est déterminé par le nombre de fonctions inconnues principales incluses dans le système de résolution d'équations, ainsi que par l'ordre de la dérivée temporelle supérieure incluse dans ce système. Par exemple, le mouvement adiabatique d'un liquide idéal ou d'un gaz parfait est décrit par un système de six équations avec six inconnues principales - trois composantes du vecteur vitesse, de la pression, de la densité et de l'énergie interne spécifique, tandis que l'ordre des dérivées temporelles de ces grandeurs physiques ne dépassent pas le premier ordre. En conséquence, les champs initiaux de ces six grandeurs physiques doivent être spécifiés comme conditions initiales : à t =0,. Dans certains cas (par exemple, dans la théorie dynamique de l'élasticité), ce ne sont pas les composantes du vecteur vitesse, mais les composantes du vecteur déplacement qui sont utilisées comme principales inconnues dans le système de résolution des équations, et l'équation du mouvement contient la seconde -dérivées d'ordre des composantes du déplacement, ce qui nécessite de fixer deux conditions initiales pour la fonction souhaitée : à t = 0

Lors de la définition de problèmes en mécanique des milieux continus, les conditions aux limites sont spécifiées d'une manière plus complexe et plus variée. Les conditions aux limites sont les conditions qui précisent les valeurs des fonctions recherchées (ou leurs dérivées par rapport aux coordonnées et au temps) sur la surface S de la région occupée par le milieu déformable. Il existe plusieurs types de conditions aux limites : cinématiques, dynamiques, mixtes et de température.

Les conditions aux limites cinématiques correspondent au cas où des déplacements ou des vitesses sont précisés sur la surface S d'un corps (ou d'une partie de celui-ci) où sont les coordonnées des points de la surface S, qui varient généralement en fonction du temps.

Les conditions aux limites dynamiques (ou conditions aux limites de contraintes) sont spécifiées lorsque les forces de surface p agissent sur la surface S. Comme il ressort de la théorie des contraintes, dans ce cas, sur toute surface élémentaire avec un vecteur normal unitaire n, le vecteur des forces de surface spécifiques pn définit de force le vecteur de contrainte totale ?n = pn, agissant dans un milieu continu en un point sur a surface donnée, ce qui conduit à la relation des contraintes tensorielles (?) en ce point avec la force superficielle et l'orientation du vecteur n de la surface correspondante : (?) · n = pn ou.

Les conditions aux limites mixtes correspondent au cas où les valeurs des grandeurs cinématiques et dynamiques sont spécifiées sur la surface S ou où des relations entre elles sont établies.

Les conditions aux limites de température sont divisées en plusieurs groupes (genre). Les conditions aux limites du premier type fixent certaines valeurs de température T sur la surface S du milieu déformable. Les conditions aux limites du deuxième type fixent le vecteur de flux de chaleur q à la frontière, ce qui, en tenant compte de la loi de Fourier de conductivité thermique. , q = -- ? Le grade T impose essentiellement des restrictions sur la nature de la distribution de température à proximité du point limite. Les conditions aux limites du troisième type établissent la relation entre le vecteur flux de chaleur q dirigé vers un milieu donné depuis l'environnement et la différence de température entre ces milieux, etc.

Il convient de noter que la formulation et la solution de la plupart des problèmes de physique des processus rapides sont généralement effectuées dans l'approximation adiabatique, c'est pourquoi les conditions aux limites de température sont utilisées assez rarement, principalement des conditions aux limites cinématiques, dynamiques et mixtes ; dans diverses combinaisons. Considérons les options possibles pour définir les conditions aux limites à l'aide d'un exemple particulier.

En figue. La figure 3 montre schématiquement le processus d'interaction lorsque le corps déformable I pénètre la barrière déformable II. Le corps I est limité par les surfaces S1 et S5, et le corps II par les surfaces S2, S3, S4, S5. La Surface S5 est l'interface entre les corps déformables en interaction. Nous supposerons que le mouvement du corps I avant le début de l'interaction, ainsi que pendant son processus, se produit dans un liquide créant une certaine pression hydrostatique

figure 3

et préciser des forces superficielles pn = -- pn = -- pni ri, extérieures aux deux corps, agissant sur l'une quelconque des zones élémentaires des surfaces S1 du corps I et S2 de la barrière II, bordant le liquide. Nous supposerons également que la surface Sz de la barrière est rigidement fixée et que la surface S4 est libre de l'action des forces de surface (рп = 0).

Pour l'exemple donné, les conditions aux limites des trois types principaux doivent être spécifiées sur diverses surfaces délimitant les milieux déformables I et II. Il est évident que sur la surface rigidement fixée Sз il est nécessaire de fixer des conditions aux limites cinématiques ? corps : ou Les composantes du tenseur de contraintes sur la surface de la barrière S4 ne peuvent pas non plus être arbitraires, mais sont interconnectées avec l'orientation de ses zones élémentaires comme.

Les conditions aux limites à l'interface (surface S5) des milieux déformables en interaction sont les plus complexes et concernent des conditions de type mixte, qui, à leur tour, incluent des parties cinématiques et dynamiques (voir Fig. 3). La partie cinématique des conditions aux limites mixtes impose des restrictions sur la vitesse de déplacement des points individuels des deux milieux qui sont en contact en chaque point spatial de la surface S5. Il existe deux options possibles pour définir ces restrictions, illustrées dans la Fig. 4, a et b. Selon la première option la plus simple, on suppose que les vitesses de déplacement de deux points individuels en contact sont les mêmes (? = ?) - c'est ce qu'on appelle la condition de « collage », ou condition de « soudage » (voir Fig. .4,a). Plus complexe et en même temps plus adapté au processus considéré est de définir la condition d'« impénétrabilité » ou la condition de « non-fuite » (? · n= ? · n ; voir Fig. 4, b), ce qui correspond au fait vérifié expérimentalement : les milieux déformables en interaction ne peuvent pas pénétrer

Figure 4

les uns dans les autres ou sont à la traîne les uns des autres, ou peuvent-ils glisser les uns par rapport aux autres à grande vitesse ? - ?, dirigé tangentiellement à l'interface ((?I - ?II) · n = 0). La partie dynamique des conditions aux limites mixtes à l'interface entre deux milieux est formulée sur la base de la troisième loi de Newton en utilisant les relations de la théorie des contraintes (Fig. 4, c). Ainsi, dans chacune des deux particules individuelles des milieux déformables I et II en contact, est réalisé son propre état de contrainte, caractérisé par les tenseurs de contraintes (?) I et (?) II. De plus, dans le milieu I, au niveau de chaque zone élémentaire. de l'interface avec un vecteur normal unitaire nII , externe au milieu donné, le vecteur tension totale agit ?nI = (?)·nI. Dans le milieu II, sur la même surface, mais avec un vecteur normal unitaire nII, extérieur à ce milieu, le vecteur contrainte totale ?nII = (?)II · nII agit. Prise en compte de la réciprocité de l'action et de la réaction ?nI = - ? n II, ainsi que la condition évidente nI = --nII = n, une relation s'établit entre les tenseurs de contraintes dans les deux milieux en interaction à leur interface : (?)I · p = (?) II · p ou (?ijI - ?ijII) nj = 0. Les options possibles pour spécifier les conditions aux limites ne sont pas limitées à l'exemple particulier considéré. Il existe autant d’options pour spécifier les conditions initiales et aux limites qu’il existe de nombreux processus d’interaction entre des corps ou milieux déformables dans la nature et la technologie. Ils sont déterminés par les caractéristiques du problème pratique à résoudre et sont fixés conformément aux principes généraux énoncés ci-dessus.

Une seule équation du mouvement (1.116) ne suffit pas pour une description mathématique d’un processus physique. Il est nécessaire de formuler des conditions suffisantes pour une définition sans ambiguïté du processus. Lorsque l'on considère le problème de la vibration des cordes, des conditions supplémentaires peuvent être de deux types : initiales et limites (bord).

Formulons des conditions supplémentaires pour une chaîne à extrémités fixes. Puisque les extrémités de la chaîne de longueur sont fixes, leurs écarts aux points et doivent être égaux à zéro pour tout :

, .

(1.119)

Les conditions (1.119) sont appelées frontière conditions; ils montrent ce qui se passe aux extrémités de la corde pendant le processus de vibration.

Évidemment, le processus d’oscillation dépendra de la manière dont la corde sera déséquilibrée. Il est plus pratique de supposer que la corde a commencé à vibrer à un moment donné. Au moment initial, tous les points de la corde reçoivent des déplacements et des vitesses :

,

, ,

(1.120)

où et reçoivent des fonctions.

Les conditions (1.120) sont appelées initial conditions.

Ainsi, le problème physique des oscillations des cordes a été réduit au problème mathématique suivant : trouver une solution à l'équation (1.116) (ou (1.117) ou (1.118)) qui satisferait les conditions aux limites (1.119) et les conditions initiales ( 1.120). Ce problème est appelé problème de valeurs limites mixtes, car il inclut à la fois des conditions aux limites et des conditions initiales. Il est prouvé que sous certaines restrictions imposées aux fonctions et , le problème mixte a une solution unique.

Il s'avère que les problèmes (1.116), (1.119), (1.120), outre le problème des vibrations des cordes, réduisent de nombreux autres problèmes physiques : vibrations longitudinales d'une tige élastique, vibrations de torsion d'un manche, vibrations de liquides et de gaz. dans un tuyau, etc.

En plus des conditions aux limites (1.119), d'autres types de conditions aux limites sont possibles. Les plus courants sont les suivants :

JE. , ;

II. , ;

III. , ,

où , sont des fonctions connues et , sont des constantes connues.

Les conditions aux limites données sont appelées respectivement conditions aux limites du premier, du deuxième et du troisième type. Les conditions I se produisent si les extrémités de l'objet (ficelle, tige, etc.) se déplacent selon une loi donnée ; conditions II – dans le cas où des forces spécifiées sont appliquées aux extrémités ; Conditions III – en cas de fixation élastique des extrémités.

Si les fonctions spécifiées à droite des égalités sont égales à zéro, alors les conditions aux limites sont appelées homogène. Ainsi, les conditions aux limites (1.119) sont homogènes.

En combinant les différents types de conditions aux limites répertoriés, nous obtenons six types de problèmes de valeurs limites les plus simples.

Un autre problème peut être posé pour l'équation (1.116). Que la corde soit suffisamment longue et on s'intéresse aux vibrations de ses pointes suffisamment éloignées des extrémités, et sur une courte période de temps. Dans ce cas, le mode aux extrémités n'aura pas d'effet significatif et n'est donc pas pris en compte ; la chaîne est considérée comme infinie. Au lieu d'un problème complet, un problème limite avec des conditions initiales pour un domaine illimité est posé : trouver une solution à l'équation (1.116) pour pour , satisfaisant les conditions initiales :

, .