Exemples d'espace métrique. Théorie des ensembles dans les espaces métriques

Avant Riemann, Lobatchevski, Einstein et quelques autres camarades, la géométrie était construite à partir de plans, de points invisibles et de lignes droites infinies dans les deux sens. Le temps planait fièrement sur le monde plat en trois dimensions, perçu par nous comme un certain processus, quantifié pour plus de commodité en battements de cœur et en tic-tac d'une horloge. Tout est familier, simple, compréhensible, les forces agissent, trois coordonnées dans l'espace peuvent être déterminées n'importe où - il suffit d'enfoncer une cheville.

La fin de l’idylle est venue avec l’avènement des mathématiciens explorant les espaces multidimensionnels du bout de leur plume. Ils ont construit des objets et des systèmes complexes et multicoordonnés qui étaient inconcevables pour l'œil et les sens humains, par exemple le célèbre cube à quatre dimensions, la bande de Mobius, etc. Il est progressivement devenu clair que l'espace imaginaire ne doit pas nécessairement être constitué de plans et de lignes droites avec un temps de traitement ; il peut être constitué, par exemple, d'une feuille plate enroulée dans un tube de forme irrégulière, le temps étant la longueur du tube. axe dessiné au centre du tube. Un point placé dans un tel « mauvais » espace n’aura plus jamais les trois coordonnées auxquelles nous sommes habitués, puisqu’un piquet enfoncé ne permettra pas de les mesurer. La position d'un point donné dans l'espace non euclidien devra être représentée par un ensemble complet de nombres, qui changent également continuellement conformément à certaines règles. Les règles elles-mêmes dans chaque espace fictionnel sont différentes. Un tel tableau de nombres s'appelle un tenseur ; il stocke des données sur des points dans l'espace à peu près sous la forme dans laquelle la célèbre « image de clous » stocke une image : la longueur de chaque tige est un vecteur pointant vers un point le long de la longueur. une des coordonnées, leur combinaison en donne une image, la seule et unique.

Les tenseurs sont des objets complexes, mais ils ont une chose en commun : un tenseur en tant que tableau de vecteurs bâtonnets peut être « coupé » en définissant ce qu'on appelle la matrice tensorielle - un tableau bidimensionnel dans lequel, au lieu de nombres ordinaires, il y a sont des formules décrivant les règles de sa transformation. Une matrice est un objet simple dont les opérations étaient bien développées il y a des siècles. Les chefs des mathématiciens ont commencé à travailler dur, ils ont remplacé diverses formules et construit des tenseurs pour les points dans les espaces les plus inimaginables. En fin de compte, grâce aux efforts de Minkowski, Riemann, Lorentz et Einstein, les tenseurs les plus simples ont été découverts, décrivant avec suffisamment de précision l'espace euclidien tridimensionnel et le processus temporel que nous percevons. Leurs matrices sont appelées métriques.

Par la suite, on a compris qu'en raison de la constance de la vitesse de la lumière dans le vide, prise comme base par Einstein, la métrique de Minkowski devient inapplicable à de très grandes distances entre points, ou à des taux d'interaction gravitationnelle très élevés. Les chefs de mathématiciens recommencèrent à travailler, désormais en alliance avec des physiciens qui cherchaient une confirmation expérimentale des théories. C'est ainsi qu'est apparue par exemple la métrique de Schwarzschild, qui décrit notre monde à travers la multiplication de matrices de tenseurs d'un plan rectangulaire à deux dimensions et d'une sphère à deux dimensions (c'est aussi un cercle familier, mais sous la forme d'un espace entier). La métrique de Schwarzschild a permis de décrire pourquoi nous percevons le mouvement des objets dans la sphère céleste de cette manière particulière et pas autrement. Le temps y est une valeur constante (!), introduite séparément dans chaque calcul, et la distance d'un point à un observateur est en fait une sorte de vecteur qui décrit l'étendue de l'espace (le temps) entre deux non pas des objets, mais des événements.

L’une des opérations les plus importantes de l’analyse est le passage à la limite. Cette opération est basée sur le fait que la distance d'un point à un autre est définie sur la droite numérique. De nombreux faits fondamentaux de l’analyse ne sont pas liés à la nature algébrique des nombres réels (c’est-à-dire au fait qu’ils forment un corps), mais reposent uniquement sur la notion de distance. En généralisant l'idée des nombres réels comme un ensemble dans lequel la distance entre les éléments est introduite, nous arrivons au concept d'espace métrique - l'un des concepts les plus importants des mathématiques modernes.

Espace métrique appelé un couple (X,r), composé de quelques ensembles(les espaces) X éléments(points) et distances c'est-à-dire une fonction réelle non négative r(x,y), défini pour tout X Et à depuis X et sous réserve des trois axiomes suivants :

1) r(x,y)= 0 si et seulement si X = oui,

2) r(x, y) = r(y, x)(axiome de symétrie),

3) r(x,z)≤ r(x,y)+ r (oui, r)(axiome du triangle).

L'espace métrique lui-même, c'est-à-dire la paire (X, ρ), Nous désignerons, en règle générale, par une lettre :

R = (X, ρ).

Dans les cas où les malentendus sont exclus, nous désignerons souvent l'espace métrique avec le même symbole que le « stock de points » lui-même. X.

Donnons des exemples d'espaces métriques. Certains de ces espaces jouent un rôle très important dans l’analyse.

1. Paramétrage des éléments d'un ensemble arbitraire

on obtient évidemment un espace métrique. On peut l'appeler l'espace des points isolés.

2. Ensemble de nombres réels avec distance

ρ(x, y) = | x - y |

forme un espace métrique R. 1 .

3. L’ensemble des ensembles ordonnés de P. nombres réels avec distance

appelé P.-espace euclidien arithmétique dimensionnel R.n.

4. Considérons le même ensemble d'ensembles de P. nombres réels, mais nous définissons la distance par la formule

La validité des axiomes 1)-3) est ici évidente. Notons cet espace métrique par le symbole R.n 1 .

5. Reprenez le même ensemble que dans les exemples 3 et 4, et déterminez la distance entre ses éléments par la formule

La validité des axiomes 1)-3) est évidente. C'est l'espace que nous désignerons R.n¥ dans de nombreuses questions d'analyse non moins pratique que l'espace euclidien R.n.

Les trois derniers exemples montrent que parfois il est effectivement important d'avoir des notations différentes pour l'espace métrique lui-même et pour l'ensemble de ses points, puisqu'un même stock de points peut être métrisé de différentes manières.

6. Beaucoup AVEC toutes les fonctions réelles continues définies sur l'intervalle avec distance

forme également un espace métrique. Les axiomes 1)-3) sont vérifiés directement. Cet espace joue un rôle très important dans l'analyse. Nous le désignerons par le même symbole AVEC, qui est l’ensemble des points de cet espace lui-même.

7. Considérons, comme dans l'exemple 6, l'ensemble de toutes les fonctions continues sur l'intervalle AVEC , mais définissons la distance différemment, à savoir, mettons

Nous désignerons un tel espace métrique AVEC 2 et appelle espace de fonctions continues avec métrique quadratique.

Qu'est-ce qu'une métrique ? A quoi cela sert? Est-ce un champ physique ?

La métrique de notre époque est étroitement liée à la théorie de la gravité, grâce aux travaux de Hilbert et Einstein ainsi que de Grossman. Cependant, il a été introduit en mathématiques bien avant cela. Si je ne me trompe pas, Riemann et Gauss furent parmi les premiers à l'utiliser explicitement d'une manière ou d'une autre. Nous essaierons d’abord de comprendre son rôle en géométrie et ensuite seulement nous verrons comment la métrique est devenue la structure principale du GTR, la Théorie Générale de la Relativité.

Il existe aujourd'hui une définition assez détaillée et claire des espaces métriques de forme assez générale :

Un espace métrique (« équipé d'une métrique ») en mathématiques est un espace dans lequel pour deux de ses points ordonnés (c'est-à-dire que l'un d'eux est appelé le premier et l'autre est appelé le second), un nombre réel est défini de telle sorte qu'il soit égal à zéro, si et seulement si, lorsque les points coïncident et que l'inégalité du « triangle » est satisfaite - pour trois points quelconques (x, y, z), ce nombre pour toute paire (x, y) est égal ou inférieur à la somme de ces nombres pour les deux autres paires, (x,z) et (y,z). Il résulte également de la définition que ce nombre est non négatif et ne change pas (la métrique est symétrique) lorsque l'ordre des points dans la paire change.

Comme d'habitude, dès que quelque chose est défini, cette définition est élargie et le nom est étendu à d'autres espaces similaires. C'est donc ici. Par exemple, strictement formellement, ne sera pas métrique selon la définition donnée ci-dessus, car en eux, le nombre « métrique », l'intervalle, peut être nul pour deux points différents, et son carré peut aussi être un nombre réel négatif. Cependant, ils sont inclus dans la famille des espaces métriques presque dès le début, simplement supprimer l'exigence correspondante dans la définition, élargir la définition.

De plus, la métrique peut également être déterminée non pas pour tous les points de l'espace, mais uniquement pour ceux infiniment proches (localement). De tels espaces sont appelés riemanniens et, dans la vie de tous les jours, ils sont également appelés métriques. De plus, Ce sont les espaces riemanniens qui ont rendu la métrique si célèbre et qui ont attiré l'attention des mathématiciens et des physiciens, et qui sont familières même à de nombreuses personnes peu liées à ces sciences..

En fin de compte, nous discuterons ici de la métrique en relation spécifiquement avec les espaces riemanniens, c'est-à-dire dans un sens local. Et même localement, manifestement indéfini.

La définition mathématique formelle et ses extensions sont le résultat de la compréhension et de la clarification du concept de métrique. Voyons d'où est né ce concept, à quelles propriétés du monde réel il était initialement associé.

Toute géométrie est issue de ces concepts initialement formalisés par Euclide. La métrique aussi. En géométrie euclidienne (pour plus de simplicité et de clarté, nous parlerons de géométrie bidimensionnelle, et donc de géométrie d'un plan) il y a la notion de distance entre deux points. Très souvent, même aujourd’hui, la métrique est appelée distance. Parce que pour le plan euclidien, la distance est une métrique, et la métrique est une distance. Et c’est exactement ainsi que cela a été conceptualisé au tout début. Bien que, comme je vais essayer de le montrer, cela ne s’applique au concept moderne de métrique que dans un sens très limité, avec de nombreuses réserves et conditions.

La distance sur le plan euclidien (sur une feuille de papier) semble être une chose extrêmement simple et évidente. En effet, à l’aide d’une règle, vous pouvez tracer une ligne droite entre deux points quelconques et mesurer sa longueur. Le nombre résultant sera la distance. En prenant le troisième point, vous pouvez dessiner un triangle et vous assurer que cette distance (pour deux points quelconques du plan) satisfait exactement à la définition ci-dessus. En fait, la définition a été copiée une à une à partir des propriétés de la distance euclidienne sur un plan. Et le mot « métrique » est initialement associé à la mesure (à l'aide d'un mètre), à ​​la « métrisation » d'un avion.

Pourquoi fallait-il mesurer les distances, pour réaliser cette métrisation même de l’avion ? Eh bien, chacun a probablement sa propre idée de la raison pour laquelle les distances sont mesurées dans la vraie vie. Et en géométrie, ils ont vraiment commencé à y réfléchir lorsqu'ils ont introduit les coordonnées afin de décrire chaque point du plan séparément et de manière unique des autres. Le système de coordonnées sur l’avion sera clairement plus complexe que la simple distance entre deux points. Voici l'origine, et les axes de coordonnées, et les distances (comment s'en passer ?) de l'origine aux projections du point sur l'axe. Il semble clair pourquoi un système de coordonnées est nécessaire - il s'agit d'une grille continue de lignes perpendiculaires les unes aux autres (si les coordonnées sont cartésiennes), remplissant complètement le plan et résolvant ainsi le problème de l'adresse de n'importe quel point de celui-ci.

Il s'avère que la métrique est la distance et les coordonnées sont des distances. Y a-t-il une différence ? Coordonnées saisies. Pourquoi alors une métrique ? Il y a une différence, et elle est très significative. Le choix des systèmes de coordonnées implique une certaine liberté. Dans les systèmes cartésiens, nous utilisons des lignes droites comme axes. Mais on peut aussi utiliser des courbes ? Peut. Et toutes sortes de tortueuses aussi. Pouvons-nous mesurer la distance le long de telles lignes ? Certainement. Mesurer la distance, la longueur le long d'une ligne n'est pas liée au type de ligne dont il s'agit. Le chemin courbe a également une longueur et des bornes kilométriques peuvent y être placées. Mais la métrique dans l’espace euclidien n’est pas une distance arbitraire. C'est la longueur d'une droite reliant deux points. Droit. Et c'est quoi? Quelle ligne est droite et laquelle est courbe ? Dans les cours scolaires, les lignes droites sont un axiome. Nous les voyons et avons l'idée. Mais en géométrie générale, les lignes droites (c'est en soi un nom, une étiquette, rien de plus !) peuvent être définies comme des lignes spéciales parmi toutes les lignes possibles reliant deux points. À savoir, comme le plus court, ayant la longueur la plus courte. (Et dans certains cas, pour certains espaces mathématiques, au contraire, le plus long, ayant la plus grande longueur.) Il semblerait que nous ayons saisi la différence entre une métrique et une distance arbitraire entre deux points. Ce n’est pas le cas. Nous avons pris le mauvais chemin. Oui, c’est vrai, les lignes droites sont les plus courtes de l’espace euclidien. Mais la métrique ne se limite pas à la longueur du chemin le plus court. Non. C'est sa propriété secondaire. Dans l’espace euclidien, la métrique n’est pas seulement la distance entre deux points. La métrique est avant tout une image du théorème de Pythagore. Un théorème qui permet de calculer la distance entre deux points si l'on connaît leurs coordonnées et deux autres distances. De plus, elle est calculée de manière très spécifique, comme la racine carrée de la somme des carrés des distances de coordonnées. La métrique euclidienne n’est pas une forme linéaire de distances de coordonnées, mais une forme quadratique ! Seules les propriétés spécifiques du plan euclidien rendent si simple la connexion de la métrique avec les chemins les plus courts reliant les points. Les distances sont toujours des fonctions linéaires du déplacement le long du chemin. La métrique est une fonction quadratique de ces déplacements. Et c’est là que réside la différence fondamentale entre la métrique et la distance intuitivement comprise, en tant que fonction linéaire du déplacement à partir d’un point. De plus, pour nous en général, la distance est directement associée au déplacement lui-même.

Pourquoi, pourquoi diable la fonction de déplacement quadratique est-elle si importante ? Et a-t-elle vraiment le droit de s’appeler distance au sens plein du terme ? Ou s'agit-il d'une propriété plutôt spécifique du seul espace euclidien (enfin, ou d'une famille d'espaces proches de l'espace euclidien) ?

Faisons un petit pas de côté et parlons plus en détail des propriétés des unités de mesure. Demandons-nous : à quoi doivent ressembler les règles pour pouvoir dessiner une grille de coordonnées sur une feuille de papier ? Solide, résistant et immuable, dites-vous. Et pourquoi des « dirigeants » ? Un seul suffit! C'est vrai, s'il peut être tourné à volonté dans le plan du papier et déplacé le long de celui-ci. Avez-vous remarqué le « si » ? Oui, nous avons la possibilité d'utiliser une telle règle par rapport à un avion. La règle est seule, le plan est seul, mais le plan nous permet de « fixer » notre règle à lui-même. Qu'en est-il d'une surface sphérique ? Quelle que soit la manière dont vous l’appliquez, tout dépasse de la surface. Je veux juste le plier, abandonner sa dureté et sa rigidité. Laissons de côté cette réflexion pour l'instant. Que voulons-nous de plus de la ligne ? La dureté et la rigidité impliquent en réalité autre chose, bien plus important pour nous lors de la prise de mesures : une garantie de l'invariabilité de la règle choisie. Nous voulons mesurer avec la même échelle. Pourquoi est-ce nécessaire ? Que veux-tu dire, pourquoi?! Pouvoir comparer les résultats de mesures partout dans l’avion. Quelle que soit la façon dont nous faisons pivoter la règle, quelle que soit la façon dont nous la décalons, certaines de ses propriétés, la longueur, doivent rester inchangées. La longueur est la distance entre deux points (en ligne droite) sur une règle. Très similaire à la métrique. Mais la métrique est introduite (ou existe) dans le plan, pour des points du plan, et qu'est-ce que la règle a à voir là-dedans ? Et malgré le fait que la métrique est précisément l'image de la longueur constante d'une règle abstraite poussée jusqu'à sa conclusion logique, arrachée à la règle la plus extérieure et affectée à chaque point du plan.

Bien que nos règles soient toujours des objets externes pour les distances qu'elles mesurent sur un plan, nous les considérons également comme des échelles internes appartenant au plan. Par conséquent, nous parlons d’une propriété générale des dirigeants externes et internes. Et cette propriété est l'une des deux principales - la grandeur, qui fait de l'échelle une unité de mesure (la deuxième propriété de l'échelle est la direction). Pour l'espace euclidien, cette propriété semble indépendante de la direction de la règle et de sa position (à partir d'un point de l'espace). Il existe deux manières d’exprimer cette indépendance. La première méthode, une vision passive des choses, parle de l'invariance d'une quantité, de sa similitude sous un choix arbitraire de coordonnées admissibles. La deuxième méthode, le regard actif, parle d'invariance sous translation et rotation, résultat d'une transition explicite d'un point à un autre. Ces méthodes ne sont pas équivalentes les unes aux autres. La première est simplement une formalisation de l’affirmation selon laquelle la quantité qui existe à un endroit (point) donné est la même quel que soit le point de vue. La seconde indique également que les valeurs des quantités en différents points sont les mêmes. Il s’agit évidemment d’une déclaration beaucoup plus forte.

Attardons-nous pour l'instant sur l'invariance de la valeur d'échelle pour un choix arbitraire de coordonnées. Oops! Comme ça? Pour attribuer des coordonnées à des points, vous devez déjà disposer d'échelles. Ceux. cette même ligne. Quelles sont les autres coordonnées ? D'autres lignes ? En fait, c'est exactement ça ! Mais! Le fait que dans le plan euclidien nous puissions faire pivoter notre règle à un point que nous souhaitons donne l’impression que les coordonnées peuvent être modifiées sans changer la règle. C'est une illusion, mais une illusion tellement agréable ! Comme nous y sommes habitués ! Nous disons toujours – un système de coordonnées pivoté. Et cette illusion est basée sur une certaine propriété postulée d'échelle dans le plan euclidien - l'invariance de sa « longueur » sous rotation arbitraire en un point, c'est-à-dire avec un changement arbitraire de la deuxième propriété d'échelle, la direction. Et cette propriété a lieu en tout point du plan euclidien. L'échelle a partout une « longueur » qui ne dépend pas du choix local des directions des axes de coordonnées. C'est un postulat pour l'espace euclidien. Et comment détermine-t-on cette longueur ? Dans un système de coordonnées dans lequel l'échelle sélectionnée est une unité de mesure le long d'un des axes, nous la définissons très simplement - c'est cette même unité. Et dans un système de coordonnées (rectangulaire), dans lequel l'échelle sélectionnée ne coïncide avec aucun des axes ? Utilisation du théorème de Pythagore. Les théorèmes sont des théorèmes, mais il y a ici une petite tromperie. En fait, ce théorème devrait remplacer certains des axiomes formulés par Euclide. Elle leur est équivalente. Et avec une généralisation plus poussée de la géométrie (pour des surfaces arbitraires, par exemple), ils s'appuient précisément sur la méthode de calcul de la longueur de l'échelle. En fait, cette méthode est reléguée à la catégorie des axiomes.

Répétons maintenant quelque chose qui sous-tend la géométrie, qui nous permet d'attribuer des coordonnées aux points du plan.

Nous parlons d'une unité de mesure, d'une échelle. L’échelle existe à tout moment. Il a une ampleur – une « longueur » et une direction. La longueur est invariante (ne change pas) lorsque la direction en un point change. En coordonnées rectangulaires dans l'espace euclidien, le carré de la longueur d'une échelle dirigée arbitrairement à partir d'un point est égal à la somme des carrés de ses projections sur l'axe. Cette quantité géométrique est aussi appelée vecteur. L'échelle est donc un vecteur. Et la « longueur » d’un vecteur est aussi appelée la norme. Bien. Mais où est la métrique ici ? UN métrique avec cette approche, il y a un moyen d'attribuer une norme à n'importe quel vecteur en chaque point, une méthode de calcul de cette norme pour une position arbitraire de ce vecteur par rapport aux vecteurs qui composent la base, point de référence(ceux qui déterminent les directions des axes de coordonnées à partir d'un point donné et ont par définition une norme unitaire, c'est-à-dire des unités de mesure). Il est très important que cette méthode soit définie pour chaque point de l'espace (plan dans ce cas). C'est donc une propriété de cet espace et de ses vecteurs internes, et non des objets extérieurs à l'espace.

Excusez-moi, mais déjà au tout début nous avons donné une définition des espaces métriques. Pourquoi une nouvelle définition ? Et est-ce que cela correspond à l'ancien ? Mais pourquoi. Nous avons indiqué ici comment exactement ce nombre réel est fixé et déterminé. A savoir, la distance entre les points est égale à la « longueur », la norme du vecteur reliant ces points (dans l'espace euclidien). Le fait qu'un vecteur ait une certaine norme, indépendante du point de vue sur lui (le choix du point de référence) est la définition d'un vecteur. La condition la plus importante, qui rend l'espace métrique, est l'exigence que des vecteurs avec une norme donnée existent en tout point de l'espace et dans toutes les directions. Et cette définition est tout à fait cohérente avec celle donnée au tout début. Est-il possible de définir différemment une métrique sur un certain espace ? En principe, c'est possible. Et même à bien des égards. Seulement, ce seront des classes d’espaces complètement différentes qui n’incluent pas l’espace euclidien, même à titre de cas particulier.

Pourquoi l’espace euclidien est-il spécial pour nous ? Eh bien, comment ça se passe ? À première vue, l’espace même dans lequel nous vivons possède précisément ces propriétés. Oui, à y regarder de plus près, ce n’est pas tout à fait ça. Mais il y a une différence entre « pas tout à fait comme ça » et « pas du tout comme ça » ?! Bien que l’ensemble des mots semble être le même. Ainsi notre espace-temps, s'il n'est pas euclidien, peut sous certaines conditions en être très proche. Par conséquent, il faut choisir dans la famille d’espaces dans laquelle existe l’espace euclidien. C'est ce que nous faisons. Mais qu’y a-t-il de si spécial dans l’espace euclidien qui s’exprime dans certaines propriétés de sa métrique ? Il existe de nombreuses propriétés, la plupart d'entre elles ont déjà été mentionnées ci-dessus. Je vais essayer de formuler cette fonctionnalité de manière assez compacte. L'espace euclidien est tel qu'il est possible de choisir des échelles (c'est-à-dire de saisir des coordonnées) pour qu'il soit entièrement rempli d'une grille de coordonnées rectangulaire. C'est peut-être à ce moment-là que la métrique en chaque point de l'espace est la même. Essentiellement, cela signifie que les échelles nécessaires à cela existent en chaque point de l’espace et qu’elles sont toutes identiques à une seule. Pour tout l'espace, une seule règle suffit, qui peut être déplacée vers n'importe quel point (au sens actif) sans changer ni sa grandeur ni sa direction.

Ci-dessus, j'ai posé la question de savoir pourquoi la métrique est une fonction quadratique du déplacement. Cela reste pour l’instant sans réponse. Nous y reviendrons certainement. Maintenant, prenez note pour vous-même pour l'avenir - la métrique de la famille d'espaces dont nous avons besoin est une quantité invariante sous transformations de coordonnées. Nous avons parlé jusqu'à présent des coordonnées cartésiennes, mais je soulignerai immédiatement ici que cela est vrai pour toutes les transformations de coordonnées autorisées en un point donné dans un espace donné. Une quantité qui est invariante (ne change pas) lors des transformations de coordonnées a un autre nom spécial en géométrie : scalaire. Regardez combien il y a de noms pour la même chose - constant, invariant, scalaire... Il y a peut-être autre chose, cela ne me vient pas immédiatement à l'esprit. Cela témoigne de l’importance du concept lui-même. Ainsi, une métrique est un scalaire dans un certain sens. Bien entendu, il existe d’autres scalaires en géométrie.

Pourquoi dans un « certain sens » ? Parce que la notion de métrique comprend deux points et non un ! Un vecteur est connecté (défini) à un seul point. Il s'avère que je vous ai induit en erreur ? Non, je n'ai tout simplement pas dit tout ce qu'il fallait dire. Mais il faut dire que la métrique n'est pas la norme d'un vecteur arbitraire, mais seulement d'un vecteur de déplacement infinitésimal à partir d'un point donné dans une direction arbitraire. Lorsque cette norme ne dépend pas de la direction de déplacement à partir d'un point, alors sa valeur scalaire peut être considérée comme une propriété de ce seul point uniquement. En même temps, cela reste la règle pour calculer la norme pour tout autre vecteur. Comme ça.

Quelque chose ne va pas... Les normes sont différentes selon les vecteurs ! Et la métrique est scalaire, la valeur est la même. Contradiction!

Il n’y a aucune contradiction. Je l'ai dit clairement : la règle de calcul. Pour tous les vecteurs. Et la valeur spécifique elle-même, également appelée métrique, est calculée selon cette règle uniquement pour un seul vecteur, le déplacement. Notre langage est habitué aux libertés, aux omissions, aux abréviations... Nous avons donc l'habitude d'appeler à la fois un scalaire et la règle de calcul une métrique. En fait, c'est presque la même chose. Presque, mais pas tout à fait. Il est toujours important de voir la différence entre une règle et le résultat obtenu avec son aide. Qu’est-ce qui est le plus important : la règle ou le résultat ? Curieusement, dans ce cas, la règle... Par conséquent, beaucoup plus souvent en géométrie et en physique, lorsqu'ils parlent de métrique, ils parlent de la règle. Seuls les mathématiciens très têtus préfèrent parler strictement du résultat. Et il y a des raisons à cela, mais nous en parlerons davantage ailleurs.

Je voudrais également noter que d'une manière plus habituelle de présentation, lorsque les concepts d'espaces vectoriels sont pris comme base, la métrique est introduite comme un produit scalaire par paire de tous les vecteurs de base et de référence. Dans ce cas, le produit scalaire des vecteurs doit être défini au préalable. Et dans le chemin que j'ai suivi ici, c'est la présence d'un tenseur métrique dans l'espace qui permet d'introduire et de définir le produit scalaire des vecteurs. Ici la métrique est primaire, sa présence permet d'introduire le produit scalaire comme une sorte d'invariant reliant deux vecteurs différents. Si un scalaire est calculé en utilisant une métrique pour le même vecteur, alors c'est simplement sa norme. Si ce scalaire est calculé pour deux vecteurs différents, alors c'est leur produit scalaire. Si c'est aussi la norme d'un vecteur infinitésimal, alors il est tout à fait acceptable de l'appeler simplement une métrique en un point donné.

Et que pouvons-nous dire de la métrique en règle générale ? Ici, nous devrons utiliser des formules. Notons x i les coordonnées le long de l'axe numéro i. Et le déplacement d'un point donné vers le point voisin dx i. Attention, les coordonnées ne sont pas un vecteur ! Et le déplacement n'est qu'un vecteur ! Dans une telle notation, la « distance » métrique entre un point donné et le point voisin, selon le théorème de Pythagore, sera calculée à l'aide de la formule

ds 2 = g ik dx je dx k

Sur la gauche, voici le carré de la « distance » métrique entre les points, dont la « coordonnée » (c'est-à-dire le long de chaque ligne de coordonnées individuelle) est spécifiée par le vecteur de déplacement dx i. À droite se trouve la somme des indices coïncidants de tous les produits par paires des composantes du vecteur déplacement avec les coefficients correspondants. Et leur tableau, la matrice des coefficients g ik, qui fixe la règle de calcul de la norme métrique, est appelé tenseur métrique. Et c’est ce tenseur que l’on appelle dans la plupart des cas la métrique. Le terme « » est ici extrêmement important. Et cela signifie que dans un autre système de coordonnées, la formule écrite ci-dessus sera la même, seul le tableau contiendra d'autres coefficients (dans le cas général), qui sont calculés de manière strictement définie à travers ceux-ci et les coefficients de conversion de coordonnées. L'espace euclidien se caractérise par le fait qu'en coordonnées cartésiennes la forme de ce tenseur est extrêmement simple et la même dans toutes les coordonnées cartésiennes. La matrice g ik ne contient que des uns sur la diagonale (pour i=k), et les nombres restants sont des zéros. Si des coordonnées non cartésiennes sont utilisées dans l'espace euclidien, la matrice n'y paraîtra pas si simple.

Nous avons donc écrit une règle qui détermine la « distance » métrique entre deux points dans l’espace euclidien. Cette règle est écrite pour deux points arbitrairement proches. Dans l'espace euclidien, c'est-à-dire dans celui dans lequel le tenseur métrique peut être diagonal avec des unités sur la diagonale dans un système de coordonnées en chaque point, il n'y a pas de différence fondamentale entre les vecteurs de déplacement finis et infinitésimaux. Mais on s'intéresse davantage au cas des espaces riemanniens (comme la surface d'une balle par exemple), où cette différence est significative. Ainsi, nous supposons que le tenseur métrique n'est généralement pas diagonal et change lorsqu'on se déplace d'un point à l'autre dans l'espace. Mais le résultat de son application, ds 2, reste en chaque point indépendant du choix de la direction de déplacement et du point lui-même. C'est une condition très stricte (moins stricte que la condition euclidienne) et c'est lorsqu'elle est remplie que l'espace est dit riemannien.

Vous avez peut-être remarqué que très souvent je mets les mots « longueur » et distance entre guillemets. C'est pourquoi je fais ça. Dans le cas de l’espace euclidien plan et tridimensionnel, la « distance » et la « longueur » métriques semblent être exactement les mêmes que les distances ordinaires mesurées avec des règles. De plus, ces concepts ont été introduits pour formaliser le travail avec les résultats de mesure. Pourquoi alors « semblent coïncider » ? C'est drôle, mais c'est exactement le cas lorsque des mathématiciens, avec l'eau sale (dont ils n'avaient pas besoin), ont jeté l'enfant hors du bain. Non, ils ont laissé quelque chose, mais ce qui restait a cessé d'être un enfant (distance). Ceci est facile à voir même en utilisant le plan euclidien comme exemple.

Permettez-moi de vous rappeler que la « distance » métrique ne dépend pas du choix de coordonnées cartésiennes (et pas seulement), par exemple sur une feuille de papier. Soit dans certaines coordonnées cette distance entre deux points sur l'axe des coordonnées soit égale à 10. Est-il possible d'indiquer d'autres coordonnées dans lesquelles la distance entre ces mêmes points sera égale à 1 ? Aucun problème. Tracez simplement comme une unité le long des mêmes axes une nouvelle unité égale aux 10 précédentes. L’espace euclidien a-t-il changé à cause de cela ? Quel est le problème? Mais le fait est que lorsque nous mesurons quelque chose, il ne suffit pas d’en connaître le nombre. Il faut également savoir quelles unités ont été utilisées pour obtenir ce nombre. Les mathématiques sous leur forme familière à tous aujourd'hui ne s'y intéressent pas. Elle ne s'occupe que des chiffres. Le choix des unités de mesure a été fait avant l’application des mathématiques et ne devrait plus changer ! Mais nos distances et longueurs sans échelles indiquées ne nous disent rien ! Les mathématiques s'en moquent. Lorsqu’il s’agit de « distance » métrique, son application formelle est indifférente au choix de l’échelle. Même des mètres, même des brasses. Seuls les chiffres comptent. C'est pour cela que j'ai mis des guillemets. Savez-vous quel effet secondaire cette approche a sur les mathématiques des espaces riemanniens ? Voici ce que c'est. Cela n’a aucun sens de considérer le changement d’échelle d’un point à l’autre. Seulement un changement de direction. Et ceci malgré le fait que changer d'échelle à l'aide de transformations de coordonnées dans une telle géométrie est une chose tout à fait ordinaire. Est-il possible d’inclure dans la géométrie une prise en compte cohérente des propriétés des échelles dans leur intégralité ? Peut. Seulement Pour ce faire, vous devrez supprimer de nombreuses conventions et apprendre à appeler les choses par leur nom propre. L’une des premières étapes consistera à réaliser qu’aucune mesure n’est essentiellement une distance et ne peut l’être. Cela a certainement une signification physique, et très importante en plus. Mais différent.

En physique, l'attention sur le rôle de la métrique a été attirée avec l'avènement des théories de la relativité - d'abord spéciale, puis générale, dans lesquelles la métrique est devenue la structure centrale de la théorie. La théorie de la relativité restreinte a été fondée sur le fait que la distance tridimensionnelle n'est pas un scalaire du point de vue d'un ensemble de systèmes de référence physiques inertiels se déplaçant les uns par rapport aux autres de manière uniforme et rectiligne. Une autre quantité s’est avérée être un scalaire, un invariant, appelé intervalle. Intervalle entre les événements. Et pour calculer sa valeur, il faut prendre en compte l'intervalle de temps entre ces événements. De plus, il s'est avéré que la règle de calcul de la métrique (et l'intervalle a immédiatement commencé à être considéré comme une métrique dans l'espace-temps unifié, l'espace des événements) est différente de la règle euclidienne habituelle dans l'espace tridimensionnel. Similaire, mais un peu différent. L'espace métrique correspondant à quatre dimensions introduit Herman Minkowski, a commencé à être appelé. C'est le travail de Minkowski qui a attiré l'attention des physiciens, dont Einstein, sur l'importance du concept de métrique en tant que grandeur physique, et pas seulement mathématique.

La théorie générale de la relativité a également pris en compte les systèmes de référence physiques accélérés les uns par rapport aux autres. Elle a ainsi pu donner une description des phénomènes gravitationnels à un nouveau niveau par rapport à la théorie de Newton. Et elle a pu y parvenir en donnant un sens au champ physique spécifiquement à la métrique - à la fois la valeur et la règle, le tenseur métrique. En même temps, il utilise la construction mathématique de l’espace riemannien comme image de l’espace-temps. Nous n'entrerons pas trop dans les détails de cette théorie. Entre autres choses, cette théorie affirme que le monde (espace-temps), dans lequel se trouvent des corps massifs, c'est-à-dire des corps qui s'attirent, a une métrique différente de la métrique euclidienne qui nous est si agréable. Toutes les déclarations ci-dessous sont équivalentes :

Déclaration physique. Les corps ponctuels ayant une masse sont attirés les uns vers les autres.

Dans l’espace-temps, où se trouvent des corps massifs, il est impossible d’introduire partout une grille rectangulaire rigide. Il n’existe aucun instrument de mesure permettant de le faire. Aussi petites soient-elles, les « cellules » de la grille résultante seront toujours des quadrangles courbes.

Vous pouvez choisir une échelle avec la même valeur (norme) pour tout l'espace-temps. Une telle échelle peut être déplacée d'un point à un autre et comparée à ce qui existe déjà. MAIS! Même si le déplacement est infinitésimal, les directions des échelles comparées ne coïncideront généralement pas. Plus la balance est forte, plus elle est proche du corps avec la masse et plus cette même masse est grande. Ce n'est que là où il n'y a pas de masses (mais voici une question pour vous : qu'en est-il des échelles elles-mêmes ?) que les directions coïncideront.

Dans la région de l'espace-temps contenant des corps massifs, il n'existe pas de système de coordonnées dans lequel le tenseur métrique en chaque point est représenté par une matrice nulle partout sauf sur la diagonale sur laquelle se trouvent les uns.

La différence entre la métrique et la métrique euclidienne est une manifestation de la présence d'un champ gravitationnel (champ gravitationnel). De plus, le champ du tenseur métrique est le champ gravitationnel.

De nombreuses autres déclarations similaires pourraient être citées, mais je voudrais maintenant attirer votre attention sur la dernière. Courbure. C'est quelque chose dont nous n'avons pas encore discuté. Qu’est-ce que cela a à voir avec les métriques ? Dans l’ensemble – aucun ! est un concept plus général que la métrique. Dans quel sens?

La famille des espaces riemanniens, qui comprend également les espaces euclidiens, fait elle-même partie de la famille plus générale. Ces espaces, d'une manière générale, n'impliquent pas l'existence d'une quantité telle qu'une métrique pour chacune de ses paires de points. Mais leur propriété nécessaire est l'existence de deux autres structures liées l'une à l'autre : la connexion affine et la courbure. Et ce n’est que sous certaines conditions de courbure (ou de connectivité) qu’une métrique existe dans de tels espaces. Alors ces espaces sont appelés riemanniens. Tout espace riemannien a une connectivité et une courbure. Mais pas l’inverse.

Mais on ne peut pas non plus dire que la métrique est secondaire par rapport à la connectivité ou à la courbure. Non. L'existence d'une métrique est un énoncé de certaines propriétés de connectivité, et donc de courbure. Dans l’interprétation standard de la relativité générale, la métrique est considérée comme une structure plus importante qui forme la forme de la théorie. Et la connexion affine et la courbure s'avèrent secondaires, dérivées de la métrique. Cette interprétation a été formulée par Einstein, à une époque où les mathématiques n'avaient pas encore développé une compréhension suffisamment avancée et cohérente de la hiérarchie d'importance des structures qui déterminent les propriétés de la famille des espaces menant aux espaces euclidiens. Déjà après la création de l'appareil GTR, principalement grâce aux travaux de Weyl et Schouten (pas seuls, bien sûr), les mathématiques des espaces de connexion affine ont été développées. En réalité, ces travaux ont été stimulés par l’émergence de la Relativité Générale. Comme vous pouvez le constater, l’interprétation canonique de l’importance des structures dans la relativité générale ne coïncide pas avec la vision actuelle des mathématiques sur leurs relations. Cette interprétation canonique n’est rien d’autre que l’identification de certaines structures mathématiques avec des champs physiques. Leur donner une signification physique.

En relativité générale, il existe deux méthodes pour décrire l'espace-temps. Le premier d’entre eux est l’espace-temps lui-même en tant qu’espace d’événements. Les événements qui remplissent continuellement n’importe quelle région de l’espace-temps sont caractérisés à l’aide de quatre coordonnées. Par conséquent, les systèmes de coordonnées sont supposés être saisis. Le nom même de la théorie attire précisément l'attention sur ce point : les lois de la nature qui se déroulent dans un tel espace-temps doivent être formulées de manière identique par rapport à tout système de coordonnées admissible. Cette exigence est appelée principe de relativité générale. Notez que ce plan théorique ne dit encore rien sur la présence ou l'absence d'une métrique dans l'espace-temps, mais fournit déjà la base de l'existence d'une connexion affine (avec la courbure et d'autres structures mathématiques dérivées). Naturellement, déjà à ce niveau, il est nécessaire de donner une signification physique aux objets mathématiques de la théorie. Il est la. Un point de l'espace-temps représente un événement caractérisé d'une part par sa position et son moment temporel, d'autre part par quatre coordonnées. Quelque chose d'étrange? Ce n'est pas la même chose ? Mais non. En relativité générale, ce n'est pas la même chose. Les coordonnées de la forme la plus générale, admissibles en théorie, ne peuvent être interprétées comme des positions et des moments du temps. Cette possibilité n'est postulée que pour un groupe très limité de coordonnées - celles localement inertielles, qui n'existent qu'au voisinage de chaque point, mais pas dans toute la région couverte par le système de coordonnées général. C'est un autre postulat de la théorie. C'est un tel hybride. Je noterai que c'est là que se posent de nombreux problèmes de la relativité générale, mais je n'aborderai pas leur résolution maintenant.

Le deuxième plan de la théorie peut être considéré comme la partie de ses postulats, qui introduit en considération le phénomène physique dans l'espace-temps - la gravité, l'attraction mutuelle de corps massifs. On avance que ce phénomène physique peut être, dans certaines conditions, détruit par un simple choix d'un référentiel approprié, à savoir un référentiel localement inertiel. Pour tous les corps qui ont la même accélération (chute libre) en raison de la présence dans une petite région du champ gravitationnel d'un corps massif distant, ce champ n'est pas observable dans un certain référentiel. Formellement, les postulats s'arrêtent là, mais en fait l'équation principale de la théorie, qui introduit la métrique en considération, se réfère également aux postulats, à la fois comme énoncé mathématique et comme énoncé physique. Même si je ne vais pas entrer dans les détails de l'équation (du système d'équations, en fait), il est quand même utile de l'avoir sous les yeux :

R ik = -с (T ik – 1/2 T g ik)

Ici à gauche se trouve ce qu'on appelle le tenseur de Ricci, une certaine convolution (combinaison de composants constitutifs) du tenseur de courbure complet. On peut à juste titre aussi l'appeler courbure. À droite, une construction du tenseur énergie-impulsion (une grandeur purement physique en relativité générale, singulière pour les corps massifs et externe pour l'espace-temps, qui est simplement un porteur d'énergie-impulsion dans cette théorie) et une métrique, qui est supposé exister. De plus, cette métrique, en tant que quantité scalaire produite par le tenseur métrique, est la même pour tous les points de la région. Il existe également une constante dimensionnelle c, proportionnelle à la constante gravitationnelle. À partir de cette équation, il est clair que, dans l’ensemble, la courbure est comparée à l’énergie-impulsion et à la métrique. La signification physique est attribuée à la métrique en Relativité Générale après avoir obtenu une solution à ces équations. Puisque dans cette solution les coefficients de la métrique sont linéairement liés au potentiel du champ gravitationnel (calculé à travers celui-ci), alors la signification des potentiels de ce champ est attribuée au tenseur métrique. Avec cette approche, la courbure devrait avoir une signification similaire. Et la connexion affine est interprétée comme une intensité de champ. Cette interprétation est incorrecte ; son erreur est associée au paradoxe noté ci-dessus dans l'interprétation des coordonnées. Naturellement, cela ne passe pas inaperçu pour la théorie et se manifeste dans un certain nombre de problèmes bien connus (non-localisabilité de l'énergie du champ gravitationnel, interprétation des singularités), qui ne se posent tout simplement pas lorsqu'on donne aux grandeurs géométriques la valeur physique correcte. signification. Tout cela est discuté plus en détail dans le livre « ».

Cependant, même en relativité générale, la métrique, en plus du sens qui lui est artificiellement imposé, a inévitablement une autre signification physique. Rappelons ce qui caractérise la métrique dans le cas de l'espace euclidien ? Une chose très importante pour les mesures dans l’espace-temps est la possibilité d’introduire dans cet espace une grille de coordonnées rectangulaires rigides qui remplit uniformément toute la zone. Cette grille est appelée référentiel inertiel en physique. Un tel système de référence (système de coordonnées) correspond à une et une seule forme standard du tenseur métrique. Dans les systèmes de référence qui se déplacent arbitrairement par rapport au système inertiel, la forme du tenseur métrique est différente de celle standard. D'un point de vue physique, le rôle de la « grille de référence » est assez transparent. Si vous disposez d'un corps de référence rigide dont chaque point est équipé de la même horloge existant dans le temps, alors il met simplement en œuvre une telle grille. Pour l’espace vide, nous inventons simplement un tel corps de référence, en lui fournissant (l’espace) exactement la même métrique. Dans cette compréhension, le tenseur métrique, différent du tenseur euclidien standard, dit que le système de référence (coordonnées) est construit à l'aide d'un corps non rigide, et peut-être que l'horloge fonctionne également différemment en ses points. Qu'est-ce que je veux dire par là ? Mais le fait que le tenseur métrique est une image mathématique de certaines des propriétés les plus importantes du système de référence pour nous. Les propriétés qui caractérisent absolument la structure du système de référence lui-même nous permettent de déterminer à quel point il est « bon », à quel point il est différent de l'idéal – le référentiel inertiel. GTR utilise donc le tenseur métrique précisément comme une telle image. Comment une image d'instruments de mesure répartis dans une zone de référence, changeant éventuellement d'orientation de point en point, mais ayant partout la même norme, commune à tous les vecteurs de référence. La métrique, considérée comme scalaire, est cette norme, la grandeur de l'échelle. La métrique en tant que tenseur nous permet de considérer le mouvement relatif arbitraire les uns par rapport aux autres de toutes les échelles qui composent le corps de référence. Et la Relativité Générale décrit une situation où dans l'espace-temps il est possible d'avoir un tel corps de référence, réel ou imaginaire.

Cette vision des métriques est certainement correcte. De plus, il est également productif car il attire immédiatement l’attention sur les accords restants du GTO. En effet, nous avons autorisé des cadres de référence dans lesquels les échelles en différents points peuvent être orientées différemment (dans un monde à quatre dimensions, l'orientation inclut également le mouvement). Et nous exigeons toujours qu'une caractéristique absolue de l'échelle, sa norme (intervalle) reste la même. Par conséquent, l’affirmation de la Relativité Générale selon laquelle elle prend en considération tous les systèmes de référence possibles est excessive. Ce n'est pas si général, la relativité dans cette théorie.

© Gavryusev V.G.
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