logarithmes naturels

La dérivée du logarithme naturel a une formule simple :

Pour cette raison, les logarithmes naturels sont principalement utilisés dans la recherche mathématique. Ils apparaissent souvent lors de la résolution différentielle équations, l'étude des dépendances statistiques (par exemple, la distribution des numéros), etc...

Pour , l'égalité

Cette série converge plus rapidement, et en plus, le côté gauche de la formule peut maintenant exprimer le logarithme de n'importe quel nombre positif.

Relation avec le logarithme décimal : .

Logarithmes décimaux

Riz. 2. Échelle logarithmique

Logarithmes en base 10 (symbole : lg un) avant l'invention calculatrices largement utilisé pour l'informatique. échelle inégale les logarithmes décimaux sont généralement appliqués à règles à calcul. Une échelle similaire est largement utilisée dans divers domaines scientifiques, par exemple :

La physique- intensité sonore ( décibels).

Astronomie- échelle luminosité des étoiles.

Chimie- activité hydrogène des ions (pH).

Sismologie - échelle de Richter.

théorie de la musique- gamme de notes, en relation avec les fréquences des sons musicaux.

Histoire - échelle de temps logarithmique.

L'échelle logarithmique est également largement utilisée pour identifier l'exposant dans les dépendances exponentielles et le coefficient dans l'exposant. Parallèlement, un graphique tracé à l'échelle logarithmique selon un ou deux axes prend la forme d'une droite, plus facile à étudier.

fonction logarithmique

Une fonction logarithmique est une fonction de la forme F(X) = journal un X, défini à

Etude de la fonction logarithmique

Domaine:

Plage de valeur :

Le graphe de toute fonction logarithmique passe par le point (1 ; 0)

La dérivée de la fonction logarithmique est :

Preuve [montrer]

I. Prouvons que

Écrivons l'identité e dans X = X et différencier ses côtés gauche et droit

On comprend ça , d'où il suit que

II. Prouvons que

La fonction est strictement croissante pour un> 1 et strictement décroissant à 0 a

Droit X= 0 reste asymptote verticale, parce qu'à un> 1 et à 0 a

Logarithme complexe

Fonction multivaluée

Pour nombres complexes Le logarithme est défini de la même manière que le vrai. Commençons par le logarithme naturel, que nous notons et définissons comme l'ensemble de tous les nombres complexes z tel que e z = w. Le logarithme complexe existe pour tout , et sa partie réelle est déterminée de manière unique, tandis que l'imaginaire a un nombre infini de valeurs. Pour cette raison, on l'appelle une fonction multivaluée. Si imaginez w sous forme exponentielle :

alors le logarithme est trouvé par la formule :

Voici le logarithme réel, r = | w | , k- arbitraire entier. La valeur obtenue lorsque k= 0 est appelé importance principale logarithme naturel complexe ; il est d'usage de prendre la valeur de l'argument dans l'intervalle (− π,π]. La fonction correspondante (déjà monovaluée) est appelée branche principale logarithme et est noté . Parfois aussi désigner la valeur du logarithme, qui ne se trouve pas sur la branche principale.

De la formule suit:

La partie réelle du logarithme est déterminée par la formule :

Le logarithme d'un nombre négatif se trouve par la formule :

Exemples (la valeur principale du logarithme est donnée) :

Les logarithmes complexes avec une base différente sont considérés de la même manière. Cependant, il faut être prudent lors de la transformation de logarithmes complexes, en tenant compte du fait qu'ils sont multivalués et que, par conséquent, l'égalité de ces expressions ne découle pas de l'égalité des logarithmes d'aucune expression. Un exemple de raisonnement erroné :

jeπ = ln(− 1) = ln((− je) 2) = 2ln(− je) = 2(− jeπ / 2) = − jeπ est une absurdité évidente.

Notez que la valeur principale du logarithme est à gauche et la valeur de la branche sous-jacente est à droite ( k= - 1). La raison de l'erreur est l'utilisation négligente de la propriété qui, d'une manière générale, dans le cas complexe implique l'ensemble infini de valeurs du logarithme, et pas seulement la valeur principale.

Surface de Riemann

Fonction logarithmique complexe - exemple Surface de Riemann; sa partie imaginaire (fig. 3) est constituée d'une infinité de branches tordues en spirale. Cette superficie simplement connecté; son seul zéro (du premier ordre) est obtenu par z= 1, points singuliers : z= 0 et (points de branchement d'ordre infini).

La surface de Riemann du logarithme est revêtement universel pour le plan complexe sans point 0.

Aperçu historique

Logarithme réel

La nécessité de calculs complexes XVIe siècle a augmenté rapidement et une grande partie de la difficulté était associée à la multiplication et à la division de nombres à plusieurs chiffres. À la fin du siècle, plusieurs mathématiciens, presque simultanément, ont eu l'idée: remplacer la multiplication fastidieuse par une simple addition, en comparant à l'aide de tables spéciales géométrique Et arithmétique progression, tandis que le géométrique sera l'original. Ensuite, la division est automatiquement remplacée par une soustraction infiniment plus simple et plus fiable. Il fut le premier à publier cette idée dans son livre Arithmétique intégrale» Michel Stiefel, qui, cependant, n'a pas fait d'efforts sérieux pour mettre en œuvre son idée.

DANS 1614 Mathématicien amateur écossais Jean Napier publié un essai en latin intitulé " Description de l'incroyable tableau des logarithmes". Il contenait une brève description des logarithmes et de leurs propriétés, ainsi que des tableaux de logarithmes à 8 chiffres sinus, cosinus Et tangentes, avec un pas de 1". Terme logarithme, proposé par Napier, s'est imposé dans la science.

Le concept de fonction n'existait pas encore et Napier a défini le logarithme cinématiquement, comparant le ralenti uniforme et logarithmique. En notation moderne, le modèle de Napier peut être représenté par une équation différentielle : dx/x = -dy/M, où M est un facteur d'échelle introduit pour faire de la valeur un entier avec le nombre de chiffres requis (les décimales n'étaient alors pas encore largement utilisées). Napier a pris M = 10000000.

À proprement parler, Napier a tabulé la mauvaise fonction, qui s'appelle maintenant le logarithme. Si nous désignons sa fonction par LogNap(x), alors elle est liée au logarithme népérien comme suit :

De toute évidence, LogNap (M) = 0, c'est-à-dire que le logarithme du "sinus complet" est égal à zéro - c'est ce que Napier recherchait avec sa définition. LogNap(0) = ∞.

La principale propriété du logarithme de Napier : si les grandeurs forment progression géométrique, alors leurs logarithmes forment une progression arithmétique. Cependant, les règles du logarithme de la fonction non pierienne différaient des règles du logarithme moderne.

Par exemple, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Malheureusement, toutes les valeurs du tableau de Napier contenaient une erreur de calcul après le sixième chiffre. Cependant, cela n'a pas empêché la nouvelle méthode de calcul de gagner en popularité et de nombreux mathématiciens européens se sont lancés dans la compilation de tables logarithmiques, notamment Kepler.

Dans les années 1620, Edmund Wingate et Guillaume Otred inventé le premier règle à calcul, avant l'avènement des calculatrices de poche - un outil indispensable pour un ingénieur.

Proche de la compréhension moderne du logarithme - en tant qu'opération, l'inverse exponentiation- est apparu pour la première fois dans Valais Et Jean Bernoulli et finalement approuvé Euler V XVIIIe siècle. Dans le livre "Introduction à l'analyse de l'infini" ( 1748 ) Euler a donné des définitions modernes comme démonstratif, et les fonctions logarithmiques, ont conduit leur expansion en séries de puissance, en particulier le rôle du logarithme népérien.

Euler a aussi le mérite d'étendre la fonction logarithmique au domaine complexe.

Logarithme complexe

Les premières tentatives d'étendre les logarithmes aux nombres complexes ont été faites au tournant des XVIIe-XVIIIe siècles. Leibniz Et Jean Bernoulli, cependant, ils n'ont pas réussi à créer une théorie holistique - principalement parce qu'à cette époque, le concept même de logarithme n'était pas encore clairement défini. La discussion à ce sujet fut d'abord entre Leibniz et Bernoulli, et au milieu du XVIIIe siècle - entre d'Alembert et Euler. Bernoulli et d'Alembert estimaient qu'il fallait définir log(-x) = log(x). La théorie complète des logarithmes des nombres négatifs et complexes a été publiée par Euler en 1747-1751 et n'est essentiellement pas différente de la théorie moderne.

Bien que la dispute perdure (D'Alembert défend son point de vue et le développe en détail dans un article de son Encyclopédie et dans d'autres ouvrages), le point de vue d'Euler est rapidement universellement reconnu.

Tableaux logarithmiques

Tableaux logarithmiques

D'après les propriétés du logarithme, il s'ensuit qu'au lieu de la multiplication laborieuse de nombres à plusieurs valeurs, il suffit de trouver (à partir des tables) et d'ajouter leurs logarithmes, puis d'utiliser les mêmes tables pour exécuter potentialisation, c'est-à-dire trouver la valeur du résultat par son logarithme. Faire une division ne diffère que par le fait que les logarithmes sont soustraits. Laplace Il a dit que l'invention des logarithmes "a prolongé la vie des astronomes" en accélérant considérablement le processus de calcul.

Lorsque vous déplacez la virgule décimale d'un nombre vers n chiffres, la valeur du logarithme décimal de ce nombre est modifiée par n. Par exemple, lg8314,63 = lg8,31463 + 3. Il s'ensuit qu'il suffit de faire un tableau de logarithmes décimaux pour les nombres compris entre 1 et 10.

Les premières tables de logarithmes ont été publiées par John Napier ( 1614 ), et ils ne contenaient que les logarithmes des fonctions trigonométriques, et avec des erreurs. Indépendamment de lui, ses tableaux ont été publiés par Jost Bürgi, un ami Kepler (1620 ). DANS 1617 Oxford professeur de mathématiques Henri Briggs tableaux publiés qui comprenaient déjà les logarithmes décimaux des nombres eux-mêmes, de 1 à 1000, avec 8 (plus tard - avec 14) chiffres. Mais il y avait aussi des erreurs dans les tables de Briggs. Première édition infaillible basée sur les tables Vega ( 1783 ) n'apparaissait que dans 1857à Berlin (tableaux Bremiver).

En Russie, les premières tables de logarithmes ont été publiées en 1703 mettant en vedette L. F. Magnitski. Plusieurs collections de tables de logarithmes ont été publiées en URSS.

Bradis V. M. Tableaux mathématiques à quatre chiffres. 44e édition, M., 1973.

Tableaux bradis ( 1921 ) ont été utilisés dans les établissements d'enseignement et dans les calculs d'ingénierie qui ne nécessitent pas une grande précision. Ils contenaient mantisse les logarithmes décimaux des nombres et des fonctions trigonométriques, les logarithmes naturels et quelques autres outils de calcul utiles.

Littérature

Uspensky Ya. V. Essai sur l'histoire des logarithmes. Pétrograd, 1923. −78 p.

Vygodsky M. Ya. Manuel de mathématiques élémentaires. - M. : AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6

Histoire des mathématiques édité A. P. Yushkevich en trois volumes, Moscou : Nauka.

Volume 1 De l'Antiquité au début des temps modernes. (1970) la psychologie comme science indépendante (2) Résumé >> Psychologie

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Logarithme réel

Logarithme d'un journal de nombres réels un b logique avec style="max-width : 98 % ; hauteur : automatique ; largeur : automatique ;" src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.

Les types de logarithmes suivants sont les plus largement utilisés.

Si nous considérons un nombre logarithmique comme une variable, nous obtenons fonction logarithmique, Par exemple: . Cette fonction est définie sur le côté droit de la droite numérique : X> 0 , y est continue et différentiable (voir Fig. 1).

Propriétés

logarithmes naturels

Pour , l'égalité

(1)

En particulier,

Cette série converge plus rapidement, et en plus, le côté gauche de la formule peut maintenant exprimer le logarithme de n'importe quel nombre positif.

Relation avec le logarithme décimal : .

Logarithmes décimaux

Riz. 2. Échelle logarithmique

Logarithmes en base 10 (symbole : lg un) avant l'invention des calculatrices étaient largement utilisées pour les calculs. L'échelle non uniforme des logarithmes décimaux est également couramment appliquée aux règles à calcul. Une échelle similaire est largement utilisée dans divers domaines scientifiques, par exemple :

• Chimie - l'activité des ions hydrogène ().
• Théorie musicale - l'échelle musicale, en relation avec les fréquences des sons musicaux.

L'échelle logarithmique est également largement utilisée pour identifier l'exposant dans les dépendances exponentielles et le coefficient dans l'exposant. Parallèlement, un graphique tracé à l'échelle logarithmique selon un ou deux axes prend la forme d'une droite, plus facile à étudier.

Logarithme complexe

Fonction multivaluée

Surface de Riemann

La fonction logarithmique complexe est un exemple de surface de Riemann ; sa partie imaginaire (fig. 3) est constituée d'une infinité de branches tordues en spirale. Cette surface est simplement connexe ; son seul zéro (du premier ordre) est obtenu par z= 1 , particularités : z= 0 et (points de branchement d'ordre infini).

La surface de Riemann du logarithme est le revêtement universel du plan complexe sans le point 0 .

Aperçu historique

Logarithme réel

Le besoin de calculs complexes au XVIe siècle a augmenté rapidement, et une grande partie de la difficulté était associée à la multiplication et à la division de nombres à plusieurs chiffres. À la fin du siècle, plusieurs mathématiciens, presque simultanément, ont eu l'idée de remplacer la multiplication fastidieuse par une simple addition, en comparant les progressions géométriques et arithmétiques à l'aide de tables spéciales, tandis que la géométrie sera celle d'origine. Ensuite, la division est automatiquement remplacée par une soustraction infiniment plus simple et plus fiable. Il fut le premier à publier cette idée dans son livre Arithmétique intégrale» Michael Stiefel, qui n'a cependant pas fait d'efforts sérieux pour mettre en œuvre son idée.

Dans les années 1620, Edmund Wingate et William Oughtred inventent la première règle à calcul, avant l'avènement des calculatrices de poche, outil indispensable pour un ingénieur.

Une compréhension proche de la modernité du logarithme - en tant qu'opération inverse de l'exponentiation - est apparue pour la première fois chez Wallis et Johann Bernoulli, et a finalement été légalisée par Euler au 18ème siècle. Dans le livre "Introduction à l'analyse de l'infini" (), Euler a donné des définitions modernes des fonctions exponentielles et logarithmiques, les a développées en séries de puissances et a surtout noté le rôle du logarithme naturel.

Euler a aussi le mérite d'étendre la fonction logarithmique au domaine complexe.

Logarithme complexe

Les premières tentatives d'étendre les logarithmes aux nombres complexes ont été faites au tournant des XVIIe-XVIIIe siècles par Leibniz et Johann Bernoulli, mais ils n'ont pas réussi à créer une théorie holistique - principalement parce que le concept même de logarithme n'était pas encore clairement défini. défini. La discussion sur cette question a d'abord eu lieu entre Leibniz et Bernoulli, et au milieu du XVIIIe siècle - entre d'Alembert et Euler. Bernoulli et d'Alembert estimaient qu'il fallait définir log(-x) = log(x). La théorie complète des logarithmes des nombres négatifs et complexes a été publiée par Euler en 1747-1751 et n'est essentiellement pas différente de la théorie moderne.

Bien que la dispute perdure (D'Alembert défend son point de vue et le développe en détail dans un article de son Encyclopédie et dans d'autres ouvrages), le point de vue d'Euler est rapidement universellement reconnu.

Tableaux logarithmiques

Tableaux logarithmiques

Il découle des propriétés du logarithme qu'au lieu de la multiplication fastidieuse de nombres à plusieurs chiffres, il suffit de trouver (selon les tables) et d'additionner leurs logarithmes, puis d'effectuer la potentialisation à l'aide des mêmes tables, c'est-à-dire trouver la valeur du résultat par son logarithme. Faire une division ne diffère que par le fait que les logarithmes sont soustraits. Laplace a déclaré que l'invention des logarithmes "a prolongé la vie des astronomes" en accélérant considérablement le processus de calcul.

Lorsque vous déplacez la virgule décimale d'un nombre vers n chiffres, la valeur du logarithme décimal de ce nombre est modifiée par n. Par exemple, lg8314.63 = lg8.31463 + 3 . Il s'ensuit qu'il suffit de faire une table de logarithmes décimaux pour les nombres compris entre 1 et 10.

Les premières tables de logarithmes ont été publiées par John Napier (), et elles ne contenaient que les logarithmes des fonctions trigonométriques, et avec des erreurs. Indépendamment de lui, Jost Burgi, un ami de Kepler, publia ses tables (). En 1617, le professeur de mathématiques d'Oxford Henry Briggs a publié des tables qui comprenaient déjà les logarithmes décimaux des nombres eux-mêmes, de 1 à 1000, avec 8 (plus tard 14) chiffres. Mais il y avait aussi des erreurs dans les tables de Briggs. La première édition sans erreur basée sur les tables Vega () n'est apparue qu'en 1857 à Berlin (tables Bremiver).

En Russie, les premières tables de logarithmes ont été publiées en 1703 avec la participation de L. F. Magnitsky. Plusieurs collections de tables de logarithmes ont été publiées en URSS.

• Bradis V. M. Tableaux mathématiques à quatre chiffres. 44e édition, M., 1973.

La fonction exponentielle d'une variable réelle (de base positive) est déterminée en plusieurs étapes. Premièrement, pour les valeurs naturelles - en tant que produit de facteurs égaux. La définition est ensuite étendue aux valeurs entières négatives et non nulles par les règles. De plus, des indicateurs fractionnaires sont considérés, dans lesquels la valeur de la fonction exponentielle est déterminée à l'aide des racines : . Pour les valeurs irrationnelles, la définition est déjà liée au concept de base de l'analyse mathématique - avec le passage à la limite, pour des raisons de continuité. Toutes ces considérations ne sont en aucun cas applicables aux tentatives d'étendre la fonction exponentielle aux valeurs complexes de l'indicateur, et ce qui, par exemple, est totalement incompréhensible.

Pour la première fois, un degré avec un exposant complexe avec une base naturelle a été introduit par Euler sur la base d'une analyse d'un certain nombre de constructions du calcul intégral. Parfois, des expressions algébriques très similaires lorsqu'elles sont intégrées donnent des réponses complètement différentes :

En même temps, ici la deuxième intégrale est formellement obtenue à partir de la première en la remplaçant par

De cela, nous pouvons conclure que, avec une définition appropriée d'une fonction exponentielle avec un exposant complexe, les fonctions trigonométriques inverses sont liées aux logarithmes et donc la fonction exponentielle est liée aux fonctions trigonométriques.

Euler a eu le courage et l'imagination de donner une définition raisonnable de la fonction exponentielle de base , à savoir,

Ceci est une définition, et donc cette formule n'est pas prouvée, on ne peut que chercher des arguments en faveur du caractère raisonnable et de l'opportunité d'une telle définition. L'analyse mathématique fournit de nombreux arguments de ce genre. Nous nous limiterons à un seul.

On sait que pour les réels, la relation limite vaut : . Sur le côté droit, il y a un polynôme qui a du sens même pour des valeurs complexes pour . La limite d'une suite de nombres complexes est définie de manière naturelle. Une suite est dite convergente si les suites de parties réelles et imaginaires convergent, et on suppose que

Allons trouver . Pour ce faire, nous nous tournons vers la forme trigonométrique, et pour l'argument, nous choisirons des valeurs de l'intervalle . Avec ce choix, il est clair que pour . Plus loin,

Pour passer à la limite, il faut vérifier l'existence de limites pour et et trouver ces limites. Il est clair que et

Ainsi dans l'expression

la partie réelle tend à , l'imaginaire - à de sorte que

Cet argument simple fournit l'un des arguments en faveur de la définition d'Euler de la fonction exponentielle.

Établissons maintenant que lors de la multiplication des valeurs de la fonction exponentielle, les exposants s'additionnent. Vraiment:

2. Formules d'Euler.

Nous mettons dans la définition de la fonction exponentielle . On a:

En remplaçant b par -b, on obtient

En additionnant et en soustrayant ces égalités terme à terme, on trouve les formules

appelées les formules d'Euler. Ils établissent un lien entre les fonctions trigonométriques et exponentielles avec des exposants imaginaires.

3. Logarithme naturel d'un nombre complexe.

Un nombre complexe donné sous forme trigonométrique peut être écrit sous la forme Cette forme d'écriture d'un nombre complexe est appelée exponentielle. Elle conserve toutes les bonnes propriétés de la forme trigonométrique, mais est encore plus concise. De plus, Par conséquent, il est naturel de supposer que la partie réelle du logarithme d'un nombre complexe est le logarithme de son module et que la partie imaginaire est son argument. Cela explique en partie la propriété "logarithmique" de l'argument - l'argument du produit est égal à la somme des arguments des facteurs.

fonction logarithmique

Une fonction logarithmique est une fonction de la forme f(x) = logax, définie pour

Domaine: . Plage de valeurs : . La fonction est strictement croissante pour a > 1 et strictement décroissante pour 0< a < 1. График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0). Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

La droite x = 0 est l'asymptote verticale gauche, puisque pour a > 1 et pour 0< a < 1.

La dérivée de la fonction logarithmique est :

La fonction logarithmique implémente un isomorphisme entre le groupe multiplicatif des nombres réels positifs et le groupe additif de tous les nombres réels.

Logarithme complexe

Définition et propriétés

Pour les nombres complexes, le logarithme est défini de la même manière que le réel. En pratique, le logarithme complexe naturel est utilisé presque exclusivement, que nous notons et définissons comme l'ensemble de tous les nombres complexes z tels que ez = w. Le logarithme complexe existe pour n'importe qui, et sa partie réelle est déterminée de manière unique, tandis que l'imaginaire a un nombre infini de valeurs. Pour cette raison, on l'appelle une fonction multivaluée. Si nous représentons w sous forme exponentielle :

alors le logarithme est trouvé par la formule :

Ici -- logarithme réel, r = | w | , k est un entier arbitraire. La valeur obtenue lorsque k = 0 est appelée la valeur principale du logarithme naturel complexe ; il est d'usage de prendre la valeur de l'argument qu'il contient dans l'intervalle (? p, p]. La fonction correspondante (déjà à valeur unique) est appelée la branche principale du logarithme et est notée. Parfois, la valeur du logarithme qui ne repose pas sur la branche principale est également désigné par.

De la formule suit:

La partie réelle du logarithme est déterminée par la formule :

Le logarithme d'un nombre négatif se trouve par la formule.