Tetapkan faktor

Banyak orang.

Relasi orde parsial pada himpunan x merupakan relasi biner yang bersifat antisimetris, refleksif, dan transitif dan dilambangkan dengan
sebagai pasangan:

Relasi biner disebut toleransi jika relasi tersebut refleksif dan simetris.

Suatu relasi biner disebut quasi-order jika tidak refleksif, antisimetris, dan transitif (pre-order).

Relasi biner disebut tatanan ketat jika bersifat refleksif dan transitif.

Operasi aljabar enary pada himpunan M adalah fungsinya

– operasi unary;

– operasi biner;

– operasi triari.

Operasi aljabar biner –

– operasi yang menetapkan ke setiap pasangan terurut dari himpunan M beberapa elemen himpunan M.

Properti:

1) Komutatifitas:

2) Asosiatif:

Elemen netral

Menetapkan M untuk operasi aljabar biner

Elemen tersebut disebut:

• 
  Faktor set– satu set kelas kesetaraan ini set. Relasi pesanan parsial aktif banyak x disebut relasi biner...


• 
  Pertanyaan selanjutnya." Faktor set. Faktor set– totalitas Bentuk perkalian dan penjumlahan.


• 
  Faktor set– totalitas
  Sekelompok- sekumpulan objek yang terdefinisi dan berbeda yang dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan.


• 
  Fungsi perkalian adalah... more ». Faktor set. Faktor set– satu set kelas kesetaraan ini set.


• 
  Kenyataannya, proses produksinya lebih kompleks, dan produknya merupakan hasil pemanfaatan set faktor.


• 
  Kualitas keputusan manajemen bergantung pada set faktor, yang paling signifikan adalah n.


• 
  Mengoptimalkan keputusan peningkatan modal adalah proses penelitian set faktor mempengaruhi hasil yang diharapkan...

Misalkan G=(p 0 =e, p 1, …, p r) adalah sekelompok permutasi tertentu yang terdefinisi pada himpunan X = (1, 2, …, n) dengan satuan e=p 0 permutasi identik. Mari kita definisikan relasi x~y dengan menempatkan x~y ekuivalen dengan fakta bahwa terdapat p milik G(p(x)=y). Relasi yang diperkenalkan merupakan relasi ekivalensi, yaitu memenuhi tiga aksioma:

1) x~x;
2) x~y→y~x;
3) x~y&y~z→x~z;

Misalkan A adalah himpunan sembarang.
Definisi: Suatu relasi biner δ=A*A merupakan relasi ekivalen (dilambangkan dengan a ~ b) jika memenuhi aksioma berikut:
∀ a, b, c ∈ A
1) a ~ a – refleksivitas;
2) a ~ b ⇒ b ~ a – komutatifitas;
3) a ~ b & b ~ c → a ~ c - transitivitas

dilambangkan dengan a ~ b, σ(a,b), (a,b) ∈ σ, a σ b

Definisi: Partisi dari suatu himpunan A adalah suatu keluarga dari himpunan bagian-bagian A yang saling lepas berpasangan, yang jika digabungkan (secara total) menghasilkan seluruh A.
А= ∪А i, А i ∩А j = ∅, ∀i ≠ j.

Himpunan bagian A i disebut koset partisi.

Dalil: setiap relasi ekivalen yang didefinisikan di A berhubungan dengan beberapa partisi dari himpunan A. Setiap partisi dari himpunan A berhubungan dengan beberapa relasi ekivalen di himpunan A.

Secara singkat: terdapat korespondensi satu-satu antara kelas-kelas dari semua relasi ekuivalen yang didefinisikan pada himpunan A dan kelas dari semua partisi himpunan A.

Bukti: misalkan σ merupakan relasi ekivalen pada himpunan A. Misalkan a ∈ A.

Mari kita buat suatu himpunan: K a =(x ∈ A,: x~a) – semua elemen yang ekuivalen dengan a. Himpunan (notasi) disebut kelas ekivalensi terhadap ekivalensi σ. Perhatikan bahwa jika b milik K a , maka b~a. Mari kita tunjukkan bahwa a~b⇔K a =K b . Memang benar, biarkan a~b. Ambil elemen sembarang c milik K a . Maka c~a, a~b, c~b, c menjadi milik K b dan oleh karena itu K b menjadi milik K a . Fakta bahwa K a milik K b ditunjukkan dengan cara yang sama. Oleh karena itu, K b =K a.
Biarkan sekarang K b =K a . Maka a milik K a = K b , a milik K b , a~b. Itu yang perlu ditunjukkan.

Jika 2 kelas K a dan K b mempunyai unsur c yang sama, maka K a = K b. Faktanya, jika c milik K a dan K b , maka b~c, c~a, b~a => K a = K b .

Oleh karena itu, kelas-kelas kesetaraan yang berbeda tidak berpotongan atau berpotongan dan kemudian bertepatan. Setiap elemen c dari A hanya termasuk dalam satu kelas ekivalensi K c. Oleh karena itu, sistem kelas-kelas ekivalen yang saling lepas pada titik potong menghasilkan seluruh himpunan A. Oleh karena itu, sistem ini merupakan pembagian himpunan A menjadi kelas-kelas ekivalen.

Kebalikan: Misalkan A = penjumlahan atau A i adalah partisi dari A. Mari kita perkenalkan relasi a~b pada A, karena a~b ⇔ a,b termasuk dalam kelas partisi yang sama. Hubungan ini memenuhi aksioma berikut:

1) a ~ a (berada di kelas yang sama);
2) a ~ b → b ~ a;
3) a ~ b & b ~ c → a ~ c, yaitu. relasi yang diperkenalkan ~ adalah relasi ekuivalen.

Komentar:
1) partisi dari himpunan A menjadi himpunan bagian berelemen tunggal dan partisi A yang hanya terdiri dari himpunan A disebut partisi sepele (tidak wajar).

2) Mempartisi A menjadi himpunan bagian berelemen tunggal berhubungan dengan relasi ekuivalen yaitu kesetaraan.

3) Partisi A, yang terdiri dari satu kelas A, sesuai dengan relasi ekivalensi yang mengandung A x A.

4) a σ b → [a] σ = [b] σ - setiap relasi ekivalen yang didefinisikan pada suatu himpunan tertentu membagi himpunan ini menjadi kelas-kelas lepas berpasangan yang disebut kelas kesetaraan.

Definisi: Himpunan kelas ekivalensi dari himpunan A disebut himpunan hasil bagi A/σ dari himpunan A dengan ekivalensi σ.

Definisi: Pemetaan p:A→A/σ, yang mana p(A)=[a] σ, disebut pemetaan kanonik (alami).

Setiap relasi ekivalensi yang didefinisikan pada suatu himpunan tertentu akan mempartisi himpunan tersebut ke dalam kelas-kelas yang saling lepas berpasangan yang disebut kelas ekivalensi.

Misalkan R adalah relasi biner pada himpunan X. Relasi R disebut reflektif , jika (x, x) О R untuk semua x О X; simetris – jika dari (x, y) О R mengikuti (y, x) О R; bilangan transitif 23 sesuai dengan opsi 24 jika (x, y) О R dan (y, z) О R menyiratkan (x, z) О R.

Contoh 1

Kita akan mengatakan bahwa x О X memiliki kesamaan dengan unsur y О X, jika himpunan
x Ç y tidak kosong. Relasi yang dimiliki bersama akan bersifat refleksif dan simetris, namun tidak transitif.

Hubungan kesetaraan pada X merupakan relasi refleksif, transitif dan simetris. Sangat mudah untuk melihat bahwa R Í X ´ X akan menjadi relasi ekuivalen jika dan hanya jika terjadi inklusi:

Id X Í R (refleksivitas),

R -1 Í R (simetri),

R ° R Í R (transitivitas).

Pada kenyataannya, ketiga kondisi ini setara dengan berikut ini:

Id X Í R, R -1 = R, R ° R = R.

Dengan membelah dari himpunan X adalah himpunan A yang terdiri dari himpunan bagian lepas berpasangan a Í X sehingga UA = X. Dengan setiap partisi A kita dapat mengasosiasikan relasi ekivalen ~ pada X, dengan menempatkan x ~ y jika x dan y adalah elemen dari beberapa a Î A .

Setiap relasi ekivalen ~ pada X berhubungan dengan partisi A, yang elemen-elemennya merupakan himpunan bagian, yang masing-masing terdiri dari elemen-elemen dalam relasi ~. Subset ini disebut kelas kesetaraan . Partisi A ini disebut himpunan faktor dari himpunan X terhadap ~ dan dinotasikan: X/~.

Mari kita definisikan relasi ~ pada himpunan w bilangan asli, dengan menempatkan x ~ y jika sisa pembagian x dan y dengan 3 adalah sama. Kemudian w/~ terdiri dari tiga kelas ekuivalen yang bersesuaian dengan sisa 0, 1 dan 2.

Hubungan pesanan

Relasi biner R pada himpunan X disebut antisimetris , jika dari x R y dan y R x sebagai berikut: x = y. Relasi biner R pada himpunan X disebut hubungan pesanan , jika bersifat refleksif, antisimetris, dan transitif. Sangat mudah untuk melihat bahwa ini setara dengan kondisi berikut:

1) Id X Í R (refleksivitas),

2) R Ç R -1 (antisimetri),

3) R ° R Í R (transitivitas).

Pasangan terurut (X, R) yang terdiri dari himpunan X dan relasi keteraturan R pada X disebut set yang dipesan sebagian .

Contoh 1

Misalkan X = (0, 1, 2, 3), R = ((0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2 ), (1, 3), (2, 2), (3, 3)).

Karena R memenuhi syarat 1 – 3, maka (X, R) adalah himpunan terurut sebagian. Untuk elemen x = 2, y = 3, baik x R y maupun y R x tidak benar. Unsur-unsur seperti ini disebut tak tertandingi . Biasanya relasi keteraturan dilambangkan dengan £. Dalam contoh yang diberikan, 0 £ 1 dan 2 £ 2, tetapi tidak benar bahwa 2 £ 3.

Contoh 2

Membiarkan< – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.

Elemen x, y О X dari himpunan terurut sebagian (X, £) disebut sebanding , jika x £ y atau y £ x.

Himpunan terurut sebagian (X, £) disebut dipesan secara linear atau rantai , jika ada dua elemennya yang sebanding. Himpunan dari contoh 2 akan terurut secara linier, tetapi himpunan dari contoh 1 tidak.

Subset A Í X dari himpunan terurut sebagian (X, £) disebut dibatasi di atas , jika terdapat suatu elemen x О X sehingga a £ x untuk semua a О A. Elemen x О X disebut terbesar dalam X jika y £ x untuk semua y О X. Suatu elemen x О X disebut maksimal jika tidak ada elemen y О X yang berbeda dengan x yang x £ y. Pada contoh 1, elemen 2 dan 3 akan menjadi maksimum, namun bukan yang terbesar. Didefinisikan serupa batasan yang lebih rendah himpunan bagian, elemen terkecil dan minimum. Dalam contoh 1, elemen 0 akan menjadi yang terkecil dan minimum. Pada Contoh 2, 0 juga mempunyai sifat-sifat ini, tetapi (w, £) tidak mempunyai elemen terbesar dan maksimum.

Analisis matematis adalah cabang matematika yang mempelajari ilmu fungsi berdasarkan gagasan tentang fungsi yang sangat kecil.

Konsep dasar analisis matematis adalah besaran, himpunan, fungsi, fungsi sangat kecil, limit, turunan, integral.

Ukuran Segala sesuatu yang dapat diukur dan dinyatakan dengan bilangan disebut.

Banyak adalah kumpulan elemen-elemen tertentu yang disatukan oleh suatu ciri umum. Unsur-unsur suatu himpunan dapat berupa bilangan, bangun datar, benda, konsep, dan sebagainya.

Himpunan dilambangkan dengan huruf besar, dan unsur-unsur himpunan dilambangkan dengan huruf kecil. Elemen-elemen himpunan diapit oleh kurung kurawal.

Jika elemen X milik himpunan X, lalu menulis X∈X (∈ - milik).
Jika himpunan A merupakan bagian dari himpunan B, maka tulislah A ⊂ B (⊂ - terkandung).

Suatu himpunan dapat didefinisikan dengan salah satu dari dua cara berikut: dengan enumerasi dan dengan menggunakan properti penentu.

Misalnya, himpunan berikut ditentukan dengan enumerasi:

• A=(1,2,3,5,7) - kumpulan angka
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) - himpunan beberapa elemen x 1 ,x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) — himpunan bilangan asli
• Z=(0,±1,±2,...,±n) — himpunan bilangan bulat

Himpunan (-∞;+∞) disebut nomor baris, dan bilangan apa pun merupakan titik pada garis ini. Misalkan a adalah suatu titik sembarang pada garis bilangan dan δ adalah bilangan positif. Interval (a-δ; a+δ) disebut δ-lingkungan titik a.

Himpunan X dibatasi dari atas (dari bawah) jika terdapat bilangan c sedemikian rupa sehingga untuk sembarang x ∈ X pertidaksamaan x≤с (x≥c) berlaku. Angka c dalam hal ini disebut tepi atas (bawah). himpunan X. Himpunan yang dibatasi di atas dan di bawah disebut terbatas. Yang terkecil (terbesar) dari muka atas (bawah) suatu himpunan disebut tepi atas (bawah) yang tepat dari orang banyak ini.

Kumpulan angka dasar

N	(1,2,3,...,n) Himpunan semuanya
Z	(0, ±1, ±2, ±3,...) Tetapkan bilangan bulat. Himpunan bilangan bulat termasuk himpunan bilangan asli.
Q	Sekelompok angka rasional. Selain bilangan bulat, ada juga pecahan. Pecahan adalah ekspresi bentuk di mana P- bilangan bulat, Q- alami. Pecahan desimal juga dapat ditulis sebagai . Contoh: 0,25 = 25/100 = 1/4. Bilangan bulat juga dapat ditulis sebagai . Misalnya berbentuk pecahan dengan penyebut “satu”: 2 = 2/1. Jadi, bilangan rasional apa pun dapat ditulis sebagai pecahan desimal - periodik berhingga atau periodik tak terhingga.
R	Banyak orang bilangan real. Bilangan irasional adalah pecahan non-periodik yang tak terhingga. Ini termasuk: Bersama-sama, dua himpunan (bilangan rasional dan irasional) membentuk himpunan bilangan real (atau real).

Jika suatu himpunan tidak memuat satu elemen pun, maka himpunan tersebut disebut set kosong dan dicatat Ø .

Elemen simbolisme logis

Notasi ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Pembilang

Quantifier sering digunakan saat menulis ekspresi matematika.

Pembilang disebut lambang logika yang mencirikan unsur-unsur yang mengikutinya secara kuantitatif.

• ∀- pengukur umum, digunakan sebagai pengganti kata “untuk semua orang”, “untuk siapa pun”.
• ∃- pengukur keberadaan, digunakan sebagai pengganti kata “ada”, “tersedia”. Kombinasi simbol ∃! juga digunakan, yang dibaca seolah-olah hanya ada satu.

Tetapkan Operasi

Dua himpunan A dan B sama besar(A=B) jika keduanya terdiri dari unsur-unsur yang sama.
Misalnya, jika A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) maka A=B.

Berdasarkan kesatuan (jumlah) himpunan A dan B adalah himpunan A ∪ B yang anggota-anggotanya paling sedikit termasuk dalam salah satu himpunan tersebut.
Misalnya, jika A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), maka A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Berdasarkan persimpangan (produk) himpunan A dan B disebut himpunan A ∩ B yang anggota-anggotanya termasuk dalam himpunan A dan himpunan B.
Misalnya, jika A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), maka A ∩ B = (2,4)

Berdasarkan perbedaan Himpunan A dan B disebut himpunan AB, yang unsur-unsurnya termasuk dalam himpunan A, tetapi tidak termasuk dalam himpunan B.
Misalnya A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), maka AB = (1,2)

Perbedaan simetris himpunan A dan B disebut himpunan A Δ B yang merupakan gabungan selisih himpunan AB dan BA, yaitu A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Misalnya, jika A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), maka A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5 ,6)

Properti operasi yang ditetapkan

Properti komutabilitas

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

Properti yang cocok

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Himpunan yang dapat dihitung dan tidak dapat dihitung

Untuk membandingkan dua himpunan A dan B, dibuat korespondensi antara elemen-elemennya.

Jika korespondensinya satu-satu, maka himpunan-himpunan tersebut disebut ekuivalen atau sama kuatnya, A B atau B A.

Contoh 1

Himpunan titik-titik pada kaki BC dan sisi miring AC pada segitiga ABC mempunyai pangkat yang sama.

Teorema berikut dapat dibuktikan.

Teorema 1.4. Suatu fungsi f mempunyai invers fungsi f -1 jika dan hanya jika f bersifat bijektif.

Teorema 1.5. Susunan fungsi bijektif merupakan fungsi bijektif.

Beras. 1.12 menunjukkan berbagai hubungan, semuanya kecuali yang pertama adalah fungsi.

sikap, tapi

injeksi, tapi

dugaan, tapi

bukan suatu fungsi

bukan sebuah dugaan

bukan suntikan

Misalkan f : A→B suatu fungsi, dan himpunan A dan B merupakan himpunan berhingga, misalkan A = n, B = m. Prinsip Dirichlet menyatakan bahwa jika n > m, maka paling sedikit satu nilai f muncul lebih dari satu kali. Dengan kata lain, terdapat sepasang elemen a i ≠ a j , a i , a j A yang f(ai )= f(a j ).

Prinsip Dirichlet mudah dibuktikan, jadi kami serahkan kepada pembaca sebagai latihan yang sepele. Mari kita lihat sebuah contoh. Misalkan ada lebih dari 12 siswa dalam satu kelompok. Maka jelaslah bahwa setidaknya dua orang di antara mereka berulang tahun di bulan yang sama.

§ 7. Hubungan kesetaraan. Faktor - himpunan

Relasi biner R pada himpunan A disebut relasi ekivalen jika R refleksif, simetris, dan transitif.

Suatu relasi kesetaraan pada himpunan bilangan mempunyai sifat-sifat yang ditunjukkan, dan oleh karena itu merupakan relasi ekivalen.

Relasi kemiripan segitiga jelas merupakan relasi ekuivalen.

Relasi pertidaksamaan tak tegas (≤ ) pada himpunan bilangan real bukanlah relasi ekivalen, karena tidak simetris: dari 3≤ 5 tidak berarti 5≤ 3.

Kelas ekivalensi (koset) yang dihasilkan oleh elemen a untuk relasi ekivalensi tertentu R adalah himpunan bagian dari x A yang berada dalam relasi R dengan a. Kelas kesetaraan yang ditunjukkan dilambangkan dengan [a]R, oleh karena itu, kita memiliki:

[a] R = (x A: a, x R).

Mari kita lihat sebuah contoh. Relasi keserupaan diperkenalkan pada himpunan segitiga. Jelas bahwa semua segitiga sama sisi termasuk dalam satu koset, karena masing-masing segitiga sebangun, misalnya, dengan segitiga yang semua sisinya mempunyai panjang satuan.

Teorema 1.6. Misalkan R adalah relasi ekivalen pada himpunan A dan [a] R sebuah koset, yaitu [a] R = (x A: a, x R), maka:

1) untuk setiap a A: [a] R ≠, khususnya, a [a] R;

2) koset yang berbeda tidak berpotongan;

3) gabungan semua koset berimpit dengan seluruh himpunan A;

4) himpunan koset yang berbeda membentuk partisi himpunan A.

Bukti. 1) Karena refleksivitas R, kita peroleh bahwa untuk sembarang a, a A, kita mempunyai a,a R, oleh karena itu a [ a] R dan [ a] R ≠ ;

2) mari kita asumsikan bahwa [a] R ∩ [b] R ≠, yaitu. ada elemen c dari A dan c [a]R ∩ [b]R. Kemudian dari (cRa)&(cRb) karena kesimetrisan R kita peroleh bahwa (aR c)&(cRb), dan dari transitivitas R kita peroleh aRb.

Untuk setiap x [a] R kita mempunyai: (xRa)&(aRb), maka karena transitivitas R kita memperoleh xRb, yaitu x [b] R, oleh karena itu [a] R [b] R. Demikian pula, untuk setiap y, y [b] R, kita mempunyai: (yRb)&(aRb), dan karena kesimetrian R kita peroleh bahwa (yRb)&(bR a), maka, karena transitivitas R , kita mendapatkan bahwa yR a , yaitu. kamu [a]R dan

oleh karena itu [b] R [a] R . Dari [ a ] ​​​​R [ b ] R dan [ b ] R [ a ] ​​​​R kita memperoleh [ a ] ​​​​R = [ b ] R , yaitu jika koset-koset berpotongan, maka koset-koset tersebut berhimpitan;

3) untuk sembarang a, a A, terbukti kita mempunyai a [a] R, maka jelas gabungan semua koset berimpit dengan himpunan A.

Pernyataan 4) Teorema 1.6 mengikuti dari 1)-3). Teorema tersebut terbukti. Teorema berikut dapat dibuktikan.

Teorema 1.7. Relasi ekivalen yang berbeda pada himpunan A menghasilkan partisi A yang berbeda.

Teorema 1.8. Setiap partisi pada himpunan A menghasilkan relasi ekivalen pada himpunan A, dan partisi yang berbeda menghasilkan relasi ekivalen yang berbeda.

Bukti. Misalkan diberikan partisi B = (B i ) dari himpunan A. Mari kita definisikan relasi R : a,b R jika dan hanya jika terdapat a B i sehingga a dan b keduanya termasuk dalam B i ini. Jelas bahwa relasi yang diperkenalkan bersifat refleksif, simetris, dan transitif, oleh karena itu R merupakan relasi ekivalen. Dapat ditunjukkan bahwa jika partisinya berbeda, maka relasi ekivalensi yang dihasilkannya juga berbeda.

Himpunan semua koset dari suatu himpunan A terhadap suatu relasi ekivalen tertentu R disebut himpunan faktor dan dilambangkan dengan A/R. Elemen-elemen himpunan faktor adalah koset. Kelas koset [a]R, seperti diketahui, terdiri dari elemen A yang berhubungan satu sama lain R.

Perhatikan contoh relasi ekivalen pada himpunan bilangan bulat Z = (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...).

Dua bilangan bulat a dan b disebut modulo m yang sebanding (kongruen) jika m adalah pembagi bilangan a-b, yaitu jika kita mempunyai:

a=b+km , k=…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….

Dalam hal ini, tulis a≡ b(mod m) .

Teorema 1.9. Untuk sembarang bilangan a, b, c dan m>0 kita mempunyai:

1) a ≡ a(mod m) ;

2) jika a ≡ b(mod m), maka b ≡ a(mod m);

3) jika a ≡ b(mod m) dan b ≡ c(mod m), maka a ≡ c(mod m).

Bukti. Pernyataan 1) dan 2) sudah jelas. Mari kita buktikan 3). Misalkan a=b+k 1 m, b=c+k 2 m, maka a=c+(k 1 +k 2)m, mis. a ≡ c(mod m) . Teorema tersebut terbukti.

Jadi, relasi komparabilitas modulo m merupakan relasi ekivalensi dan membagi himpunan bilangan bulat menjadi kelas-kelas bilangan yang terpisah-pisah.

Mari kita membangun spiral yang tidak berliku tanpa henti, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 1.13 ditampilkan sebagai garis padat, dan spiral yang berputar tanpa henti ditampilkan sebagai garis putus-putus. Misalkan bilangan bulat non-negatif m diberikan. Kami akan menempatkan semua bilangan bulat (elemen dari himpunan Z) pada titik potong spiral ini dengan sinar m, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 1.13.

Untuk modulo relasi komparabilitas m (khususnya, untuk m =8), kelas ekuivalennya adalah bilangan-bilangan yang terletak pada sinar. Jelasnya, setiap nomor termasuk dalam satu dan hanya satu kelas. Dapat diperoleh bahwa untuk m= 8 kita mempunyai:

[ 0] ={…, -8, 0, 8, 16, …};
[ 1] ={…, -7, 1, 9, 17, …};
[ 2] ={…, -6, 2, 10, 18, …};
[ 7] ={…, -9, -1, 7, 15, …}.

Himpunan faktor dari himpunan Z terhadap hubungan perbandingan modulo m dilambangkan sebagai Z/m atau sebagai Z m. Untuk kasus yang sedang dipertimbangkan m =8

kita peroleh bahwa Z/8 = Z8 = ( , , , …, ) .

Teorema 1.10. Untuk sembarang bilangan bulat a, b, a*, b*, k dan m:

1) jika a ≡ b(mod m), maka ka ≡ kb(mod m);

2) jika a ≡ b(mod m) dan a* ≡ b* (mod m), maka:

a) a+a * ≡ b+b* (mod m); b) aa * ≡ bb* (mod m).

Kami menyajikan bukti untuk kasus 2b). Misalkan a ≡ b(mod m) dan a * ≡ b * (mod m), maka a=b+sm dan a * =b * +tm untuk beberapa bilangan bulat s dan t. Mengalikan

kita peroleh: aa* =bb* + btm+ b* sm+ stm2 =bb* +(bt+ b* s+ stm)m. Karena itu,

aa* ≡ bb* (modm).

Dengan demikian, perbandingan modulo dapat dijumlahkan dan dikalikan suku demi suku, yaitu beroperasi dengan cara yang persis sama dengan kesetaraan. Misalnya,