Studi tentang gerak tubuh dilemparkan pada sudut ke cakrawala. Gerakan benda yang terlempar dengan sudut ke cakrawala Benda yang terlempar dari permukaan horizontal bumi

Petunjuk

Misalkan sebuah benda dilempar dengan sudut α terhadap horizon dengan kecepatan awal v0. Biarkan koordinat awal benda menjadi nol: x(0)=0, y(0)=0. Dalam proyeksi ke sumbu koordinat, kecepatan awal berkembang menjadi dua komponen: v0(x) dan v0(y). Kecepatan yang sama pada umumnya. Pada sumbu Kerbau, kecepatan dianggap konstan secara kondisional, pada sumbu Oy kecepatan berubah di bawah pengaruh . Percepatan gravitasi g dapat diambil kira-kira 10m/s².

Sudut α di mana tubuh dilempar tidak ditentukan secara kebetulan. Melalui itu, Anda dapat melukis kecepatan awal pada sumbu koordinat. Jadi, v0(x)=v0 cos(α), v0(y)=v0 sin(α). Sekarang kita dapat memperoleh fungsi komponen kecepatan koordinat: v(x)=const=v0(x)=v0 cos(α), v(y)=v0(y)-g t=v0 sin(α)-g t.

Koordinat benda x dan y bergantung pada waktu t. Dengan demikian, dua persamaan ketergantungan dapat dibuat: x=x0+v0(x) t+a(x) t²/2, y=y0+v0(y) t+a(y) t²/2. Karena x0=0, a(x)=0, maka x=v0(x) t=v0 cos(α) t. Diketahui juga bahwa y0=0, a(y)=-g (tanda “ ” muncul karena arah percepatan jatuh bebas g dan arah positif sumbu Oy berlawanan). Oleh karena itu y=v0 sin(α) t-g t²/2.

Waktu terbang dapat dinyatakan dari rumus kecepatan, mengetahui bahwa pada titik maksimum benda berhenti sesaat (v=0), dan durasi "pendakian" dan "penurunan" adalah sama. Jadi, saat mensubstitusikan v(y)=0 ke dalam persamaan v(y)=v0 sin(α)-g t, kita mendapatkan: 0=v0 sin(α)-g t(p), di mana t(p) – waktu puncak , "t puncak". Oleh karena itu t(p)=v0 sin(α)/g. Total waktu terbang kemudian dinyatakan sebagai t=2·v0·sin(α)/g.

Rumus yang sama dapat diperoleh dengan cara lain, secara matematis, dari persamaan koordinat y=v0 sin(α) t-g t²/2. Persamaan ini dapat ditulis ulang dalam bentuk yang sedikit dimodifikasi: y=-g/2 t²+v0 sin(α) t. Dapat dilihat bahwa ini adalah ketergantungan kuadrat, di mana y adalah fungsi, t adalah argumen. Puncak parabola yang menjelaskan lintasan adalah titik t(p)=[-v0 sin(α)]/[-2g/2]. Minus dan dua ditiadakan, jadi t(p)=v0 sin(α)/g. Jika kita menetapkan tinggi maksimum sebagai H dan ingat bahwa titik puncaknya adalah puncak parabola sepanjang benda bergerak, maka H=y(t(p))=v0²sin²(α)/2g. Artinya, untuk mendapatkan ketinggian, Anda perlu mengganti "simpul t" ke dalam persamaan untuk koordinat y.

Jadi, waktu terbang ditulis sebagai t=2·v0·sin(α)/g. Untuk mengubahnya, perlu mengubah kecepatan awal dan sudut kemiringan yang sesuai. Semakin besar kecepatannya, semakin lama tubuh terbang. Dengan sudut agak lebih rumit, karena waktu tidak bergantung pada sudut itu sendiri, tetapi pada sinusnya. Nilai sinus maksimum yang mungkin - satu - dicapai pada sudut kemiringan 90 °. Artinya benda terbang paling lama saat dilempar vertikal ke atas.

Rentang penerbangan adalah koordinat x terakhir. Jika kita mengganti waktu terbang yang sudah ditemukan ke dalam persamaan x=v0·cos(α)·t, maka mudah untuk mencari L=2v0²sin(α)cos(α)/g. Di sini Anda dapat menerapkan rumus trigonometri sudut rangkap 2sin(α)cos(α)=sin(2α), lalu L=v0²sin(2α)/g. Sinus dua alfa sama dengan satu jika 2α=n/2, α=n/4. Dengan demikian, jangkauan terbang menjadi maksimal jika badan dilempar dengan sudut 45 °.

Kisaran terbang maksimum batu yang ditembakkan dari ketapel stasioner adalah S = 22,5 m. Temukan jarak terbang maksimum yang mungkin dari sebuah batu yang ditembakkan dari ketapel yang sama yang dipasang pada platform yang bergerak secara horizontal dengan kecepatan konstan v = 15,0 m/s. Abaikan hambatan udara, pertimbangkan akselerasi jatuh bebas g = 10,0 m/s 2.

Solusi: Diketahui bahwa jangkauan penerbangan maksimum dari benda yang dilemparkan pada sudut ke cakrawala dicapai pada sudut keberangkatan yang sama dengan 45° dan ditentukan dengan rumus:

Pertimbangkan sekarang penerbangan batu yang ditembakkan dari ketapel yang bergerak. Kami memperkenalkan sistem koordinat yang sumbunya adalah: X- diarahkan secara horizontal Y- Tegak lurus. Asal koordinat sesuai dengan posisi ketapel pada saat keberangkatan batu.

Untuk menghitung vektor kecepatan batu, perlu memperhitungkan kecepatan horizontal ketapel v = vo. Mari kita asumsikan bahwa ketapel mengeluarkan batu secara miring α ke cakrawala. Maka komponen kecepatan awal batu dalam sistem koordinat kita dapat ditulis sebagai:

Mengganti ungkapan ini ke persamaan pertama sistem (3), kami memperoleh jangkauan terbang batu:

Kedua, tidak mengikuti sama sekali dari (5) itu S1 akan maksimal pada α = 45°(ini berlaku untuk (6) kapan v = 0).

Mengusulkan masalah ini ke Olimpiade Republik, penulis yakin bahwa sembilan per sepuluh peserta akan menerima rumus (5) dan kemudian mengganti nilainya α = 45°. Namun, sayangnya, kami salah: tidak satu pun dari Olympian yang meragukan bahwa jangkauan penerbangan maksimum selalu (!) Pada sudut keberangkatan sama dengan 45°. Fakta terkenal ini memiliki ruang lingkup penerapan yang terbatas: ini hanya valid jika:

a) abaikan hambatan udara;
b) titik berangkat dan titik jatuh berada pada level yang sama;
c) proyektil diam.

Mari kita kembali untuk memecahkan masalah. Jadi, kita perlu mencari nilai sudutnya α , di mana S1 ditentukan oleh rumus (5), maksimum. Anda dapat, tentu saja, menemukan ekstrem fungsi menggunakan peralatan kalkulus diferensial: temukan turunannya, setel sama dengan nol dan, selesaikan persamaan yang dihasilkan, temukan nilai yang diinginkan α . Namun, mengingat masalah tersebut diajukan kepada siswa kelas 9, kami akan memberikan solusi geometrisnya. Mari kita manfaatkan fakta itu v = v o = 15 m/s.

Atur vektor ay Dan v o seperti yang ditunjukkan pada gambar. Karena panjangnya sama, sebuah lingkaran dapat digambarkan di sekelilingnya dengan pusat di titik O. Kemudian panjang segmen tersebut AC adalah sama dengan v o + v o cos α(ini vxo), dan panjang segmen SM adalah sama dengan v o sin α(Ini vyo). Produk mereka sama dengan dua kali luas segitiga ABC, atau luas segitiga AB 1.

Harap diperhatikan bahwa ini adalah produk yang memasukkan ekspresi untuk rentang penerbangan (5). Dengan kata lain, jangkauan penerbangan sama dengan hasil kali luas tersebut ΔABV 1 ke pengali konstan 2/g.

Dan sekarang kita bertanya pada diri sendiri pertanyaan: manakah dari segitiga yang tertulis dalam lingkaran tertentu yang memiliki luas maksimum? Secara alami benar! Oleh karena itu, nilai sudut yang diinginkan α = 60°.

Vektor AB adalah vektor dari kecepatan awal total batu, itu diarahkan pada sudut 30° ke cakrawala (sekali lagi, sama sekali tidak 45°).

Dengan demikian, solusi akhir dari masalah tersebut mengikuti dari rumus (5), yang harus diganti α = 60°.

Ini adalah tugas kreatif untuk kelas master ilmu komputer untuk anak sekolah di FEFU.
Tujuan dari tugas ini adalah untuk mengetahui bagaimana lintasan benda akan berubah jika hambatan udara diperhitungkan. Penting juga untuk menjawab pertanyaan apakah jangkauan penerbangan masih akan mencapai nilai maksimum pada sudut lemparan 45 °, jika hambatan udara diperhitungkan.

Di bagian "Penelitian analitik" teorinya dinyatakan. Bagian ini dapat dilewati, tetapi sebagian besar harus cukup jelas karena HAI Sebagian besar dari ini Anda pelajari di sekolah.
Bagian "Studi Numerik" berisi penjelasan tentang algoritma yang harus diimplementasikan pada komputer. Algoritmanya sederhana dan ringkas, jadi semua orang harus bisa menanganinya.

Studi analitis

Mari perkenalkan sistem koordinat persegi panjang seperti yang ditunjukkan pada gambar. Pada saat awal waktu, sebuah benda dengan massa M adalah asal koordinat. Vektor percepatan gravitasi diarahkan vertikal ke bawah dan memiliki koordinat (0, - G).
- vektor kecepatan awal. Mari kita perluas vektor ini berdasarkan basisnya: . Di sini , dimana adalah modulus vektor kecepatan, adalah sudut lempar.

Mari kita menulis hukum kedua Newton: .
Percepatan pada setiap momen waktu adalah laju perubahan kecepatan (seketika), yaitu turunan kecepatan terhadap waktu: .

Oleh karena itu, hukum ke-2 Newton dapat ditulis ulang sebagai berikut:
, dimana resultan dari semua gaya yang bekerja pada benda.
Karena gaya gravitasi dan gaya hambatan udara bekerja pada tubuh, maka
.

Kami akan mempertimbangkan tiga kasus:
1) Gaya hambatan udara adalah 0: .
2) Gaya hambatan udara berlawanan arah dengan vektor kecepatan, dan nilainya sebanding dengan kecepatan: .
3) Gaya hambatan udara berlawanan arah dengan vektor kecepatan, dan besarnya sebanding dengan kuadrat kecepatan: .

Mari kita pertimbangkan kasus pertama terlebih dahulu.
Pada kasus ini , atau .


Dari itu berikut itu (gerakan dipercepat beraturan).
Karena ( R adalah vektor radius), maka .
Dari sini .
Rumus ini tidak lain adalah rumus umum dari hukum gerak benda dalam gerak dipercepat beraturan.
Dari dulu .
Mengingat itu dan , kami memperoleh persamaan skalar dari persamaan vektor terakhir:

Mari kita analisis rumus yang diperoleh.
Ayo temukan waktu penerbangan tubuh. Menyamakan y ke nol, kita dapatkan

Jangkauan penerbangan sama dengan nilai koordinat X pada saat itu T 0:

Berdasarkan rumus ini, jarak terbang maksimum dicapai pada .
Sekarang mari kita temukan persamaan traksi tubuh. Untuk itu kami sampaikan T melalui X

Dan gantikan ekspresi yang dihasilkan dengan T ke persamaan untuk y.

Fungsi yang dihasilkan y(X) adalah fungsi kuadrat, grafiknya berbentuk parabola, cabang-cabangnya mengarah ke bawah.
Tentang pergerakan benda yang terlempar pada sudut ke cakrawala (tanpa memperhitungkan hambatan udara), dijelaskan dalam video ini.

Sekarang pertimbangkan kasus kedua: .

Hukum kedua mengambil bentuk ,
dari sini .
Kami menulis persamaan ini dalam bentuk skalar:

Kita punya dua persamaan diferensial linier.
Persamaan pertama memiliki solusi

Apa yang bisa dilihat dengan mensubstitusikan fungsi ini ke dalam persamaan untuk v x dan masuk ke kondisi awal .
Di sini e = 2,718281828459... adalah bilangan Euler.
Persamaan kedua memiliki solusi

Karena , , maka dengan adanya hambatan udara, gerak benda cenderung seragam, berbeda dengan kasus 1, ketika kecepatan bertambah tanpa batas.
Di video berikutnya, dikatakan bahwa penerjun payung pertama kali bergerak dengan kecepatan yang dipercepat, lalu mulai bergerak secara merata (bahkan sebelum parasut dibuka).

Mari kita temukan ekspresi untuk X Dan y.
Karena X(0) = 0, y(0) = 0, maka

Tetap bagi kita untuk mempertimbangkan kasus 3, kapan .
Hukum kedua Newton adalah
, atau .
Dalam bentuk skalar, persamaan ini memiliki bentuk:

Ini sistem persamaan diferensial nonlinear. Sistem ini tidak dapat diselesaikan secara eksplisit, sehingga perlu diterapkan simulasi numerik.

Studi numerik

Pada bagian sebelumnya, kita melihat bahwa dalam dua kasus pertama hukum gerak benda dapat diperoleh secara eksplisit. Namun, dalam kasus ketiga perlu menyelesaikan masalah secara numerik. Dengan bantuan metode numerik, kami hanya akan mendapatkan solusi perkiraan, tetapi kami cukup puas dengan akurasi yang kecil. (Ngomong-ngomong, angka π atau akar kuadrat dari 2 tidak dapat ditulis dengan tepat, jadi beberapa digit hingga diambil dalam perhitungan, dan ini cukup.)

Kami akan mempertimbangkan kasus kedua, ketika gaya hambatan udara ditentukan oleh rumus . Perhatikan bahwa ketika k= 0 kita mendapatkan kasus pertama.

kecepatan tubuh mengikuti persamaan berikut:

Sisi kiri persamaan ini mengandung komponen percepatan .
Ingatlah bahwa percepatan adalah laju perubahan kecepatan (seketika), yaitu turunan dari kecepatan terhadap waktu.
Sisi kanan persamaan mengandung komponen kecepatan. Jadi, persamaan ini menunjukkan bagaimana laju perubahan kecepatan berhubungan dengan kecepatan.

Mari kita coba mencari solusi persamaan ini menggunakan metode numerik. Untuk melakukan ini, kami memperkenalkan sumbu waktu kisi: mari kita pilih angka dan pertimbangkan momen waktu dari bentuk : .

Tugas kita adalah memperkirakan nilainya pada node grid.

Mari kita ganti percepatan dalam persamaan ( kecepatan sesaat perubahan kecepatan) kecepatan rata-rata perubahan kecepatan, mengingat pergerakan tubuh selama periode waktu:

Sekarang kami mengganti perkiraan yang diperoleh ke dalam persamaan kami.

Rumus yang dihasilkan memungkinkan kita menghitung nilai fungsi di simpul kisi berikutnya, jika nilai fungsi ini di simpul kisi sebelumnya diketahui.

Dengan menggunakan metode yang dijelaskan, kita dapat memperoleh tabel perkiraan nilai komponen kecepatan.

Bagaimana menemukan hukum gerak suatu benda, yaitu tabel perkiraan koordinat X(T), y(T)? Juga!
Kita punya

Nilai dari vx[j] sama dengan nilai dari fungsi , mirip dengan array lainnya.
Sekarang tinggal menulis sebuah loop, di dalamnya kita akan menghitung vx melalui nilai yang sudah dihitung vx[j], dan sama dengan array lainnya. Siklusnya akan J dari 1 sampai N.
Jangan lupa menginisialisasi nilai awal vx, vy, x, y sesuai dengan rumus , X 0 = 0, y 0 = 0.

Dalam Pascal dan C, ada fungsi sin(x) , cos(x) untuk menghitung sinus dan cosinus. Perhatikan bahwa fungsi ini menerima argumen dalam radian.

Anda perlu merencanakan gerakan tubuh kapan k= 0 dan k> 0 dan bandingkan grafik yang dihasilkan. Grafik dapat dibangun di Excel.
Perhatikan bahwa rumus perhitungan sangat sederhana sehingga Anda hanya dapat menggunakan Excel untuk perhitungan dan bahkan tidak menggunakan bahasa pemrograman.
Namun, di masa mendatang, Anda perlu menyelesaikan masalah di CATS, di mana Anda perlu menghitung waktu dan jangkauan penerbangan tubuh, di mana Anda tidak dapat melakukannya tanpa bahasa pemrograman.

Harap dicatat bahwa Anda bisa tes program Anda dan periksa grafik Anda dengan membandingkan hasil perhitungan dengan k= 0 dengan rumus persis yang diberikan di bagian "Studi analitik".

Bereksperimenlah dengan program Anda. Pastikan bahwa dengan tidak adanya hambatan udara ( k= 0) jarak terbang maksimum pada kecepatan awal tetap dicapai pada sudut 45°.
Bagaimana dengan hambatan udara? Pada sudut berapa jangkauan maksimum dicapai?

Gambar tersebut menunjukkan lintasan tubuh di ay 0 = 10 m/s, α = 45°, G\u003d 9,8 m / s 2, M= 1 kg, k= 0 dan 1 diperoleh dengan simulasi numerik untuk Δ T = 0,01.

Anda dapat membiasakan diri dengan karya luar biasa siswa kelas 10 dari Troitsk, yang dipresentasikan pada konferensi "Mulai dalam Sains" pada tahun 2011. Karya tersebut dikhususkan untuk memodelkan gerakan bola tenis yang dilemparkan pada sudut ke cakrawala (dengan mempertimbangkan tahan udara). Pemodelan numerik dan percobaan skala penuh digunakan.

Dengan demikian, tugas kreatif ini memungkinkan Anda untuk mengenal metode pemodelan matematika dan numerik, yang secara aktif digunakan dalam praktik, tetapi sedikit dipelajari di sekolah. Misalnya, metode ini digunakan dalam implementasi proyek atom dan luar angkasa di Uni Soviet pada pertengahan abad ke-20.