Temukan basis dari sistem vektor dan vektor yang tidak termasuk dalam basis, kembangkan berdasarkan basisnya:

A 1 = {5, 2, -3, 1}, A 2 = {4, 1, -2, 3}, A 3 = {1, 1, -1, -2}, A 4 = {3, 4, -1, 2}, A 5 = {13, 8, -7, 4}.

Larutan. Pertimbangkan sistem persamaan linear yang homogen

A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 + A 4 X 4 + A 5 X 5 = 0

atau dalam bentuk diperluas.

Kami akan menyelesaikan sistem ini dengan metode Gaussian, tanpa menukar baris dan kolom, dan, terlebih lagi, memilih elemen utama bukan di sudut kiri atas, tetapi di sepanjang baris. Tantangannya adalah untuk pilih bagian diagonal dari sistem vektor yang ditransformasikan.

~ ~

~ ~ ~ .

Sistem vektor yang diijinkan, ekuivalen dengan vektor aslinya, mempunyai bentuk

A 1 1 X 1 + A 2 1 X 2 + A 3 1 X 3 + A 4 1 X 4 + A 5 1 X 5 = 0 ,

Di mana A 1 1 = , A 2 1 = , A 3 1 = , A 4 1 = , A 5 1 = . (1)

vektor A 1 1 , A 3 1 , A 4 1 membentuk sistem diagonal. Oleh karena itu, vektor A 1 , A 3 , A 4 membentuk dasar dari sistem vektor A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 .

Sekarang mari kita perluas vektornya A 2 Dan A 5 berdasarkan A 1 , A 3 , A 4. Untuk melakukan ini, pertama-tama kita perluas vektor-vektor yang bersesuaian A 2 1 Dan A 5 1 sistem diagonal A 1 1 , A 3 1 , A 4 1, mengingat koefisien muai suatu vektor pada sistem diagonal adalah koordinatnya x saya.

Dari (1) kita memiliki:

A 2 1 = A 3 1 · (-1) + A 4 1 0 + A 1 1 ·1 => A 2 1 = A 1 1 – A 3 1 .

A 5 1 = A 3 1 0 + A 4 1 1 + A 1 1 ·2 => A 5 1 = 2A 1 1 + A 4 1 .

vektor A 2 Dan A 5 diperluas secara basis A 1 , A 3 , A 4 dengan koefisien yang sama dengan vektor A 2 1 Dan A 5 1 sistem diagonal A 1 1 , A 3 1 , A 4 1 (koefisien tersebut x saya). Karena itu,

A 2 = A 1 – A 3 , A 5 = 2A 1 + A 4 .

Tugas. 1.Cari basis dari sistem vektor dan vektor yang tidak termasuk dalam basis, kembangkan berdasarkan basisnya:

1. A 1 = { 1, 2, 1 }, A 2 = { 2, 1, 3 }, A 3 = { 1, 5, 0 }, A 4 = { 2, -2, 4 }.

2. A 1 = { 1, 1, 2 }, A 2 = { 0, 1, 2 }, A 3 = { 2, 1, -4 }, A 4 = { 1, 1, 0 }.

3. A 1 = { 1, -2, 3 }, A 2 = { 0, 1, -1 }, A 3 = { 1, 3, 0 }, A 4 = { 0, -7, 3 }, A 5 = { 1, 1, 1 }.

4. A 1 = { 1, 2, -2 }, A 2 = { 0, -1, 4 }, A 3 = { 2, -3, 3 }.

2. Temukan semua basis sistem vektor:

1. A 1 = { 1, 1, 2 }, A 2 = { 3, 1, 2 }, A 3 = { 1, 2, 1 }, A 4 = { 2, 1, 2 }.

2. A 1 = { 1, 1, 1 }, A 2 = { -3, -5, 5 }, A 3 = { 3, 4, -1 }, A 4 = { 1, -1, 4 }.

Ketergantungan linier dan independensi linier vektor.
Dasar vektor. Sistem koordinat Affine

Ada gerobak berisi coklat di auditorium, dan setiap pengunjung hari ini akan mendapatkan pasangan yang manis - geometri analitik dengan aljabar linier. Artikel ini akan membahas dua bagian matematika tingkat tinggi sekaligus, dan kita akan melihat bagaimana keduanya hidup berdampingan dalam satu bungkus. Istirahatlah, makan Twix! ...sialan, sungguh omong kosong. Meskipun oke, saya tidak akan mencetak gol, pada akhirnya Anda harus memiliki sikap positif terhadap belajar.

Ketergantungan linier vektor, kemandirian vektor linier, dasar vektor dan istilah-istilah lain tidak hanya memiliki interpretasi geometris, tetapi, yang terpenting, makna aljabar. Konsep “vektor” dari sudut pandang aljabar linier tidak selalu merupakan vektor “biasa” yang dapat kita gambarkan pada bidang atau ruang. Tak perlu jauh-jauh mencari bukti, cobalah menggambar vektor ruang lima dimensi . Atau vektor cuaca, yang baru saja saya kunjungi di Gismeteo: masing-masing suhu dan tekanan atmosfer. Contoh tersebut tentu saja salah dari sudut pandang sifat-sifat ruang vektor, namun demikian, tidak ada yang melarang memformalkan parameter-parameter tersebut sebagai vektor. Nafas musim gugur...

Tidak, saya tidak akan membuat Anda bosan dengan teori, ruang vektor linier, tugasnya adalah memahami definisi dan teorema. Istilah baru (ketergantungan linier, independensi, kombinasi linier, basis, dll.) berlaku untuk semua vektor dari sudut pandang aljabar, tetapi contoh geometris akan diberikan. Jadi, semuanya sederhana, mudah diakses, dan jelas. Selain soal geometri analitik, kami juga akan membahas beberapa soal aljabar yang umum. Untuk menguasai materi, disarankan untuk membiasakan diri dengan pelajaran Vektor untuk boneka Dan Bagaimana cara menghitung determinannya?

Ketergantungan linier dan independensi vektor bidang.
Basis bidang dan sistem koordinat affine

Mari kita perhatikan bidang meja komputer Anda (hanya meja, meja samping tempat tidur, lantai, langit-langit, apapun yang Anda suka). Tugas tersebut akan terdiri dari tindakan berikut:

1) Pilih dasar bidang. Secara kasar, bagian atas meja memiliki panjang dan lebar, sehingga dapat dimengerti bahwa diperlukan dua vektor untuk membuat alasnya. Satu vektor saja tidak cukup, tiga vektor saja terlalu banyak.

2) Berdasarkan dasar yang dipilih mengatur sistem koordinat(koordinat grid) untuk menetapkan koordinat ke semua objek di tabel.

Jangan kaget, awalnya penjelasannya akan mudah. Apalagi milikmu. Silakan tempatkan jari telunjuk kiri di tepi meja sehingga dia melihat ke monitor. Ini akan menjadi vektor. Sekarang tempatnya jari kelingking kanan di tepi meja dengan cara yang sama - sehingga diarahkan ke layar monitor. Ini akan menjadi vektor. Tersenyumlah, kamu tampak hebat! Apa yang dapat kita katakan tentang vektor? Vektor data segaris, yang berarti linier diungkapkan melalui satu sama lain:
, baik, atau sebaliknya: , dimana ada bilangan yang berbeda dari nol.

Anda dapat melihat gambar tindakan ini di kelas. Vektor untuk boneka, dimana saya menjelaskan aturan mengalikan vektor dengan angka.

Akankah jari-jari Anda meletakkan alas pada bidang meja komputer? Tentu saja tidak. Vektor-vektor kolinear bergerak bolak-balik sendiri arah, dan sebuah bidang mempunyai panjang dan lebar.

Vektor yang demikian disebut bergantung secara linear.

Referensi: Kata “linier”, “linier” menunjukkan fakta bahwa dalam persamaan dan ekspresi matematika tidak ada kuadrat, kubus, pangkat lain, logaritma, sinus, dll. Hanya ada ekspresi dan ketergantungan linier (derajat 1).

Dua vektor bidang bergantung secara linear jika dan hanya jika keduanya segaris.

Silangkan jari Anda di atas meja sehingga ada sudut di antara keduanya kecuali 0 atau 180 derajat. Dua vektor bidanglinier Bukan bergantung jika dan hanya jika keduanya tidak segaris. Jadi, dasar diperoleh. Tidak perlu malu karena alasnya ternyata “miring” dengan vektor-vektor tidak tegak lurus yang panjangnya berbeda. Segera kita akan melihat bahwa tidak hanya sudut 90 derajat yang cocok untuk konstruksinya, dan tidak hanya vektor satuan yang panjangnya sama.

Setiap vektor bidang satu-satunya jalan diperluas berdasarkan:
, di mana bilangan real. Nomor-nomor itu dipanggil koordinat vektor dalam dasar ini.

Dikatakan juga demikian vektordisajikan sebagai kombinasi linear vektor dasar. Artinya, ungkapan itu disebut dekomposisi vektorberdasarkan dasar atau kombinasi linear vektor dasar.

Misalnya, kita dapat mengatakan bahwa vektor didekomposisi sepanjang bidang ortonormal, atau kita dapat mengatakan bahwa vektor direpresentasikan sebagai kombinasi vektor linier.

Mari kita rumuskan definisi dasar secara formal: Dasar dari pesawat disebut sepasang vektor bebas linier (tidak segaris), , di mana setiap vektor bidang adalah kombinasi linier dari vektor basis.

Poin penting dari definisi ini adalah kenyataan bahwa vektor-vektor diambil dalam urutan tertentu. Pangkalan – ini adalah dua basis yang sangat berbeda! Seperti kata pepatah, Anda tidak bisa mengganti jari kelingking tangan kiri dengan jari kelingking tangan kanan.

Kami telah mengetahui dasarnya, tetapi tidak cukup hanya dengan menetapkan kisi koordinat dan menetapkan koordinat ke setiap item di meja komputer Anda. Mengapa itu tidak cukup? Vektor-vektornya bebas dan berkeliaran di seluruh bidang. Jadi bagaimana Anda menetapkan koordinat ke titik-titik kotor kecil di atas meja yang tersisa setelah akhir pekan yang liar? Diperlukan sebuah titik awal. Dan titik acuan seperti itu adalah titik yang akrab bagi semua orang - asal mula koordinat. Mari kita pahami sistem koordinat:

Saya akan mulai dengan sistem "sekolah". Sudah di pelajaran pengantar Vektor untuk boneka Saya menyoroti beberapa perbedaan antara sistem koordinat persegi panjang dan basis ortonormal. Berikut gambar standarnya:

Saat mereka membicarakan sistem koordinat persegi panjang, maka paling sering yang dimaksud adalah titik asal, sumbu koordinat, dan skala sepanjang sumbu. Coba ketikkan “sistem koordinat persegi panjang” ke dalam mesin pencari, dan Anda akan melihat bahwa banyak sumber akan memberi tahu Anda tentang sumbu koordinat yang sudah dikenal sejak kelas 5-6 dan cara memplot titik pada bidang.

Di sisi lain, tampaknya sistem koordinat persegi panjang dapat didefinisikan sepenuhnya dalam basis ortonormal. Dan itu hampir benar. Kata-katanya adalah sebagai berikut:

asal, Dan ortonormal dasar telah ditetapkan Sistem koordinat bidang persegi panjang kartesius . Artinya, sistem koordinat persegi panjang tentu saja didefinisikan oleh satu titik dan dua satuan vektor ortogonal. Itulah sebabnya Anda melihat gambar yang saya berikan di atas - dalam soal geometri, vektor dan sumbu koordinat sering kali (tetapi tidak selalu) digambar.

Saya rasa semua orang memahami itu menggunakan titik (asal) dan dasar ortonormal TITIK APAPUN di pesawat dan VEKTOR APAPUN di pesawat koordinat dapat ditetapkan. Secara kiasan, “segala sesuatu di pesawat dapat diberi nomor”.

Apakah vektor koordinat harus berupa satuan? Tidak, panjangnya bisa berubah-ubah bukan nol. Pertimbangkan sebuah titik dan dua vektor ortogonal dengan panjang sembarang bukan nol:

Dasar seperti ini disebut ortogonal. Asal usul koordinat dengan vektor ditentukan oleh kisi koordinat, dan setiap titik pada bidang, vektor apa pun memiliki koordinatnya sendiri dalam basis tertentu. Misalnya, atau. Ketidaknyamanan yang jelas adalah vektor koordinat secara umum mempunyai panjang yang berbeda-beda selain kesatuan. Jika panjangnya sama dengan satu, maka diperoleh basis ortonormal biasa.

! Catatan : pada basis ortogonal, serta pada basis affine bidang dan ruang, satuan sepanjang sumbu dipertimbangkan BERSYARAT. Misalnya, satu satuan sepanjang sumbu x berisi 4 cm, satu satuan sepanjang sumbu ordinat berisi 2 cm, informasi ini cukup untuk, jika perlu, mengubah koordinat “non-standar” menjadi “sentimeter biasa”.

Dan pertanyaan kedua yang sebenarnya sudah terjawab adalah apakah sudut antar vektor basis harus sama dengan 90 derajat? TIDAK! Seperti yang dinyatakan dalam definisi, vektor basisnya haruslah hanya non-kolinear. Oleh karena itu, sudutnya bisa berupa apa saja kecuali 0 dan 180 derajat.

Suatu titik di pesawat menelepon asal, Dan non-kolinear vektor, , mengatur sistem koordinat bidang affine :

Terkadang sistem koordinat seperti itu disebut miring sistem. Sebagai contoh, gambar menunjukkan titik dan vektor:

Seperti yang Anda pahami, sistem koordinat affine bahkan kurang mudah digunakan; rumus panjang vektor dan segmen, yang telah kita bahas di bagian kedua pelajaran, tidak berlaku di dalamnya; Vektor untuk boneka, banyak formula lezat yang berhubungan dengan produk skalar vektor. Namun aturan untuk menjumlahkan vektor dan mengalikan vektor dengan bilangan, rumus membagi segmen dalam relasi ini, serta beberapa jenis soal lain yang akan segera kita bahas adalah valid.

Dan kesimpulannya adalah kasus khusus yang paling sesuai dari sistem koordinat affine adalah sistem persegi panjang Cartesian. Itu sebabnya kamu paling sering harus menemuinya, sayangku. ...Namun, segala sesuatu dalam hidup ini adalah relatif - ada banyak situasi di mana sudut miring (atau yang lain, misalnya, kutub) sistem koordinasi. Dan humanoid mungkin menyukai sistem seperti itu =)

Mari kita beralih ke bagian praktisnya. Semua soal dalam pelajaran ini valid baik untuk sistem koordinat persegi panjang maupun untuk kasus affine umum. Tidak ada yang rumit di sini; semua materi dapat diakses bahkan oleh anak sekolah.

Bagaimana cara menentukan kolinearitas vektor bidang?

Hal yang khas. Agar dua vektor bidang adalah kolinear, maka koordinat-koordinatnya yang bersesuaian harus proporsional dan cukup Pada dasarnya, ini adalah perincian koordinat demi koordinat dari hubungan yang nyata.

Contoh 1

a) Periksa apakah vektor-vektornya segaris .
b) Apakah vektor-vektor tersebut membentuk basis? ?

Larutan:
a) Mari kita cari tahu apakah ada vektor koefisien proporsionalitas, sehingga persamaan terpenuhi:

Saya pasti akan memberi tahu Anda tentang versi "foppish" dalam penerapan aturan ini, yang dalam praktiknya cukup berhasil. Idenya adalah segera membuat proporsinya dan melihat apakah itu benar:

Mari kita membuat proporsi dari rasio koordinat vektor-vektor yang bersesuaian:

Mari kita persingkat:
, sehingga koordinat yang bersesuaian adalah proporsional, oleh karena itu,

Hubungannya bisa dibuat sebaliknya; ini adalah pilihan yang setara:

Untuk pengujian mandiri, Anda dapat menggunakan fakta bahwa vektor-vektor collinear dinyatakan secara linear melalui satu sama lain. Dalam hal ini terjadi kesetaraan . Validitasnya dapat dengan mudah diverifikasi melalui operasi dasar dengan vektor:

b) Dua vektor bidang membentuk basis jika keduanya tidak segaris (tidak bebas linier). Kami memeriksa vektor untuk kolinearitas . Mari kita buat sistem:

Dari persamaan pertama maka , dari persamaan kedua maka , yang artinya sistemnya tidak konsisten(tidak ada solusi). Jadi, koordinat vektor-vektor yang bersesuaian tidak proporsional.

Kesimpulan: vektor-vektornya bebas linier dan membentuk basis.

Versi sederhana dari solusinya terlihat seperti ini:

Mari kita membuat proporsi dari koordinat vektor-vektor yang bersesuaian :
, yang berarti vektor-vektor tersebut bebas linier dan membentuk basis.

Biasanya, opsi ini tidak ditolak oleh pengulas, namun masalah muncul jika beberapa koordinat sama dengan nol. Seperti ini: . Atau seperti ini: . Atau seperti ini: . Bagaimana cara bekerja melalui proporsi di sini? (memang, Anda tidak bisa membaginya dengan nol). Karena alasan inilah saya menyebut solusi yang disederhanakan sebagai “foppish”.

Menjawab: a) , b) bentuk.

Contoh kreatif kecil untuk solusi Anda sendiri:

Contoh 2

Berapa nilai parameter vektornya apakah keduanya akan segaris?

Dalam larutan sampel, parameternya ditemukan melalui proporsi.

Ada cara aljabar yang elegan untuk memeriksa kolinearitas vektor. Mari kita mensistematisasikan pengetahuan kita dan menambahkannya sebagai poin kelima:

Untuk dua vektor bidang, pernyataan berikut ini ekuivalen:

2) vektor-vektor membentuk basis;
3) vektor-vektornya tidak segaris;

+ 5) determinan yang tersusun dari koordinat vektor-vektor tersebut adalah bukan nol.

Masing-masing, pernyataan berlawanan berikut ini ekuivalen:
1) vektor bergantung linier;
2) vektor tidak membentuk basis;
3) vektor-vektornya segaris;
4) vektor dapat dinyatakan secara linier satu sama lain;
+ 5) determinan yang tersusun dari koordinat vektor-vektor tersebut sama dengan nol.

Saya sangat-sangat berharap saat ini Anda sudah memahami semua syarat dan pernyataan yang Anda temui.

Mari kita lihat lebih dekat poin kelima yang baru: dua vektor bidang adalah collinear jika dan hanya jika determinan yang tersusun dari koordinat vektor-vektor tertentu sama dengan nol:. Untuk menerapkan fitur ini tentunya Anda harus bisa menemukan determinan.

Mari kita putuskan Contoh 1 dengan cara kedua:

a) Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor-vektor :
, yang berarti vektor-vektor tersebut segaris.

b) Dua vektor bidang membentuk basis jika keduanya tidak segaris (tidak bebas linier). Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor :
, yang berarti vektor-vektor tersebut bebas linier dan membentuk basis.

Menjawab: a) , b) bentuk.

Ini terlihat jauh lebih kompak dan cantik dibandingkan solusi dengan proporsi.

Dengan bantuan materi yang dibahas, dimungkinkan untuk menetapkan tidak hanya kolinearitas vektor, tetapi juga membuktikan paralelisme segmen dan garis lurus. Mari kita pertimbangkan beberapa soal dengan bentuk geometris tertentu.

Contoh 3

Titik sudut segi empat diberikan. Buktikan bahwa segi empat adalah jajar genjang.

Bukti: Tidak perlu membuat gambar dalam soal, karena penyelesaiannya murni analitis. Mari kita ingat kembali definisi jajar genjang:
Genjang Segi empat yang sisi-sisinya yang berhadapan sejajar berpasangan disebut.

Oleh karena itu, perlu dibuktikan:
1) paralelisme sisi-sisi yang berhadapan dan;
2) paralelisme sisi-sisi yang berhadapan dan.

Kami membuktikan:

1) Temukan vektornya:

2) Temukan vektornya:

Hasilnya adalah vektor yang sama (“menurut sekolah” – vektor yang sama). Kolinearitas cukup jelas, namun lebih baik memformalkan keputusan dengan jelas, dengan pengaturan. Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor:
, yang berarti vektor-vektor tersebut segaris, dan .

Kesimpulan: Sisi-sisi yang berhadapan pada suatu segiempat sejajar berpasangan, yang berarti menurut definisinya merupakan jajar genjang. Q.E.D.

Figur yang lebih bagus dan berbeda:

Contoh 4

Titik sudut segi empat diberikan. Buktikan bahwa segi empat adalah trapesium.

Untuk rumusan pembuktian yang lebih teliti, tentu saja lebih baik mendapatkan definisi trapesium, tetapi cukup mengingat seperti apa bentuknya.

Ini adalah tugas yang harus Anda selesaikan sendiri. Solusi lengkap di akhir pelajaran.

Dan sekarang saatnya berpindah secara perlahan dari pesawat ke luar angkasa:

Bagaimana cara menentukan kolinearitas vektor ruang?

Aturannya sangat mirip. Agar dua vektor ruang menjadi segaris, koordinat-koordinat yang bersesuaian harus proporsional.

Contoh 5

Cari tahu apakah vektor-vektor ruang berikut ini segaris:

A) ;
B)
V)

Larutan:
a) Mari kita periksa apakah terdapat koefisien proporsionalitas untuk koordinat vektor-vektor yang bersesuaian:

Sistem tidak mempunyai solusi, artinya vektor-vektornya tidak segaris.

“Sederhana” diformalkan dengan memeriksa proporsinya. Pada kasus ini:
– koordinat yang bersesuaian tidak proporsional, artinya vektor-vektornya tidak segaris.

Menjawab: vektor-vektornya tidak segaris.

b-c) Ini adalah poin untuk pengambilan keputusan independen. Cobalah dengan dua cara.

Ada metode untuk memeriksa kolinearitas vektor spasial melalui determinan orde ketiga; metode ini dibahas dalam artikel Produk vektor dari vektor.

Mirip dengan kasus bidang, alat yang dipertimbangkan dapat digunakan untuk mempelajari paralelisme segmen spasial dan garis lurus.

Selamat datang di bagian kedua:

Ketergantungan linier dan independensi vektor dalam ruang tiga dimensi.
Basis spasial dan sistem koordinat affine

Banyak pola yang kami periksa di pesawat akan berlaku untuk ruang angkasa. Saya mencoba meminimalkan catatan teori, karena sebagian besar informasi telah dikunyah. Namun, saya menyarankan Anda membaca bagian pendahuluan dengan cermat, karena istilah dan konsep baru akan muncul.

Sekarang, alih-alih bidang meja komputer, kita menjelajahi ruang tiga dimensi. Pertama, mari kita buat dasarnya. Seseorang sekarang berada di dalam ruangan, seseorang berada di luar ruangan, tetapi bagaimanapun juga, kita tidak dapat lepas dari tiga dimensi: lebar, panjang dan tinggi. Oleh karena itu, untuk membangun suatu basis, diperlukan tiga vektor spasial. Satu atau dua vektor saja tidak cukup, vektor keempat tidak berguna.

Dan sekali lagi kita melakukan pemanasan dengan jari kita. Silakan angkat tangan Anda dan rentangkan ke berbagai arah ibu jari, telunjuk dan jari tengah. Ini akan menjadi vektor, mereka melihat ke arah yang berbeda, memiliki panjang yang berbeda dan memiliki sudut yang berbeda di antara mereka. Selamat, dasar ruang tiga dimensi sudah siap! Ngomong-ngomong, tidak perlu mendemonstrasikan hal ini kepada guru, tidak peduli seberapa keras Anda memutar jari, tetapi tidak ada jalan keluar dari definisi =)

Selanjutnya, mari kita ajukan pertanyaan penting: apakah tiga vektor apa pun membentuk basis ruang tiga dimensi? Silakan tekan tiga jari dengan kuat ke bagian atas meja komputer. Apa yang telah terjadi? Tiga vektor terletak pada bidang yang sama, dan, secara kasar, kita telah kehilangan salah satu dimensi - tinggi. Vektor-vektor tersebut adalah sebidang dan, cukup jelas bahwa dasar dari ruang tiga dimensi tidak tercipta.

Perlu dicatat bahwa vektor koplanar tidak harus terletak pada bidang yang sama, mereka dapat berada pada bidang paralel (jangan lakukan ini dengan jari Anda, hanya Salvador Dali yang melakukan ini =)).

Definisi: vektor disebut sebidang, jika ada bidang yang sejajar. Masuk akal untuk menambahkan di sini bahwa jika bidang seperti itu tidak ada, maka vektor-vektornya tidak akan sebidang.

Tiga vektor koplanar selalu bergantung linier, artinya, keduanya dinyatakan secara linier melalui satu sama lain. Untuk mempermudah, mari kita bayangkan lagi bahwa mereka terletak pada bidang yang sama. Pertama, vektor tidak hanya koplanar, tetapi juga bisa kolinear, maka vektor apa pun dapat dinyatakan melalui vektor apa pun. Dalam kasus kedua, jika, misalnya, vektor-vektornya tidak segaris, maka vektor ketiga dinyatakan melalui vektor-vektor tersebut dengan cara yang unik: (dan alasannya mudah ditebak dari materi di bagian sebelumnya).

Kebalikannya juga benar: tiga vektor non-coplanar selalu bebas linier, artinya, keduanya sama sekali tidak diungkapkan melalui satu sama lain. Dan, tentu saja, hanya vektor-vektor seperti itu yang dapat menjadi dasar ruang tiga dimensi.

Definisi: Dasar dari ruang tiga dimensi disebut tripel vektor-vektor bebas linier (non-koplanar), diambil dalam urutan tertentu, dan vektor ruang apa pun satu-satunya jalan didekomposisi berdasarkan basis tertentu, di mana koordinat vektor dalam basis ini

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa kita juga dapat mengatakan bahwa vektor direpresentasikan dalam bentuk kombinasi linear vektor dasar.

Konsep sistem koordinat diperkenalkan dengan cara yang persis sama seperti pada kasus bidang; satu titik dan tiga vektor bebas linier sudah cukup:

asal, Dan non-koplanar vektor, diambil dalam urutan tertentu, mengatur sistem koordinat affine ruang tiga dimensi :

Tentu saja, kisi koordinatnya “miring” dan tidak nyaman, namun, sistem koordinat yang dibangun memungkinkan kita tentu saja tentukan koordinat suatu vektor dan koordinat titik mana pun dalam ruang. Mirip dengan bidang, beberapa rumus yang telah saya sebutkan tidak akan berfungsi dalam sistem koordinat ruang affine.

Kasus khusus yang paling familiar dan nyaman dari sistem koordinat affine, seperti yang ditebak semua orang, adalah sistem koordinat ruang persegi panjang:

Suatu titik dalam ruang disebut asal, Dan ortonormal dasar telah ditetapkan Sistem koordinat ruang persegi panjang kartesius . Gambar yang familier:

Sebelum beralih ke tugas praktik, mari kita sistematiskan kembali informasinya:

Untuk tiga vektor ruang, pernyataan berikut ini ekuivalen:
1) vektor-vektornya bebas linier;
2) vektor-vektor membentuk basis;
3) vektor-vektornya tidak sebidang;
4) vektor tidak dapat dinyatakan secara linier satu sama lain;
5) determinan yang tersusun dari koordinat vektor-vektor tersebut berbeda dari nol.

Saya pikir pernyataan sebaliknya dapat dimengerti.

Ketergantungan/independensi linier vektor ruang secara tradisional diperiksa menggunakan determinan (poin 5). Tugas-tugas praktis yang tersisa akan bersifat aljabar yang jelas. Saatnya untuk menggantungkan tongkat geometri dan menggunakan tongkat baseball aljabar linier:

Tiga vektor ruang bersifat koplanar jika dan hanya jika determinan yang tersusun dari koordinat vektor-vektor tertentu sama dengan nol: .

Saya ingin menarik perhatian Anda pada sedikit nuansa teknis: koordinat vektor dapat ditulis tidak hanya dalam kolom, tetapi juga dalam baris (nilai determinan tidak akan berubah dari ini - lihat properti determinan). Tapi ini jauh lebih baik dalam kolom, karena lebih bermanfaat untuk memecahkan beberapa masalah praktis.

Bagi para pembaca yang sedikit lupa tentang metode penghitungan determinan, atau mungkin hanya memiliki sedikit pengetahuan tentangnya, saya merekomendasikan salah satu pelajaran tertua saya: Bagaimana cara menghitung determinannya?

Contoh 6

Periksa apakah vektor-vektor berikut membentuk basis ruang tiga dimensi:

Larutan: Faktanya, seluruh solusi bermuara pada menghitung determinan.

a) Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor (determinan terungkap pada baris pertama):

, artinya vektor-vektor tersebut bebas linier (tidak sebidang) dan membentuk basis ruang tiga dimensi.

Menjawab: vektor-vektor ini membentuk basis

b) Ini adalah titik untuk pengambilan keputusan independen. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Ada juga tugas kreatif:

Contoh 7

Pada nilai parameter berapakah vektor-vektor tersebut akan menjadi koplanar?

Larutan: Vektor-vektor dikatakan koplanar jika dan hanya jika determinan yang tersusun dari koordinat-koordinat vektor-vektor tersebut sama dengan nol:

Pada dasarnya, Anda perlu menyelesaikan persamaan dengan determinan. Kami menukik angka nol seperti layang-layang di jerboa - yang terbaik adalah membuka determinan di baris kedua dan segera menghilangkan minusnya:

Kami melakukan penyederhanaan lebih lanjut dan mereduksi masalahnya menjadi persamaan linier paling sederhana:

Menjawab: pada

Sangat mudah untuk memeriksanya di sini; untuk melakukan ini, Anda perlu mengganti nilai yang dihasilkan ke dalam determinan asli dan memastikannya , membukanya lagi.

Sebagai kesimpulan, kita akan mempertimbangkan masalah tipikal lainnya, yang lebih bersifat aljabar dan secara tradisional dimasukkan dalam kursus aljabar linier. Hal ini sangat umum sehingga layak mendapatkan topik tersendiri:

Buktikan bahwa 3 vektor membentuk basis ruang tiga dimensi
dan temukan koordinat vektor ke-4 dalam basis ini

Contoh 8

Vektor diberikan. Tunjukkan bahwa vektor membentuk basis dalam ruang tiga dimensi dan temukan koordinat vektor dalam basis tersebut.

Larutan: Pertama, mari kita atasi kondisinya. Dengan syarat, empat vektor diberikan, dan, seperti yang Anda lihat, vektor-vektor tersebut sudah memiliki koordinat pada basis tertentu. Apa dasar ini tidak menarik bagi kami. Dan hal berikut ini menarik: tiga vektor mungkin akan membentuk basis baru. Dan tahap pertama sepenuhnya bertepatan dengan solusi Contoh 6; perlu untuk memeriksa apakah vektor-vektor tersebut benar-benar bebas linier:

Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor:

, yang berarti vektor-vektor tersebut bebas linier dan membentuk basis ruang tiga dimensi.

! Penting : koordinat vektor Perlu tuliskan menjadi kolom penentu, bukan dalam string. Jika tidak, akan terjadi kebingungan dalam algoritma solusi selanjutnya.

Definisi dasar. Suatu sistem vektor membentuk basis jika:

1) bebas linier,

2) vektor ruang apa pun dapat dinyatakan secara linier melalui vektor tersebut.

Contoh 1. Dasar ruang: .

2. Dalam sistem vektor basisnya adalah vektor: , karena dinyatakan secara linear dalam bentuk vektor.

Komentar. Untuk mencari basis sistem vektor tertentu, Anda perlu:

1) tuliskan koordinat vektor-vektor tersebut ke dalam matriks,

2) menggunakan transformasi dasar, bawa matriks ke bentuk segitiga,

3) baris matriks yang bukan nol akan menjadi basis sistem,

4) jumlah vektor pada basis sama dengan pangkat matriks.

Teorema Kronecker-Capelli

Teorema Kronecker – Capelli memberikan jawaban komprehensif terhadap pertanyaan tentang kompatibilitas sistem persamaan linear arbitrer dengan persamaan linear yang tidak diketahui.

Teorema Kronecker – Capelli. Suatu sistem persamaan aljabar linier dikatakan konsisten jika dan hanya jika pangkat matriks yang diperluas dari sistem tersebut sama dengan pangkat matriks utama, .

Algoritme untuk mencari semua solusi sistem persamaan linear simultan mengikuti teorema Kronecker – Capelli dan teorema berikut.

Dalil. Jika peringkat suatu sistem gabungan sama dengan jumlah yang tidak diketahui, maka sistem tersebut mempunyai solusi unik.

Dalil. Jika rank suatu sistem gabungan lebih kecil dari jumlah yang tidak diketahui, maka sistem tersebut mempunyai jumlah solusi yang tak terhingga.

Algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan linear sembarang:

1. Temukan pangkat matriks utama dan matriks yang diperluas dari sistem. Jika tidak sama (), maka sistem tidak konsisten (tidak mempunyai solusi). Jika peringkatnya sama ( , maka sistem tersebut konsisten.

2. Untuk sistem gabungan, kita menemukan suatu minor, yang urutannya menentukan pangkat matriks (minor seperti itu disebut dasar). Mari kita buat sistem persamaan baru di mana koefisien-koefisien yang tidak diketahui dimasukkan dalam minor dasar (yang tidak diketahui ini disebut yang tidak diketahui utama), dan membuang persamaan yang tersisa. Kami akan meninggalkan yang tidak diketahui utama dengan koefisien di sebelah kiri, dan memindahkan sisa yang tidak diketahui (disebut tidak diketahui bebas) ke sisi kanan persamaan.

3. Mari kita temukan ekspresi untuk hal-hal yang tidak diketahui dalam bentuk yang bebas. Kami memperoleh solusi umum dari sistem.

4. Dengan memberikan nilai arbitrer pada hal-hal yang tidak diketahui bebas, kita memperoleh nilai-nilai yang sesuai dari hal-hal yang tidak diketahui utama. Dengan cara ini kita menemukan solusi parsial terhadap sistem persamaan asli.

Pemrograman linier. Konsep dasar

Pemrograman linier adalah cabang pemrograman matematika yang mempelajari metode penyelesaian masalah ekstrem yang bercirikan hubungan linier antar variabel dan kriteria linier.

Kondisi yang diperlukan untuk menimbulkan masalah program linier adalah pembatasan ketersediaan sumber daya, jumlah permintaan, kapasitas produksi perusahaan dan faktor produksi lainnya.

Inti dari pemrograman linier adalah menemukan titik-titik nilai terbesar atau terkecil dari suatu fungsi tertentu di bawah serangkaian batasan tertentu yang dikenakan pada argumen dan generator. sistem pembatasan , yang biasanya memiliki jumlah solusi tak terhingga. Setiap kumpulan nilai variabel (argumen fungsi F ) yang memenuhi sistem kendala disebut rencana yang valid masalah pemrograman linier. Fungsi F , maksimum atau minimum yang ditentukan disebut fungsi sasaran tugas. Suatu rencana yang layak dimana fungsi maksimum atau minimum dapat dicapai F , ditelepon rencana optimal tugas.

Sistem pembatasan yang menentukan banyak rencana ditentukan oleh kondisi produksi. Masalah pemrograman linier ( ZLP ) adalah pilihan yang paling menguntungkan (optimal) dari serangkaian rencana yang layak.

Secara umum rumusan masalah program linier terlihat seperti ini:

Apakah ada variabel? x = (x 1, x 2, ... xn) dan fungsi dari variabel-variabel tersebut f(x) = f (x 1, x 2, ... xn) , yang disebut target fungsi. Tugasnya ditetapkan: menemukan ekstrem (maksimum atau minimum) dari fungsi tujuan f(x) asalkan variabelnya X milik suatu daerah G :

Tergantung pada jenis fungsinya f(x) dan wilayah G dan membedakan bagian-bagian pemrograman matematika: pemrograman kuadrat, pemrograman cembung, pemrograman bilangan bulat, dll. Pemrograman linier dicirikan oleh fakta bahwa
sebuah fungsi f(x) adalah fungsi linier dari variabel x 1, x 2, … xn
b) wilayah G ditentukan oleh sistem linier persamaan atau ketidaksetaraan.

Dalam artikel tentang vektor berdimensi n, kita sampai pada konsep ruang linier yang dihasilkan oleh himpunan vektor berdimensi n. Sekarang kita harus mempertimbangkan konsep yang sama pentingnya, seperti dimensi dan basis ruang vektor. Mereka berhubungan langsung dengan konsep sistem vektor bebas linier, jadi disarankan juga untuk mengingatkan diri Anda sendiri tentang dasar-dasar topik ini.

Mari kita perkenalkan beberapa definisi.

Definisi 1

Dimensi ruang vektor– bilangan yang sesuai dengan jumlah maksimum vektor bebas linier dalam ruang tertentu.

Definisi 2

Dasar ruang vektor– himpunan vektor-vektor bebas linier, terurut dan jumlahnya sama dengan dimensi ruang.

Mari kita pertimbangkan ruang tertentu yang terdiri dari n -vektor. Dimensinya juga sama dengan n. Mari kita ambil sistem vektor satuan n:

e (1) = (1, 0, . . . 0) e (2) = (0, 1, . . , 0) e (n) = (0, 0, . . , 1)

Kami menggunakan vektor-vektor ini sebagai komponen matriks A: ini akan menjadi matriks satuan dengan dimensi n kali n. Rank matriks ini adalah n. Oleh karena itu, sistem vektor e (1) , e (2) , . . . , e(n) bebas linier. Dalam hal ini, tidak mungkin menambahkan satu vektor pun ke sistem tanpa melanggar independensi liniernya.

Karena banyaknya vektor dalam sistem adalah n, maka dimensi ruang dari vektor berdimensi n adalah n, dan vektor satuannya adalah e (1), e (2), . . . , e (n) adalah basis dari ruang yang ditentukan.

Dari definisi yang dihasilkan kita dapat menyimpulkan: setiap sistem vektor berdimensi n yang jumlah vektornya kurang dari n bukanlah basis ruang.

Jika kita menukar vektor pertama dan kedua, kita mendapatkan sistem vektor e (2) , e (1) , . . . , e (n) . Ini juga akan menjadi basis dari ruang vektor berdimensi n. Mari kita membuat matriks dengan mengambil vektor-vektor dari sistem yang dihasilkan sebagai baris-barisnya. Matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks identitas dengan menukar dua baris pertama, ranknya menjadi n. Sistem e (2) , e (1) , . . . , e(n) bebas linier dan merupakan basis dari ruang vektor berdimensi n.

Dengan menata ulang vektor-vektor lain dalam sistem asli, kita memperoleh basis lain.

Kita dapat mengambil sistem vektor non-satuan yang bebas linier, dan sistem tersebut juga akan mewakili basis ruang vektor berdimensi-n.

Definisi 3

Ruang vektor berdimensi n mempunyai basis sebanyak banyaknya sistem vektor berdimensi n yang bebas linier dengan bilangan n.

Bidang adalah ruang dua dimensi - basisnya adalah dua vektor non-sejajar. Basis ruang tiga dimensi adalah tiga vektor non-coplanar.

Mari kita pertimbangkan penerapan teori ini dengan menggunakan contoh-contoh spesifik.

Contoh 1

Data awal: vektor

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Penting untuk menentukan apakah vektor-vektor tertentu merupakan basis dari ruang vektor tiga dimensi.

Larutan

Untuk memecahkan masalah ini, kita mempelajari sistem vektor ketergantungan linier yang diberikan. Mari kita buat sebuah matriks, yang baris-barisnya adalah koordinat vektor-vektornya. Mari kita tentukan rank matriksnya.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

Oleh karena itu, vektor-vektor yang ditentukan oleh kondisi soal adalah bebas linier, dan jumlahnya sama dengan dimensi ruang vektor - vektor-vektor tersebut adalah basis dari ruang vektor.

Menjawab: vektor-vektor yang ditunjukkan adalah basis dari ruang vektor.

Contoh 2

Data awal: vektor

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)

Penting untuk menentukan apakah sistem vektor tertentu dapat menjadi dasar ruang tiga dimensi.

Larutan

Sistem vektor yang ditentukan dalam rumusan masalah bergantung linier, karena jumlah maksimum vektor bebas linier adalah 3. Jadi, sistem vektor yang ditunjukkan tidak dapat dijadikan sebagai basis untuk ruang vektor tiga dimensi. Namun perlu diperhatikan bahwa subsistem dari sistem asli a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) adalah basis.

Menjawab: sistem vektor yang ditunjukkan bukanlah basis.

Contoh 3

Data awal: vektor

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Bisakah mereka menjadi dasar ruang empat dimensi?

Larutan

Mari kita membuat matriks menggunakan koordinat vektor-vektor tertentu sebagai baris

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Dengan menggunakan metode Gaussian, kita menentukan rank matriks:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

Akibatnya, sistem vektor-vektor tertentu adalah bebas linier dan jumlahnya sama dengan dimensi ruang vektor - vektor-vektor tersebut adalah basis dari ruang vektor empat dimensi.

Menjawab: vektor-vektor yang diberikan adalah dasar dari ruang empat dimensi.

Contoh 4

Data awal: vektor

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

Apakah mereka membentuk dasar ruang berdimensi 4?

Larutan

Sistem vektor yang asli adalah bebas linier, namun jumlah vektor di dalamnya tidak cukup untuk menjadi basis ruang empat dimensi.

Menjawab: tidak, mereka tidak melakukannya.

Penguraian vektor menjadi basis

Mari kita asumsikan bahwa vektor sembarang e (1) , e (2) , . . . , e (n) adalah basis dari ruang vektor berdimensi n. Mari kita tambahkan vektor berdimensi n tertentu x →: sistem vektor yang dihasilkan akan menjadi bergantung linier. Sifat-sifat ketergantungan linier menyatakan bahwa setidaknya salah satu vektor suatu sistem dapat dinyatakan secara linier melalui vektor lainnya. Dengan merumuskan kembali pernyataan ini, kita dapat mengatakan bahwa setidaknya salah satu vektor dari sistem bergantung linier dapat diperluas ke vektor-vektor lainnya.

Jadi, kita sampai pada rumusan teorema yang paling penting:

Definisi 4

Setiap vektor dari ruang vektor berdimensi n dapat didekomposisi secara unik menjadi basis.

Bukti 1

Mari kita buktikan teorema ini:

mari kita tentukan basis dari ruang vektor berdimensi n - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Mari kita buat sistem bergantung linier dengan menambahkan vektor berdimensi n x → ke dalamnya. Vektor ini dapat dinyatakan secara linier dalam bentuk vektor asal e:

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , di mana x 1 , x 2 , . . . , x n - beberapa angka.

Sekarang kami membuktikan bahwa dekomposisi seperti itu unik. Mari kita asumsikan bahwa hal ini tidak terjadi dan ada dekomposisi serupa lainnya:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , di mana x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - beberapa angka.

Mari kita kurangi masing-masing ruas kiri dan kanan persamaan ini dengan ruas kiri dan kanan persamaan x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) . Kita mendapatkan:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - xn) e (2)

Sistem vektor basis e (1) , e (2) , . . . , e(n) bebas linier; menurut definisi independensi linier suatu sistem vektor, persamaan di atas hanya mungkin terjadi jika semua koefisiennya adalah (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) akan sama dengan nol. Dari mana adilnya: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n . Dan ini membuktikan satu-satunya pilihan untuk menguraikan vektor menjadi basis.

Dalam hal ini, koefisien x 1, x 2, . . . , x n disebut koordinat vektor x → pada basis e (1) , e (2) , . . . , e (n) .

Teori yang telah terbukti memperjelas ungkapan “diberikan vektor berdimensi n x = (x 1 , x 2 , . . . , x n)”: sebuah vektor x → ruang vektor berdimensi n dipertimbangkan, dan koordinatnya ditentukan dalam a dasar tertentu. Jelas juga bahwa vektor yang sama pada basis lain dari ruang berdimensi n akan memiliki koordinat yang berbeda.

Perhatikan contoh berikut: misalkan dalam beberapa basis ruang vektor berdimensi n, diberikan sistem yang terdiri dari n vektor bebas linier

dan juga vektor x = (x 1 , x 2 , . . . , x n) diberikan.

Vektor e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) dalam hal ini juga merupakan basis dari ruang vektor ini.

Misalkan perlu menentukan koordinat vektor x → pada basis e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , dilambangkan sebagai x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n.

Vektor x → akan direpresentasikan sebagai berikut:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

Mari kita tulis ekspresi ini dalam bentuk koordinat:

(x 1 , x 2 , . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2 ) 1 , e (2) 2 , . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , . . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + .

Persamaan yang dihasilkan setara dengan sistem n ekspresi aljabar linier dengan n variabel linier yang tidak diketahui x ~ 1, x ~ 2, . . . ,x~n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Matriks sistem ini akan berbentuk sebagai berikut:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Misalkan matriks A, dan kolom-kolomnya adalah vektor-vektor dari sistem vektor bebas linier e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) . Pangkat matriksnya adalah n, dan determinannya bukan nol. Hal ini menunjukkan bahwa sistem persamaan memiliki solusi unik, ditentukan dengan metode apa pun yang mudah digunakan: misalnya, metode Cramer atau metode matriks. Dengan cara ini kita dapat menentukan koordinat x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n vektor x → pada basis e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Mari kita terapkan teori yang dibahas pada contoh spesifik.

Contoh 6

Data awal: vektor ditentukan berdasarkan ruang tiga dimensi

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

Perlu dipastikan fakta bahwa sistem vektor e (1), e (2), e (3) juga berfungsi sebagai basis suatu ruang tertentu, dan juga untuk menentukan koordinat vektor x pada basis tertentu.

Larutan

Sistem vektor e (1), e (2), e (3) akan menjadi basis ruang tiga dimensi jika bebas linier. Mari kita cari tahu kemungkinan ini dengan menentukan rank matriks A, yang baris-barisnya merupakan vektor-vektor tertentu e (1), e (2), e (3).

Kami menggunakan metode Gaussian:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 . Jadi, sistem vektor e (1), e (2), e (3) bebas linier dan merupakan basis.

Misalkan vektor x → mempunyai koordinat x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 pada basisnya. Hubungan antara koordinat-koordinat tersebut ditentukan oleh persamaan:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Mari kita terapkan nilai-nilai sesuai dengan kondisi masalah:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Mari kita selesaikan sistem persamaan menggunakan metode Cramer:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Jadi, vektor x → pada basis e (1), e (2), e (3) mempunyai koordinat x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1.

Menjawab: x = (1 , 1 , 1)

Hubungan antar pangkalan

Mari kita asumsikan bahwa dalam beberapa basis ruang vektor berdimensi n, diberikan dua sistem vektor bebas linier:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))

Sistem ini juga merupakan basis dari suatu ruang tertentu.

Misalkan c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - koordinat vektor c (1) pada basis e (1) , e (2) , . . . , e (3) , maka hubungan koordinat akan diberikan oleh sistem persamaan linier:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

Sistem dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks sebagai berikut:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … en (1) e 1 (2) e 2 (2) … en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … en (n)

Mari kita membuat entri yang sama untuk vektor c (2) dengan analogi:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … en (1) e 1 (2) e 2 (2) … en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … en (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … en (1) e 1 (2) e 2 (2) … en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … en (n)

Mari gabungkan persamaan matriks menjadi satu ekspresi:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

Ini akan menentukan hubungan antara vektor-vektor dari dua basis yang berbeda.

Dengan menggunakan prinsip yang sama, semua vektor basis dapat dinyatakan e(1) , e(2) , . . . , e (3) melalui basis c (1) , c (2) , . . . , c (n):

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ cn (n)

Mari kita berikan definisi berikut:

Definisi 5

Matriks c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) merupakan matriks transisi dari basis e (1) , e (2) , . . . , dan (3)

ke dasar c (1) , c (2) , . . . , c (n) .

Definisi 6

Matriks e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) merupakan matriks transisi dari basis c (1) , c (2) , . . . , c(n)

ke dasar e (1) , e (2) , . . . , dan (3) .

Dari persamaan tersebut terlihat jelas bahwa

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 ( 1 ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

itu. matriks transisi bersifat timbal balik.

Mari kita lihat teorinya menggunakan contoh spesifik.

Contoh 7

Data awal: perlu dicari matriks transisi dari basisnya

c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) ​​​​c (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

Anda juga perlu menunjukkan hubungan antara koordinat vektor sembarang x → pada basis yang diberikan.

Larutan

1. Misalkan T adalah matriks transisi, maka persamaannya benar:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Kalikan kedua ruas persamaan dengan

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

dan kami mendapatkan:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Definisikan matriks transisi:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Mari kita definisikan hubungan antara koordinat vektor x → :

Mari kita asumsikan bahwa pada basis c (1) , c (2) , . . . , c (n) vektor x → mempunyai koordinat x 1 , x 2 , x 3 , maka:

x = (x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

dan pada basis e (1) , e (2) , . . . , e (3) mempunyai koordinat x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3, maka:

x = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Karena Jika ruas kiri persamaan tersebut sama, maka ruas kanan juga dapat disamakan:

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Kalikan kedua ruas di sebelah kanan dengan

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

dan kami mendapatkan:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Di sisi lain

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Persamaan terakhir menunjukkan hubungan antara koordinat vektor x → di kedua basis.

Menjawab: matriks transisi

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Koordinat vektor x → pada basis-basis tertentu dihubungkan oleh relasi:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter