VEKTOR

vektor disebut objek matematika ( A, B, C, ...), yang eksekusi dua operasi aljabarnya ditentukan:

penjumlahan dua vektor a+b=c

· mengalikan vektor dengan angka a = b.

Ciri paling penting dari operasi ini adalah bahwa operasi ini selalu menghasilkan vektor yang bertipe sama dengan vektor aslinya. Oleh karena itu, dengan memiliki himpunan vektor awal, kita dapat mengembangkannya secara bertahap, yaitu. memperoleh lebih banyak vektor baru dengan menerapkan operasi penjumlahan dan perkalian suatu bilangan pada vektor-vektor yang ada. Pada akhirnya kita akan sampai pada himpunan vektor yang tidak lagi mengembang, yaitu. ternyata ditutup di bawah operasi yang ditunjukkan. Himpunan vektor yang demikian disebut ruang vektor.

Jika operasi di atas memerlukan tambahan kondisi linearitas :

A( a+b)= A sebuah + A B

(A + B) sebuah = A sebuah + B B

maka ruang yang dihasilkan disebut linier ruang angkasa (LP) atau vektor linier ruang angkasa (HDL). LCS, bersama dengan grup simetri, dapat menjadi contoh lain dari struktur matematika, yang merupakan kumpulan objek tertutup yang bertipe sama dan diurutkan dengan cara tertentu (menggunakan operasi aljabar).

Kombinasi linier

Dengan melakukan operasi penjumlahan vektor dan mengalikannya dengan angka, seseorang dapat membuat konstruksi yang lebih kompleks seperti:

A sebuah + B b+ G c + ..... = x

yang disebut kombinasi linear (LK) vektor a, b, c, . . . dengan koefisien a, b, g, . . . , masing-masing.

Konsep LC memungkinkan kita merumuskan beberapa aturan umum:

· setiap LC dari setiap vektor dari beberapa LP juga merupakan vektor dari LP yang sama;

· setiap vektor dari beberapa LP dapat direpresentasikan dalam bentuk LC dari beberapa vektor dari LP yang sama;

· dalam LP mana pun ada sekumpulan vektor terpilih yang disebut kumpulan dasar (atau sederhananya dasar ), bahwa semua, tanpa kecuali, vektor LP ini dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis yang dipilih ini. Satu syarat penting dikenakan pada vektor-vektor yang dipilih sebagai vektor basis: vektor-vektor tersebut harus ada independen linier satu sama lain (tidak boleh diungkapkan melalui satu sama lain, yaitu: X≠a× kamu).

Aturan-aturan ini memungkinkan untuk memperkenalkan cara khusus untuk mendeskripsikan obat apa pun. Mari kita pilih himpunan basis dan perluas semua vektor yang kita minati berdasarkan basis ini (yaitu, sajikan dalam bentuk vektor basis LC); maka setiap vektor dapat ditentukan secara unik dengan sekumpulan koefisien LC yang bersesuaian dengan vektor tertentu. Koefisien seperti itu disebut koordinat vektor (sehubungan dengan basis tertentu). Mari kita tekankan bahwa koordinat suatu vektor adalah bilangan biasa, dan representasi koordinat suatu vektor memungkinkan kita untuk mendeskripsikannya hanya dengan menggunakan sekumpulan bilangan, terlepas dari makna fisik spesifik yang kita masukkan ke dalam konsep vektor.

Mari kita lihat contoh spesifiknya. Mari kita membuat serangkaian campuran berbeda dari dua bahan kimia murni: air dan alkohol. Di antara semua kemungkinan campuran, kami menyoroti dua campuran khusus:

1) campuran S 1, mengandung 100% air dan 0% alkohol;

2) campuran S 2 mengandung 0% air dan 100% alkohol.

Jelas bahwa campuran sembarang dapat direpresentasikan sebagai LC dari dua campuran basa berikut:

S = N 1 * S 1 + N 2 * S 2

dan mengkarakterisasinya sepenuhnya hanya dengan dua bilangan koordinat: N 1 dan N 2. Dengan kata lain, dengan adanya himpunan basis, kita dapat menetapkan kesetaraan campuran kimia sembarang dan himpunan bilangan:

S~ {N 1 , N 2 }.

Sekarang cukup mengganti kata kimia konkrit “campuran” dengan istilah matematika abstrak “vektor” untuk mendapatkan model HDL yang menggambarkan banyak campuran dua zat.

Kombinasi linear vektor merupakan ekspresi bentuk: , dimana bilangan real disebut koefisien kombinasi linier.

Penentuan independensi linier vektor

Suatu sistem vektor A 1 , A 2 ,…A n disebut bebas linier jika kombinasi linier dari vektor-vektor tersebut λ1*A1+λ2*A2+...+λn*An sama dengan vektor nol hanya untuk himpunan nol bilangan λ1, λ2,..., λn, yaitu sistem persamaan: A1x1+A2x2+...+Anxn =Θ mempunyai solusi nol yang unik.

Penentuan ketergantungan linier vektor

Dua vektor bidang bergantung linier jika dan hanya jika keduanya segaris.
Dua buah vektor disebut segaris jika keduanya terletak pada satu garis atau sejajar

Teorema ketergantungan linier vektor

Teorema tentang representasi string sebagai kombinasi linier dari string independen

Setiap baris matriks A dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari baris-baris independen matriks A.

Misalkan matriks A mempunyai rank r, maka ada minor berorde r yang berbeda dari 0, tambahkan ke minor ini baris ke-i dan kolom ke-j

sebuah 11	sebuah 12	…	sebuah 1r	sebuah 1j
sebuah 21	sebuah 22	…	sebuah 2r	sebuah 2j
…	…	…	…	…
sebuah 41	sebuah 42	…	sebuah 4r	sebuah 4j
sebuah i1	sebuah i2	…	udara	sebuah ij

Tuan =
M r+1 =0; Karena peringkat A=r (sebagai minor dengan orde lebih tinggi dari r). Minor ini dapat diperluas sepanjang kolom terakhir.

[a 1j A 1j + a 2j A 2j +…+ a rj A rj + a ij (-1) i+j *M r ]=0

Bagilah semuanya dengan M r dan perkenalkan A ij /((-1) i+j M r)=λ i

a ij = λ 1 a 1j +λ 2 a 2j +…+ λ 4 a 4j, dimana j=r+1 persamaan ini juga berlaku untuk j=1 m

81. Teorema yang menyatakan kolom sebagai kombinasi linier bebas kolom

Teorema hubungan antara pangkat suatu matriks dengan jumlah baris/kolom yang bebas

Pangkat matriks A sama dengan banyaknya baris/kolom independennya. Misalkan matriks A (m*n) mempunyai pangkat r

sebuah 11	sebuah 12	…	sebuah 1r
sebuah 21	sebuah 22	…	sebuah 2r
…	…	…	…
sebuah 21	sebuah 22	…	sebuah 2r

Ada minor orde r = 0; (e 1….. er) – bebas linier

Misalkan sebaliknya: e r = λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+ λ r-1 e r-1

Mari kita lakukan transformasi kelistrikan. tanpa mengubah determinan minor ini (M r)

e r - λ 1 e 1 - λ 2 e 2

e r - λ 1 e 1 - λ 2 e 2 – λ 3 e 3 -…- λ r-1 e r-1

Jadi, kita mendapatkan baris terakhir yang terdiri dari 0, tetapi kemudian M r = 0, asumsi kita salah!

Penentu

Sifat-sifat determinan. No.01.(Transposisi)

Penentu matriks yang ditransposisi sama dengan determinan matriks asal: .

Bukti. Menurut definisinya,

Saat mentransposisi matriks A hanya terjadi penataan ulang suku-suku dalam jumlah ini.

Sifat-sifat determinan. No 02. (Penataan ulang baris atau kolom).

Jika ada dua baris atau dua kolom pada determinan yang ditukar, maka determinan akan berubah tandanya menjadi kebalikannya.

Bukti. Menurut Teorema 1, setiap transposisi mengubah paritas permutasi. Akibatnya, ketika dua baris (kolom) disusun ulang, setiap suku dari jumlah tersebut berubah tandanya menjadi kebalikannya.

Konsep vektor

Definisi 1.Vektor disebut segmen berarah (atau, yang sama, sepasang titik terurut).

Ditunjuk: (titik A adalah awal vektor), titik B adalah akhir vektor) atau dengan satu huruf -.

Definisi 2.Panjang vektor (modulus) adalah jarak antara awal dan akhir vektor. Panjang vektor dilambangkan dengan atau.

Definisi 3.vektor nol Suatu vektor disebut yang awal dan akhirnya berimpit. Menunjuk:

Definisi 4.Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya sama dengan satu.

Vektor satuan yang arahnya sama dengan vektor tertentu disebut vektor satuan dari vektor tersebut dan dilambangkan dengan simbol.

Definisi 5. Vektor disebut segaris, jika keduanya terletak pada satu garis lurus atau sejajar. Vektor nol dianggap kolinear terhadap vektor apa pun.

Definisi 6. Vektor disebut setara, jika keduanya segaris, mempunyai panjang dan arah yang sama.

Operasi linier pada vektor

Definisi 7.Operasi linier pada vektor disebut penjumlahan vektor dan perkalian suatu vektor dengan suatu bilangan.

Definisi 8.Jumlah dua vektor adalah vektor yang berjalan dari awal vektor sampai ke akhir vektor, dengan syarat vektor tersebut menempel pada ujung vektor (aturan segitiga). Dalam kasus vektor-vektor yang tidak segaris, alih-alih menggunakan aturan segitiga, Anda dapat menggunakan aturan jajar genjang: jika vektor-vektor tersebut disisihkan dari titik asal yang sama dan jajar genjang dibangun di atasnya, maka jumlahnya adalah vektor yang berimpit. dengan diagonal jajaran genjang ini berasal dari titik asal yang sama.

Definisi 9.Perbedaan dua vektor disebut vektor yang jika dijumlahkan dengan vektor akan membentuk vektor. Jika dua vektor disisihkan dari titik asal yang sama, maka selisihnya adalah suatu vektor yang berjalan dari ujung vektor (“dikurangi”) ke ujung vektor (“dikurangi”).

Definisi 10. Dua vektor segaris yang panjangnya sama dan arahnya berlawanan disebut di depan. Vektor yang berlawanan dengan vektor dilambangkan.

Hasil kali suatu vektor dan suatu bilangan dilambangkan dengan α.

Beberapa sifat operasi linier

7) ;

Teorema 1.(Tentang vektor kolinear). Jika u adalah dua vektor yang segaris dan vektor tersebut bukan nol, maka ada bilangan unik x sehingga = x

Secara khusus, vektor bukan nol dan vektornya dihubungkan secara ort dengan persamaan: =·.

Sifat-sifat operasi linier yang dirumuskan memungkinkan untuk mengubah ekspresi yang terdiri dari vektor sesuai dengan aturan aljabar yang biasa: Anda dapat membuka tanda kurung, membawa suku-suku serupa, memindahkan beberapa suku ke bagian lain dari persamaan dengan tanda yang berlawanan, dll.

Contoh 1.

Buktikan persamaan:

dan mencari tahu apa arti geometrisnya.

Larutan. a) Di ruas kiri persamaan, buka tanda kurung, tambahkan suku-suku sejenisnya, dan dapatkan vektor di ruas kanan. Mari kita jelaskan persamaan ini secara geometris. Misalkan dua vektor diberikan, sisihkan dari titik asal yang sama dan lihat jajaran genjang dan diagonalnya, kita peroleh:

§2 Kombinasi vektor linier

Basis vektor di pesawat dan di luar angkasa.

Definisi 1.Kombinasi vektor linier,,disebut jumlah hasil kali vektor-vektor tersebut dengan beberapa bilangan,,:++.

Definisi 2.Dasar vektor pada suatu bidang tertentu, setiap pasangan vektor yang tidak segaris pada bidang tersebut disebut.

Vektornya disebut vektor basis pertama, vektornya disebut vektor basis kedua.

Teorema berikut ini benar.

Teorema 1. Jika dasar ,– basis vektor pada suatu bidang, maka vektor apa pun pada bidang tersebut dapat direpresentasikan, dan dengan cara yang unik, dalam bentuk kombinasi linier dari vektor-vektor basis: = x + y. (*)

Definisi 3. Kesetaraan(*) disebut , dan angka x dan y – koordinat vektor pada basis,(atau relatif terhadap dasar,). Jika sudah jelas terlebih dahulu dasar apa yang dibicarakan, maka tulislah secara singkat: = (x,y). Dari definisi koordinat suatu vektor relatif terhadap basis, maka vektor-vektor yang sama mempunyai koordinat yang sama.

Dua atau lebih vektor dalam ruang disebut sebidang, jika keduanya sejajar pada bidang yang sama atau terletak pada bidang tersebut.

Definisi 4.Dasar vektor di ruang angkasa setiap tiga vektor disebut , ,.

Vektor tersebut disebut vektor basis pertama, kedua, dan ketiga.

Komentar. 1. Tiga buah vektor = (), = () dan = () membentuk basis ruang jika determinan yang tersusun dari koordinat-koordinatnya bukan nol:

.

2. Prinsip dasar teori determinan dan cara menghitungnya dibahas pada modul 1 “aljabar linier”.

Teorema 2. Membiarkan , , adalah basis vektor dalam ruang. Kemudian vektor apa pun dalam ruang dapat direpresentasikan, dan dengan cara yang unik, sebagai kombinasi linier dari vektor basis , Dan:

X+y+z. (**)

Definisi 5. Kesetaraan (**) disebut perluasan vektor menurut basisnya,,, dan bilangan x, y, z adalah koordinat (komponen) vektor pada basis , ,.

Jika sudah jelas terlebih dahulu dasar apa yang dibicarakan, maka tulislah secara singkat: = (x,y,z).

Definisi 6. Dasar , ,ditelepon ortonormal, jika vektor , , berpasangan tegak lurus dan mempunyai satuan panjang. Dalam hal ini, notasi ,, diadopsi.

Tindakan pada vektor ditentukan oleh koordinatnya.

Teorema 3. Biarkan basis vektor dipilih pada bidang tersebut , dan relatif terhadapnya, vektor-vektor diberikan berdasarkan koordinatnya: =(), =().

Lalu =(),=( ), yaitu Saat menjumlahkan atau mengurangkan vektor, koordinatnya dengan nama yang sama ditambahkan atau dikurangi;= (·;), mis. Ketika suatu vektor dikalikan dengan suatu bilangan, koordinatnya dikalikan dengan bilangan tersebut.

Syarat kolinearitas dua vektor

Teorema 4. Suatu vektor segaris terhadap vektor bukan nol jika dan hanya jika koordinat vektor tersebut sebanding dengan koordinat vektor tersebut, yaitu.

Operasi linier pada vektor yang ditentukan oleh koordinatnya dalam ruang dilakukan dengan cara yang sama.

Contoh 1. Misalkan vektor = (1;2;-1) ,= (3;2;1), = (1;0;1) diberikan dalam beberapa basis vektor , ,. Temukan koordinat kombinasi linier 2+3-4.

Larutan. Mari kita perkenalkan notasi kombinasi linier = 2+3+(-4).

Koefisien kombinasi linier =2,=3,=-4. Mari kita tulis persamaan vektor ini dalam bentuk koordinat= (x,y,z)=:

2

Jelaslah bahwa setiap koordinat kombinasi linier vektor sama dengan kombinasi linier yang sama dari koordinat dengan nama yang sama, yaitu.

x = 2·1+3·3+(-4)·1=7,

kamu = 2·2+3·2+(-4)·0=10,

z= 2·(-1)+3·1+(-4)·0=-3.

Koordinat vektor di dasar , ,akan:

Menjawab:= {7,10,-3}.

Sistem koordinat kartesius umum (affine).

Definisi 7. Misalkan O adalah suatu titik tetap, yang akan kita sebut awal.

Jika M adalah titik sembarang, maka vektor disebut vektor radius titik M terhadap titik awal, singkatnya, vektor jari-jari titik M.

Koordinat Kartesius (affine) pada suatu garis

Biarkan beberapa garis lurus diberikan dalam ruang aku. Mari kita pilih titik asal O yang terletak pada garis ini. Selain itu, kami memilih pada garis lurus aku vektor bukan nol, yang kita sebut sebagai basis.

Definisi 8. Misalkan titik M terletak pada sebuah garis. Karena vektor-vektornya segaris, maka = x, dimana x adalah suatu bilangan tertentu. Ayo hubungi nomor ini koordinat titik M pada garis lurus.

Titik asal O mempunyai koordinat positif atau negatif, bergantung pada apakah arah vektornya berimpit atau berlawanan. Garis lurus yang menjadi tempat koordinatnya disebut sumbu koordinat atau sumbu OX.

Pengenalan koordinat pada suatu garis berhubungan dengan satu bilangan x, dan sebaliknya, ada satu titik M yang bilangan tersebut merupakan koordinatnya.

Koordinat kartesius (affine) pada bidang.

Mari kita pilih dua vektor yang tidak segaris dan pada bidang O, membentuk basis tertentu. Jelasnya, panjang vektor bisa berbeda-beda.

Definisi 9. Himpunan (0;;) titik O dan basis vektor , ditelepon Sistem kartesius (affine). di permukaan.

Dua garis yang masing-masing melalui O dan sejajar dengan vektor , disebut sumbu koordinat. Yang pertama biasanya disebut sumbu absis dan diberi nama Ox, yang kedua adalah sumbu ordinat dan diberi nama Oy.

Kami akan selalu menggambarkannya sebagai terletak pada sumbu koordinat yang sesuai.

Definisi 10.Koordinat titik M pada bidang relatif terhadap sistem koordinat Kartesius (affine) (0;;) disebut koordinat vektor jari-jarinya sepanjang alas:

X+y, maka bilangan x dan y adalah koordinat M relatif terhadap sistem koordinat Kartesius (affine) (0;;). Koordinat x disebut absis titik M, koordinat y- ordinat poin M.

Jadi, jika sistem koordinat dipilih, (0;;) pada bidang, maka setiap titik M pada bidang tersebut berhubungan dengan satu titik M pada bidang: titik ini adalah ujung vektor

Pengenalan sistem koordinat mendasari metode geometri analitik, yang intinya adalah mampu mereduksi suatu permasalahan geometri menjadi permasalahan aritmatika atau aljabar.

Definisi 11.Koordinat vektor pada bidang relatif terhadap sistem koordinat kartesius (0;;) disebut koordinat vektor ini pada basisnya.

Untuk mencari koordinat vektor, Anda perlu memperluasnya berdasarkan basis:

X+y, dimana koefisien x,y dan akan menjadi koordinat vektor relatif terhadap sistem Cartesian (0;;).

Sistem koordinat kartesius (affine) dalam ruang.

Misalkan suatu titik O (awal) tertentu ditetapkan dalam ruang dan basis vektor dipilih

Definisi 12. Koleksi (0;;;) disebut Sistem koordinasi cartesian di ruang hampa.

Definisi 13. Tiga garis yang masing-masing melalui O dan sejajar dengan vektor , ,, ditelepon sumbu koordinat dan melambangkan masing-masing Oz, Oy, Oz. Kami akan selalu menggambarkan vektor , , terletak pada sumbu yang sesuai.

Definisi 14.Koordinat titik M dalam ruang relatif terhadap sistem koordinat kartesius (0;;;) disebut koordinat vektor jari-jarinya dalam sistem ini.

Dengan kata lain koordinat titik M adalah ketiga bilangan x, y, z berturut-turut absis dan ordinat titik M; koordinat ketiga z disebut penerapan titik M.

Pengenalan sistem koordinat Cartesian di ruang angkasa memungkinkan kita untuk membuat korespondensi satu-satu antara titik M dalam ruang dan rangkap tiga bilangan x, y, z.

Definisi 15.Koordinat vektor dalam ruang relatif terhadap sistem koordinat Cartesian (0;;;), koordinat vektor ini pada basisnya disebut;

Contoh 2.

Diberikan tiga simpul berurutan pada jajar genjang A(-2;1),B(1;3),C(4;0). Temukan koordinat keempatnya D. Sistem koordinatnya affine.

Larutan.

Vektor-vektornya sama, artinya koordinatnya sama (koefisien kombinasi linier):

= (3;2), =(4-x;-y); . Jadi, D(1;-2).

Menjawab: D(1;-2).

Ketergantungan linier. Konsep dasar

Definisi 16. Vektor disebut bergantung linier, jika ada angka,

Definisi ketergantungan linier vektor setara dengan ini: vektor bergantung linier jika salah satu vektor dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari vektor lainnya (atau diperluas ke vektor lainnya).

Vektor disebut bergantung linier jika persamaan (***) dimungkinkan dalam satu-satunya kasus ketika

Konsep ketergantungan linier memegang peranan besar dalam aljabar linier. Dalam aljabar vektor, ketergantungan linier mempunyai arti geometri sederhana.

Dua vektor yang segaris adalah bergantung linier, dan sebaliknya, dua vektor yang tidak segaris bebas linier.

Tiga vektor koplanar bergantung linier, dan sebaliknya, tiga vektor non-koplanar bebas linier.

Setiap empat vektor bergantung linier.

Definisi 17. Tiga vektor bebas linier disebut dasar ruang, itu. vektor apa pun dapat direpresentasikan sebagai beberapa.

Definisi 18. Dua buah vektor bebas linier yang terletak pada suatu bidang disebut dasar pesawat, itu. vektor apa pun yang terletak pada bidang ini dapat direpresentasikan sebagai kombinasi vektor linier.

Tugas untuk solusi mandiri.

vektor menemukan koordinat dalam basis ini.

Ketergantungan linier dan independensi linier vektor.
Dasar vektor. Sistem koordinat Affine

Ada gerobak berisi coklat di auditorium, dan setiap pengunjung hari ini akan mendapatkan pasangan yang manis - geometri analitik dengan aljabar linier. Artikel ini akan membahas dua bagian matematika tingkat tinggi sekaligus, dan kita akan melihat bagaimana keduanya hidup berdampingan dalam satu bungkus. Istirahatlah, makan Twix! ...sialan, sungguh omong kosong. Meskipun oke, saya tidak akan mencetak gol, pada akhirnya Anda harus memiliki sikap positif terhadap belajar.

Ketergantungan linier vektor, kemandirian vektor linier, dasar vektor dan istilah-istilah lain tidak hanya memiliki interpretasi geometris, tetapi, yang terpenting, makna aljabar. Konsep “vektor” dari sudut pandang aljabar linier tidak selalu merupakan vektor “biasa” yang dapat kita gambarkan pada bidang atau ruang. Tak perlu jauh-jauh mencari bukti, cobalah menggambar vektor ruang lima dimensi . Atau vektor cuaca, yang baru saja saya kunjungi di Gismeteo: masing-masing suhu dan tekanan atmosfer. Contoh tersebut tentu saja salah dari sudut pandang sifat-sifat ruang vektor, namun demikian, tidak ada yang melarang memformalkan parameter-parameter tersebut sebagai vektor. Nafas musim gugur...

Tidak, saya tidak akan membuat Anda bosan dengan teori, ruang vektor linier, tugasnya adalah memahami definisi dan teorema. Istilah baru (ketergantungan linier, independensi, kombinasi linier, basis, dll.) berlaku untuk semua vektor dari sudut pandang aljabar, namun contoh geometris akan diberikan. Jadi, semuanya sederhana, mudah diakses, dan jelas. Selain soal geometri analitik, kami juga akan membahas beberapa soal aljabar yang umum. Untuk menguasai materi, disarankan untuk membiasakan diri dengan pelajaran Vektor untuk boneka Dan Bagaimana cara menghitung determinannya?

Ketergantungan linier dan independensi vektor bidang.
Basis bidang dan sistem koordinat affine

Mari kita perhatikan bidang meja komputer Anda (hanya meja, meja samping tempat tidur, lantai, langit-langit, apapun yang Anda suka). Tugas tersebut akan terdiri dari tindakan berikut:

1) Pilih dasar bidang. Secara kasar, bagian atas meja memiliki panjang dan lebar, sehingga dapat dimengerti bahwa diperlukan dua vektor untuk membuat alasnya. Satu vektor saja tidak cukup, tiga vektor saja terlalu banyak.

2) Berdasarkan dasar yang dipilih mengatur sistem koordinat(koordinat grid) untuk menetapkan koordinat ke semua objek di tabel.

Jangan kaget, awalnya penjelasannya akan mudah. Apalagi milikmu. Silakan tempatkan jari telunjuk kiri di tepi meja sehingga dia melihat ke monitor. Ini akan menjadi vektor. Sekarang tempatnya jari kelingking kanan di tepi meja dengan cara yang sama - sehingga diarahkan ke layar monitor. Ini akan menjadi vektor. Tersenyumlah, kamu tampak hebat! Apa yang dapat kita katakan tentang vektor? Vektor data segaris, yang berarti linier diungkapkan melalui satu sama lain:
, baik, atau sebaliknya: , dimana ada bilangan yang berbeda dari nol.

Anda dapat melihat gambar tindakan ini di kelas. Vektor untuk boneka, dimana saya menjelaskan aturan mengalikan vektor dengan angka.

Akankah jari-jari Anda meletakkan alas pada bidang meja komputer? Tentu saja tidak. Vektor-vektor kolinear bergerak bolak-balik sendiri arah, dan sebuah bidang mempunyai panjang dan lebar.

Vektor yang demikian disebut bergantung secara linear.

Referensi: Kata “linier”, “linier” menunjukkan fakta bahwa dalam persamaan dan ekspresi matematika tidak ada kuadrat, kubus, pangkat lain, logaritma, sinus, dll. Hanya ada ekspresi dan ketergantungan linier (derajat 1).

Dua vektor bidang bergantung secara linear jika dan hanya jika keduanya segaris.

Silangkan jari Anda di atas meja sehingga ada sudut di antara keduanya selain 0 atau 180 derajat. Dua vektor bidanglinier Bukan bergantung jika dan hanya jika keduanya tidak segaris. Jadi, dasar diperoleh. Tidak perlu malu karena alasnya ternyata “miring” dengan vektor-vektor tidak tegak lurus yang panjangnya berbeda. Segera kita akan melihat bahwa tidak hanya sudut 90 derajat yang cocok untuk konstruksinya, dan tidak hanya vektor satuan yang panjangnya sama.

Setiap vektor bidang satu-satunya jalan diperluas berdasarkan:
, di mana bilangan real. Nomor-nomor itu dipanggil koordinat vektor dalam dasar ini.

Dikatakan juga demikian vektordisajikan sebagai kombinasi linear vektor dasar. Artinya, ungkapan itu disebut dekomposisi vektorberdasarkan dasar atau kombinasi linear vektor dasar.

Misalnya, kita dapat mengatakan bahwa vektor didekomposisi sepanjang bidang ortonormal, atau kita dapat mengatakan bahwa vektor direpresentasikan sebagai kombinasi vektor linier.

Mari kita rumuskan definisi dasar secara formal: Dasar dari pesawat disebut sepasang vektor bebas linier (tidak segaris), , di mana setiap vektor bidang adalah kombinasi linier dari vektor basis.

Poin penting dari definisi ini adalah kenyataan bahwa vektor-vektor diambil dalam urutan tertentu. Pangkalan – ini adalah dua basis yang sangat berbeda! Seperti kata pepatah, Anda tidak bisa mengganti jari kelingking tangan kiri dengan jari kelingking tangan kanan.

Kami telah mengetahui dasarnya, tetapi tidak cukup hanya dengan menetapkan kisi koordinat dan menetapkan koordinat ke setiap item di meja komputer Anda. Mengapa itu tidak cukup? Vektor-vektornya bebas dan berkeliaran di seluruh bidang. Jadi bagaimana Anda menetapkan koordinat ke titik-titik kotor kecil di atas meja yang tersisa dari akhir pekan yang liar? Diperlukan sebuah titik awal. Dan titik acuan seperti itu adalah titik yang akrab bagi semua orang - asal mula koordinat. Mari kita pahami sistem koordinat:

Saya akan mulai dengan sistem "sekolah". Sudah di pelajaran pengantar Vektor untuk boneka Saya menyoroti beberapa perbedaan antara sistem koordinat persegi panjang dan basis ortonormal. Berikut gambar standarnya:

Saat mereka membicarakan sistem koordinat persegi panjang, maka paling sering yang dimaksud adalah titik asal, sumbu koordinat, dan skala sepanjang sumbu. Coba ketikkan “sistem koordinat persegi panjang” ke dalam mesin pencari, dan Anda akan melihat bahwa banyak sumber akan memberi tahu Anda tentang sumbu koordinat yang sudah dikenal sejak kelas 5-6 dan cara memplot titik pada bidang.

Di sisi lain, tampaknya sistem koordinat persegi panjang dapat didefinisikan sepenuhnya dalam basis ortonormal. Dan itu hampir benar. Kata-katanya adalah sebagai berikut:

asal, Dan ortonormal dasar telah ditetapkan Sistem koordinat bidang persegi panjang kartesius . Artinya, sistem koordinat persegi panjang tentu saja didefinisikan oleh satu titik dan dua satuan vektor ortogonal. Itulah sebabnya Anda melihat gambar yang saya berikan di atas - dalam soal geometri, vektor dan sumbu koordinat sering kali (tetapi tidak selalu) digambar.

Saya rasa semua orang memahami itu menggunakan titik (asal) dan dasar ortonormal TITIK APAPUN di pesawat dan VEKTOR APAPUN di pesawat koordinat dapat ditetapkan. Secara kiasan, “segala sesuatu di pesawat dapat diberi nomor”.

Apakah vektor koordinat harus berupa satuan? Tidak, panjangnya bisa berubah-ubah bukan nol. Pertimbangkan sebuah titik dan dua vektor ortogonal dengan panjang sembarang bukan nol:

Dasar seperti ini disebut ortogonal. Asal usul koordinat dengan vektor ditentukan oleh kisi koordinat, dan setiap titik pada bidang, vektor apa pun memiliki koordinatnya sendiri dalam basis tertentu. Misalnya, atau. Ketidaknyamanan yang jelas adalah vektor koordinat secara umum mempunyai panjang yang berbeda-beda selain kesatuan. Jika panjangnya sama dengan satu, maka diperoleh basis ortonormal biasa.

! Catatan : pada basis ortogonal, serta pada basis affine bidang dan ruang, satuan sepanjang sumbu dipertimbangkan BERSYARAT. Misalnya, satu satuan sepanjang sumbu x berisi 4 cm, satu satuan sepanjang sumbu ordinat berisi 2 cm, informasi ini cukup untuk, jika perlu, mengubah koordinat “non-standar” menjadi “sentimeter biasa”.

Dan pertanyaan kedua yang sebenarnya sudah terjawab adalah apakah sudut antar vektor basis harus sama dengan 90 derajat? TIDAK! Seperti yang dinyatakan dalam definisi, vektor basisnya haruslah hanya non-kolinear. Oleh karena itu, sudutnya bisa berupa apa saja kecuali 0 dan 180 derajat.

Suatu titik di pesawat menelepon asal, Dan non-kolinear vektor, , mengatur sistem koordinat bidang affine :

Terkadang sistem koordinat seperti itu disebut miring sistem. Sebagai contoh, gambar menunjukkan titik dan vektor:

Seperti yang Anda pahami, sistem koordinat affine bahkan lebih tidak nyaman lagi; rumus panjang vektor dan segmen, yang telah kita bahas di bagian kedua pelajaran, tidak berlaku di dalamnya; Vektor untuk boneka, banyak formula lezat yang berhubungan dengan produk skalar vektor. Namun aturan untuk menjumlahkan vektor dan mengalikan vektor dengan bilangan, rumus membagi segmen dalam relasi ini, serta beberapa jenis soal lain yang akan segera kita bahas adalah valid.

Dan kesimpulannya adalah kasus khusus yang paling sesuai dari sistem koordinat affine adalah sistem persegi panjang Cartesian. Itu sebabnya kamu paling sering harus menemuinya, sayangku. ...Namun, segala sesuatu dalam hidup ini adalah relatif - ada banyak situasi di mana sudut miring (atau lainnya, misalnya, kutub) sistem koordinasi. Dan humanoid mungkin menyukai sistem seperti itu =)

Mari kita beralih ke bagian praktisnya. Semua soal dalam pelajaran ini valid baik untuk sistem koordinat persegi panjang maupun untuk kasus affine umum. Tidak ada yang rumit di sini; semua materi dapat diakses bahkan oleh anak sekolah.

Bagaimana cara menentukan kolinearitas vektor bidang?

Hal yang khas. Agar dua vektor bidang adalah kolinear, maka koordinat-koordinatnya yang bersesuaian harus proporsional dan cukup Pada dasarnya, ini adalah perincian koordinat demi koordinat dari hubungan yang nyata.

Contoh 1

a) Periksa apakah vektor-vektornya segaris .
b) Apakah vektor-vektor tersebut membentuk basis? ?

Larutan:
a) Mari kita cari tahu apakah ada vektor koefisien proporsionalitas, sehingga persamaan terpenuhi:

Saya pasti akan memberi tahu Anda tentang versi "foppish" dalam penerapan aturan ini, yang dalam praktiknya cukup berhasil. Idenya adalah segera membuat proporsinya dan melihat apakah itu benar:

Mari kita membuat proporsi dari rasio koordinat vektor-vektor yang bersesuaian:

Mari kita persingkat:
, sehingga koordinat yang bersesuaian adalah proporsional, oleh karena itu,

Hubungannya bisa dibuat sebaliknya; ini adalah pilihan yang setara:

Untuk pengujian mandiri, Anda dapat menggunakan fakta bahwa vektor-vektor collinear dinyatakan secara linear melalui satu sama lain. Dalam hal ini terjadi kesetaraan . Validitasnya dapat dengan mudah diverifikasi melalui operasi dasar dengan vektor:

b) Dua vektor bidang membentuk basis jika keduanya tidak segaris (tidak bebas linier). Kami memeriksa vektor untuk kolinearitas . Mari kita buat sistem:

Dari persamaan pertama maka , dari persamaan kedua maka , yang artinya sistemnya tidak konsisten(tidak ada solusi). Jadi, koordinat vektor-vektor yang bersesuaian tidak proporsional.

Kesimpulan: vektor-vektornya bebas linier dan membentuk basis.

Versi sederhana dari solusinya terlihat seperti ini:

Mari kita membuat proporsi dari koordinat vektor-vektor yang bersesuaian :
, yang berarti vektor-vektor tersebut bebas linier dan membentuk basis.

Biasanya opsi ini tidak ditolak oleh pengulas, namun masalah muncul jika beberapa koordinat sama dengan nol. Seperti ini: . Atau seperti ini: . Atau seperti ini: . Bagaimana cara bekerja melalui proporsi di sini? (memang, Anda tidak bisa membaginya dengan nol). Karena alasan inilah saya menyebut solusi yang disederhanakan sebagai “foppish”.

Menjawab: a) , b) bentuk.

Contoh kreatif kecil untuk solusi Anda sendiri:

Contoh 2

Berapa nilai parameter vektornya apakah keduanya akan segaris?

Dalam larutan sampel, parameternya ditemukan melalui proporsi.

Ada cara aljabar yang elegan untuk memeriksa kolinearitas vektor. Mari kita mensistematisasikan pengetahuan kita dan menambahkannya sebagai poin kelima:

Untuk dua vektor bidang, pernyataan berikut ini ekuivalen:

2) vektor-vektor membentuk basis;
3) vektor-vektornya tidak segaris;

+ 5) determinan yang tersusun dari koordinat vektor-vektor tersebut adalah bukan nol.

Masing-masing, pernyataan berlawanan berikut ini ekuivalen:
1) vektor bergantung linier;
2) vektor tidak membentuk basis;
3) vektor-vektornya segaris;
4) vektor dapat dinyatakan secara linier satu sama lain;
+ 5) determinan yang tersusun dari koordinat vektor-vektor tersebut sama dengan nol.

Saya sangat-sangat berharap saat ini Anda sudah memahami semua syarat dan pernyataan yang Anda temui.

Mari kita lihat lebih dekat poin kelima yang baru: dua vektor bidang adalah collinear jika dan hanya jika determinan yang tersusun dari koordinat vektor-vektor tertentu sama dengan nol:. Untuk menerapkan fitur ini tentunya Anda harus bisa menemukan determinan.

Mari kita putuskan Contoh 1 dengan cara kedua:

a) Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor-vektor :
, yang berarti vektor-vektor tersebut segaris.

b) Dua vektor bidang membentuk basis jika keduanya tidak segaris (tidak bebas linier). Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor :
, yang berarti vektor-vektor tersebut bebas linier dan membentuk basis.

Menjawab: a) , b) bentuk.

Ini terlihat jauh lebih kompak dan cantik dibandingkan solusi dengan proporsi.

Dengan bantuan materi yang dibahas, dimungkinkan untuk menetapkan tidak hanya kolinearitas vektor, tetapi juga membuktikan paralelisme segmen dan garis lurus. Mari kita pertimbangkan beberapa soal dengan bentuk geometris tertentu.

Contoh 3

Titik sudut segi empat diberikan. Buktikan bahwa segiempat adalah jajar genjang.

Bukti: Tidak perlu membuat gambar dalam soal, karena penyelesaiannya murni analitis. Mari kita ingat kembali definisi jajar genjang:
Genjang Segi empat yang sisi-sisinya yang berhadapan sejajar berpasangan disebut.

Oleh karena itu, perlu dibuktikan:
1) paralelisme sisi-sisi yang berhadapan dan;
2) paralelisme sisi-sisi yang berhadapan dan.

Kami membuktikan:

1) Temukan vektornya:

2) Temukan vektornya:

Hasilnya adalah vektor yang sama (“menurut sekolah” – vektor yang sama). Kolinearitas cukup jelas, namun lebih baik memformalkan keputusan dengan jelas, dengan pengaturan. Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor:
, yang berarti vektor-vektor tersebut segaris, dan .

Kesimpulan: Sisi-sisi yang berhadapan pada suatu segiempat sejajar berpasangan, yang berarti menurut definisinya merupakan jajar genjang. Q.E.D.

Figur yang lebih bagus dan berbeda:

Contoh 4

Titik sudut segi empat diberikan. Buktikan bahwa segi empat adalah trapesium.

Untuk rumusan pembuktian yang lebih teliti, tentu saja lebih baik mendapatkan definisi trapesium, tetapi cukup mengingat seperti apa bentuknya.

Ini adalah tugas yang harus Anda selesaikan sendiri. Solusi lengkap di akhir pelajaran.

Dan sekarang saatnya berpindah secara perlahan dari pesawat ke luar angkasa:

Bagaimana cara menentukan kolinearitas vektor ruang?

Aturannya sangat mirip. Agar dua vektor ruang menjadi segaris, koordinat-koordinat yang bersesuaian harus proporsional.

Contoh 5

Cari tahu apakah vektor-vektor ruang berikut ini segaris:

A) ;
B)
V)

Larutan:
a) Mari kita periksa apakah terdapat koefisien proporsionalitas untuk koordinat vektor-vektor yang bersesuaian:

Sistem tidak mempunyai solusi, artinya vektor-vektornya tidak segaris.

“Sederhana” diformalkan dengan memeriksa proporsinya. Pada kasus ini:
– koordinat yang bersesuaian tidak proporsional, artinya vektor-vektornya tidak segaris.

Menjawab: vektor-vektornya tidak segaris.

b-c) Ini adalah poin untuk pengambilan keputusan independen. Cobalah dengan dua cara.

Ada metode untuk memeriksa kolinearitas vektor spasial melalui determinan orde ketiga; metode ini dibahas dalam artikel Produk vektor dari vektor.

Mirip dengan kasus bidang, alat yang dipertimbangkan dapat digunakan untuk mempelajari paralelisme segmen spasial dan garis lurus.

Selamat datang di bagian kedua:

Ketergantungan linier dan independensi vektor dalam ruang tiga dimensi.
Basis spasial dan sistem koordinat affine

Banyak pola yang kami periksa di pesawat valid untuk ruang angkasa. Saya mencoba meminimalkan catatan teori, karena sebagian besar informasi telah dikunyah. Namun, saya menyarankan Anda membaca bagian pendahuluan dengan cermat, karena istilah dan konsep baru akan muncul.

Sekarang, alih-alih bidang meja komputer, kita menjelajahi ruang tiga dimensi. Pertama, mari kita buat dasarnya. Seseorang sekarang berada di dalam ruangan, seseorang berada di luar ruangan, tetapi bagaimanapun juga, kita tidak dapat lepas dari tiga dimensi: lebar, panjang dan tinggi. Oleh karena itu, untuk membangun suatu basis, diperlukan tiga vektor spasial. Satu atau dua vektor saja tidak cukup, vektor keempat tidak berguna.

Dan sekali lagi kita melakukan pemanasan dengan jari kita. Silakan angkat tangan Anda dan rentangkan ke berbagai arah ibu jari, telunjuk dan jari tengah. Ini akan menjadi vektor, mereka melihat ke arah yang berbeda, memiliki panjang yang berbeda dan memiliki sudut yang berbeda satu sama lain. Selamat, dasar ruang tiga dimensi sudah siap! Ngomong-ngomong, tidak perlu mendemonstrasikan hal ini kepada guru, tidak peduli bagaimana Anda memutar jari, tetapi tidak ada jalan keluar dari definisi =)

Selanjutnya, mari kita tanyakan pada diri kita sebuah pertanyaan penting: apakah tiga vektor apa pun membentuk basis ruang tiga dimensi? Silakan tekan tiga jari dengan kuat ke bagian atas meja komputer. Apa yang telah terjadi? Tiga vektor terletak pada bidang yang sama, dan, secara kasar, kita telah kehilangan salah satu dimensi - tinggi. Vektor-vektor tersebut adalah sebidang dan, cukup jelas bahwa dasar dari ruang tiga dimensi tidak tercipta.

Perlu dicatat bahwa vektor koplanar tidak harus terletak pada bidang yang sama, mereka dapat berada pada bidang paralel (jangan lakukan ini dengan jari Anda, hanya Salvador Dali yang melakukan ini =)).

Definisi: vektor disebut sebidang, jika ada bidang yang sejajar. Masuk akal untuk menambahkan di sini bahwa jika bidang seperti itu tidak ada, maka vektor-vektornya tidak akan sebidang.

Tiga vektor koplanar selalu bergantung linier, artinya, keduanya dinyatakan secara linier melalui satu sama lain. Untuk mempermudah, mari kita bayangkan lagi bahwa mereka terletak pada bidang yang sama. Pertama, vektor tidak hanya koplanar, tetapi juga bisa kolinear, maka vektor apa pun dapat dinyatakan melalui vektor apa pun. Dalam kasus kedua, jika, misalnya, vektor-vektornya tidak segaris, maka vektor ketiga dinyatakan melalui vektor-vektor tersebut dengan cara yang unik: (dan alasannya mudah ditebak dari materi di bagian sebelumnya).

Kebalikannya juga benar: tiga vektor non-coplanar selalu bebas linier, artinya, keduanya sama sekali tidak diungkapkan melalui satu sama lain. Dan, tentu saja, hanya vektor-vektor seperti itu yang dapat menjadi dasar ruang tiga dimensi.

Definisi: Dasar dari ruang tiga dimensi disebut tripel vektor-vektor bebas linier (non-koplanar), diambil dalam urutan tertentu, dan vektor ruang apa pun satu-satunya jalan didekomposisi berdasarkan basis tertentu, di mana koordinat vektor dalam basis ini

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa kita juga dapat mengatakan bahwa vektor direpresentasikan dalam bentuk kombinasi linear vektor dasar.

Konsep sistem koordinat diperkenalkan dengan cara yang persis sama seperti pada kasus bidang; satu titik dan tiga vektor bebas linier sudah cukup:

asal, Dan non-koplanar vektor, diambil dalam urutan tertentu, mengatur sistem koordinat affine ruang tiga dimensi :

Tentu saja, kisi koordinatnya “miring” dan tidak nyaman, namun, sistem koordinat yang dibangun memungkinkan kita tentu saja tentukan koordinat suatu vektor dan koordinat titik mana pun dalam ruang. Mirip dengan bidang, beberapa rumus yang telah saya sebutkan tidak akan berfungsi dalam sistem koordinat ruang affine.

Kasus khusus yang paling familiar dan nyaman dari sistem koordinat affine, seperti yang ditebak semua orang, adalah sistem koordinat ruang persegi panjang:

Suatu titik dalam ruang disebut asal, Dan ortonormal dasar telah ditetapkan Sistem koordinat ruang persegi panjang kartesius . Gambar yang familier:

Sebelum beralih ke tugas praktik, mari kita sistematiskan kembali informasinya:

Untuk tiga vektor ruang, pernyataan berikut ini ekuivalen:
1) vektor-vektornya bebas linier;
2) vektor-vektor membentuk basis;
3) vektor-vektornya tidak sebidang;
4) vektor tidak dapat dinyatakan secara linier satu sama lain;
5) determinan yang tersusun dari koordinat vektor-vektor tersebut berbeda dari nol.

Saya pikir pernyataan sebaliknya dapat dimengerti.

Ketergantungan/independensi linier vektor ruang secara tradisional diperiksa menggunakan determinan (poin 5). Tugas-tugas praktis yang tersisa akan bersifat aljabar yang jelas. Saatnya untuk menggantungkan tongkat geometri dan menggunakan tongkat baseball aljabar linier:

Tiga vektor ruang bersifat koplanar jika dan hanya jika determinan yang tersusun dari koordinat vektor-vektor tertentu sama dengan nol: .

Saya ingin menarik perhatian Anda pada sedikit nuansa teknis: koordinat vektor dapat ditulis tidak hanya dalam kolom, tetapi juga dalam baris (nilai determinan tidak akan berubah karena ini - lihat properti determinan). Tapi ini jauh lebih baik dalam kolom, karena lebih bermanfaat untuk memecahkan beberapa masalah praktis.

Bagi para pembaca yang sedikit lupa tentang metode penghitungan determinan, dan mungkin kurang memahaminya sama sekali, saya merekomendasikan salah satu pelajaran tertua saya: Bagaimana cara menghitung determinannya?

Contoh 6

Periksa apakah vektor-vektor berikut membentuk basis ruang tiga dimensi:

Larutan: Faktanya, seluruh solusi bermuara pada menghitung determinan.

a) Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor (determinannya terungkap pada baris pertama):

, artinya vektor-vektor tersebut bebas linier (bukan koplanar) dan membentuk basis ruang tiga dimensi.

Menjawab: vektor-vektor ini membentuk basis

b) Ini adalah titik untuk pengambilan keputusan independen. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Ada juga tugas kreatif:

Contoh 7

Pada nilai parameter berapakah vektor-vektor tersebut akan menjadi koplanar?

Larutan: Vektor-vektor dikatakan koplanar jika dan hanya jika determinan yang tersusun dari koordinat-koordinat vektor-vektor tersebut sama dengan nol:

Pada dasarnya, Anda perlu menyelesaikan persamaan dengan determinan. Kami menukik angka nol seperti layang-layang di jerboa - yang terbaik adalah membuka determinan di baris kedua dan segera menghilangkan minusnya:

Kami melakukan penyederhanaan lebih lanjut dan mereduksi masalahnya menjadi persamaan linier paling sederhana:

Menjawab: pada

Sangat mudah untuk memeriksanya di sini; untuk melakukan ini, Anda perlu mengganti nilai yang dihasilkan ke dalam determinan asli dan memastikannya , membukanya lagi.

Sebagai kesimpulan, kita akan mempertimbangkan masalah tipikal lainnya, yang lebih bersifat aljabar dan secara tradisional dimasukkan dalam kursus aljabar linier. Hal ini sangat umum sehingga layak mendapatkan topik tersendiri:

Buktikan bahwa 3 vektor membentuk basis ruang tiga dimensi
dan temukan koordinat vektor ke-4 dalam basis ini

Contoh 8

Vektor diberikan. Tunjukkan bahwa vektor membentuk basis dalam ruang tiga dimensi dan temukan koordinat vektor dalam basis tersebut.

Larutan: Pertama, mari kita atasi kondisinya. Dengan syarat, empat vektor diberikan, dan, seperti yang Anda lihat, vektor-vektor tersebut sudah memiliki koordinat pada basis tertentu. Apa dasar ini tidak menarik bagi kami. Dan hal berikut ini menarik: tiga vektor mungkin akan membentuk basis baru. Dan tahap pertama sepenuhnya bertepatan dengan solusi Contoh 6; perlu untuk memeriksa apakah vektor-vektor tersebut benar-benar bebas linier:

Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor:

, yang berarti vektor-vektor tersebut bebas linier dan membentuk basis ruang tiga dimensi.

! Penting : koordinat vektor Perlu tuliskan menjadi kolom penentu, bukan dalam string. Jika tidak, akan terjadi kebingungan dalam algoritma solusi selanjutnya.

Pada artikel ini kita akan membahas:

• apa yang dimaksud dengan vektor kolinear;
• apa syarat kolinearitas vektor;
• sifat-sifat vektor kolinear apa yang ada;
• apa ketergantungan linear dari vektor-vektor collinear.

Definisi 1

Vektor collinear adalah vektor yang sejajar dengan satu garis atau terletak pada satu garis.

Contoh 1

Kondisi kolinearitas vektor

Dua vektor dikatakan segaris jika salah satu kondisi berikut ini terpenuhi:

• kondisi 1 . Vektor a dan b segaris jika terdapat bilangan λ sehingga a = λ b;
• kondisi 2 . Vektor a dan b segaris dengan perbandingan koordinat yang sama:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• kondisi 3 . Vektor a dan b adalah segaris asalkan hasil kali silang dan vektor nolnya sama:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

Catatan 1

Kondisi 2 tidak berlaku jika salah satu koordinat vektornya nol.

Catatan 2

Kondisi 3 hanya berlaku untuk vektor-vektor yang ditentukan dalam ruang.

Contoh soal mempelajari kolinearitas vektor

Contoh 1

Kita periksa vektor a = (1; 3) dan b = (2; 1) untuk mengetahui kolinearitasnya.

Bagaimana menyelesaikan?

Dalam hal ini perlu menggunakan kondisi kolinearitas ke-2. Untuk vektor tertentu tampilannya seperti ini:

Kesetaraan itu salah. Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa vektor a dan b tidak segaris.

Menjawab : sebuah | | B

Contoh 2

Berapa nilai m dari vektor a = (1; 2) dan b = (- 1; m) yang diperlukan agar vektor-vektor tersebut segaris?

Bagaimana menyelesaikan?

Dengan menggunakan syarat kolinearitas kedua, vektor-vektor akan kolinear jika koordinatnya sebanding:

Hal ini menunjukkan bahwa m = - 2.

Menjawab: m = - 2 .

Kriteria ketergantungan linier dan kemandirian linier sistem vektor

Dalil

Suatu sistem vektor dalam ruang vektor bergantung linier hanya jika salah satu vektor dari sistem tersebut dapat dinyatakan dalam vektor-vektor yang tersisa dari sistem tersebut.

Bukti

Biarkan sistem e 1 , e 2 , . . . , e n bergantung linier. Mari kita tuliskan kombinasi linier dari sistem ini sama dengan vektor nol:

sebuah 1 e 1 + sebuah 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

dimana setidaknya salah satu koefisien kombinasi tidak sama dengan nol.

Misal a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , N.

Kami membagi kedua ruas persamaan dengan koefisien bukan nol:

ak - 1 (ak - 1 a 1) e 1 + (ak - 1 ak) ek + . . . + (ak - 1 a n) e n = 0

Mari kita nyatakan:

A k - 1 pagi , dimana m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Pada kasus ini:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 ek - 1 + β k + 1 ek + 1 + . . . + β n e n = 0

atau ek = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) ek - 1 + (- β k + 1) ek + 1 + . . . + (- β n) e n

Oleh karena itu salah satu vektor sistem dinyatakan melalui semua vektor sistem lainnya. Itu yang perlu dibuktikan (dll).

Kecukupan

Misalkan salah satu vektor dinyatakan secara linier melalui semua vektor lain dalam sistem:

ek = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 ek - 1 + γ k + 1 ek + 1 + . . . + γ n e n

Kita pindahkan vektor ek ke ruas kanan persamaan ini:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 ek - 1 - ek + γ k + 1 ek + 1 + . . . + γ n e n

Karena koefisien vektor e k sama dengan - 1 ≠ 0, kita memperoleh representasi non-trivial dari nol oleh sistem vektor e 1, e 2, . . . , e n , dan ini, pada gilirannya, berarti bahwa sistem vektor ini bergantung linier. Itu yang perlu dibuktikan (dll).

Konsekuensi:

• Suatu sistem vektor dikatakan bebas linier jika tidak ada satupun vektornya yang dapat dinyatakan dalam vektor-vektor lain dalam sistem tersebut.
• Suatu sistem vektor yang memuat satu vektor nol atau dua vektor yang sama adalah bergantung linier.

Sifat-sifat vektor yang bergantung linier

1. Untuk vektor 2 dan 3 dimensi, kondisi berikut terpenuhi: dua vektor bergantung linier adalah segaris. Dua vektor collinear bergantung linier.
2. Untuk vektor 3 dimensi, kondisi berikut terpenuhi: tiga vektor bergantung linier adalah koplanar. (3 vektor koplanar bergantung linier).
3. Untuk vektor berdimensi n, kondisi berikut terpenuhi: n + 1 vektor selalu bergantung linier.

Contoh penyelesaian masalah yang melibatkan ketergantungan linier atau independensi linier vektor

Contoh 3

Mari kita periksa vektor a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 untuk independensi linier.

Larutan. Vektor bergantung linier karena dimensi vektor lebih kecil dari jumlah vektor.

Contoh 4

Mari kita periksa vektor a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 untuk independensi linier.

Larutan. Kami menemukan nilai koefisien di mana kombinasi linier akan sama dengan vektor nol:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Kami menulis persamaan vektor dalam bentuk linier:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Kami memecahkan sistem ini menggunakan metode Gauss:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Dari baris ke-2 kita kurangi baris ke-1, dari baris ke-3 - baris ke-1:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Dari baris ke-1 kita kurangi baris ke-2, ke baris ke-3 kita tambahkan baris ke-2:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Dari solusi tersebut dapat disimpulkan bahwa sistem mempunyai banyak solusi. Artinya terdapat kombinasi nilai bukan nol dari bilangan x 1, x 2, x 3 yang kombinasi linier a, b, c sama dengan vektor nol. Jadi, vektor a, b, c adalah bergantung secara linear. ​​​​​​​

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter