Costruzione assiomatica di un sistema di interi. Studio degli assiomi della teoria degli interi

Sistema intero

Ricordiamo che le serie naturali sembravano elencare oggetti. Ma se vogliamo eseguire alcune azioni con gli oggetti, avremo bisogno di operazioni aritmetiche sui numeri. Cioè, se vogliamo impilare le mele o dividere una torta, dobbiamo tradurre queste azioni nel linguaggio dei numeri.

Tieni presente che per introdurre le operazioni + e * nel linguaggio dei numeri naturali, è necessario aggiungere assiomi che definiscono le proprietà di queste operazioni. Ma lo è anche l'insieme stesso dei numeri naturali espansione.

Vediamo come si espande l'insieme dei numeri naturali. L'operazione più semplice, che è stata una delle prime ad essere richiesta, è l'addizione. Se vogliamo definire l'operazione di addizione, dobbiamo definire il suo inverso: sottrazione. Infatti, se sappiamo quale sarà il risultato dell'addizione, ad esempio 5 e 2, allora dovremmo essere in grado di risolvere problemi come: cosa bisogna aggiungere a 4 per ottenere 11. Cioè, i problemi legati all'addizione saranno sicuramente richiedono la capacità di eseguire l'azione inversa: sottrazione. Ma se sommando numeri naturali si ottiene nuovamente un numero naturale, sottraendo numeri naturali si ottiene un risultato che non rientra in N. Erano necessari altri numeri. Per analogia con la comprensibile sottrazione di un numero più piccolo da un numero più grande, è stata introdotta la regola di sottrarre un numero più grande da un numero più piccolo: ecco come apparivano i numeri interi negativi.

Integrando la serie naturale con le operazioni + e -, arriviamo all'insieme degli interi.

Z=N+operazioni(+-)

Il sistema dei numeri razionali come linguaggio aritmetico

Consideriamo ora la prossima azione più complessa: la moltiplicazione. In sostanza, questa è un'addizione ripetuta. E il prodotto dei numeri interi rimane un numero intero.

Ma l’operazione inversa alla moltiplicazione è la divisione. Ma non sempre dà i migliori risultati. E ancora una volta ci troviamo di fronte a un dilemma: o accettare come dato di fatto che il risultato della divisione potrebbe “non esistere”, o trovare numeri di qualche nuovo tipo. Ecco come apparivano i numeri razionali.

Prendiamo un sistema di numeri interi e integriamolo con assiomi che definiscono le operazioni di moltiplicazione e divisione. Otteniamo un sistema di numeri razionali.

Q=Z+operazioni(*/)

Quindi, il linguaggio dei numeri razionali ci permette di produrre tutte le operazioni aritmetiche sopra i numeri. A questo non bastava il linguaggio dei numeri naturali.

Diamo una definizione assiomatica del sistema dei numeri razionali.

Definizione. Un insieme Q è detto insieme di numeri razionali, e i suoi elementi sono detti numeri razionali, se è soddisfatto il seguente insieme di condizioni, chiamate assiomatica dei numeri razionali:

Assiomi dell'operazione di addizione. Per ogni paio ordinato x,y elementi da Q qualche elemento è definito x+yОQ, detto somma X E A. In questo caso sono soddisfatte le seguenti condizioni:

1. (Esistenza di zero) Esiste un elemento 0 (zero) tale che per any XÎQ

X+0=0+X=X.

2. Per qualsiasi elemento XО Q c'è un elemento - XО Q (a fianco X) tale che

X+ (-X) = (-X) + X = 0.

3. (Commutatività) Per qualsiasi x,yÞ Q

4. (Associatività) Per ogni x,y,zО Q

x + (y + z) = (x + y) + z

Assiomi dell'operazione di moltiplicazione.

Per ogni paio ordinato x, y elementi da Q un elemento è definito xyО Q, chiamato il prodotto X E tu. In questo caso sono soddisfatte le seguenti condizioni:

5. (Esistenza di un elemento unitario) Esiste un elemento 1 О Q tale che per qualsiasi XÞ Q

X . 1 = 1. x = x

6. Per qualsiasi elemento XО Q , ( X≠ 0) esiste un elemento inverso X-1 ≠0 tale che

X. x-1 = x-1. x = 1

7. (Associatività) Per qualsiasi x, y, zÞ Q

X . (sì . z) = (x . sì) . z

8. (Commutatività) Per qualsiasi x, yÞ Q

Assioma della connessione tra addizione e moltiplicazione.

9. (Distributività) Per qualsiasi x, y, zÞ Q

(x+y) . z = x . z+y . z

Assiomi d'ordine.

Due elementi qualsiasi x, y,О Q entra in una relazione di confronto ≤. In questo caso sono soddisfatte le seguenti condizioni:

10. (X≤A)L ( A≤X) ó x=y

11. (X≤sì) l ( y≤ z) => X≤z

12. Per chiunque x, yО Q o x< у, либо у < x .

Atteggiamento< называется строгим неравенством,

La relazione = è detta uguaglianza degli elementi di Q.

Assioma della connessione tra addizione e ordine.

13. Per ogni x, y, z ОQ, (x £ y) Þ x+z £ y+z

Assioma della connessione tra moltiplicazione e ordine.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x´y)

Assioma di continuità di Archimede.

15. Per ogni a > b > 0, esistono m О N e n О Q tali che m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Pertanto, il sistema dei numeri razionali è il linguaggio dell'aritmetica.

Tuttavia, questo linguaggio non è sufficiente per risolvere problemi informatici pratici.

Quando si costruisce assiomaticamente una teoria matematica, certo regole:

· alcuni concetti della teoria vengono scelti come basilari e accettati senza definizione;

· ad ogni concetto della teoria che non è contenuto nell'elenco di quelli fondamentali viene data una definizione;

· vengono formulati assiomi - proposizioni che in una data teoria sono accettate senza prova; rivelano le proprietà dei concetti di base;

· ogni proposizione della teoria che non sia contenuta nell'elenco degli assiomi deve essere dimostrata; Tali proposizioni sono chiamate teoremi e vengono dimostrate sulla base di assiomi e teoremi.

Nella costruzione assiomatica di una teoria, tutte le affermazioni derivano dagli assiomi attraverso la dimostrazione.

Pertanto, al sistema di assiomi si applicano requisiti speciali. requisiti:

· coerenza (un sistema di assiomi si dice coerente se da esso non è possibile dedurre logicamente due proposizioni mutuamente esclusive);

· indipendenza (un sistema di assiomi si dice indipendente se nessuno degli assiomi di tale sistema è conseguenza di altri assiomi).

Un insieme con una relazione specificata in esso è chiamato modello di un dato sistema di assiomi se tutti gli assiomi del dato sistema sono soddisfatti in esso.

Esistono molti modi per costruire un sistema di assiomi per un insieme di numeri naturali. Ad esempio, una somma di numeri o una relazione d'ordine possono essere considerate come concetti di base. In ogni caso, è necessario definire un sistema di assiomi che descrivano le proprietà dei concetti di base.

Diamo un sistema di assiomi, accettando il concetto base dell'operazione di addizione.

Insieme non vuoto N chiamiamolo insieme di numeri naturali se in esso è definita l'operazione (UN; b) → a + b, detta addizione e avente le seguenti proprietà:

1. l'addizione è commutativa, cioè un + b = b + un.

2. l'addizione è associativa, cioè (a + b) + c = a + (b + c).

4. in qualsiasi set UN, che è un sottoinsieme dell'insieme N, Dove UN c'è un numero e tale che tutto Ah, sono uguali a+b, Dove bN.

Gli assiomi 1 - 4 sono sufficienti per costruire l'intera aritmetica dei numeri naturali. Ma con una tale costruzione non è più possibile fare affidamento sulle proprietà degli insiemi finiti che non si riflettono in questi assiomi.

Prendiamo come concetto principale la relazione “segui direttamente...” definita su un insieme non vuoto N. Allora la serie naturale dei numeri sarà l’insieme N, in cui è definita la relazione “immediatamente segue”, e tutti gli elementi di N si chiameranno numeri naturali, e vale quanto segue: Gli assiomi di Peano:

ASSIOMA 1.

In abbondanzaNc'è un elemento che non segue immediatamente nessun elemento di questo insieme. La chiameremo unità e la denoteremo con il simbolo 1.

ASSIOMA 2.

Per ogni elemento a diNc'è un singolo elemento a immediatamente dopo a.

ASSIOMA 3.

Per ogni elemento a diNC'è al massimo un elemento immediatamente seguito da a.

AXOIMA 4.

Qualsiasi sottoinsieme M dell'insiemeNcoincide conN, se ha le seguenti proprietà: 1) 1 è contenuto in M; 2) dal fatto che a è contenuto in M, ne consegue che a è contenuto anche in M.

Un mucchio di N, per i cui elementi si stabilisce la relazione “seguono direttamente...”, soddisfacendo gli assiomi 1 - 4, è detto insieme dei numeri naturali , e i suoi elementi sono numeri naturali.

Se come set N scegliamo un insieme specifico su cui è data una relazione specifica “segue direttamente...”, che soddisfa gli assiomi 1 - 4, quindi otteniamo diversi interpretazioni (modelli) dato sistemi di assiomi.

Il modello standard del sistema assioma di Peano è una serie di numeri emersi nel processo di sviluppo storico della società: 1, 2, 3, 4, 5, ...

Il modello degli assiomi di Peano può essere un qualsiasi insieme numerabile.

Ad esempio, I, II, III, IIII, ...

oh oh oh oh oh...

uno due tre quattro, …

Consideriamo una sequenza di insiemi in cui set (oo) è l'elemento iniziale, e ogni insieme successivo si ottiene dal precedente aggiungendo un altro cerchio (Fig. 15).

Poi N esiste un insieme costituito da insiemi della forma descritta, ed è un modello del sistema di assiomi di Peano.

Anzi, in molti N c'è un elemento (oo) che non segue immediatamente nessun elemento dell'insieme dato, cioè L'assioma 1 è soddisfatto per ogni insieme UN della popolazione considerata esiste un unico insieme da cui si ottiene UN aggiungendo un cerchio, ad es. Vale l'assioma 2. Per ogni insieme UN c'è al massimo un insieme da cui si forma un insieme UN aggiungendo un cerchio, ad es. Vale l’assioma 3. Se MN e si sa che molti UN contenuto in M, ne consegue che un insieme in cui c'è un cerchio in più rispetto all'insieme UN, contenuto anche in M, Quello M =N, e quindi l’assioma 4 è soddisfatto.

Nella definizione di numero naturale nessuno degli assiomi può essere omesso.

Stabiliamo quale degli insiemi rappresentati in Fig. 16 sono un modello degli assiomi di Peano.

1 a b d a G) Fig.16

Soluzione. La Figura 16 a) mostra un insieme in cui gli assiomi 2 e 3 sono soddisfatti Infatti, per ogni elemento ce n'è uno unico immediatamente successivo, e c'è un elemento unico che segue. Ma in questo insieme l'assioma 1 non è soddisfatto (l'assioma 4 non ha senso, poiché non c'è elemento nell'insieme che non segua immediatamente un altro). Pertanto questo insieme non è un modello degli assiomi di Peano.

La Figura 16 b) mostra un insieme in cui gli assiomi 1, 3 e 4 sono soddisfatti, ma dietro l'elemento UN seguono immediatamente due elementi, e non uno, come richiesto nell'assioma 2. Pertanto, questo insieme non è un modello degli assiomi di Peano.

Nella fig. 16 c) mostra un insieme in cui gli assiomi 1, 2, 4 sono soddisfatti, ma l'elemento Con segue immediatamente due elementi immediatamente. Pertanto questo insieme non è un modello degli assiomi di Peano.

Nella fig. 16 d) mostra un insieme che soddisfa gli assiomi 2, 3, e se prendiamo il numero 5 come elemento iniziale, allora questo insieme soddisferà gli assiomi 1 e 4. Cioè, in questo insieme per ogni elemento ce n'è uno unico immediatamente seguendolo, e c'è un singolo elemento che segue. C'è anche un elemento che non segue immediatamente nessun elemento di questo insieme, questo è 5 , quelli. L’Assioma 1 è soddisfatto Di conseguenza, anche l’Assioma 4 sarà soddisfatto. Pertanto, questo insieme è un modello degli assiomi di Peano.

Utilizzando gli assiomi di Peano, possiamo dimostrare una serie di affermazioni. Ad esempio, dimostreremo che per tutti i numeri naturali esiste la disuguaglianza xx.

Prova. Indichiamo con UN insieme di numeri naturali per i quali aa. Numero 1 appartiene UN, poiché non segue alcun numero da N, il che significa che non segue da sola: 1 1. Permettere aa, Poi aa. Denotiamo UN Attraverso B. In virtù dell’assioma 3, UNB, quelli. b b E bA.

UNIVERSITÀ PEDAGOGICA STATALE DI OMSK
SEDE DELL'Università Pedagogica Statale di Omsk nella TAR
BBK Pubblicato per decisione della redazione e della pubblicazione
Settore 22ya73 della filiale dell'Università pedagogica statale di Omsk a Tara
Cap.67

Le raccomandazioni sono destinate agli studenti delle università pedagogiche che studiano la disciplina "Algebra e teoria dei numeri". Nell'ambito di questa disciplina, in conformità con la norma statale, nel 6o semestre viene studiata la sezione “Sistemi numerici”. Queste raccomandazioni presentano materiale sulla costruzione assiomatica di sistemi di numeri naturali (il sistema di assiomi di Peano), sistemi di numeri interi e numeri razionali. Questa assiomatica ci permette di comprendere meglio cos'è un numero, che è uno dei concetti base di un corso di matematica scolastica. Per una migliore assimilazione del materiale, vengono forniti problemi su argomenti rilevanti. Alla fine delle raccomandazioni ci sono risposte, istruzioni e soluzioni ai problemi.

Relatore: Dottore in Scienze Pedagogiche, Prof. Dalinger V.A.

(c) Mozhan N.N.

Firmato per la pubblicazione - 22/10/98

Carta da giornale
Tiratura 100 copie.
Metodo di stampa operativa
Università pedagogica statale di Omsk, 644099, Omsk, emb. Tuchačevskij, 14
filiale, 644500, Tara, st. Shkolnaja, 69 anni

1. NUMERI NATURALI.

Nella costruzione assiomatica di un sistema di numeri naturali, assumeremo che siano noti il ​​concetto di insieme, le relazioni, le funzioni e altri concetti della teoria degli insiemi.

1.1 Il sistema assioma di Peano e le conseguenze più semplici.

I concetti iniziali della teoria assiomatica di Peano sono l'insieme N (che chiameremo insieme dei numeri naturali), il numero speciale zero (0) da esso, e la relazione binaria "segue" su N, denotata S(a) (o UN()).
ASSIOMI:
1. ((a(N) a"(0 (Esiste un numero naturale 0 che non segue alcun numero.)
2. a=b (a"=b" (Per ogni numero naturale a c'è un numero naturale a" che lo segue, e solo uno.)
3. a"=b" (a=b (Ogni numero naturale segue al massimo un numero.)
4. (assioma di induzione) Se l'insieme M(N e M soddisfa due condizioni:
A) 0(M;
B) ((a(N) a(M ® a"(M, quindi M=N.
Nella terminologia funzionale, ciò significa che la mappatura S:N®N è iniettiva. Dall'Assioma 1 segue che la mappatura S:N®N non è suriettiva. L’Assioma 4 è la base per dimostrare affermazioni “mediante il metodo dell’induzione matematica”.
Notiamo alcune proprietà dei numeri naturali che derivano direttamente dagli assiomi.
Proprietà 1. Ogni numero naturale a(0 segue uno e un solo numero.
Prova. Sia M l'insieme dei numeri naturali contenenti zero e tutti quei numeri naturali, ciascuno dei quali segue un numero. È sufficiente mostrare che M=N, l’unicità segue dall’assioma 3. Applichiamo l’assioma di induzione 4:
A) 0(M - per costruzione dell'insieme M;
B) se a(M, allora a"(M, perché a" segue a.
Ciò significa, per l'assioma 4, M=N.
Proprietà 2. Se a(b, allora a"(b".
La proprietà si dimostra per contraddizione utilizzando l'assioma 3. La seguente proprietà 3 si dimostra in modo simile utilizzando l'assioma 2.
Proprietà 3. Se a"(b", allora a(b.
Proprietà 4. ((a(N)a(a". (Nessun numero naturale segue se stesso.)
Prova. Sia M=(x (x(N, x(x")). Basta dimostrare che M=N. Poiché secondo l'assioma 1 ((x(N)x"(0, allora in particolare 0"(0 , e quindi, la condizione A) dell'assioma 4 0(M - è soddisfatta. Se x(M, cioè x(x", allora per la proprietà 2 x"((x")", il che significa che la condizione B) x ( M ® x"(M. Ma allora, secondo l'assioma 4, M=N.
Sia ( una proprietà dei numeri naturali. Il fatto che un numero a abbia la proprietà (, scriveremo ((a).
Compito 1.1.1. Dimostrare che l'assioma 4 della definizione dell'insieme dei numeri naturali equivale alla seguente affermazione: per ogni proprietà (, if ((0) e, then.
Compito 1.1.2. Su un insieme di tre elementi A=(a,b,c), l'operazione unaria ( è definita come segue: a(=c, b(=c, c(=a. Quali degli assiomi di Peano sono veri sull'insieme A con l'operazione (?
Compito 1.1.3. Sia A=(a) un insieme singleton, a(=a. Quali assiomi di Peano sono veri sull'insieme A con l'operazione (?
Compito 1.1.4. Sull'insieme N definiamo un'operazione unaria, assumendo per any. Scopri se le affermazioni degli assiomi di Peano formulate in termini di operazione saranno vere in N.
Problema 1.1.5. Lascia stare. Dimostrare che A è chiuso rispetto all'operazione (. Verificare la verità degli assiomi di Peano sull'insieme A con l'operazione (.
Problema 1.1.6. Lascia stare, . Definiamo un'operazione unaria su A, impostazione. Quali degli assiomi di Peano sono veri sull'insieme A con l'operazione?

1.2. Coerenza e categoricità del sistema assioma di Peano.

Un sistema di assiomi è detto coerente se dai suoi assiomi è impossibile dimostrare il teorema T e la sua negazione (T. È chiaro che i sistemi di assiomi contraddittori non hanno significato in matematica, perché in una tale teoria si può dimostrare qualsiasi cosa e tale la teoria non riflette le leggi del mondo reale Pertanto, la coerenza del sistema di assiomi è un requisito assolutamente necessario.
Se il teorema T e le sue negazioni (T) non si trovano in una teoria assiomatica, ciò non significa che il sistema di assiomi sia coerente; tali teorie potrebbero apparire in futuro. Pertanto, la coerenza del sistema di assiomi deve essere dimostrata Il modo più comune per dimostrare la coerenza è il metodo dell'interpretazione, basato sul fatto che se esiste un'interpretazione del sistema di assiomi in una teoria S ovviamente coerente, allora il sistema di assiomi stesso è coerente. Infatti, se il sistema di assiomi fosse incoerente, allora i teoremi T e (T) sarebbero dimostrabili in essa, ma allora questi teoremi sarebbero validi e nella sua interpretazione, e questo contraddice la coerenza della teoria S. Il metodo di interpretazione consente di dimostrare solo la coerenza relativa della teoria. .
Si possono costruire molte interpretazioni diverse per il sistema assioma di Peano. La teoria degli insiemi è particolarmente ricca di interpretazioni. Indichiamo una di queste interpretazioni. Considereremo gli insiemi (, ((), ((()), (((())),... come numeri naturali; considereremo lo zero come un numero speciale (. La relazione “segue” sarà essere interpretato come segue: l'insieme M è seguito dall'insieme (M), il cui unico elemento è M stesso. Pertanto, ("=((), (()"=((()), ecc. La fattibilità di gli assiomi 1-4 possono essere facilmente verificati. Tuttavia, l'efficacia di tale interpretazione è piccola: mostra che il sistema di assiomi di Peano è coerente se la teoria degli insiemi è coerente. Ma dimostrare la coerenza del sistema di assiomi della teoria degli insiemi è ancora più difficile. compito L'interpretazione più convincente del sistema assioma di Peano è l'aritmetica intuitiva, la cui coerenza è confermata da secoli del suo sviluppo.
Un sistema coerente di assiomi si dice indipendente se ogni assioma di questo sistema non può essere dimostrato come teorema sulla base di altri assiomi. Per dimostrare che l’assioma (non dipende da altri assiomi del sistema
(1, (2, ..., (n, ((1)
è sufficiente dimostrare che il sistema di assiomi è coerente
(1, (2, ..., (n, (((2)
Infatti, se (fosse dimostrato sulla base dei restanti assiomi del sistema (1), allora il sistema (2) sarebbe contraddittorio, poiché in esso il teorema (e assioma ((.
Quindi, per dimostrare l'indipendenza dell'assioma (dagli altri assiomi del sistema (1), è sufficiente costruire un'interpretazione del sistema di assiomi (2).
L'indipendenza del sistema assioma è un requisito facoltativo. A volte, per evitare di dimostrare teoremi “difficili”, viene costruito un sistema di assiomi deliberatamente ridondante (dipendente). Tuttavia, gli assiomi “extra” rendono difficile studiare il ruolo degli assiomi nella teoria, così come le connessioni logiche interne tra le diverse sezioni della teoria. Inoltre, costruire interpretazioni per sistemi di assiomi dipendenti è molto più difficile che per sistemi indipendenti; Dopotutto, dobbiamo verificare la validità degli assiomi “extra”. Per questi motivi, fin dall'antichità, la questione della dipendenza tra assiomi ha avuto un'importanza fondamentale. Un tempo, i tentativi di dimostrare che il postulato 5 negli assiomi di Euclide "C'è al massimo una linea che passa per il punto A parallela alla linea ("" è un teorema (cioè dipende dagli assiomi rimanenti) e hanno portato alla scoperta di Lobachevskij geometria.
Un sistema coerente è detto deduttivamente completo se qualsiasi proposizione A di una data teoria può essere dimostrata o confutata, cioè A o (A è un teorema di questa teoria. Se esiste una proposizione che non può né essere dimostrata né confutata, allora il sistema di assiomi è chiamato deduttivamente incompleto. Anche la completezza deduttiva non è un requisito obbligatorio. Ad esempio, il sistema di assiomi della teoria dei gruppi, della teoria degli anelli e della teoria dei campi sono incompleti poiché esistono gruppi, anelli, sia finiti che infiniti; campi, è impossibile dimostrare o confutare una proposizione in queste teorie: "Un gruppo (anello, campo) contiene un numero finito di elementi".
Va notato che in molte teorie assiomatiche (cioè in quelle non formalizzate), l'insieme delle proposizioni non può essere considerato definito con precisione e quindi è impossibile dimostrare la completezza deduttiva del sistema assioma di una tale teoria. Un altro senso di completezza è chiamato categoricità. Un sistema di assiomi è detto categorico se due qualsiasi delle sue interpretazioni sono isomorfe, cioè esiste una corrispondenza biunivoca tra gli insiemi di oggetti iniziali dell'una e dell'altra interpretazione che è preservata in tutte le relazioni iniziali. Anche la categoricità è una condizione facoltativa. Ad esempio, il sistema di assiomi della teoria dei gruppi non è categorico. Ciò deriva dal fatto che un gruppo finito non può essere isomorfo a un gruppo infinito. Tuttavia, quando si assiomatizza la teoria di qualsiasi sistema numerico, la categoricità è obbligatoria; ad esempio, la natura categorica del sistema di assiomi che definiscono i numeri naturali fa sì che, fino all'isomorfismo, esiste una sola serie naturale.
Dimostriamo la natura categoriale del sistema assiomatico di Peano. Siano (N1, s1, 01) e (N2, s2, 02) due interpretazioni qualsiasi del sistema di assiomi di Peano. È necessario indicare una mappatura biiettiva (uno a uno) f:N1®N2 per la quale sono soddisfatte le seguenti condizioni:
a) f(s1(x)=s2(f(x)) per qualsiasi x da N1;
b) f(01)=02
Se entrambe le operazioni unarie s1 e s2 sono denotate dallo stesso numero primo, allora la condizione a) verrà riscritta come
a) f(x()=f(x)(.
Definiamo una relazione binaria f sull'insieme N1(N2) mediante le seguenti condizioni:
1) 01f02;
2) se xfy, allora x(fy(.
Assicuriamoci che questa relazione sia una mappatura da N1 a N2, cioè per ogni x da N1
(((y(N2) xfy (1)
Sia M1 l'insieme di tutti gli elementi x di N1 per i quali è soddisfatta la condizione (1). Poi
A) 01(M1 a causa di 1);
B) x(M1 ® x((M1 in virtù di 2) e proprietà 1 del paragrafo 1.
Da qui, secondo l'assioma 4, concludiamo che M1=N1, e ciò significa che la relazione f è una mappatura di N1 in N2. Inoltre da 1) segue che f(01)=02. La condizione 2) è scritta nella forma: se f(x)=y, allora f(x()=y(. Ne consegue che f(x()=f(x)(). Pertanto, per visualizzare la condizione f a ) eb) sono soddisfatte. Resta da dimostrare che l'applicazione f è biiettiva.
Indichiamo con M2 l'insieme di quegli elementi di N2, ciascuno dei quali è immagine di uno e un solo elemento di N1 sotto la mappatura f.
Poiché f(01)=02, allora 02 è un'immagine. Inoltre, se x(N2 e x(01), allora per la proprietà 1 dell'elemento 1 x segue un elemento c di N1 e quindi f(x)=f(c()=f(c)((02. Ciò significa 02 è immagine dell'unico elemento 01, cioè 02(M2.
Sia inoltre y(M2 e y=f(x), dove x è l'unica immagine inversa dell'elemento y. Quindi, per la condizione a) y(=f(x)(=f(x()), cioè, y(è l'immagine dell'elemento x (. Sia c una qualsiasi immagine inversa dell'elemento y(, cioè f(c)=y(. Poiché y((02, allora c(01 e per c è il precedente elemento, che indichiamo con d. Allora y(=f( c)=f(d()=f(d)(), da cui con l'assioma 3 y=f(d). Ma poiché y(M2, allora d= x, da cui c=d(=x(. Abbiamo dimostrato che se y è l'immagine di un elemento unico, allora y(è l'immagine di un elemento unico, cioè y(M2 ® y((M2. Entrambi sono soddisfatte le condizioni dell'assioma 4 e, quindi, M2=N2, che completa la dimostrazione di categoricità.
Tutta la matematica pregreca era di natura empirica. I singoli elementi della teoria furono annegati nella massa di metodi empirici per risolvere problemi pratici. I greci sottoponevano questo materiale empirico a un'elaborazione logica e cercavano di trovare connessioni tra varie informazioni empiriche. In questo senso Pitagora e la sua scuola (V secolo a.C.) giocarono un ruolo importante nella geometria. Le idee del metodo assiomatico furono chiaramente ascoltate nelle opere di Aristotele (IV secolo a.C.). Tuttavia, l'attuazione pratica di queste idee fu effettuata da Euclide nei suoi Elementi (III secolo a.C.).
Attualmente si possono distinguere tre forme di teorie assiomatiche.
1). Un'assiomatica significativa, che fu l'unica fino alla metà del secolo scorso.
2). Assiomatica semiformale nata nell'ultimo quarto del secolo scorso.
3). Assiomatica formale (o formalizzata), la cui data di nascita può essere considerata il 1904, quando D. Hilbert pubblicò il suo famoso programma sui principi di base della matematica formalizzata.
Ogni nuova forma non nega la precedente, ma ne è lo sviluppo e il chiarimento, così che il livello di rigore di ogni nuova forma è superiore a quello della precedente.
L'assiomatica intensiva è caratterizzata dal fatto che i concetti iniziali hanno un significato intuitivamente chiaro anche prima che gli assiomi siano formulati. Quindi, negli Elementi di Euclide, un punto significa esattamente ciò che intuitivamente intendiamo con questo concetto. In questo caso vengono utilizzati il ​​linguaggio ordinario e la logica intuitiva ordinaria, risalenti ad Aristotele.
Le teorie assiomatiche semiformali utilizzano anche il linguaggio ordinario e la logica intuitiva. Tuttavia, a differenza dell'assiomatica significativa, ai concetti originali non viene attribuito alcun significato intuitivo e sono caratterizzati solo da assiomi. Ciò aumenta il rigore, poiché l’intuizione in una certa misura interferisce con il rigore. Inoltre, si acquisisce la generalità perché ogni teorema dimostrato in tale teoria sarà valido in qualsiasi interpretazione. Un esempio di teoria assiomatica semiformale è la teoria di Hilbert, esposta nel suo libro “Fondamenti della geometria” (1899). Esempi di teorie semiformali sono anche la teoria degli anelli e una serie di altre teorie presentate in un corso di algebra.
Un esempio di teoria formalizzata è il calcolo proposizionale, studiato in un corso di logica matematica. A differenza dell’assiomatica sostanziale e semiformale, la teoria formalizzata utilizza uno speciale linguaggio simbolico. Vale a dire, viene fornito l'alfabeto della teoria, cioè un certo insieme di simboli che svolgono lo stesso ruolo delle lettere nel linguaggio comune. Qualsiasi sequenza finita di caratteri è chiamata espressione o parola. Tra le espressioni si distingue una classe di formule e si indica un criterio esatto che permette a ciascuna espressione di scoprire se si tratta di una formula. Le formule svolgono lo stesso ruolo delle frasi nel linguaggio comune. Alcune formule sono assiomi dichiarati. Inoltre vengono specificate le regole di inferenza logica; Ciascuna di queste regole significa che una determinata formula deriva direttamente da un determinato insieme di formule. La dimostrazione del teorema stesso è una catena finita di formule, in cui l'ultima formula è il teorema stesso e ciascuna formula è un assioma, o un teorema precedentemente dimostrato, oppure segue direttamente dalle formule precedenti della catena secondo uno dei le regole di inferenza. Pertanto, non vi è assolutamente alcun dubbio sul rigore delle prove: o una data catena è una prova oppure non lo è; A questo proposito, l'assiomatica formalizzata viene utilizzata in questioni particolarmente sottili di fondatezza delle teorie matematiche, quando la logica intuitiva ordinaria può portare a conclusioni errate, che si verificano principalmente a causa delle imprecisioni e delle ambiguità del nostro linguaggio ordinario.
Poiché in una teoria formalizzata si può dire di ciascuna espressione se si tratta di una formula, allora l'insieme delle frasi di una teoria formalizzata può essere considerato definito. A questo proposito si può, in linea di principio, sollevare la questione di dimostrare la completezza deduttiva, nonché di dimostrare la coerenza, senza ricorrere all’interpretazione. In alcuni casi semplici ciò può essere ottenuto. Ad esempio, la coerenza del calcolo proposizionale è dimostrata senza interpretazione.
Nelle teorie non formalizzate, molte proposizioni non sono chiaramente definite, quindi è inutile sollevare la questione della dimostrazione della coerenza senza ricorrere a interpretazioni. Lo stesso vale per la questione della dimostrazione della completezza deduttiva. Tuttavia, se si incontra una proposta di una teoria non formalizzata che non può essere né provata né confutata, allora la teoria è ovviamente deduttivamente incompleta.
Il metodo assiomatico è stato a lungo utilizzato non solo in matematica, ma anche in fisica. I primi tentativi in ​​questa direzione furono fatti da Aristotele, ma il metodo assiomatico trovò la sua reale applicazione in fisica solo nei lavori di Newton sulla meccanica.
In connessione con il rapido processo di matematizzazione delle scienze, esiste anche un processo di assiomatizzazione. Attualmente il metodo assiomatico viene utilizzato anche in alcuni settori della biologia, ad esempio nella genetica.
Tuttavia le possibilità del metodo assiomatico non sono illimitate.
Innanzitutto notiamo che anche nelle teorie formalizzate non è possibile evitare completamente l'intuizione. La stessa teoria formalizzata senza interpretazioni non ha significato. Pertanto, sorgono numerose domande sulla relazione tra una teoria formalizzata e la sua interpretazione. Inoltre, come nelle teorie formalizzate, vengono sollevate domande sulla coerenza, indipendenza e completezza del sistema di assiomi. L'insieme di tutte queste domande costituisce il contenuto di un'altra teoria, chiamata metateoria di una teoria formalizzata. A differenza della teoria formalizzata, il linguaggio della metateoria è il linguaggio quotidiano ordinario e il ragionamento logico viene effettuato secondo le regole della logica intuitiva ordinaria. Così l'intuizione, completamente espulsa dalla teoria formalizzata, riappare nella sua metateoria.
Ma non è questo il principale punto debole del metodo assiomatico. Abbiamo già accennato al programma di D. Hilbert, che pose le basi per il metodo assiomatico formalizzato. L'idea principale di Hilbert era quella di esprimere la matematica classica come una teoria assiomatica formalizzata e quindi dimostrarne la coerenza. Tuttavia, questo programma nei suoi punti principali si è rivelato utopico. Nel 1931 il matematico austriaco K. Gödel dimostrò i suoi famosi teoremi, dai quali ne conseguiva che entrambi i problemi principali posti da Hilbert erano impossibili. Utilizzando il suo metodo di codifica, è riuscito a esprimere alcuni presupposti veri della metateoria utilizzando formule di aritmetica formale e a dimostrare che queste formule non sono deducibili nell'aritmetica formale. Pertanto, l’aritmetica formalizzata si è rivelata deduttivamente incompleta. Dai risultati di Gödel ne consegue che se questa formula indimostrabile è inclusa nel numero degli assiomi, allora ci sarà un'altra formula indimostrabile che esprime una proposizione vera. Tutto ciò significava che non solo tutta la matematica, ma anche l'aritmetica, la sua parte più semplice, non poteva essere completamente formalizzata. In particolare, Gödel costruì una formula corrispondente alla frase “L'aritmetica formalizzata è coerente” e dimostrò che anche questa formula non è derivabile. Questo fatto significa che la coerenza dell'aritmetica formalizzata non può essere dimostrata all'interno dell'aritmetica stessa. Naturalmente, è possibile costruire una teoria formalizzata più forte e usarne i mezzi per dimostrare la coerenza dell’aritmetica formalizzata, ma allora sorge una domanda più difficile sulla coerenza di questa nuova teoria.
I risultati di Gödel indicano i limiti del metodo assiomatico. Eppure, nella teoria della conoscenza, non vi è assolutamente alcuna base per conclusioni pessimistiche secondo cui esistono verità inconoscibili. Il fatto che esistano verità aritmetiche che non possono essere dimostrate nell’aritmetica formale non significa che esistano verità inconoscibili e non significa che il pensiero umano sia limitato. Significa solo che le possibilità del nostro pensiero non si limitano a procedure completamente formalizzate e che l’umanità deve ancora scoprire e inventare nuovi principi di prova.

1.3.Addizione di numeri naturali

Le operazioni di addizione e moltiplicazione dei numeri naturali non sono postulate dal sistema di assiomi di Peano che definiremo tali operazioni;
Definizione. L'addizione dei numeri naturali è un'operazione algebrica binaria + sull'insieme N, che gode delle seguenti proprietà:
1 secondo ((a(N)a+0=a;
2c. ((a,b(N) a+b(=(a+b)(.
La domanda sorge spontanea: esiste un'operazione del genere e, in tal caso, è l'unica?
Teorema. C'è solo una addizione di numeri naturali.
Prova. Un'operazione algebrica binaria sull'insieme N è l'applicazione (:N(N®N. Occorre dimostrare che esiste un'unica applicazione (:N(N®N) con proprietà: 1) ((x(N) ( (x,0)=x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y)(). Se per ogni numero naturale x dimostriamo l'esistenza di una mappatura fx:N®N con proprietà 1() fx(0 )=x; 2() fx(y()=fx(y)(), quindi la funzione ((x,y), definita dall'uguaglianza ((x ,y) (fx(y), soddisferà le condizioni 1) e 2 ).
Sull'insieme N definiamo la relazione binaria fx mediante le condizioni:
a) 0fxx;
b) se yfxz, allora y(fxz(.
Assicuriamoci che questa relazione sia una mappatura da N a N, cioè per ogni y da N
(((z(N) yfxz (1)
Sia M l'insieme dei numeri naturali y per i quali è soddisfatta la condizione (1). Allora dalla condizione a) segue che 0(M, e dalla condizione b) e dalla proprietà 1 della clausola 1 segue che se y(M, allora y((M. Quindi, in base all'assioma 4, concludiamo che M = N , e questo significa che la relazione fx è una mappatura da N a N. Per questa mappatura sono soddisfatte le seguenti condizioni:
1() fx(0)=x - a causa di a);
2() fx((y)=fx(y() - in virtù di b).
Pertanto l’esistenza dell’addizione è dimostrata.
Dimostriamo l'unicità. Siano + e ( due operazioni algebriche binarie qualsiasi sull'insieme N con proprietà 1c e 2c. Dobbiamo dimostrarlo
((x,y(N)x+y=x(y
Fissiamo un numero arbitrario x e indichiamo con S l'insieme di quei numeri naturali y per i quali vale l'uguaglianza
x+y=x(y (2)
eseguita. Poiché secondo 1c x+0=x e x(0=x, allora
A) 0(S
Sia ora y(S, cioè l'uguaglianza (2) è soddisfatta. Poiché x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y)(and x+y=x(y), allora per l’assioma 2 x+y(=x(y(, cioè la condizione è soddisfatta
B) y(S ® y((S.
Quindi, secondo l'assioma 4, S=N, che completa la dimostrazione del teorema.
Dimostriamo alcune proprietà dell’addizione.
1. Il numero 0 è un elemento neutro dell'addizione, cioè a+0=0+a=a per ogni numero naturale a.
Prova. L'uguaglianza a+0=a segue dalla condizione 1c. Dimostriamo l'uguaglianza 0+a=a.
Sia M l'insieme di tutti i numeri per cui vale. Ovviamente, 0+0=0 e quindi 0(M. Sia a(M, cioè 0+a=a. Allora 0+a(=(0+a)(=a(e, quindi, a((M Ciò significa M=N, che è ciò che doveva essere dimostrato.
Successivamente abbiamo bisogno di un lemma.
Lemma. a(+b=(a+b)(.
Prova. Sia M l'insieme di tutti i numeri naturali b per i quali l'uguaglianza a(+b=(a+b) è vera per qualsiasi valore di a. Allora:
A) 0(M, poiché a(+0=(a+0)(;
B) b(M ® b((M. Infatti, dal fatto che b(M e 2c, abbiamo
a(+b(=(a(+b)(=((a+b)()(=(a+b())(,
cioè b((M. Ciò significa M=N, che è ciò che doveva essere dimostrato.
2. L'addizione dei numeri naturali è commutativa.
Prova. Sia M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a). Basta dimostrare che M=N. Abbiamo:
A) 0(M - dovuto alla proprietà 1.
B) a(M ® a((M. Infatti, applicando il lemma e il fatto che a(M, otteniamo:
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.
Ciò significa a((M, e per l'assioma 4 M=N.
3. L'addizione è associativa.
Prova. Permettere
M=(c(c(N(((a,b(N)(a+b)+c=a+(b+c))
Occorre dimostrare che M=N. Poiché (a+b)+0=a+b e a+(b+0)=a+b, allora 0(M. Sia c(M, cioè (a+b)+c=a+(b+c ) . Poi
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c().
Ciò significa c((M e per l'assioma 4 M=N.
4. a+1=a(, dove 1=0(.
Prova. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Se b(0, allora ((a(N)a+b(a.
Prova. Sia M=(a(a(N(a+b(a). Poiché 0+b=b(0, allora 0(M. Inoltre, se a(M, cioè a+b(a), allora per proprietà 2 elemento 1 (a+b)((a(o a(+b(a(. Quindi a((M e M=N.
6. Se b(0, allora ((a(N)a+b(0.
Prova. Se a=0, allora 0+b=b(0, ma se a(0 e a=c(, allora a+b=c(+b=(c+b)(0. Quindi, in ogni caso a + b(0.
7. (Legge della tricotomia dell'addizione). Per ogni numero naturale aeb vale una e una sola delle tre relazioni:
1) a=b;
2) b=a+u, dove u(0;
3) a=b+v, dove v(0.
Prova. Fissiamo un numero arbitrario a e indichiamo con M l'insieme di tutti i numeri naturali b per i quali vale almeno una delle relazioni 1), 2), 3). Occorre dimostrare che M=N. Sia b=0. Allora se a=0, allora la relazione 1 è vera), e se a(0, allora la relazione 3 è vera), poiché a=0+a. Quindi 0(M.
Supponiamo ora che sia soddisfatta b(M, cioè per l'a prescelto, una delle relazioni 1), 2), 3). Se a=b, allora b(=a(=a+1, cioè per b(vale la relazione 2). Se b=a+u, allora b(=a+u(, cioè per b( la relazione 2). Se a=b+v, allora sono possibili due casi: v=1 e v(1. Se v=1, allora a=b+v=b", cioè per b" le relazioni 1 sono soddisfatto lo stesso v(1, quindi v=c", dove c(0 e quindi a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, dove c(0, cioè per b" è soddisfatta la relazione 3). Abbiamo quindi dimostrato che b(M®b"(M, e quindi M=N, cioè per ogni a e b almeno una delle relazioni 1), 2), 3 è soddisfatto). Assicuriamoci che non possano essere soddisfatte due di esse contemporaneamente Infatti: se le relazioni 1) e 2) fossero soddisfatte, allora avrebbero b=b+u, dove u(0, e questo contraddice la proprietà 5. L'impossibilità di soddisfacibilità di 1) e viene verificata in modo simile 3). Infine, se le relazioni 2) e 3) fossero soddisfatte, allora avremmo a=(a+u)+v = a+ +(u+v). ), e questo è impossibile a causa delle proprietà 5 e 6. La proprietà 7 è completamente dimostrata.
Compito 1.3.1. Sia 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9). Dimostrare che 3+5=8, 2+4=6.

1.4. MOLTIPLICAZIONE DEI NUMERI NATURALI.

Definizione 1. La moltiplicazione dei numeri naturali è un'operazione binaria (sull'insieme N, per la quale sono soddisfatte le seguenti condizioni:
1 y. ((x(N)x(0=0;
2u. ((x,y(N)x(y"=x(y+x.
La domanda si pone nuovamente: esiste un'operazione del genere e, se esiste, è l'unica?
Teorema. Esiste una sola operazione per moltiplicare i numeri naturali.
La dimostrazione si svolge quasi allo stesso modo dell’addizione. È necessario trovare una mappatura (:N(N®N) che soddisfi le condizioni
1) ((x(N) ((x,0)=0;
2) ((x,y(N) ((x,y")= ((x,y)+x.
Fissiamo arbitrariamente il numero x. Se proviamo per ogni x(N l’esistenza di un mapping fx:N®N con le proprietà
1")fx(0)=0;
2") ((y(N) fx(y")=fx(y)+x,
allora la funzione ((x,y) definita dall'uguaglianza ((x,y)=fx(y) soddisferà le condizioni 1) e 2).
La dimostrazione del teorema si riduce quindi a dimostrare l'esistenza e l'unicità per ogni x della funzione fx(y) con proprietà 1") e 2"). Stabiliamo la corrispondenza sull'insieme N secondo la seguente regola:
a) il numero zero è paragonabile al numero 0,
b) se il numero y è associato al numero c, allora il numero y (associare il numero c+x.
Assicuriamoci che con tale confronto ogni numero y abbia un'immagine unica: ciò significherà che la corrispondenza è una mappatura di N in N. Indichiamo con M l'insieme di tutti i numeri naturali y che hanno un'immagine unica. Dalla condizione a) e dall'assioma 1 segue che 0(M. Sia y(M. Quindi dalla condizione b) e dall'assioma 2 segue che y((M. Ciò significa M=N, cioè la nostra corrispondenza è una mappatura N in N ; denotiamolo con fx. Allora fx(0)=0 a causa della condizione a) e fx(y()=fx(y)+x - a causa della condizione b).
Quindi l’esistenza dell’operazione di moltiplicazione è dimostrata. Ora siano (and ( due operazioni binarie qualsiasi sull'insieme N con proprietà 1у e 2у. Resta da dimostrare che ((x,y(N) x(y=x(y. Fissiamo un numero arbitrario x e sia
S=(y?y(N (x(y=x(y)
Poiché in virtù di 1y x(0=0 e x(0=0, allora 0(S. Sia y(S, cioè x(y=x(y. Allora
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y(
e, quindi, y((S. Ciò significa S=N, che completa la dimostrazione del teorema.
Notiamo alcune proprietà della moltiplicazione.
1. L'elemento neutro rispetto alla moltiplicazione è il numero 1=0(, cioè ((a(N) a(1=1(a=a.
Prova. a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a. Pertanto, l'uguaglianza a(1=a è dimostrata. Resta da dimostrare l'uguaglianza 1(a=a. Sia M=(a ?a(N (1(a=a). Poiché 1(0=0, allora 0(M. Sia a(M, cioè 1(a=a. Allora 1(a(=1(a+1= a+1= a(, e, quindi, a((M. Ciò significa, per l'assioma 4, M=N, che è ciò che doveva essere dimostrato.
2. Per la moltiplicazione vale cioè la retta legge distributiva
((a,b,c(N) (a+b)c=ac+bc.
Prova. Sia M=(c (c(N (((a,b(N) (a+b)c=ac+bc). Poiché (a+b)0=0 e a(0+b(0=0 , allora 0(M. Se c(M, cioè (a+b)c=ac+bc, allora (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc + a+b=(ac+a)+(bc+b)=ac(+bc(. Quindi, c((M e M=N.
3. La moltiplicazione dei numeri naturali è commutativa, cioè ((a,b(N) ab=ba.
Prova. Dimostriamo prima per ogni b(N l'uguaglianza 0(b=b(0=0. L'uguaglianza b(0=0 segue dalla condizione 1y. Sia M=(b (b(N (0(b=0). Poiché 0( 0=0, allora 0(M. Se b(M, cioè 0(b=0, allora 0(b(=0(b+0=0 e, quindi, b((M. Quindi M =N, cioè l'uguaglianza 0(b=b(0 è stata dimostrata per ogni b(N. Sia inoltre S=(a (a(N (ab=ba). Poiché 0(b=b(0, allora 0(S. Sia a (S, cioè ab=ba. Allora a(b=(a+1)b=ab+b=ba+b=ba(, cioè a((S. Ciò significa S =N, che è ciò che doveva essere dimostrato.
4. La moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione. Questa proprietà segue dalle proprietà 3 e 4.
5. La moltiplicazione è associativa, cioè ((a,b,c(N) (ab)c=a(bc).
La dimostrazione si effettua, come per l'addizione, per induzione su c.
6. Se a(b=0, allora a=0 oppure b=0, cioè non ci sono divisori di zero in N.
Prova. Sia b(0 e b=c(. Se ab=0, allora ac(=ac+a=0, il che significa, in virtù della proprietà 6 della clausola 3, che a=0.
Compito 1.4.1. Sia 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9). Dimostrare che 2(4=8, 3(3=9.
Siano n, a1, a2,...,an numeri naturali. La somma dei numeri a1, a2,...,an è un numero indicato e determinato dalle condizioni; per qualsiasi numero naturale k
Il prodotto dei numeri a1, a2,...,an è un numero naturale, che è denotato e determinato dalle condizioni: ; per qualsiasi numero naturale k
Se, allora il numero è indicato con un.
Compito 1.4.2. Prova che
UN) ;
B) ;
V);
G) ;
D) ;
e) ;
E) ;
H) ;
E) .

1.5. ORDINE DEL SISTEMA DEI NUMERI NATURALI.

La relazione “segue” è antiriflessiva e antisimmetrica, ma non transitiva e quindi non è una relazione d'ordine. Definiremo una relazione d'ordine basata sull'addizione di numeri naturali.
Definizione 1. a
Definizione 2. a(b (((x(N) b=a+x.
Assicuriamoci che la relazione Notiamo alcune proprietà dei numeri naturali associate alle relazioni di uguaglianza e disuguaglianza.
1.
1.1 a=b (a+c=b+c.
1.2 a=b (ac=bc.
1.3a
1.4a
1.5 a+c=b+c (a=b.
1.6 ac=bc (c(0 (a=b.
1,7 a+c
1.8ac
1.9a
1.10a
Prova. Le proprietà 1.1 e 1.2 derivano dall'unicità delle operazioni di addizione e moltiplicazione. Se un
2. ((a(N)a
Prova. Poiché a(=a+1, allora a
3. L'elemento più piccolo di N è 0 e l'elemento più piccolo di N\(0) è il numero 1.
Prova. Poiché ((a(N) a=0+a, allora 0(a, e quindi 0 è l'elemento più piccolo di N. Inoltre, se x(N\(0), allora x=y(, y(N , o x=y+1. Ne consegue che ((x(N\(0)) 1(x, cioè 1 è l'elemento più piccolo in N\(0).
4. Relazione ((a,b(N)((n(N)b(0 (nb > a.
Prova. Ovviamente, per ogni numero naturale a esiste un numero naturale n tale che
a Tale numero è, ad esempio, n=a(. Inoltre, se b(N\(0), allora per la proprietà 3
1(b(2)
Dalle (1) e (2), in base alle proprietà 1.10 e 1.4, otteniamo aa.

1.6. ORDINE COMPLETO DEL SISTEMA DEI NUMERI NATURALI.

Definizione 1. Se ogni sottoinsieme non vuoto dell'insieme ordinato (M; Assicuriamoci che l'ordine completo sia lineare. Siano a e b due elementi qualsiasi dell'insieme completamente ordinato (M; Lemma . 1)a
Prova.
1) a((b (b=a(+k, k(N (b=a+k(, k((N\(0) (a
2) a(b (b=a+k, k(N (b(=a+k(, k((N\(0) (a
Teorema 1. L'ordine naturale sull'insieme dei numeri naturali è l'ordine totale.
Prova. Sia M un qualsiasi insieme non vuoto di numeri naturali e S l'insieme dei suoi limiti inferiori in N, ovvero S=(x (x(N (((m(M) x(m). Dalla proprietà 3 del comma 5 ne consegue che 0(S. Se fosse soddisfatta anche la seconda condizione dell'assioma 4 n(S (n((S)), allora avremmo S=N. Infatti S(N; cioè se a( M, allora a((S a causa della disuguaglianza a
Teorema 2. Qualsiasi insieme non vuoto di numeri naturali limitato sopra ha un elemento massimo.
Prova. Sia M un qualsiasi insieme non vuoto di numeri naturali limitato superiormente, e S l'insieme dei suoi limiti superiori, cioè S=(x(x(N (((m(M) m(x). Sia x0 elemento più piccolo in S. Allora la disuguaglianza m(x0 vale per tutti i numeri m da M, e la disuguaglianza rigorosa m
Compito 1.6.1. Prova che
UN) ;
B) ;
V).
Problema 1.6.2. Sia ( una proprietà dei numeri naturali e k sia un numero naturale arbitrario. Dimostralo
a) qualsiasi numero naturale ha la proprietà (, appena 0 ha questa proprietà per ogni n (0
b) qualsiasi numero naturale maggiore o uguale a k ha la proprietà (, appena k ha questa proprietà e per ogni n (k(n) dall'assunto che n ha la proprietà (, ne consegue che il numero n+1 ha anche questa proprietà;
c) qualsiasi numero naturale maggiore o uguale a k ha la proprietà (, appena k ha questa proprietà e per ogni n (n>k) assumendo che tutti i numeri t definiti dalla condizione k(t

1.7. PRINCIPIO DI INDUZIONE.

Utilizzando l'ordinamento completo del sistema dei numeri naturali, si può dimostrare il seguente teorema, su cui si basa uno dei metodi di dimostrazione, chiamato metodo di induzione matematica.
Teorema (principio di induzione). Tutte le affermazioni della sequenza A1, A2, ..., An, ... sono vere se sono soddisfatte le seguenti condizioni:
1) l'affermazione A1 è vera;
2) se le affermazioni Ak sono vere per k
Prova. Supponiamo il contrario: le condizioni 1) e 2) sono soddisfatte, ma il teorema non è vero, cioè l'insieme M=(m(m(N\(0), Am è falso) non è vuoto). Teorema 1 della clausola 6, esiste un elemento più piccolo, che indichiamo con n Poiché secondo la condizione 1) A1 è vero e An è falso, allora 1(n, e quindi 1
Nella dimostrazione per induzione si possono distinguere due fasi. Nella prima fase, detta base di induzione, viene verificata la fattibilità della condizione 1). Nella seconda fase, detta passo di induzione, si dimostra la soddisfacibilità della condizione 2). In questo caso, molto spesso ci sono casi in cui per dimostrare la verità delle affermazioni An non è necessario utilizzare la verità delle affermazioni Ak per k
Esempio. Dimostrare la disuguaglianza Put =Sk. Occorre dimostrare la verità delle affermazioni Ak=(Sk La sequenza di affermazioni di cui al Teorema 1 si può ottenere dal predicato A(n) definito sull'insieme N o sul suo sottoinsieme Nk=(x (x(N , x(k), dove k è un numero naturale qualsiasi fisso.
In particolare, se k=1, allora N1=N\(0), e la numerazione delle istruzioni può essere effettuata utilizzando le uguaglianze A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A (n), ... Se k(1, allora la sequenza di affermazioni può essere ottenuta utilizzando le uguaglianze A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n -1), .. Secondo tale notazione, il Teorema 1 può essere formulato in altra forma.
Teorema 2. Il predicato A(m) è identicamente vero sull'insieme Nk se sono soddisfatte le seguenti condizioni:
1) l'affermazione A(k) è vera;
2) se le affermazioni A(m) sono vere per m
Compito 1.7.1. Dimostrare che le seguenti equazioni non hanno soluzioni nel dominio dei numeri naturali:
a) x+y=1;
b) 3x=2;
c)x2=2;
d) 3x+2=4;
e)x2+y2=6;
f) 2x+1=2y.
Compito 1.7.2. Dimostrare utilizzando il principio di induzione matematica:
a) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
B) ;
V);
G) ;
D) ;
e).

1.8. SOTTRAZIONE E DIVISIONE DEI NUMERI NATURALI.

Definizione 1. La differenza dei numeri naturali aeb è un numero naturale x tale che b+x=a. La differenza tra i numeri naturali a e b è indicata con a-b e l'operazione per trovare la differenza è chiamata sottrazione. La sottrazione non è un'operazione algebrica. Ciò segue dal seguente teorema.
Teorema 1. La differenza a-b esiste se e solo se b(a. Se la differenza esiste, allora ce n'è solo una.
Prova. Se b(a, allora per definizione della relazione (esiste un numero naturale x tale che b+x=a. Ma questo significa anche che x=a-b. Viceversa, se esiste la differenza a-b, allora per definizione 1 c'è a numero naturale x, che b+x=a. Ma questo significa anche che b(a.
Dimostriamo l’unicità della differenza a-b. Sia a-b=x e a-b=y. Allora secondo la Definizione 1 b+x=a, b+y=a. Quindi b+x=b+y e, quindi, x=y.
Definizione 2. Il quoziente di due numeri naturali aeb(0) è un numero naturale c tale che a=bc L'operazione per trovare un quoziente è chiamata divisione. La questione dell'esistenza di un quoziente è risolta nella teoria di divisibilità.
Teorema 2. Se esiste un quoziente, allora ce n'è solo uno.
Prova. Siano =x e =y. Quindi secondo la Definizione 2 a=bx e a=by. Quindi bx=by e quindi x=y.
Si noti che le operazioni di sottrazione e divisione sono definite quasi parola per parola allo stesso modo dei libri di testo scolastici. Ciò significa che nei paragrafi 1-7, sulla base degli assiomi di Peano, viene posta una solida base teorica per l'aritmetica dei numeri naturali e la sua ulteriore presentazione viene svolta in modo coerente nel corso di matematica scolastica e nel corso universitario “Algebra e teoria dei numeri” .
Compito 1.8.1. Dimostrare la validità delle seguenti affermazioni, assumendo che esistano tutte le differenze che appaiono nelle loro formulazioni:
a) (a-b)+c=(a+c)-b;
b) (a-b)(c=a(c-b(c;
c) (a+b)-(c+b)=a-c;
d) a-(b+c)=(a-b)-c;
e) (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d);
e) (a-b)-(c-d)=a-c;
g) (a+b)-(b-c)=a+c;
h) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
i) a-(b-c)=(a+c)-b;
j) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
k) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
m) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
m) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
o) a2-b2=(a-b)(a+b).
Problema 1.8.2. Dimostrare la validità delle seguenti affermazioni, assumendo che esistano tutti i quozienti che compaiono nelle loro formulazioni.
UN) ; B) ; V); G) ; D) ; e) ; E) ; H) ; E) ; A) ; l) ; M) ; N) ; O) ; P) ; R) .
Problema 1.8.3. Dimostrare che le seguenti equazioni non possono avere due soluzioni naturali diverse: a) ax2+bx=c (a,b,c(N); b) x2=ax+b (a,b(N); c) 2x=ax2 + b(a,b(N).
Problema 1.8.4. Risolvi le seguenti equazioni in numeri naturali:
a) x2+(x+1)2=(x+2)2; b) x+y=x(y; c) ; d)x2+2y2=12; e) x2-y2=3; e) x+y+z=x(y(z.
Problema 1.8.5. Dimostrare che le seguenti equazioni non hanno soluzioni nel campo dei numeri naturali: a) x2-y2=14; b) xy=xy; V); G) ; e)x2=2x+1; e)x2=2y2.
Problema 1.8.6. Risolvi le seguenti disuguaglianze nei numeri naturali: a) ; B) ; V); d) x+y2 Problema 1.8.7. Dimostrare che nel campo dei numeri naturali valgono le seguenti relazioni: a) 2ab(a2+b2; b) ab+bc+ac(a2+b2+c2; c) c2=a2+b2 (a2+b2+c2 1.9 SIGNIFICATO QUANTITATIVO NUMERI NATURALI.
In pratica, i numeri naturali vengono utilizzati principalmente per contare gli elementi, e per questo è necessario stabilire il significato quantitativo dei numeri naturali nella teoria di Peano.
Definizione 1. L'insieme (x (x(N, 1(x(n))) è chiamato segmento della serie naturale ed è indicato con (1;n(.
Definizione 2. Un insieme finito è qualsiasi insieme uguale a un certo segmento della serie naturale, nonché un insieme vuoto. Un insieme che non è finito si dice infinito.
Teorema 1. Un insieme finito A non è equivalente a nessuno dei suoi sottoinsiemi (cioè un sottoinsieme diverso da A).
Prova. Se A=(, allora il teorema è vero, poiché l'insieme vuoto non ha sottoinsiemi propri. Siano A((e A ugualmente potenti (1,n((A((1,n()). Dimostreremo il teorema per induzione su n. Se n= 1, cioè A((1,1(, allora l'unico sottoinsieme proprio dell'insieme A è l'insieme vuoto. È chiaro che A(e, quindi, per n=1 il teorema è vero. Supponiamo che il teorema sia vero per n=m, cioè tutti gli insiemi finiti equivalenti al segmento (1,m() non hanno sottoinsiemi propri equivalenti. Sia A un insieme qualsiasi uguale al segmento (1,m). +1(e (:(1,m+1(®A - una mappa biiettiva del segmento (1,m+1(in A. Se ((k) è indicato con ak, k=1,2,.. .,m+1, allora l'insieme A può essere scritto come A=(a1, a2, ... , am, am+1). Il nostro compito è dimostrare che A non ha sottoinsiemi uguali. siano B(A, B(A, B(A e f: A®B) una mappa biiettiva. Possiamo scegliere mappe biiettive in questo modo. (e f tale che am+1(B and f(am+1) =sono+1.
Consideriamo gli insiemi A1=A\(am+1) e B1=B\(am+1). Poiché f(am+1)=am+1, la funzione f effettuerà una mappatura biiettiva dell'insieme A1 sull'insieme B1. Pertanto l’insieme A1 sarà uguale al proprio sottoinsieme B1. Ma poiché A1((1,m(, ciò contraddice l’ipotesi di induzione.
Corollario 1. L'insieme dei numeri naturali è infinito.
Prova. Dagli assiomi di Peano segue che l'applicazione S:N®N\(0), S(x)=x( è biiettiva. Ciò significa che N è uguale al proprio sottoinsieme N\(0) e, in virtù del Teorema 1, non è finito.
Corollario 2. Ogni insieme finito non vuoto A è equivalente a uno e un solo segmento della serie naturale.
Prova. Sia A((1,m(e A((1,n(. Allora (1,m(((1,n(, da cui, per il Teorema 1, segue che m=n. Infatti, se assumiamo che M
Il Corollario 2 ci permette di introdurre una definizione.
Definizione 3. Se A((1,n(, il numero naturale n è chiamato il numero di elementi dell'insieme A e il processo di stabilire una corrispondenza biunivoca tra gli insiemi A e (1,n( si chiama conteggio degli elementi dell'insieme A. È naturale considerare il numero di elementi dell'insieme vuoto numero zero.
Non è necessario parlare dell’enorme importanza del contare nella vita pratica.
Si noti che, conoscendo il significato quantitativo di un numero naturale, sarebbe possibile definire l'operazione di moltiplicazione mediante addizione, ovvero:
.
Non abbiamo volutamente intrapreso questa strada per dimostrare che l'aritmetica stessa non ha bisogno di un senso quantitativo: il senso quantitativo di un numero naturale è necessario solo nelle applicazioni dell'aritmetica.

1.10. SISTEMA DEI NUMERI NATURALI COME INSIEME DISCRETO COMPLETAMENTE ORDINATO.

Abbiamo dimostrato che l'insieme dei numeri naturali è completamente ordinato rispetto all'ordine naturale. Inoltre, ((a(N) a
1. per ogni numero a(N esiste un vicino che lo segue nella relazione 2. per ogni numero a(N\(0) esiste un vicino che lo precede nella relazione A insieme completamente ordinato (A;() con le proprietà 1 e 2 chiameremo insieme discreto completamente ordinato. Risulta che l'ordinamento completo con proprietà 1 e 2 è una proprietà caratteristica del sistema dei numeri naturali. Infatti, sia A=(A;() un insieme completamente ordinato con proprietà 1 e 2. Definiamo la relazione “segue” sull'insieme A. come segue: a(=b, se b è un elemento vicino che segue a nella relazione (. È chiaro che l'elemento più piccolo dell'insieme A non segue alcun elemento e quindi l'assioma 1 di Peano è soddisfatto.
Poiché la relazione (è un ordine lineare, allora per ogni elemento a esiste un unico elemento che lo segue e al più un elemento vicino che lo precede. Ciò implica la validità degli assiomi 2 e 3. Sia ora M un sottoinsieme qualsiasi dell'insieme A per cui sono soddisfatte le seguenti condizioni:
1) a0(M, dove a0 è l'elemento più piccolo di A;
2) a(M (a((M.
Dimostriamo che M=N. Supponiamo il contrario, cioè A\M((. Indichiamo con b l'elemento più piccolo di A\M. Poiché a0(M, allora b(a0 e quindi esiste un elemento c tale che c( =b. Dal c
Quindi, abbiamo dimostrato la possibilità di un'altra definizione del sistema dei numeri naturali.
Definizione. Un sistema di numeri naturali è un qualsiasi insieme ben ordinato in cui sono soddisfatte le seguenti condizioni:
1. per ogni elemento c'è un elemento adiacente che lo segue;
2. per ogni elemento diverso da quello più piccolo, è preceduto da un elemento adiacente.
Esistono altri approcci per definire il sistema dei numeri naturali, sui quali non ci soffermeremo qui.

2. INTERI E NUMERI RAZIONALI.

2.1. DEFINIZIONE E PROPRIETÀ DEL SISTEMA DEGLI INTERI.
È noto che l'insieme dei numeri interi nella loro comprensione intuitiva è un anello rispetto all'addizione e alla moltiplicazione, e questo anello contiene tutti i numeri naturali. È anche chiaro che non esiste un sottoanello proprio nell'anello degli interi che contenga tutti i numeri naturali. Si scopre che queste proprietà possono essere utilizzate come base per una definizione rigorosa del sistema di numeri interi. Nei paragrafi 2.2 e 2.3 verrà dimostrata la correttezza di questa definizione.
Definizioni 1. Un sistema di numeri interi è un sistema algebrico per il quale sono soddisfatte le seguenti condizioni:
1. Il sistema algebrico è un anello;
2. L'insieme dei numeri naturali è contenuto e l'addizione e la moltiplicazione in un anello su un sottoinsieme coincidono con l'addizione e la moltiplicazione dei numeri naturali, cioè
3. (condizione di minimalità). Z è un insieme minimo di inclusione con proprietà 1 e 2. In altre parole, se un sottoanello di un anello contiene tutti numeri naturali, allora Z0=Z.
Alla definizione 1 può essere attribuito un carattere assiomatico espanso. I concetti iniziali di questa teoria assiomatica saranno:
1) L'insieme Z, i cui elementi sono detti interi.
2) Un numero intero speciale chiamato zero e indicato con 0.
3) Relazioni ternarie + e (.
Come al solito, N denota l'insieme dei numeri naturali con addizione (e moltiplicazione (). Secondo la Definizione 1, un sistema di numeri interi è un sistema algebrico (Z; +, (, N) per il quale valgono i seguenti assiomi:
1. (Assiomi degli anelli.)
1.1.
Questo assioma significa che + è un'operazione algebrica binaria sull'insieme Z.
1.2. ((a,b,c(Z) (a+b)+c=a+(b+c).
1.3. ((a,b(Z)a+b=b+a.
1.4. ((a(Z) a+0=a, cioè il numero 0 è un elemento neutro rispetto all'addizione.
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0, cioè per ogni intero esiste un numero opposto a(.
1.6. ((a,b(Z)((! d(Z) a(b=d.
Questo assioma significa che la moltiplicazione è un'operazione algebrica binaria sull'insieme Z.
1.7. ((a,b,c(Z) (a(b)(c=a((b(c).
1.8. ((a,b,c(Z) (a+b)(c=a(c+b(c, c((a+b)=c(a+c(b.
2. (Assiomi che collegano l'anello Z al sistema dei numeri naturali.)
2.1. N(Z.
2.2. ((a,b(N)a+b=a(b.
2.3. ((a,b(N) a(b=a(b.
3. (Assioma di minimalità.)
Se Z0 è un sottoanello dell'anello Z e N(Z0, allora Z0=Z.
Notiamo alcune proprietà del sistema intero.
1. Ogni numero intero può essere rappresentato come la differenza di due numeri naturali. Questa rappresentazione è ambigua, con z=a-b e z=c-d, dove a,b,c,d(N, se e solo se a+d=b+c.
Prova. Indichiamo con Z0 l'insieme di tutti i numeri interi, ciascuno dei quali può essere rappresentato come differenza di due numeri naturali. Ovviamente, ((a(N) a=a-0, e quindi N(Z0.
Successivamente, sia x,y(Z0, cioè x=a-b, y=c-d, dove a,b,c,d(N. Quindi x-y=(a-b)-(c-d)=(a+d)--( b +c)=(a(d)-(b(c), x(y=(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d)- ( a(d(b(c). Da qui è chiaro che x-y, x(y(Z0 e, quindi, Z0 è un sottoanello dell'anello Z contenente l'insieme N. Ma allora, per l'Assioma 3, Z0=Z e quindi la prima parte della proprietà 1 è dimostrata. La seconda affermazione di questa proprietà è ovvia.
2. L'anello dei numeri interi è un anello commutativo con unità, e lo zero di questo anello è il numero naturale 0, e l'unità di questo anello è il numero naturale 1.
Prova. Sia x,y(Z. Secondo la proprietà 1 x=a-b, y=c-d, dove a,b,c,d(N. Quindi x(y=(a-b)((c-d)=(ac+bd)-( ad +bc)=(a(c(b(d)-(a(d(b(c), y(x=(c-d)(a-b)=(ca+db)-(da+cb)=(c ( a(d(b)-(d(a(c(b). Quindi, a causa della commutatività della moltiplicazione dei numeri naturali, concludiamo che xy=yx. La commutatività della moltiplicazione nell'anello Z è stata dimostrata. le restanti affermazioni della Proprietà 2 seguono dalle seguenti ovvie uguaglianze, in cui 0 e 1 denotano i numeri naturali zero e uno: x+0=(a-b)+0=(a+(-b))+0=(a+0) +(-b)=(a(0)+ (-b)=a-b=x. x(1=(a-b)(1=a(1-b(1=a(1-b(1=a-b=x .

2.2. ESISTENZA DI UN SISTEMA DI NUMERI INTERI.

Il sistema intero è definito in 2.1 come l'anello minimo di inclusione contenente tutti i numeri naturali. La domanda sorge spontanea: esiste un anello del genere? In altre parole, il sistema di assiomi di 2.1 è coerente? Per dimostrare la coerenza di questo sistema di assiomi è necessario costruire la sua interpretazione in una teoria ovviamente coerente. Tale teoria può essere considerata l'aritmetica dei numeri naturali.
Cominciamo quindi a costruire un'interpretazione del sistema di assiomi 2.1. Considereremo il set come quello iniziale. Su questo insieme definiamo due operazioni binarie e una relazione binaria. Poiché l'addizione e la moltiplicazione delle coppie si riduce all'addizione e alla moltiplicazione dei numeri naturali, allora, come per i numeri naturali, l'addizione e la moltiplicazione delle coppie sono commutative, associative e la moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione. Verifichiamo, ad esempio, la commutatività dell'addizione di coppie: +===+.
Consideriamo le proprietà della relazione ~. Poiché a+b=b+a, allora ~, cioè la relazione ~ è riflessiva. Se ~, cioè a+b1=b+a1, allora a1+b=b1+a, cioè ~. Ciò significa che la relazione è simmetrica. Lasciamo ulteriormente ~ e ~. Allora le uguaglianze a+b1=b+a1 e a1+b2=b1+a2 sono vere. Sommando queste uguaglianze, otteniamo a+b2=b+a2, cioè ~. Ciò significa che anche la relazione ~ è transitiva e, quindi, di equivalenza. La classe di equivalenza contenente una coppia sarà denotata da. Pertanto, una classe di equivalenza può essere denotata da una qualsiasi delle sue coppie e allo stesso tempo
(1)
Indichiamo l'insieme di tutte le classi di equivalenza con. Il nostro compito è mostrare che questo insieme, con l'appropriata definizione delle operazioni di addizione e moltiplicazione, sarà un'interpretazione del sistema di assiomi di 2.1. Definiamo le operazioni su un insieme mediante le uguaglianze:
(2)
(3)
Se e, cioè sull'insieme N le uguaglianze a+b(=b+a(, c+d(=a+c() sono vere, allora l'uguaglianza (a+c)+(b(+d( )=(b +d)+(a(+c()), da cui, in virtù della (1), si ottiene che. Ciò significa che l'uguaglianza (2) definisce un'unica operazione di addizione su un insieme, indipendente dalla scelta delle coppie che denotano le classi da aggiungere. Viene verificata in modo simile l'unicità della moltiplicazione delle classi. Pertanto, le uguaglianze (2) e (3) definiscono le operazioni algebriche binarie sull'insieme.
Poiché l'addizione e la moltiplicazione delle classi si riduce all'addizione e alla moltiplicazione di coppie, queste operazioni sono commutative, associative e la moltiplicazione delle classi è distributiva rispetto all'addizione. Dalle uguaglianze concludiamo che la classe è un elemento neutro rispetto all'addizione e per ogni classe esiste una classe ad essa opposta. Ciò significa che l'insieme è un anello, cioè gli assiomi del gruppo 1 da 2.1 sono soddisfatti.
Consideriamo un sottoinsieme di un anello. Se a(b, allora per (1) e se a
Sull'insieme definiamo la relazione binaria (segue (; cioè una classe è seguita da una classe, dove x(è un numero naturale che segue x. La classe che segue naturalmente è denotata con (. È chiaro che una classe non segue ogni classe e per ogni classe esiste una classe che la segue e, inoltre, una sola. Quest'ultima significa che la relazione (segue (è un'operazione algebrica unaria sull'insieme N.
Consideriamo la mappatura. Ovviamente, questa mappatura è biiettiva e le condizioni f(0)= , f(x()==(=f(x)(). Ciò significa che la mappatura f è un isomorfismo dell'algebra (N;0,() sull'algebra (;, (). In altre parole, l'algebra (;,() è un'interpretazione del sistema di assiomi di Peano. Identificando queste algebre isomorfe, cioè assumendo che l'insieme N stesso sia un sottoinsieme dell'algebra anello La stessa identificazione nelle uguaglianze evidenti porta alle uguaglianze a(c). Pertanto, la soddisfacibilità degli assiomi del gruppo 2 è stata stabilita. Resta da verificare la soddisfacibilità dell'assioma di minimalità.
Sia Z0 un qualsiasi sottoanello dell'anello contenente l'insieme N e. Si noti che e, quindi, . Ma poiché Z0 è un anello, la differenza di queste classi appartiene anche all'anello Z0. Dalle uguaglianze -= (= concludiamo che (Z0 e, quindi, Z0=. La coerenza del sistema di assiomi del punto 2.1 è stata dimostrata.

2.3. UNICITÀ DEL SISTEMA DI NUMERI INTERI.

Esiste un solo sistema di numeri interi così come vengono intesi intuitivamente. Ciò significa che il sistema di assiomi che definisce gli interi deve essere categorico, cioè due interpretazioni qualsiasi di questo sistema di assiomi devono essere isomorfe. Categorico significa che, a meno dell'isomorfismo, esiste un solo sistema di numeri interi. Assicuriamoci che sia davvero così.
Siano (Z1;+,(,N) e (Z2;(,(,N)) due interpretazioni qualsiasi del sistema di assiomi della clausola 2.1. È sufficiente dimostrare l'esistenza di tale mappatura biiettiva f:Z1®Z2 per i quali i numeri naturali rimangono fissi e eccetto Inoltre, per qualsiasi elemento xey dell'anello Z1 valgono le seguenti uguaglianze:
(1)
. (2)
Si noti che poiché N(Z1 e N(Z2), allora
, a(b=a(b. (3)
Sia x(Z1 e x=a-b, dove a,b(N. Associamo a questo elemento x=a-b l'elemento u=a(b, dove (sottrazione nell'anello Z2. Se a-b=c-d, allora a+d =b+c, ​​da cui, in virtù della (3), a(d=b(c e, quindi, a(b=c(d. Ciò significa che la nostra corrispondenza non dipende dal rappresentante dell'elemento x nella forma della differenza di due numeri naturali e quindi la mappatura f è determinata: Z1®Z2, f(a-b)=a(b. È chiaro che se v(Z2 e v=c(d, allora v=f(c-d ). Ciò significa che ogni elemento di Z2 è un'immagine sotto la mappatura f e, quindi, la mappatura f è suriettiva.
Se x=a-b, y=c-d, dove a,b,c,d(N e f(x)=f(y), allora a(b=c(d. Ma allora a(d=b(d, in forza (3) a+d=b+c, ​​cioè a-b=c-d Abbiamo dimostrato che l'uguaglianza f(x)=f(y) implica l'uguaglianza x=y, cioè l'applicazione f è. iniettivo.
Se a(N, allora a=a-0 e f(a)=f(a-0)=a(0=a. Ciò significa che i numeri naturali sono fissati sotto la mappatura f. Inoltre, se x=a-b, y=c-d, dove a,b,c,d(N, quindi x+y=(a+c)- e f(x+y) = (a+c)((b+d)=(a(c )((b (d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y). La validità dell'uguaglianza (1) è dimostrata. Verifichiamo l'uguaglianza (2). Poiché f( xy)=(ac+bd )((ad+bc)=(a(c(b(d)(a(d(b(c), e d'altra parte f(x)(f(y)=( a(b)((c (d)=(a(c(b(d)((a(d(b(c). Ciò significa f(xy)=f(x)(f(y), che completa la dimostrazione della categoricità del sistema di assiomi p.

2.4. DEFINIZIONE E PROPRIETÀ DEL SISTEMA DEI NUMERI RAZIONALI.

L'insieme Q dei numeri razionali nella loro comprensione intuitiva è un campo per il quale l'insieme Z degli interi è un sottoanello. È ovvio che se Q0 è un sottocampo del campo Q contenente tutti i numeri interi, allora Q0=Q. Utilizzeremo queste proprietà come base per una definizione rigorosa del sistema di numeri razionali.
Definizione 1. Un sistema di numeri razionali è un sistema algebrico (Q;+,(;Z) per il quale sono soddisfatte le seguenti condizioni:
1. sistema algebrico (Q;+,() è un campo;
2. l'anello Z degli interi è un sottoanello del campo Q;
3. (condizione di minimalità) se un sottocampo Q0 di un campo Q contiene un sottoanello Z, allora Q0=Q.
In breve, il sistema dei numeri razionali è un campo di inclusione minimo contenente un sottoanello di numeri interi. È possibile dare una definizione assiomatica più dettagliata del sistema di numeri razionali.
Teorema. Ogni numero razionale x può essere rappresentato come il quoziente di due numeri interi
, dove a,b(Z, b(0. (1)
Questa rappresentazione è ambigua e dove a,b,c,d(Z, b(0, d(0.
Prova. Indichiamo con Q0 l'insieme di tutti i numeri razionali rappresentabili nella forma (1). È sufficiente assicurarsi che Q0=Q. Sia, dove a,b,c,d(Z, b(0, d(0. Quindi per le proprietà del campo abbiamo: , e per c(0. Ciò significa che Q0 è chiuso per sottrazione e divisione per numeri non uguale a zero, e, quindi, è un sottocampo del campo Q. Poiché qualsiasi intero a è rappresentabile nella forma, allora Z(Q0. Da qui, a causa della condizione di minimalità, segue che Q0=Q. La dimostrazione di la seconda parte del teorema è ovvia.

2.5. ESISTENZA DI UN SISTEMA DI NUMERI RAZIONALI.

Il sistema dei numeri razionali è definito come un campo minimo contenente un sottoanello di numeri interi. La domanda sorge spontanea: esiste un campo del genere, cioè è coerente il sistema di assiomi che definisce i numeri razionali? Per dimostrare la coerenza è necessario costruire un'interpretazione di questo sistema di assiomi. In questo caso si può fare affidamento sull'esistenza di un sistema di numeri interi. Quando costruiamo un'interpretazione, considereremo come punto di partenza l'insieme Z(Z\(0). Su questo insieme definiamo due operazioni algebriche binarie
, (1)
(2)
e relazione binaria
(3)
L'opportunità proprio di questa definizione di operazioni e relazioni deriva dal fatto che nell'interpretazione che stiamo costruendo, la coppia esprimerà il particolare.
È facile verificare che le operazioni (1) e (2) sono commutative, associative e che la moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione. Tutte queste proprietà vengono testate rispetto alle corrispondenti proprietà di addizione e moltiplicazione di numeri interi. Controlliamo, ad esempio, l'associatività della moltiplicazione delle coppie: .
Analogamente, è verificato che la relazione ~ è un'equivalenza, e, quindi, l'insieme Z(Z\(0) viene suddiviso in classi di equivalenza. Indichiamo l'insieme di tutte le classi con, e la classe che ne contiene una coppia con. Quindi , una classe può essere denotata da una qualsiasi delle sue coppie e in virtù della condizione (3), otteniamo:
. (4)
Il nostro compito è definire l'operazione di addizione e moltiplicazione su un insieme in modo che sia un campo. Definiamo queste operazioni mediante uguaglianze:
, (5)
(6)
Se cioè ab1=ba1 e cioè cd1=dc1, allora moltiplicando queste uguaglianze, otteniamo (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1), il che significa che Questo ci convince che effettivamente l'uguaglianza (6 ) definisce un'operazione unica su un insieme di classi, indipendente dalla scelta dei rappresentanti in ciascuna classe. L'unicità dell'operazione (5) viene verificata allo stesso modo.
Poiché l'addizione e la moltiplicazione delle classi si riduce all'addizione e alla moltiplicazione di coppie, le operazioni (5) e (6) sono commutative, associative e la moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione.
Dalle uguaglianze concludiamo che la classe è composta da elementi neutri rispetto all'addizione e per ogni classe esiste un elemento opposto ad essa. Allo stesso modo, dalle uguaglianze segue che una classe è un elemento neutro rispetto alla moltiplicazione e per ogni classe esiste una classe inversa. Ciò significa che è un campo rispetto alle operazioni (5) e (6); la prima condizione nella definizione del punto 2.4 è soddisfatta.
Consideriamo ora l'insieme. Ovviamente, . L'insieme è chiuso per sottrazione e moltiplicazione e, quindi, è un sottoanello del campo. Veramente, . Consideriamo ora la mappatura, . La suriettività di questa mappatura è ovvia. Se f(x)=f(y), cioè, allora x(1=y(1 o x=y. Quindi anche la mappatura f è iniettiva. Inoltre, . Pertanto, la mappatura f è un isomorfismo di un anello in un anello Individuando che si tratta di anelli isomorfi, possiamo assumere che l'anello Z sia un sottoanello del campo, ovvero sia soddisfatta la condizione 2 della definizione del paragrafo 2.4. Resta da dimostrare la minimalità del campo sottocampo del campo e, e sia campo, allora anche il quoziente di questi elementi appartiene al campo. Ciò dimostra che se , allora, cioè, è dimostrata l'esistenza di un sistema di numeri razionali.

2.6. UNICITÀ DEL SISTEMA DI NUMERI RAZIONALI.

Poiché nella loro comprensione intuitiva esiste un solo sistema di numeri razionali, la teoria assiomatica dei numeri razionali qui presentata deve essere categorica. Categoriale significa che, a meno dell'isomorfismo, esiste un solo sistema di numeri razionali. Mostriamo che le cose stanno effettivamente così.
Siano (Q1;+, (; Z) e (Q2; (, (; Z)) due sistemi qualsiasi di numeri razionali. È sufficiente dimostrare l'esistenza di una mappa biiettiva sotto la quale tutti gli interi rimangono fissi e, inoltre , le condizioni sono soddisfatte
(1)
(2)
per qualsiasi elemento xey dal campo Q1.
Il quoziente degli elementi aeb nel campo Q1 sarà indicato con e nel campo Q2 con a:b. Poiché Z è un sottoanello di ciascuno dei campi Q1 e Q2, allora per qualsiasi numero intero a e b le uguaglianze sono vere
, . (3)
Lascia e, dove, . Associamo a questo elemento x l'elemento y=a:b del campo Q2. Se l'uguaglianza è vera nel campo Q1, dove, allora per il teorema 2.4 nell'anello Z vale l'uguaglianza ab1=ba1, oppure in virtù della (3) vale l'uguaglianza, e quindi per lo stesso teorema vale l'uguaglianza a:b= a1:b1 vale nel campo Q2 . Ciò significa che associando l'elemento y=a:b del campo Q2 con un elemento del campo Q1, definiamo una mappatura, .
Qualsiasi elemento del campo Q2 può essere rappresentato come a:b, dove e, quindi, è l'immagine di un elemento del campo Q1. Ciò significa che l'applicazione f è suriettiva.
Se, allora nel campo Q1 e poi. Pertanto, la mappatura f è biiettiva e tutti gli interi rimangono fissi. Resta da dimostrare la validità delle uguaglianze (1) e (2). Sia e, dove a,b,c,d(Z, b(0, d(0. Quindi e, da cui, in virtù di (3) f(x+y)=f(x)(f(y). Allo stesso modo, e dove.
L'isomorfismo delle interpretazioni (Q1;+, (; Z) e (Q2; (, (; Z)) è stato dimostrato.

RISPOSTE, ISTRUZIONI, SOLUZIONI.

1.1.1. Soluzione. Sia vera la condizione dell'assioma 4 (una proprietà dei numeri naturali tale che ((0) e. Sia. Allora M soddisfa la premessa dell'assioma 4, poiché ((0)(0(M e. Pertanto, M=N, cioè qualsiasi numero naturale ha la proprietà (. Viceversa. Assumiamo che per qualsiasi proprietà (dal fatto che ((0) e, ne consegue. Sia M un sottoinsieme di N tale che 0(M e. Mostriamo che M = N. Introduciamo la proprietà (, assumendo. Allora ((0), poiché, e. Quindi, quindi, M=N.
1.1.2. Risposta: Le affermazioni del 1° e del 4° assioma di Peano sono vere. L'affermazione del 2° assioma è falsa.
1.1.3. Risposta: le affermazioni 2,3,4 degli assiomi di Peano sono vere. L’affermazione del primo assioma è falsa.
1.1.4. Le affermazioni 1, 2, 3 degli assiomi di Peano sono vere. L'affermazione del 4° assioma è falsa. Direzione: dimostrare che l'insieme soddisfa la premessa dell'assioma 4, formulato in termini dell'operazione ma.
1.1.5. Suggerimento: per dimostrare la verità dell'enunciato dell'Assioma 4, consideriamo un sottoinsieme M di A che soddisfa le condizioni: a) 1((M, b) , e l'insieme. Dimostralo. Allora M=A.
1.1.6. Le affermazioni del 1°, 2° e 3° assioma di Peano sono vere. L'enunciato del 4° assioma di Peano è falso.
1.6.1. a) Soluzione: provare prima che se l'1 di notte. Indietro. Lasciamolo
1.6.2. a) Soluzione: supponiamo il contrario. Sia M l'insieme di tutti i numeri che non hanno la proprietà (. Per ipotesi, M((. Per il Teorema 1, M ha l'elemento più piccolo n(0. Qualsiasi numero x
1.8.1. f) Utilizzare gli elementi e) e gli elementi c): (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b, quindi (a-b)-(c-b)=a-c.
h) Utilizzare l'immobile.
k) Utilizzare l'elemento b).
m) Utilizzare le voci b) e h).
1.8.2. c) Abbiamo, quindi, . COSÌ, .
d) Abbiamo. Quindi, .
E) .
1.8.3. a) Se (e (sono soluzioni diverse dell'equazione ax2+bx=c, allora a(2+b(=a(2+b()). D'altra parte, se, ad esempio, (b) Sia (e ( possono essere diverse soluzioni dell'equazione. Se ((. Tuttavia (2=a(+b>a(, quindi, (>a. Abbiamo una contraddizione.
c) Sia (e ( siano radici diverse dell'equazione e (>(. Allora 2((-()=(a(2+b)-(a(2+b)=a((-())(( (+( ) Quindi a((+()=2, ma (+(>2, quindi a((+()>2, il che è impossibile.
1.8.4. a)x=3; b) x=y=2. Suggerimento: poiché e, abbiamo x=y; c) x=y(y+2), y - qualsiasi numero naturale; d) x=y=2; e) x=2, y=1; f) Fino alle permutazioni x=1, y=2, z=3. Soluzione: Sia, ad esempio, x(y(z. Allora xyz=x+y+z(3z, cioè xy(3. Se xy=1, allora x=y=1 e z=2+z, il che è impossibile. Se xy=2, allora x=1, y=2. In questo caso, 2z=3+z, cioè Se xy=3, allora x=1, y=3, cioè z=2, il che contraddice l'ipotesi y(z.
1.8.5. b) Se x=a, y=b è una soluzione dell'equazione, allora ab+b=a, cioè a>ab, il che è impossibile. d) Se x=a, y=b è una soluzione dell'equazione, allora b
1.8.6. a) x=ky, dove k,y sono numeri naturali arbitrari e y(1. b) x è un numero naturale arbitrario, y=1. c) x è un numero naturale arbitrario, y=1. d) Non c'è soluzione. e)x1=1; x2=2; x3=3. e)x>5.
1.8.7. a) Se a=b, allora 2ab=a2+b2. Consideriamo, ad esempio, a

LETTERATURA

1. Redkov M.I. Sistemi numerici. /Raccomandazioni metodologiche per lo studio del corso "Sistemi numerici". Parte 1.- Omsk: Istituto pedagogico statale di Omsk, 1984.- 46 p.
2. Ershova T.I. Sistemi numerici. /Sviluppo metodologico per lezioni pratiche - Sverdlovsk: SGPI, 1981. - 68 p.

Per i numeri reali, indicati con (la cosiddetta R tritata), viene introdotta l'operazione di addizione (“+”), cioè per ogni coppia di elementi ( X,sì) dall'insieme dei numeri reali viene assegnato l'elemento X + sì dallo stesso insieme, chiamato somma X E sì .

Assiomi della moltiplicazione

Viene introdotta l'operazione di moltiplicazione (“·”), cioè per ogni coppia di elementi ( X,sì) dall'insieme dei numeri reali viene assegnato un elemento (o, in breve, Xsì) dallo stesso insieme, chiamato prodotto X E sì .

Relazione tra addizione e moltiplicazione

Assiomi d'ordine

Su una data relazione di ordine "" (minore o uguale a), cioè per qualsiasi coppia x, y da almeno una delle condizioni o .

Rapporto tra ordine e addizione

Relazione tra ordine e moltiplicazione

Assioma di continuità

Un commento

Questo assioma significa che se X E Y- due insiemi non vuoti di numeri reali tali che qualsiasi elemento da X non supera alcun elemento da Y, allora tra questi insiemi può essere inserito un numero reale. Per i numeri razionali questo assioma non vale; classico esempio: considera i numeri razionali positivi e assegnali all'insieme X quei numeri il cui quadrato è inferiore a 2 e gli altri - a Y. Poi tra X E Y Non è possibile inserire un numero razionale (non è un numero razionale).

Questo assioma chiave fornisce densità e rende quindi possibile la costruzione dell’analisi matematica. Per illustrarne l’importanza, segnaliamo due conseguenze fondamentali che ne derivano.

Corollari degli assiomi

Alcune importanti proprietà dei numeri reali derivano direttamente dagli assiomi, ad esempio,

• l’unicità dello zero,
• l'unicità degli elementi opposti e inversi.

Letteratura

• Zorich V.A. Analisi matematica. Volume I.M.: Phasis, 1997, capitolo 2.

Guarda anche

Collegamenti

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Scopri cos'è "Assiomatica dei numeri reali" in altri dizionari:

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I reali, o numeri reali, sono un'astrazione matematica che serve, in particolare, a rappresentare e confrontare i valori delle quantità fisiche. Tale numero può essere rappresentato intuitivamente come descrizione della posizione di un punto su una linea.... ... Wikipedia

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Wikizionario ha un articolo "assioma" Axiom (greco antico ... Wikipedia

Un assioma che si ritrova in vari sistemi assiomatici. Assiomatica dei numeri reali Assiomatica della geometria euclidea di Hilbert Assiomatica della teoria della probabilità di Kolmogorov ... Wikipedia

Quando si costruisce una teoria assiomatica dei numeri naturali, i termini primari saranno “elemento” o “numero” (che nel contesto di questo manuale possiamo considerare come sinonimi) e “insieme”, le relazioni principali: “appartenenza” (l’elemento appartiene all'insieme), “uguaglianza” e " seguito”, indicato con una / (si legge “il numero un tratto segue il numero a”, ad esempio un due è seguito da un tre, cioè 2 / = 3, il numero 10 è seguito dal numero 11, cioè 10 / = 11, ecc.).

L'insieme dei numeri naturali(serie naturale, interi positivi) è un insieme N con la relazione “follow after” introdotta, in cui sono soddisfatti i seguenti 4 assiomi:

UN 1. Nell'insieme N c'è un elemento chiamato unità, che non segue nessun altro numero.

Un 2. Per ogni elemento della serie naturale ce n'è solo uno accanto.

UN 3. Ogni elemento di N segue al più un elemento della serie naturale.

UN 4.( Assioma di induzione) Se un sottoinsieme M di un insieme N ne contiene uno, e inoltre, insieme a ciascuno dei suoi elementi a, contiene anche il successivo elemento a / , allora M coincide con N.

Gli stessi assiomi possono essere scritti brevemente utilizzando simboli matematici:

A 1 ( 1  N) ( a  N) a / ≠ 1

A 2 ( a  N) ( a /  N) a = b => a / = b /

A3a/=b/ => a=b

Se l'elemento b segue l'elemento a (b = a /), allora diremo che l'elemento a è precedente all'elemento b (o precede b). Questo sistema di assiomi si chiama Sistemi di assiomi di Peano(da quando è stato introdotto nel XIX secolo dal matematico italiano Giuseppe Peano). Questo è solo uno dei possibili insiemi di assiomi che ci permettono di definire l'insieme dei numeri naturali; Esistono altri approcci equivalenti.

Le proprietà più semplici dei numeri naturali

Proprietà 1. Se gli elementi sono diversi, anche quelli che li seguono sono diversi

a  b => a /  b / .

Prova viene effettuata per contraddizione: supponiamo che a / = b /, allora (per A 3) a = b, il che contraddice le condizioni del teorema.

Proprietà 2. Se gli elementi sono diversi, allora sono diversi anche quelli che li precedono (se esistono).

a /  b / => a  b.

Prova: supponiamo che a = b, allora, secondo A 2, abbiamo a / = b /, il che contraddice le condizioni del teorema.

Proprietà 3. Nessun numero naturale è uguale al successivo.

Prova: Introduciamo in considerazione l'insieme M, costituito dai numeri naturali per i quali questa condizione è soddisfatta

M = (a  N | a  a / ).

Effettueremo la dimostrazione basandoci sull’assioma di induzione. Per definizione l'insieme M è un sottoinsieme dell'insieme dei numeri naturali. Successivo 1M, poiché non segue alcun numero naturale (A 1), il che significa che anche per a = 1 abbiamo: 1  1 / . Supponiamo ora che alcuni a  M. Ciò significa che a  a / (per definizione di M), da cui a /  (a /) / (proprietà 1), cioè a /  M. Da tutti i sopra, sulla base dell'utilizzo degli assiomi dell'induzione, possiamo concludere che M = N, cioè il nostro teorema è vero per tutti i numeri naturali.

Teorema 4. Per ogni numero naturale diverso da 1 esiste un numero che lo precede.

Prova: Considera l'insieme

M = (1)  (c N | ( a  N) c = a / ).

Questo M è un sottoinsieme dell'insieme dei numeri naturali, uno appartiene chiaramente a questo insieme. La seconda parte di questo insieme sono gli elementi per i quali esistono predecessori, quindi, se a  M, allora anche a / appartiene a M (la sua seconda parte, poiché a / ha un predecessore - questo è a). Pertanto, in base all'assioma di induzione, M coincide con l'insieme di tutti i numeri naturali, il che significa che tutti i numeri naturali sono 1 o quelli per i quali esiste un elemento precedente. Il teorema è dimostrato.

Coerenza della teoria assiomatica dei numeri naturali

Come modello intuitivo dell'insieme dei numeri naturali, possiamo considerare insiemi di linee: il numero 1 corrisponderà a |, il numero 2 ||, ecc., cioè la serie naturale sarà simile a:

|, ||, |||, ||||, ||||| ….

Queste file di linee possono servire come modello di numeri naturali se “attribuire una linea a un numero” viene utilizzato come relazione “segui dopo”. La validità di tutti gli assiomi è intuitivamente ovvia. Naturalmente, questo modello non è strettamente logico. Per costruire un modello rigoroso, è necessario disporre di un'altra teoria assiomatica ovviamente coerente. Ma non abbiamo una teoria del genere a nostra disposizione, come notato sopra. Quindi, o siamo costretti a fare affidamento sull'intuizione, oppure a non ricorrere al metodo dei modelli, ma a fare riferimento al fatto che per più di 6mila anni, durante i quali è stato condotto lo studio dei numeri naturali, non vi sono contraddizioni con questi assiomi sono stati scoperti.

Indipendenza del sistema assioma di Peano

Per dimostrare l'indipendenza del primo assioma è sufficiente costruire un modello in cui l'assioma A 1 è falso e gli assiomi A 2, A 3, A 4 sono veri. Consideriamo i numeri 1, 2, 3 come termini primari (elementi) e definiamo la relazione “segui” con le relazioni: 1 / = 2, 2 / = 3, 3 / = 1.

Non c'è elemento in questo modello che non ne segua un altro (l'assioma 1 è falso), ma tutti gli altri assiomi sono soddisfatti. Quindi il primo assioma non dipende dagli altri.

Il secondo assioma è composto da due parti: esistenza e unicità. L'indipendenza di questo assioma (in termini di esistenza) può essere illustrata da un modello di due numeri (1, 2) con la relazione “seguito” definita da un'unica relazione: 1 / = 2:

Per due manca l'elemento successivo, ma gli assiomi A 1, A 3, A 4 sono veri.

L'indipendenza di questo assioma, in termini di unicità, è illustrata da un modello in cui l'insieme N sarà l'insieme di tutti i numeri naturali ordinari, nonché di tutti i tipi di parole (insiemi di lettere che non hanno necessariamente significato) costituiti di lettere dell'alfabeto latino (dopo la lettera z la successiva sarà aa, poi ab... az, poi ba...; verranno seguite tutte le possibili parole di due lettere, l'ultima delle quali sarà zz dalla parola aaa e così via). Introduciamo la relazione “follow” come mostrato in figura:

Qui sono veri anche gli assiomi A 1, A 3, A 4, ma 1 è immediatamente seguito da due elementi 2 e a. Pertanto l’assioma 2 non dipende dagli altri.

L'indipendenza dell'Assioma 3 è illustrata dal modello:

in cui A 1, A 2, A 4 sono vere, ma il numero 2 segue sia il numero 4 che il numero 1.

Per dimostrare l'indipendenza dell'assioma di induzione, utilizziamo l'insieme N, composto da tutti i numeri naturali, nonché da tre lettere (a, b, c). La seguente relazione in questo modello può essere introdotta come mostrato nella figura seguente:

Qui, per i numeri naturali, viene utilizzata la consueta relazione di follow e per le lettere la relazione di follow è definita dalle seguenti formule: a / = b, b / = c, c / = a. È ovvio che l'1 non segue nessun numero naturale, per ognuno ce n'è uno successivo, e uno solo, ogni elemento segue al massimo un elemento. Tuttavia, se consideriamo un insieme M costituito da numeri naturali ordinari, allora questo sarà un sottoinsieme di questo insieme che ne contiene uno, così come l'elemento successivo per ciascun elemento di M. Tuttavia, questo sottoinsieme non coinciderà con l'intero modello sotto considerazione, poiché non conterrà le lettere a, b, c. Pertanto, l'assioma di induzione non è soddisfatto in questo modello e, pertanto, l'assioma di induzione non dipende dagli altri assiomi.

La teoria assiomatica dei numeri naturali è categorico(completo in senso stretto).

 (n /) =( (n)) / .

Principio di induzione matematica completa.

Teorema di induzione. Sia formulata qualche affermazione P(n) per tutti i numeri naturali, e sia a) P(1) vera, b) dal fatto che P(k) è vera, ne consegue che anche P(k /) è vera. Allora l’affermazione P(n) è vera per tutti i numeri naturali.

Per dimostrarlo, introduciamo un insieme M di numeri naturali n (M  N) per i quali l'affermazione P(n) è vera. Utilizziamo l'assioma A 4, ovvero proveremo a dimostrare che:

1. k  M => k /  M.

Se ci riusciamo, allora, secondo l'assioma A 4, possiamo concludere che M = N, cioè P(n) è vero per tutti i numeri naturali.

1) Secondo la condizione a) del teorema, P(1) è vera, quindi 1  M.

2) Se qualche k  M, allora (per costruzione di M) P(k) è vera. Secondo la condizione b) del teorema, ciò comporta la verità di P(k /), che significa k /  M.

Quindi, per l'assioma di induzione (A 4) M = N, il che significa che P(n) è vero per tutti i numeri naturali.

Pertanto, l’assioma di induzione ci permette di creare un metodo per dimostrare teoremi “per induzione”. Questo metodo gioca un ruolo chiave nella dimostrazione dei teoremi fondamentali dell'aritmetica riguardanti i numeri naturali. Consiste in quanto segue:

1) viene verificata la validità della dichiarazioneN=1 (base a induzione) ,

2) si presuppone la validità di questa affermazioneN= K, DoveK– numero naturale arbitrario(ipotesi induttiva) , e tenuto conto di tale presupposto, si stabilisce la validità della dichiarazione perN= K / (fase di induzione ).

Una dimostrazione basata su un dato algoritmo è detta dimostrazione per induzione matematica .

Compiti per una soluzione indipendente

N. 1.1. Scopri quali dei sistemi elencati soddisfano gli assiomi di Peano (sono modelli dell'insieme dei numeri naturali), determina quali assiomi sono soddisfatti e quali no.

a) N =(3, 4, 5...), n / = n + 1;

b) N =(n 6, n N), n / = n + 1;

c) N =(n – 2, n Z), n / = n + 1;

d) N =(n – 2, n Z), n / = n + 2;

e) numeri naturali dispari, n / = n +1;

f) numeri naturali dispari, n / = n +2;

g) Numeri naturali con il rapporto n/= n+2;

h) N =(1, 2, 3), 1 / = 3, 2 / = 3, 3 / = 2;

i) N =(1, 2, 3, 4, 5), 1 / = 2, 2 / = 3, 3 / = 4, 4 / = 5, 5 / = 1;

j) Numeri naturali, multipli di 3 con il rapporto n / = n + 3

k) Numeri naturali pari con il rapporto n / = n + 2

m) Numeri interi,
.