Funzioni invertibili. Funzione inversa

Abbiamo già incontrato un problema in cui, data una data funzione fe un dato valore del suo argomento, era necessario calcolare a questo punto il valore della funzione. Ma a volte bisogna affrontare il problema inverso: trovare, data una funzione nota fe il suo certo valore y, il valore dell'argomento in cui la funzione assume un dato valore y.

Una funzione che assume ciascuno dei suoi valori in un singolo punto del suo dominio di definizione è detta funzione invertibile. Ad esempio, una funzione lineare sarebbe funzione invertibile. Ma la funzione quadratica o la funzione seno non saranno funzioni invertibili. Poiché una funzione può assumere lo stesso valore con argomenti diversi.

Funzione inversa

Supponiamo che f sia una funzione invertibile arbitraria. Ogni numero del dominio dei suoi valori y0 corrisponde a un solo numero del dominio di definizione x0, tale che f(x0) = y0.

Se ora associamo ad ogni valore x0 un valore y0, otterremo una nuova funzione. Ad esempio, per una funzione lineare f(x) = k * x + b, la funzione g(x) = (x - b)/k sarà il suo inverso.

Se qualche funzione G in ogni punto X intervallo di valori della funzione invertibile f assume un valore tale che f(y) = x, allora diciamo che la funzione G- esiste una funzione inversa a f.

Se ci viene dato un grafico di una funzione invertibile f, allora per costruire un grafico della funzione inversa, possiamo usare la seguente affermazione: il grafico della funzione f e la sua funzione inversa g saranno simmetrici rispetto alla retta linea specificata dall'equazione y = x.

Se una funzione g è l'inverso di una funzione f, allora la funzione g sarà una funzione invertibile. E la funzione f sarà l'inverso della funzione g. Di solito si dice che due funzioni f e g sono reciprocamente inverse tra loro.

La figura seguente mostra i grafici delle funzioni f e g reciprocamente inverse tra loro.

Deriviamo il seguente teorema: se una funzione f aumenta (o diminuisce) in un certo intervallo A, allora è invertibile. Anche la funzione inversa g, definita nell'intervallo di valori della funzione f, è una funzione crescente (o corrispondentemente decrescente). Questo teorema si chiama teorema della funzione inversa.

Ciao! In questa lezione parleremo di funzioni inverse. Supponiamo di avere una funzione f. Mappa l'insieme X sull'insieme Y. Qui, diciamo, ci sarà un insieme X, e qui un insieme Y. Sappiamo che una funzione è solo una corrispondenza tra gli elementi dell'insieme X e gli elementi dell'insieme Y. Lascia che questo sia un insieme di elementi X e, sotto l'azione della funzione, si rifletterà in un elemento dell'insieme Y. Ecco la nostra funzione. Sotto la sua azione, l'elemento verrà mappato nell'insieme Y. Ecco perché la funzione è anche chiamata mappatura. La funzione f mappa un elemento dell'insieme X su un elemento dell'insieme Y. Questo elemento dell'insieme X corrisponde a questo elemento dell'insieme Y. Chiamiamo questi elementi. Sia questo a e questo sia b. Allora possiamo scrivere che a appartiene all'insieme X e b appartiene all'insieme Y. Il che significa f(a)=b. Quindi abbiamo ripetuto cos'è una funzione. Vediamo ora alcune funzioni molto interessanti. In realtà ce ne saranno solo due. Queste saranno funzioni identiche. Chiamiamo la prima funzione I con indice x, poiché questa funzione opera sull'insieme X. La funzione Ix mappa l'insieme X sull'insieme X. E la cosa più interessante della funzione identità è che se prendiamo qualche elemento a appartenente a l'insieme X, allora la funzione identità di questo elemento sarà uguale a questo elemento stesso, Ix(a) = a. E se rappresentassimo la funzione Ix(a), apparirebbe così. L'elemento a si trasforma in se stesso. Questo è il cerchio che abbiamo. L'elemento a si mappa su se stesso. Questa è la funzione identica Ix. Allo stesso modo, se prendiamo qualsiasi altro punto dell'insieme X, anch'esso si rifletterà su se stesso. Questa è la nostra identica funzione sull'insieme X. Ora scriviamo la funzione sull'insieme Y. b appartiene all'insieme Y. Questo elemento b. Allora la funzione Iу(b) sarà uguale a b. b corrisponde a se stesso. Quindi questo è uguale a b. Funzione di identità sull'insieme Y. Si potrebbe dire che questo tipo di funzione non ha senso. Questo può essere vero, ma sono piuttosto utili nell'algebra lineare. Ora scopriamo cos'è una funzione invertibile. Penso che tu non abbia ancora familiarità con questo termine. Quindi una funzione si dice invertibile se sono soddisfatte le seguenti condizioni. Metto una doppia freccia, perché se le condizioni sono soddisfatte, ne consegue che la funzione è invertibile, e viceversa, se la funzione è invertibile, allora le condizioni sono soddisfatte. Ciò significa che la funzione è invertibile se esiste una funzione inversa (denotiamo questa funzione come f alla prima potenza meno)... Ricordiamo che f è una funzione ordinaria che associa l'insieme X all'insieme Y. Ora torniamo alle condizioni. Una funzione è invertibile se esiste una funzione inversa f che mappa l'insieme Y sull'insieme X. Ripetiamo ancora: una funzione è detta invertibile se esiste una funzione inversa f che mappa l'insieme Y sull'insieme X, e che è in composizione con la funzione f alla prima potenza è uguale alla funzione identica Quindi, la composizione della funzione f con la funzione f alla prima potenza è uguale alla funzione identica. Diamo uno sguardo più da vicino a cosa sta succedendo qui. Ma prima scriviamo completamente la definizione di funzione invertibile. E, naturalmente, la composizione di una funzione f e di una funzione inversa f deve essere uguale alla funzione identica sull'insieme Y. Quindi, se esiste una funzione inversa f ... segniamo: inversa. E questa funzione mappa l'insieme Y sull'insieme X... La funzione f mappa l'insieme X sull'insieme Y. Ecco come puoi mostrare questa funzione. Un elemento dell'insieme X corrisponde a un elemento dell'insieme Y. E abbiamo appena detto che deve esserci un'altra funzione (funzione inversa) che associa gli elementi dell'insieme Y agli elementi dell'insieme X. Pertanto, una funzione inversa è una funzione che mostra che un elemento dell'insieme Y corrisponde a un elemento dell'insieme X. Nel primo caso X funge da dominio di definizione della funzione e nel secondo caso da insieme obiettivo. Nel primo caso y è l'obiettivo fissato e nel secondo caso è il dominio di definizione. Spero che questo sia chiaro. Questo è esattamente ciò che dice la prima espressione. Ora vediamo come succede tutto qui. Esiste un elemento a, appartenente all'insieme X, che la funzione f associa a un elemento b. b è uguale a f(a). Quindi, sotto l'influenza della funzione inversa... non sempre esiste, ma se esiste, ricollegherà f(a) ad a. Per definizione, questo elemento deve ritornare al suo posto. In sostanza, questo elemento forma un cerchio e ritorna all'insieme X. Questo è ciò che mostra la funzione identità. Abbiamo appena trattato la prima affermazione. Passiamo al secondo. Qui dice che se applichiamo la funzione f alla funzione inversa, otterremo una funzione identica sull'insieme Y. Ciò significa che partiamo da un punto dell'insieme Y, e sotto l'azione della funzione inversa otteniamo alcuni punto sull'insieme X. Se questo è y abbiamo qualche elemento y, allora sarà la funzione inversa f di y. E ora, sotto l'azione della funzione inversa f di y, torneremo all'elemento originale dell'insieme U. Cioè, questo equivale all'azione della funzione identità sull'insieme Y. Questo è esattamente quanto detto nella seconda affermazione. Possiamo anche scrivere questo come f della funzione inversa f di y (y è un elemento dell'insieme Y) deve essere uguale a y. Abbiamo già parlato della funzione inversa, ma questa volta abbiamo esaminato questo concetto in modo più dettagliato. Quindi, supponiamo di avere una funzione f e che esista una funzione inversa che soddisfa queste due condizioni, si scopre che f è una funzione invertibile. Sorge la domanda: “La funzione inversa sarà unica?” E anche la domanda: “Come fai a sapere se una funzione è invertibile?” Ma di questo ne parleremo un'altra volta. Ora ci interessa sapere se la funzione inversa è unica. E per rispondere a questa domanda, supponiamo che non sia unica. Se non è unica, allora possono esserci due funzioni inverse che soddisfano queste due condizioni. Sia g la prima funzione inversa. La funzione f mappa l'insieme X sull'insieme Y e la funzione g mappa l'insieme Y sull'insieme X. Prendi la funzione f e applica ad essa la funzione g... f dall'insieme X ci porterà al insieme Y e g da questo insieme Y ci riporterà a X. E come risultato di queste mappature, si dovrebbe ottenere la funzione identica sull'insieme X. Questo fa parte della definizione della funzione inversa. E abbiamo semplicemente assunto che g sia la funzione inversa di f. Una funzione inversa è una funzione che soddisfa queste condizioni. Diciamo che abbiamo un'altra funzione inversa h, che mappa l'insieme Y sull'insieme X. h è un'altra funzione inversa. E per definizione, anche questa funzione inversa h deve soddisfare due condizioni. In primo luogo, deve mappare l'insieme Y nell'insieme X. In secondo luogo, la composizione delle funzioni h ed f deve essere uguale alla funzione identica sull'insieme X. Ma queste non sono tutte le condizioni che la funzione deve soddisfare. Qui abbiamo detto che la composizione della funzione inversa f e della funzione f è uguale alla funzione identica sull'insieme X. E anche la composizione di f e della funzione inversa f è uguale alla funzione identica sull'insieme Y. Ciò significa che qui dobbiamo aggiungere che la funzione f di g deve essere uguale alla identica funzione sull'insieme Y. Di conseguenza, qui aggiungiamo che la funzione f di h deve essere uguale alla identica funzione sull'insieme Y. Propongo di disegnare la imposta di nuovo e guarda di nuovo cosa fanno la funzione e la sua funzione inversa. Diciamo che questo è l'insieme X e questo è l'insieme Y. Sappiamo che la funzione f mappa l'insieme X sull'insieme Y. E stiamo cercando di dimostrare che la funzione inversa è unica. Lo dimostriamo per contraddizione. Abbiamo ipotizzato che, in effetti, una funzione possa avere più funzioni inverse. La prima funzione inversa è g. Soddisfa tutte queste condizioni. Ciò significa che possiamo mostrare nella figura che la funzione g ci riporta dall'insieme Y al punto di partenza sull'insieme X. La composizione della funzione fe la sua funzione inversa g è equivalente alla funzione identica sull'insieme X. Iniziamo con l'insieme X e finiamo anche con l'insieme X. Questo è il nostro g. La stessa cosa accade con la funzione h. La funzione f mappa qualche elemento dall'insieme X all'insieme Y, e la funzione h mappa questo elemento dall'insieme Y all'elemento originale dell'insieme X. Anche la composizione della funzione f e della sua funzione inversa h è equivalente a la funzione identità sull'insieme X. Abbiamo appena mostrato nell'immagine questa affermazione e questa. Ora occupiamoci dei restanti due. Se prendiamo un valore dall'insieme Y e applichiamo la funzione g (non dimenticare che questa è una funzione inversa), alla fine otterremo un valore dall'insieme X. g ci porta dall'insieme Y all'insieme X. Ma poi sotto l'azione della funzione f torneremo allo stesso valore dell'insieme Y con cui abbiamo iniziato. Cioè, in sostanza, questa è la stessa identica funzione sull'insieme Y. La situazione è simile con la funzione h. Prendiamo un punto dall'area Y, la funzione h lo mappa su un punto dell'area X e la funzione f riflette un punto da X allo stesso punto da Y. Quindi abbiamo affrontato tutte queste affermazioni. Ora torniamo alla nostra domanda: “Una funzione può avere due funzioni inverse?” Quindi, iniziamo con la funzione g, lascia che ti ricordi che mappa gli elementi dell'insieme Y nell'insieme X. La funzione g è uguale alla composizione della funzione identica sull'insieme X e della funzione g. Cosa significa questo? Vorrei disegnare velocemente i set. Questo è l'insieme X e questo è Y. g mappa l'insieme Y nell'insieme X. In questo modo. g ci porta dall'insieme Y all'insieme X. E ho appena detto che la funzione g è uguale alla composizione della funzione identica sull'insieme X e della funzione g. Ciò significa che la funzione g ha mappato l'insieme Y nell'insieme X e la funzione identità ha mappato l'insieme X in se stessa. Cioè, di conseguenza otterremo lo stesso punto. In quale altro modo possiamo scrivere la funzione identità sull'insieme X? Possiamo usare la funzione inversa h. Se h è un'altra funzione inversa, allora sono soddisfatte le seguenti condizioni. E qui abbiamo la funzione identità sull'insieme X. Pertanto, possiamo sostituire la composizione delle funzioni gef con la funzione identità sull'insieme X. Facciamolo. Allora questa sarà uguale alla funzione h di f e di g (uguale alla composizione delle funzioni h ed fe anche g). Puoi mettere tra parentesi la composizione delle prime funzioni (disegnerò parentesi). Sebbene le parentesi, in linea di principio, non influiscano su nulla. Dopotutto, una volta ho detto che la composizione delle funzioni è associativa. Ciò significa che questo è uguale alla composizione della funzione h e alla composizione delle funzioni f e g. Qual è la composizione delle funzioni f e g? La composizione delle funzioni f e g è uguale (dalla definizione della funzione inversa g) alla identica funzione sull'insieme Y. Ciò significa che questa è uguale alla composizione di h e alla identica funzione sull'insieme Y. Cosa è la composizione di h e la funzione identica sull'insieme Y? La funzione h mappa l'insieme Y sull'insieme X. Ancora una volta, propongo di dimostrare tutto ciò. Questo è l'insieme X e questo è l'insieme Y. La funzione h mappa l'insieme Y nell'insieme X. Come sono la composizione della funzione h e della funzione identica sull'insieme Y? La funzione identità sull'insieme Y mappa l'insieme Y nell'insieme Y, cioè in se stesso. E poi la funzione h mappa l'insieme Y sull'insieme X. Cioè, in sostanza, è uguale alla funzione h. Quindi qui possiamo scrivere che questo è uguale a h. Inizialmente, abbiamo ipotizzato che una funzione potesse avere due funzioni inverse. Ora vedi che queste funzioni sono uguali, g deve essere uguale a h. Quindi una funzione può avere solo una funzione inversa. La funzione inversa è unica. Lo abbiamo appena dimostrato. Spero che la lezione di oggi ti sia piaciuta. È tutto. Arrivederci!

Sia una funzione y=f(x), X è il suo dominio di definizione, Y è il suo intervallo di valori. Sappiamo che ad ogni x 0  corrisponde un singolo valore y 0 =f(x 0), y 0 Y.

Può risultare che ogni y (o la sua parte  1) corrisponda anche a un singolo x di X.

Poi dicono che sulla regione  (o sulla sua parte  ) la funzione x=y è definita come la funzione inversa della funzione y=f(x).

Per esempio:

X =(); Y=$

Poiché questa funzione è decrescente e continua sull'intervallo $X$, allora sull'intervallo $Y=$, anch'esso decrescente e continuo su questo intervallo (Teorema 1).

Calcoliamo $x$:

\ \

Seleziona $x$ adatti:

Risposta: funzione inversa $y=-\sqrt(x)$.

Problemi nel trovare funzioni inverse

In questa parte considereremo le funzioni inverse per alcune funzioni elementari. Risolveremo i problemi secondo lo schema sopra riportato.

Esempio 2

Trova la funzione inversa per la funzione $y=x+4$

Troviamo $x$ dall'equazione $y=x+4$:

Esempio 3

Trova la funzione inversa per la funzione $y=x^3$

Soluzione.

Poiché la funzione è crescente e continua nell'intero dominio della definizione, allora, secondo il Teorema 1, ha su di sé una funzione inversa continua e crescente.

Troviamo $x$ dall'equazione $y=x^3$:

Trovare valori adatti di $x$

Il valore è adatto nel nostro caso (poiché il dominio di definizione è composto da tutti i numeri)

Ridefiniamo le variabili, otteniamo che la funzione inversa ha la forma

Esempio 4

Trova la funzione inversa per la funzione $y=cosx$ sull'intervallo $$

Soluzione.

Consideriamo la funzione $y=cosx$ sull'insieme $X=\left$. È continua e decrescente sull'insieme $X$ e mappa l'insieme $X=\left$ sull'insieme $Y=[-1,1]$, quindi, per il teorema sull'esistenza di una funzione monotona continua inversa, la funzione $y=cosx$ nell'insieme $ Y$ esiste una funzione inversa, anch'essa continua e crescente nell'insieme $Y=[-1,1]$ e mappa l'insieme $[-1,1]$ all'insieme $\left$.

Troviamo $x$ dall'equazione $y=cosx$:

Trovare valori adatti di $x$

Ridefiniamo le variabili, otteniamo che la funzione inversa ha la forma

Esempio 5

Trova la funzione inversa per la funzione $y=tgx$ sull'intervallo $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$.

Soluzione.

Consideriamo la funzione $y=tgx$ sull'insieme $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$. È continua e crescente sull'insieme $X$ e mappa l'insieme $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ sull'insieme $Y =R$, quindi, per il teorema sull'esistenza di una funzione monotona continua inversa, la funzione $y=tgx$ nell'insieme $Y$ ha una funzione inversa, anch'essa continua e crescente nell'insieme $Y=R $ e mappa l'insieme $R$ sull'insieme $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$

Troviamo $x$ dall'equazione $y=tgx$:

Trovare valori adatti di $x$

Ridefiniamo le variabili, otteniamo che la funzione inversa ha la forma