Definizione di funzione infinitamente grande. Funzioni infinitamente piccole e infinitamente grandi Y tgx è una funzione infinitamente grande quando

Calcolo degli infinitesimi e dei grandi

Calcolo infinitesimale- calcoli eseguiti con quantità infinitesime, in cui il risultato derivato è considerato come una somma infinita di infinitesimi. Il calcolo degli infinitesimi è un concetto generale del calcolo differenziale e integrale, che costituisce la base della matematica superiore moderna. Il concetto di quantità infinitesima è strettamente correlato al concetto di limite.

Infinitesimale

Sotto sequenza UN N chiamato infinitesimale, Se . Ad esempio, una sequenza di numeri è infinitesima.

La funzione viene chiamata infinitesimo in prossimità di un punto X 0 se .

La funzione viene chiamata infinitesimo all'infinito, Se O .

Anche infinitesimale è una funzione che è la differenza tra una funzione e il suo limite, cioè se , Quello F(X) − UN = α( X) , .

Quantità infinitamente grande

In tutte le formule seguenti, è implicito che l'infinito a destra dell'uguaglianza abbia un certo segno ("più" o "meno"). Questa è, ad esempio, la funzione X peccato X, illimitato su entrambi i lati, non è infinitamente grande in .

Sotto sequenza UN N chiamato infinitamente grande, Se .

La funzione viene chiamata infinitamente grande in prossimità di un punto X 0 se .

La funzione viene chiamata infinitamente grande all'infinito, Se O .

Proprietà dell'infinitamente piccolo e dell'infinitamente grande

Confronto di quantità infinitesime

Come confrontare quantità infinitesimali?
Il rapporto tra quantità infinitesimali costituisce la cosiddetta incertezza.

Definizioni

Supponiamo di avere valori infinitesimi α( X) e β( X) (o, cosa non importante ai fini della definizione, successioni infinitesimali).

Per calcolare tali limiti è conveniente utilizzare la regola di L'Hopital.

Esempi di confronto

Utilizzando DI-simbolismo, i risultati ottenuti possono essere scritti nella forma seguente X 5 = o(X 3). In questo caso sono vere le seguenti voci: 2X 2 + 6X = O(X) E X = O(2X 2 + 6X).

Valori equivalenti

Definizione

Se , allora si chiamano le quantità infinitesime α e β equivalente ().
È ovvio che le quantità equivalenti sono un caso speciale di quantità infinitesime dello stesso ordine di piccolezza.

Quando valgono le seguenti relazioni di equivalenza (come conseguenza dei cosiddetti limiti notevoli):

Teorema

Il limite del quoziente (rapporto) di due quantità infinitesime non cambierà se una di esse (o entrambe) viene sostituita da una quantità equivalente.

Questo teorema ha un significato pratico quando si trovano i limiti (vedi esempio).

Esempio di utilizzo

Sostituzione SioN 2X valore equivalente 2 X, noi abbiamo

Schizzo storico

Il concetto di “infinitesimale” veniva discusso già nell’antichità in relazione al concetto di atomi indivisibili, ma non era incluso nella matematica classica. Fu ripreso con l'avvento nel XVI secolo del “metodo degli indivisibili” che divideva la figura oggetto di studio in sezioni infinitesimali.

Nel XVII secolo ebbe luogo l'algebrizzazione del calcolo infinitesimale. Cominciarono a essere definiti come quantità numeriche inferiori a qualsiasi quantità finita (diversa da zero) e tuttavia non uguali a zero. L'arte dell'analisi consisteva nel tracciare una relazione contenente degli infinitesimi (differenziali) e poi nell'integrarla.

I matematici della vecchia scuola mettono alla prova il concetto infinitesimale dura critica. Michel Rolle ha scritto che il nuovo calcolo è “ insieme di errori ingegnosi"; Voltaire osservò causticamente che il calcolo infinitesimale è l'arte di calcolare e misurare accuratamente cose la cui esistenza non può essere dimostrata. Perfino Huygens ammise di non comprendere il significato dei differenziali di ordine superiore.

Come ironia del destino, si può considerare l'emergere, a metà del secolo, dell'analisi non standard, che ha dimostrato che anche il punto di vista originale - gli infinitesimi reali - era coerente e poteva essere utilizzato come base per l'analisi.

Guarda anche

Fondazione Wikimedia. 2010.

Scopri cos'è la "quantità infinitesimale" in altri dizionari:

QUANTITÀ INFINITAMENTE PICCOLA- una quantità variabile in un certo processo, se in questo processo si avvicina (tende) infinitamente a zero... Grande Enciclopedia del Politecnico

Infinitesimale- ■ Qualcosa di sconosciuto, ma legato all'omeopatia... Lessico delle verità comuni

Definizione di funzione numerica. Metodi per specificare le funzioni.

Sia D un insieme sulla retta R. Se a ogni x appartenente a D è associato un singolo numero y=f(x), allora diciamo che è data una funzione f.

Metodi per specificare le funzioni:

1) tabulare – per funzioni definite su un insieme finito.

2) analitico

3) grafico

2 e 3 – per funzioni definite su un insieme infinito.

Il concetto di funzione inversa.

Se la funzione y=f(x) è tale che diversi valori dell'argomento x corrispondono a diversi valori della funzione, allora la variabile x può essere espressa come una funzione della variabile y: x=g(y ). La funzione g è detta inversa di f ed è denotata con f^(-1).

Il concetto di funzione complessa.

Una funzione complessa è una funzione il cui argomento è qualsiasi altra funzione.

Siano date le funzioni f(x) eg(x). Facciamo due funzioni complesse da loro. Considerando la funzione f esterna (principale) e la funzione g interna, otteniamo una funzione complessa u(x)=f(g(x)).

Determinazione del limite della sequenza.

Un numero a è detto limite di una successione (xn) se per ogni positivo esiste un numero n0, a partire dal quale tutti i termini della successione differiscono da a in modulo per meno di ε (cioè rientrano nell'intorno ε del punto a):

Regole per il calcolo dei limiti di successioni convergenti.

1. Ogni successione convergente ha un solo limite. 2. Se tutti gli elementi della sequenza (x n) sono uguali a C (costante), anche il limite della sequenza (x n) è uguale a C. 3. ; 4. ; 5. .

Definizione di sequenza limitata.

La successione (x n) si dice limitata se l'insieme dei numeri X=(x n) è limitato: .

Definizione di successione infinitesima.

Una successione (x n) si dice infinitesima se per ogni (non importa quanto piccolo) >0 esiste un numero n 0 tale che per ogni n > n 0 la disuguaglianza |x n |< .

Definizione di successione infinitamente grande.

Una successione si dice infinitamente grande se per ogni numero A>0 (non importa quanto grande) esiste un numero n 0 tale che per ogni numero n>n 0 vale la disuguaglianza |x n |>A.

Definizione di successioni monotone.

Sequenze monotone: 1) crescente sex n x n +1 per tutti gli n, 4) non crescente se x n x n +1 per tutti gli n.

Determinazione del limite di una funzione in un punto.

Il limite della funzione y=f(x) nel punto x 0 (o in x x 0) è il numero a se per qualsiasi sequenza (x n ) di valori dell'argomento convergente a x 0 (tutti x n x 0), La successione dei valori (f(x n)) della funzione converge al limite a.

Definizione di funzione infinitesima.

Coraggio f(x) si dice infinitesimo come x→A se .

Definizione di funzione infinitamente grande.

Coraggio f(x) si dice infinitamente grande per x→A se .

Funzioni infinitesime

Viene richiamata la funzione %%f(x)%%. infinitesimale(b.m.) con %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, se con questa tendenza dell'argomento il limite della funzione è pari a zero.

Il concetto di b.m. la funzione è indissolubilmente legata alle istruzioni per cambiare il suo argomento. Possiamo parlare di b.m. funziona in %%a \to a + 0%% e in %%a \to a - 0%%. Di solito b.m. le funzioni sono indicate dalle prime lettere dell'alfabeto greco %%\alpha, \beta, \gamma, \ldots%%

Esempi

1. La funzione %%f(x) = x%% è b.m. a %%x \to 0%%, poiché il suo limite nel punto %%a = 0%% è zero. Secondo il teorema sulla connessione tra limite bilaterale e limite unilaterale, questa funzione è b.m. sia con %%x \to +0%% che con %%x \to -0%%.
2. Funzione %%f(x) = 1/(x^2)%% - b.m. in %%x \to \infty%% (così come in %%x \to +\infty%% e in %%x \to -\infty%%).

Un numero costante diverso da zero, non importa quanto piccolo in valore assoluto, non è un b.m. funzione.

Per i numeri costanti, l'unica eccezione è zero, poiché la funzione %%f(x) \equiv 0%% ha un limite pari a zero.

Teorema

La funzione %%f(x)%% ha nel punto %%a \in \overline(\mathbb(R))%% della linea numerica estesa un limite finale pari al numero %%b%% se e solo se questa funzione è uguale alla somma di questo numero %%b%% e b.m. funzioni %%\alpha(x)%% con %%x \to a%%, oppure $$ \exists~\lim\limits_(x \to a)(f(x)) = b \in \mathbb(R ) \Leftrightarrow \left(f(x) = b + \alpha(x)\right) \land \left(\lim\limits_(x \to a)(\alpha(x) = 0)\right). $$

Proprietà delle funzioni infinitesime

1. Secondo le regole del passaggio al limite con %%c_k = 1~ \forall k = \overline(1, m), m \in \mathbb(N)%%, seguono le seguenti affermazioni:
2. La somma del numero finale di b.m. funzioni per %%x \to a%% è b.m. al %%x \al a%%.

Il prodotto di qualsiasi numero b.m. funzioni per %%x \to a%% è b.m. al %%x \al a%%.

Prodotto b.m. funzioni in %%x \to a%% e una funzione limitata in un quartiere perforato %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% del punto a, c'è b.m. alla funzione %%x \to a%%.

È chiaro che il prodotto di una funzione costante e b.m. in %%x \to a%% c'è b.m. funzione a %%x \to a%%.

Funzioni infinitesime equivalenti equivalente Vengono chiamate le funzioni infinitesime %%\alpha(x), \beta(x)%% per %%x \to a%%

e scrivi %%\alpha(x) \sim \beta(x)%%, if

$$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\limits_(x \to a)(\frac(\beta(x) )(\alpha(x))) = 1. $$

Teorema sulla sostituzione di b.m. funzioni equivalenti

Sia %%\alpha(x), \alpha_1(x), \beta(x), \beta_1(x)%% essere b.m. funzioni per %%x \to a%% e %%\alpha(x) \sim \alpha_1(x); \beta(x) \sim \beta_1(x)%%, quindi $$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\ limiti_(x \to a)(\frac(\alpha_1(x))(\beta_1(x))). $$

Sia %%\alpha(x)%% b.m. funzione in %%x \to a%%, quindi

1. %%\sin(\alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
2. %%\displaystyle 1 - \cos(\alpha(x)) \sim \frac(\alpha^2(x))(2)%%
3. %%\tan \alpha(x) \sim \alpha(x)%%
4. %%\arcsin\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
5. %%\arctan\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
6. %%\ln(1 + \alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
7. %%\displaystyle\sqrt[n](1 + \alpha(x)) - 1 \sim \frac(\alpha(x))(n)%%
8. %%\displaystyle a^(\alpha(x)) - 1 \sim \alpha(x) \ln(a)%%

Esempio

$$ \begin(array)(ll) \lim\limits_(x \to 0)( \frac(\ln\cos x)(\sqrt(1 + x^2) - 1)) & = \lim\limits_ (x \to 0)(\frac(\ln(1 + (\cos x - 1)))(\frac(x^2)(4))) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(\frac(4(\cos x - 1))(x^2)) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(-\frac(4 x^2)(2 x^ 2)) = -2 \end(array) $$

Funzioni infinitamente grandi

Viene richiamata la funzione %%f(x)%%. infinitamente grande(b.b.) con %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, se con questa tendenza dell'argomento la funzione ha limite infinito.

Simile a b.m. concetto di funzioni b.b. la funzione è indissolubilmente legata alle istruzioni per cambiare il suo argomento. Possiamo parlare di b.b. funzioni per %%x \to a + 0%% e %%x \to a - 0%%. Il termine “infinitamente grande” non parla del valore assoluto della funzione, ma della natura del suo cambiamento in prossimità del punto in questione. Nessun numero costante, per quanto grande in valore assoluto, è infinitamente grande.

Esempi

1. Funzione %%f(x) = 1/x%% - b.b. al %%x \allo 0%%.
2. Funzione %%f(x) = x%% - b.b. al %%x \to \infty%%.

Se le condizioni di definizione $$ \begin(array)(l) \lim\limits_(x \to a)(f(x)) = +\infty, \\ \lim\limits_(x \to a)(f( x)) = -\infty, \end(array) $$

poi ne parlano positivo O negativo b.b. alla funzione %%a%%.

Esempio

Funzione %%1/(x^2)%% - positivo b.b. al %%x \allo 0%%.

Il collegamento tra b.b. e b.m. funzioni

Se %%f(x)%% è b.b. con la funzione %%x \to a%%, quindi %%1/f(x)%% - b.m.

al %%x \al a%%. Se %%\alpha(x)%% - b.m. poiché %%x \to a%% è una funzione diversa da zero in qualche zona perforata del punto %%a%%, allora %%1/\alpha(x)%% è b.b. al %%x \al%%.

Proprietà delle funzioni infinitamente grandi

Presentiamo diverse proprietà del b.b. funzioni. Queste proprietà derivano direttamente dalla definizione di b.b. funzioni e proprietà delle funzioni aventi limiti finiti, nonché dal teorema sulla connessione tra b.b. e b.m. funzioni.

1. Il prodotto di un numero finito di b.b. funzioni per %%x \to a%% è b.b. funzione a %%x \to a%%. Infatti, se %%f_k(x), k = \overline(1, n)%% - b.b. funziona in %%x \to a%%, quindi in qualche zona perforata del punto %%a%% %%f_k(x) \ne 0%%, e dal teorema di connessione b.b. e b.m. funzioni %%1/f_k(x)%% - b.m. funzione a %%x \to a%%. Risulta %%\displaystyle\prod^(n)_(k = 1) 1/f_k(x)%% - funzione b.m per %%x \to a%% e %%\displaystyle\prod^(n )_(k = 1)f_k(x)%% - b.b. funzione a %%x \to a%%.
2. Prodotto b.b. funzioni per %%x \to a%% e una funzione che in qualche zona perforata del punto %%a%% in valore assoluto è maggiore di una costante positiva è b.b. funzione a %%x \to a%%. In particolare il prodotto b.b. una funzione con %%x \to a%% e una funzione che ha un limite finito diverso da zero nel punto %%a%% sarà b.b. funzione a %%x \to a%%.

La somma di una funzione limitata in un intorno forato del punto %%a%% e b.b. le funzioni con %%x \to a%% sono b.b. funzione a %%x \to a%%.

Ad esempio, le funzioni %%x - \sin x%% e %%x + \cos x%% sono b.b. al %%x \to \infty%%.

3. La somma di due b.b. funzioni in %%x \to a%% c'è incertezza. A seconda del segno dei termini, la natura della variazione di tale somma può essere molto diversa.

   Esempio

   Siano date le funzioni %%f(x)= x, g(x) = 2x, h(x) = -x, v(x) = x + \sin x%%. funzioni in %%x \to \infty%%. Poi:

   • %%f(x) + g(x) = 3x%% - b.b. funzione a %%x \to \infty%%;
   • %%f(x) + h(x) = 0%% - b.m. funzione a %%x \to \infty%%;
   • %%h(x) + v(x) = \sin x%% non ha limiti a %%x \to \infty%%.

Calcolo degli infinitesimi e dei grandi

Calcolo infinitesimale- calcoli eseguiti con quantità infinitesime, in cui il risultato derivato è considerato come una somma infinita di infinitesimi. Il calcolo degli infinitesimi è un concetto generale del calcolo differenziale e integrale, che costituisce la base della matematica superiore moderna. Il concetto di quantità infinitesima è strettamente correlato al concetto di limite.

Infinitesimale

Sotto sequenza UN N chiamato infinitesimale, Se . Ad esempio, una sequenza di numeri è infinitesima.

La funzione viene chiamata infinitesimo in prossimità di un punto X 0 se .

La funzione viene chiamata infinitesimo all'infinito, Se O .

Anche infinitesimale è una funzione che è la differenza tra una funzione e il suo limite, cioè se , Quello F(X) − UN = α( X) , .

Quantità infinitamente grande

Sotto sequenza UN N chiamato infinitamente grande, Se .

La funzione viene chiamata infinitamente grande in prossimità di un punto X 0 se .

La funzione viene chiamata infinitamente grande all'infinito, Se O .

In tutti i casi, è implicito che l'infinito a destra dell'uguaglianza abbia un certo segno ("più" o "meno"). Questa è, ad esempio, la funzione X peccato X non è infinitamente grande in .

Proprietà dell'infinitamente piccolo e dell'infinitamente grande

Confronto di quantità infinitesime

Come confrontare quantità infinitesimali?
Il rapporto tra quantità infinitesimali costituisce la cosiddetta incertezza.

Definizioni

Supponiamo di avere valori infinitesimi α( X) e β( X) (o, cosa non importante ai fini della definizione, successioni infinitesimali).

Per calcolare tali limiti è conveniente utilizzare la regola di L'Hopital.

Esempi di confronto

Utilizzando DI-simbolismo, i risultati ottenuti possono essere scritti nella forma seguente X 5 = o(X 3). In questo caso sono vere le seguenti voci: 2X 2 + 6X = O(X) E X = O(2X 2 + 6X).

Valori equivalenti

Definizione

Se , allora si chiamano le quantità infinitesime α e β equivalente ().
È ovvio che le quantità equivalenti sono un caso speciale di quantità infinitesime dello stesso ordine di piccolezza.

Quando valgono le seguenti relazioni di equivalenza: , , .

Teorema

Il limite del quoziente (rapporto) di due quantità infinitesime non cambierà se una di esse (o entrambe) viene sostituita da una quantità equivalente.

Questo teorema ha un significato pratico quando si trovano i limiti (vedi esempio).

Esempio di utilizzo

Sostituzione SioN 2X valore equivalente 2 X, noi abbiamo

Schizzo storico

Il concetto di “infinitesimale” veniva discusso già nell’antichità in relazione al concetto di atomi indivisibili, ma non era incluso nella matematica classica. Fu ripreso con l'avvento nel XVI secolo del “metodo degli indivisibili” che divideva la figura oggetto di studio in sezioni infinitesimali.

Nel XVII secolo ebbe luogo l'algebrizzazione del calcolo infinitesimale. Cominciarono a essere definiti come quantità numeriche inferiori a qualsiasi quantità finita (diversa da zero) e tuttavia non uguali a zero. L'arte dell'analisi consisteva nel tracciare una relazione contenente degli infinitesimi (differenziali) e poi nell'integrarla.

I matematici della vecchia scuola mettono alla prova il concetto infinitesimale dura critica. Michel Rolle ha scritto che il nuovo calcolo è “ insieme di errori ingegnosi"; Voltaire osservò causticamente che il calcolo infinitesimale è l'arte di calcolare e misurare accuratamente cose la cui esistenza non può essere dimostrata. Perfino Huygens ammise di non comprendere il significato dei differenziali di ordine superiore.

Come ironia del destino, si può considerare l'emergere, a metà del secolo, dell'analisi non standard, che ha dimostrato che anche il punto di vista originale - gli infinitesimi reali - era coerente e poteva essere utilizzato come base per l'analisi.

Guarda anche

Fondazione Wikimedia. 2010.

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La quantità variabile Y è l'inverso della quantità infinitesima X, cioè Y = 1/X... Grande dizionario enciclopedico

La variabile y è l'inverso dell'infinitesimale x, cioè y = 1/x. * * * INFINITAMENTE GRANDE INFINITAMENTE GRANDE, quantità variabile Y, inversa alla quantità infinitesima X, cioè Y = 1/X ... Dizionario enciclopedico

In matematica, quantità variabile che, in un dato processo di cambiamento, diventa e rimane maggiore in valore assoluto di qualsiasi numero predeterminato. Studio di B.b. le quantità possono essere ridotte allo studio degli infinitesimi (Vedi... ... Grande Enciclopedia Sovietica