Proprietà fondamentali dell'integrale doppio

Le proprietà di un integrale doppio (e la loro derivazione) sono simili alle proprietà corrispondenti di un integrale definito singolo.

1°. Additività. Se la funzione F(X, sì) è integrabile nel dominio D e se la zona D utilizzando una curva G l'area zero è divisa in due regioni collegate che non hanno punti interni comuni D 1 e D 2, quindi la funzione F(X, sì) è integrabile in ciascuno dei domini D 1 e D 2 e

2°. Proprietà lineare. Se le funzioni F(X, sì) E G(X, sì) sono integrabili nei domini D, UN α E β - qualsiasi numero reale, quindi la funzione [ α · F(X, sì) + β · G(X, sì)] è anche integrabile nel dominio D, E

3°. Se le funzioni F(X, sì) E G(X, sì) sono integrabili nei domini D, allora il prodotto di queste funzioni è integrabile in D.

4°. Se le funzioni F(X, sì) E G(X, sì) entrambi sono integrabili nel dominio D e ovunque in questa zona F(X, sì) ≤ G(X, sì), Quello

5°. Se la funzione F(X, sì) è integrabile nel dominio D, quindi la funzione | F(X, sì)| integrabile in aree D, E

(Certamente, dall'integrabilità | F(X, sì)| V D l'integrabilità non segue F(X, sì)V D.)

6°. Teorema del valore medio. Se entrambe le funzioni F(X, sì) E G(X, sì) sono integrabili nei domini D, funzione G(X, sì) è non negativo (non positivo) ovunque in questa regione, M E M- limiti esatti superiori e inferiori esatti della funzione F(X, sì) nella zona D, poi c'è un numero μ , soddisfacendo la disuguaglianza M ≤ μ ≤ M e tale che la formula sia valida

Il problema che porta al concetto di integrale doppio Definizione di integrale doppio Proprietà di base di un integrale doppio Area di una regione piatta Riduzione di un integrale doppio ad integrale ripetuto Cambiamento di variabili in un integrale doppio Elemento di area in coordinate curvilinee Jacobiano e il suo significato geometrico Formula per il cambiamento di variabili in un integrale doppio Integrale doppio in coordinate polari

Un problema che porta al concetto di integrale doppio. Definizione di integrale doppio. Arriviamo al concetto di integrale doppio risolvendo il problema specifico del calcolo del volume di un corpo cilindrico. Un corpo cilindrico è un corpo delimitato dal piano xOy, da una certa superficie e da una superficie cilindrica, le cui generatrici sono parallele all'asse (vedi Fig. 1). La regione D di variazione delle variabili xey è chiamata base del corpo cilindrico. Nel determinare il volume di un corpo procederemo da due principi: !) se dividiamo il corpo in parti, il suo volume è uguale alla somma dei volumi di tutte le parti (proprietà dell'additività); 2) il volume di un cilindro rettilineo delimitato dal piano z=const, parallelo al piano xOy, è pari all'area della base moltiplicata per l'altezza. Nel seguito, assumeremo che la regione D sia connessa (costituita da un unico pezzo), quadrabile (cioè avente un'area) e delimitata (cioè situata all'interno di un certo cerchio centrato nell'origine). Sia una funzione continua del punto P(x, y) nella regione ovunque nella regione Z>, cioè che la superficie cilindrica considerata si trovi interamente al di sopra del piano xOy. Indichiamo con V il volume di un corpo cilindrico. Dividiamo la regione D - la base del corpo cilindrico - in un certo numero n di regioni quadrabili non intersecanti di forma arbitraria; le chiameremo regioni parziali. Dopo aver numerato le aree parziali in un certo ordine, le aree - di conseguenza. Chiamiamo il diametro di una regione parziale Dk la quantità Problema che porta al concetto di integrale doppio Definizione di integrale doppio Proprietà di base di integrale doppio Area di una regione piatta Riduzione di un integrale doppio a integrale ripetuto Cambiamento di variabili in un integrale doppio Elemento di area in coordinate curvilinee Jacobiano e suo significato geometrico Formula per il cambiamento delle variabili in un integrale doppio Integrale doppio in coordinate polari dove il simbolo p(P; Q) indica la distanza tra i punti P e Q. Indichiamo per d il maggiore dei diametri delle regioni parziali Dk (k = 1,2,..., n). Disegniamo attraverso il confine di ciascuna regione parziale una superficie cilindrica con generatori paralleli all'asse Oz. Di conseguenza, il corpo cilindrico verrà suddiviso in n corpi cilindrici parziali. Sostituiamo questo corpo parziale con un cilindro diritto con la stessa base e altezza pari all'applicata di un punto della superficie sostituita (Fig. 2). Il volume di un tale cilindro è uguale a dove il punto è l'area della regione Dk. Effettuate le costruzioni descritte per ciascun corpo cilindrico parziale, otteniamo un corpo a n gradini, il cui volume (o) Intuitivamente è chiaro che tanto più accuratamente Vn esprime il volume V desiderato quanto minore è la dimensione delle regioni parziali Non so. Assumiamo che il volume V di un corpo cilindrico sia uguale al limite verso cui tende il volume (1) di un corpo a n gradini pari a n-mille il diametro maggiore d delle regioni parziali Dk tende a zero. Naturalmente il limite non dovrebbe dipendere dal tipo di partizione della regione D in regioni parziali Dk e dalla scelta dei punti Pk nelle regioni parziali. Sia /(x, y) una funzione arbitraria definita nel dominio D. La somma n (1) è detta somma integrale della funzione f(x)y) sul dominio D, corrispondente a una data partizione di questo dominio in n domini parziali e una data scelta di punti Æ ®*,!/*) su domini parziali Dk. Definizione. Se per d -* 0 esiste un limite di somme integrali n che non dipende né dal metodo di partizionamento del dominio D in domini parziali né dalla scelta dei punti Pk nei domini parziali, allora si dice integrale doppio di la funzione f(P) (o f(x, y )) sul dominio D ed è denotata dal simbolo OR Quindi, (2) La funzione stessa f(x, y) è detta integrabile nel dominio D (f( P) è l'integrando, f(P) dS è l'integrando, dS è il differenziale (o elemento) dell'area, regione D - regione di integrazione P(®, y) - variabile di integrazione); ,.. Ritornando al corpo cilindrico, concludiamo: il volume di un corpo cilindrico delimitato dal piano xOy, dalla superficie, e da una superficie cilindrica con generatrici parallele all'asse Oz, è pari all'integrale doppio della funzione /( x, y) sulla regione D, che è la base del corpo cilindrico. / OR Qui dx dy è l'elemento dell'area in coordinate cartesiane. Questo è il significato geometrico dell'integrale doppio di una funzione non negativa. Se allora il volume If nella regione D della funzione f(P) assume valori sia positivi che negativi, allora l'integrale rappresenta la somma algebrica dei volumi di quelle parti del corpo che si trovano al di sopra del piano xOy (prese con un segno “+”) e quelle parti del corpo che si trovano sotto il piano xOy (prese con un segno “-”). I problemi più diversi, non solo quello del volume di un corpo cilindrico, portano alla compilazione di somme della forma (1) per una funzione di due variabili indipendenti e al successivo passaggio al limite. Formuliamo condizioni sufficienti per l’integrabilità. Teorema 1. Qualsiasi funzione y) continua in un dominio chiuso limitato D è integrabile in questo dominio. L'esigenza della continuità dell'integrando risulta spesso troppo restrittiva. Per le applicazioni è importante il seguente teorema che garantisce l'esistenza di un integrale doppio per una certa classe di funzioni discontinue. Diremo che un certo insieme di punti sul piano ha area zero se può essere racchiuso in una figura poligonale di area arbitrariamente piccola. Teorema 2. Se una funzione /(x, y) è limitata in un dominio chiuso e limitato D ed è continua ovunque in D tranne che per qualche insieme di punti di area zero, allora questa funzione è integrabile nel dominio D. §2. Proprietà di base dell'integrale doppio Gli integrali doppi hanno un numero di proprietà simili alle proprietà dell'integrale definito per funzioni di una variabile indipendente. 2.1. Proprietà lineare Se le funzioni) sono integrabili nel dominio D, e aep sono numeri reali qualsiasi, allora anche la funzione af) è integrabile nel dominio D, e o) 2.2. Integrazione di disuguaglianze Se le funzioni) sono integrabili nel dominio D e ovunque in questo dominio, allora (2), cioè, le disuguaglianze possono essere integrate. In particolare, integrando le ovvie disuguaglianze si ottiene L'area di una regione piana L'area di una regione piana D è uguale all'integrale doppio su tale regione di una funzione identicamente uguale all'unità. Infatti, la somma integrale per la funzione /(P) = 1 nel dominio D ha la forma e, per ogni partizione del dominio D in domini parziali Dt, è uguale alla sua area S. Ma allora il limite di questa somma, cioè, l'integrale doppio, è uguale all'area S area D: o, che è lo stesso, (3) 2.4. Stima dell'integrale Sia la funzione /(P) continua in una regione chiusa e limitata D, siano M e mn i valori più grande e più piccolo di /(P) nella regione D e 5 la sua area. Quindi (4) 2.5. Additività: Se la funzione /(P) è integrabile nel dominio D e il dominio Z) è diviso in due domini D\ e Di senza punti interni comuni, allora /(P) è integrabile su ciascuno dei domini D\ e Di e (5) 2.6. Teorema del valore medio Teorema 3 (valore medio). Se la funzione /(P) è continua in un dominio chiuso e limitato D, allora esiste almeno un punto Pc del dominio D tale che la formula e dove S è l'area del dominio D è valida /(P) è continua in un dominio chiuso e limitato D, allora assume in D il suo valore massimo M e il suo valore minimo m. Per la proprietà 4 sulla stima dell'integrale abbiamo Quindi il numero è compreso tra il più grande e il più piccolo valori della funzione /(P) nel dominio D. Per la continuità della funzione /( P) nel dominio D assume ad un certo punto Pc G D un valore pari a questo numero, da cui S Il valore f( Pc), determinato dalla formula (7), è chiamato valore medio della funzione f(P) nel dominio D. Il significato geometrico del teorema del valore medio valore Se nella regione D la funzione /(P) ^ O, allora la formula (6) significa che esiste un cilindro rettilineo con base D (la cui area è 5) e altezza H = /(Pc), il cui volume è uguale al volume del corpo cilindrico (Fig. . 3). § 3. Ridurre un integrale doppio ad un integrale iterato Uno dei modi efficaci per calcolare un integrale doppio è ridurlo a un integrale iterato. 3.1. Il caso di un rettangolo Sia l'area D un rettangolo P chiuso con i lati paralleli agli assi delle coordinate. Sia la funzione f(x, y) continua nel rettangolo P. L'integrale doppio può essere interpretato come il volume (algebrico) di un corpo cilindrico con base P, delimitato da una superficie. Consideriamo il corpo cilindrico corrispondente. Disegniamo un piano perpendicolare all'asse Oy (Fig. 4). Questo piano secherà il corpo cilindrico lungo un trapezio curvilineo delimitato dall'alto da una linea piana z, descritta dalle equazioni L'area del trapezio ABC\A\ è espressa dall'integrale dove si effettua l'integrazione su x, e yo - il secondo argomento dell'integrando - è considerato costante (c ^ Uo ^ d ). Il valore dell'integrale (1) dipende dalla scelta del valore yo. Mettiamo (2) L'espressione (2) fornisce l'area della sezione trasversale di un corpo cilindrico a in funzione di y. Pertanto, il volume di un corpo cilindrico può essere calcolato utilizzando la formula. D'altra parte, questo volume è espresso dall'integrale doppio della funzione f(x, y) sul rettangolo P. Ciò significa che sostituendo S(y) con dalla sua espressione (2), otteniamo Problema che porta al concetto di integrale doppio Definizione di integrale doppio Proprietà di base di integrale doppio Area di una regione piatta Riduzione di integrale doppio a integrale ripetuto Sostituzione di variabili in integrale doppio Elemento d'area in coordinate curvilinee Jacobiano e suo significato geometrico Formula per la sostituzione delle variabili in un integrale doppio Integrale doppio in coordinate polari L'ultima relazione è solitamente scritta come segue Il volume di un corpo cilindrico può essere ricavato anche dalle aree della sezione trasversale del piani x = x0. Ciò porta alla formula (4) Ciascuna delle espressioni a destra delle formule (3) e (4) contiene due operazioni successive di integrazione ordinaria della funzione /(x, y). Sono detti integrali ripetuti della funzione /(x, y) sul dominio P. Se f(x, y) è continua in un rettangolo chiuso P, allora la transizione agli integrali ripetuti è sempre possibile e (5) cioè la i valori degli integrali ripetuti di una funzione continua /(x, y) non dipendono dall'ordine di integrazione. Esempio 1. Trova l'integrale doppio di una funzione su un dominio Abbiamo (vedi Fig. 5): 3.2. Il caso di un dominio arbitrario Supponiamo ora che il dominio di integrazione sia un dominio chiuso D quadrato arbitrario limitato sul piano xOy, che soddisfa la seguente condizione: qualsiasi linea retta parallela all'asse Oy interseca il confine del dominio D in nessun punto più di due punti o lungo un intero segmento (Fig. . 6a). Racchiudiamo l'area D all'interno del rettangolo come mostrato in Fig. 66. Il segmento [a, 6] è una proiezione ortogonale della regione D sull'asse Oxy, e il segmento [c, dj è una proiezione ortogonale della regione D sull'asse Oy. I punti A e C dividono il confine dell'area D in due curve ABC e AEC. Ciascuna di queste curve si interseca con una linea retta arbitraria parallela all'asse Oy in non più di un punto. Pertanto, le loro equazioni possono essere scritte in una forma risolta rispetto a y: Sia f(x, y) una funzione continua nella regione D. Sezioniamo il corpo cilindrico in esame con un piano. Nella sezione otteniamo un trapezio curvilineo PQMN (Fig. 7), la cui area è espressa dall'integrale ordinario della funzione /(x, y), considerata come una funzione di una variabile y. In questo caso, la variabile y cambia dall'ordinata del punto P all'ordinata del punto Q\ punto P è l'"entrata" della linea x = const (nel piano) nella regione - il punto della sua "uscita" da questa regione. Poiché l'equazione della curva ABC è, e la curva è, queste ordinate per x prese sono rispettivamente uguali. Di conseguenza, l'integrale ci dà un'espressione per l'area di una sezione piana di un corpo cilindrico in funzione della posizione del piano di taglio x = const. Il volume dell'intero corpo sarà uguale all'integrale di questa espressione su x nell'intervallo di cambiamento. Quindi, In particolare, per l'area S della regione D otteniamo: Supponiamo ora che ciascuna retta intersechi il confine della regione D in non più di due punti P e Q, le cui ascisse siano rispettivamente uguali ( o lungo tutto il segmento) (Fig. 8). Facendo un ragionamento simile arriviamo a una formula che riduce anche il calcolo dell'integrale doppio ad uno ripetuto. Esempio 2. Calcola l'integrale doppio di una funzione sull'area D. delimitata da linee ^ Primo metodo. Descriviamo il dominio di integrazione D. La retta y = x e la parabola y = x2 si intersecano nei punti). Ciò significa che x varia entro 8 limiti da 0. Qualsiasi linea retta x = cost) interseca il confine della regione in non più di due punti. Pertanto è applicabile la formula (8): Secondo metodo (Fig. 10). Utilizzando la formula (10). otteniamo lo stesso risultato: Esempio 3. Calcolare il volume di un corpo delimitato da una superficie intersecata con il piano xOy lungo la linea di un'ellisse con semiassi dovuta alla simmetria di questo corpo rispetto ai piani coordinati xOz e y Ox otteniamo: Nota. Se la regione D è tale che alcune rette (ostratecali o orizzontali) intersecano il suo confine in più di due punti, allora per calcolare l'integrale doppio sulla regione D, occorre dividerla opportunamente in parti, ripetere ciascuno degli integrali in parti e aggiungere i risultati ottenuti. Esempio 4. Calcola l'integrale doppio sull'area D racchiusa tra due quadrati con centri e all'origine e lati paralleli agli assi coordinati, se il lato del quadrato interno è 2 e quello esterno è 4. È continuo come in un grande quadrato Q, il cui lato è 4 , e in un piccolo quadrato R. il cui lato è uguale a 2 (Fig. 12). Secondo il Teorema 1 esistono integrali della funzione e*** sui quadrati indicati, quindi il valore dell'integrale richiesto §4. Cambiamento di variabili in un integrale doppio 4.1. Il concetto di coordinate curvilinee di un punto Sia data una coppia di funzioni nella regione D* del piano uOv, che considereremo continue in tale regione e aventi derivate parziali continue. In virtù dell'equazione (1), ogni punto M*(α, v) del dominio D* corrisponde ad uno specifico punto M(x, y) nel piano xOy, e quindi i punti del dominio D* corrispondono ad un certo insieme D di punti (x, y) nel piano xOy (Fig. 13). In questo caso, si dice che le funzioni (1) mappano il dominio D4 sull'insieme D. Supponiamo che punti diversi (u, v) corrispondano a punti diversi (x, y). Ciò equivale alla risolubilità unica delle equazioni (1) rispetto a u, v: In questo caso, la mappatura è detta mappatura biunivoca del dominio D* sul dominio D. Con tale trasformazione, qualsiasi la curva continua L* che giace nel dominio D* andrà in una curva continua L che giace nella regione D. Se anche le funzioni d(x) y) e h(x, y) sono continue, allora qualsiasi linea continua LCD con l'aiuto della trasformazione (2) supererà la linea continua L* C D*. Per una data coppia Ø, valori Vo di variabili e, v dalla regione D*, è possibile determinare in modo inequivocabile non solo la posizione del punto M*(u<)> Vq) nella regione £)* stessa, ma la posizione del punto corrispondente M(xo, vo) nella regione D, xo = 4>(io, v0), 3/0 = o, vo). Ciò dà motivo di considerare i numeri u, v come nuove coordinate del punto D della regione M sul piano xOy. Sono chiamate coordinate curvilinee del punto M. L'insieme di punti nell'area D per i quali una delle coordinate rimane costante è chiamato linea coordinata. Ponendo u = vq nella formula (1), otteniamo equazioni parametriche della linea coordinata. Qui il ruolo del parametro è giocato dalla variabile u. Dando alla coordinata v vari valori costanti (possibili per essa), otteniamo una famiglia di linee coordinate (v = const) sul piano xOy. Allo stesso modo, otteniamo un'altra famiglia di linee coordinate (u = const). Se esiste una corrispondenza biunivoca tra le regioni D* e D, diverse linee coordinate della stessa famiglia non si intersecano tra loro e una linea di ciascuna famiglia passa per qualsiasi punto della regione D. La griglia di linee di coordinate curvilinee sul piano xOp è un'immagine di una griglia rettangolare sul piano uOv (vedi Fig. 13). 4.2. Elemento di area in coordinate curvilinee. Lo Jacobiano e il suo significato geometrico Selezioniamo nella regione D* sul piano Uo*V un piccolo rettangolo P*P?P$Pl con lati paralleli agli assi coordinati 0*u e O"v e lunghezze dei lati Ai e Av (per definizione, assumiamo che A ) rispettivamente (Fig. 14 a). La sua area Rettangolo si trasforma in un quadrilatero curvilineo * nell'area D (Fig. 146) Se i vertici P) hanno coordinate, allora, secondo le formule (1 ), i corrispondenti vertici Pi hanno coordinate). Usando la formula di Taylor per una funzione a due variabili e limitandoci ai termini del primo ordine/pc relativi ad A e Av, otteniamo i seguenti valori approssimati delle coordinate per il vertici del quadrilatero dove le funzioni sono tutte le loro derivate calcolate nel punto. Le espressioni trovate per le coordinate dei punti mostrano che, fino al più piccolo dell'ordine, un quadrilatero P\PiPiPa è un parallelogramma che Allora l'area DS di un quadrilatero può essere approssimativamente espressa in termini di lunghezza del prodotto vettoriale, Problema che porta al concetto di integrale doppio Definizione di integrale doppio Proprietà di base di integrale doppio Area di una regione piatta Riduzione di un integrale doppio ad un integrale ripetuto Sostituzione di variabili nell'integrale doppio Elemento di area in coordinate curvilinee Jacobiano e suo significato geometrico Formula per cambiare variabili nell'integrale doppio Integrale doppio in coordinate polari Determinante Dalle formule (7) e (8) del video, il valore assoluto dello Jacobiano svolge il ruolo di coefficiente di stretching locale della regione D" (in questo punto (tx, v)) quando lo si mappa sul dominio D utilizzando le formule di trasformazione (1). 4.3. Formula per cambiare variabile in un integrale doppio Siano funzioni continue effettuare una mappatura biunivoca del dominio D* su D e avere derivate parziali continue del primo ordine. Sia data una funzione continua in una regione D sul piano xOy Ogni valore della funzione) nella regione D corrisponde ad un uguale valore della funzione r = nella regione D", dove. Dividiamo la regione D*. in regioni parziali e costruisci una partizione corrispondente della regione D. Seleziona i punti nelle corrispondenti regioni parziali (u, v) e (x, y) in modo che i valori delle funzioni in essi coincidano e componiamo somme integrali per le funzioni z = /(x, y) ev) sui domini D e D* Otteniamo lo Jacobiano delle funzioni al limite poiché il diametro maggiore d* delle regioni parziali D\ tende a zero (a causa della continuità della mappa (I), il maggiore dei diametri d delle regioni parziali in D tenderà a zero), avremo dove Condizione J Ф 0 è la condizione di mappatura biunivoca locale effettuata da le funzioni Teorema 4. Per trasformare l'integrale doppio specificato in coordinate cartesiane in un integrale doppio in coordinate curvilinee è necessario sostituire le variabili x e y nella funzione integranda /(x, y) rispettivamente tramite l'elemento d'area dx dy - sua espressione in coordinate curvilinee: Esempio. Trovare l'area di una figura delimitata da iperboli m. Trovare l'area della figura indicata si riduce al calcolo dell'integrale doppio sulla regione O. Introduciamo nuove coordinate curvilinee ee o con le formule Dalla condizione dell'equazione, quello. Ciò significa che nel piano uOv abbiamo ottenuto un rettangolo (Fig. 156) - una figura più semplice della figura D. Esprimiamo xey dalle relazioni (11) attraverso uet>: Fig. 15 Quindi Integrale doppio in coordinate polari Il calcolo dell'integrale doppio è spesso semplificato sostituendo le coordinate rettangolari x e y con coordinate polari secondo le formule L'elemento d'area in coordinate polari ha la forma e la formula per il passaggio dall'integrale in coordinate cartesiane all'integrale in le coordinate polari possono essere scritte come segue: In questo caso (13) L'elemento dell'area in coordinate polari può essere ottenuto e da considerazioni geometriche (vedi Fig. 16). Area dell'area ombreggiata nella figura A = quadrato. settori. settori Scartando la quantità infinitesima di ordine superiore, la otteniamo e la prendiamo come elemento di area in coordinate polari. Quindi, per trasformare un integrale doppio in coordinate cartesiane in un integrale doppio in coordinate polari, occorre sostituire a: e y nell'integrando rispettivamente con p costp e psini, e sostituire l'elemento di area in coordinate cartesiane dx dy con l'elemento dell'area in coordinate polari p dp dip. Cominciamo ora a calcolare l'integrale doppio in coordinate polari. Come nel caso delle coordinate cartesiane rettangolari, il calcolo dell'integrale in coordinate polari si effettua riducendolo ad un integrale iterato. Consideriamo innanzitutto il caso in cui il polo O si trova all'esterno di una data regione D. Sia la regione D la proprietà che qualsiasi raggio proveniente dal polo (la linea coordinata y interseca il suo confine in non più di due punti o lungo un intero segmento (Fig. 17). Notiamo che i valori estremi i dell'angolo polare sono i limiti dell'integrazione esterna. Il raggio μ> = passa per il punto A del contorno della regione D, e il raggio per il punto B. I punti Aw B dividono il contorno della regione D in due parti: ACB e AFB e) sono funzioni continue a valore singolo che soddisfano la condizione Le funzioni sono i limiti dell'integrazione interna. Passando agli integrali ripetuti, otteniamo la seguente formula. In particolare, per l'area S della regione D con F(p, r 1 otteniamo Ora il polo O si trova all'interno della regione D. Assumiamo che la regione D è stellare rispetto al polo, cioè qualsiasi raggio tp = const interseca il confine della regione in un solo punto o lungo un intero segmento (Fig. 18). Quindi Fig. 18. Esempio. Calcolare l'integrale dove la regione è un quarto del cerchio unitario situato nel primo quadrante sarà un rettangolo L'integrale trasformato / si calcola facilmente: d Nota diverso da zero nel dominio D, allora la mappatura in un certo intorno di ciascun punto di questo dominio è biunivoca. Tuttavia, può succedere che la mappatura dell'intero dominio non sia biunivoca mappatura definita dalle funzioni. Lo Jacobiano di queste funzioni è uguale e, quindi, ovunque diverso da zero. Indipendentemente da ciò, otteniamo, quindi questa mappatura non è uno a uno. D'altra parte, se lo Jacobiano di una mappatura svanisce ad un certo punto, allora la mappatura in un intorno di questo punto potrebbe comunque risultare biunivoca. Ad esempio, per una mappatura definita da funzioni, lo Jacobiano è uguale a zero e at, ma la mappatura è uno a uno. La mappatura inversa è determinata dalle funzioni

INTEGRALI DOPPI

LEZIONE 1

Integrali doppi.Definizione di integrale doppio e sue proprietà. Integrali iterati. Riduzione degli integrali doppi a integrali ripetuti. Fissare i limiti dell’integrazione. Calcolo degli integrali doppi nel sistema di coordinate cartesiane.

L'integrale doppio è una generalizzazione del concetto di integrale definito al caso di una funzione di due variabili. In questo caso, invece del segmento di integrazione, ci sarà una sorta di cifra piatta.

Permettere Dè un'area limitata e chiusa, e F(x,y) è una funzione arbitraria definita e limitata in quest'area. Assumeremo che i confini della regione D sono costituiti da un numero finito di curve date da equazioni della forma sì=F(X) O X=g( sì), Dove F(X) E G(sì) sono funzioni continue.

Dividiamo l'area D in modo casuale N parti. Piazza io la -esima sezione sarà indicata con il simbolo D sì io. In ogni sezione, selezioniamo casualmente un punto Pi, e lasciamo che abbia coordinate in qualche sistema cartesiano fisso ( x io, y io). Componiamo somma integrale per funzione F(x,y) per regione D, per fare ciò, trova i valori della funzione in tutti i punti P i, moltiplicarli per l'area delle sezioni corrispondenti Ds io e riassumo tutti i risultati ottenuti:

Chiamiamo diametro diam(G) le zone G la distanza maggiore tra i punti di confine di quest'area.

Doppio integrale funzioni f(x,y) sul dominio D è il limite al quale tende la successione delle somme intere (1.1) con aumento illimitato del numero di partizioni n (in cui). Questo è scritto come segue

Si noti che, in generale, la somma integrale per una data funzione e un dato dominio di integrazione dipende dal metodo di partizionamento del dominio D e selezionando i punti P i. Se però esiste un integrale doppio, ciò significa che il limite delle somme integrali corrispondenti non dipende più dai fattori indicati. Perché esista l’integrale doppio(o, come si suol dire, quindi quella funzione f(x,y) essere integrabile nel dominio D), è sufficiente che la funzione integranda lo sia continuo in un dato dominio di integrazione.

Lasciamo la funzione F(x,y) è integrabile nel dominio D. Poiché il limite delle somme integrali corrispondenti per tali funzioni non dipende dal metodo di partizionamento del dominio di integrazione, la partizione può essere eseguita utilizzando linee verticali e orizzontali. Quindi gran parte delle zone della regione D avrà forma rettangolare, la cui area è pari a D sì io=D x io D sì io. Pertanto, il differenziale di area può essere scritto come ds=dxdy. Quindi, nel sistema di coordinate cartesiane integrali doppi può essere scritto nella forma

Commento. Se l'integrando f(x,y)º1, quindi il doppio integrale sarà uguale all'area della regione di integrazione:

Si noti che gli integrali doppi hanno le stesse proprietà degli integrali definiti. Ne notiamo alcuni.

Proprietà degli integrali doppi.

1 0 .Proprietà lineare. L'integrale della somma delle funzioni è uguale alla somma degli integrali:

e il fattore costante può essere tolto dal segno integrale:

2 0 .Proprietà additiva. Se il dominio di integrazione D è diviso in due parti, allora l'integrale doppio sarà uguale alla somma degli integrali su ciascuna di queste parti:

3 0 .Teorema del valore medio. Se la funzione F( x,y)è continuo nel dominio D, allora in questo dominio esiste tale punto(x,h) , Che cosa:

La domanda successiva è: come vengono calcolati gli integrali doppi? Può essere calcolato in modo approssimativo; a questo scopo sono stati sviluppati metodi efficaci per compilare le somme integrali corrispondenti, che vengono poi calcolate numericamente utilizzando un computer. Quando si calcolano analiticamente gli integrali doppi, questi vengono ridotti a due integrali definiti.

Proprietà degli integrali doppi.

Alcune delle proprietà degli integrali doppi derivano direttamente dalla definizione di questo concetto e dalle proprietà delle somme integrali, vale a dire:

1. Se la funzione f(x, y) si integra in D, Quello kf(x, y)è integrabile anche in questa regione, e (24.4)

2. Se nella zona D funzioni integrabili f(x, y) E g(x, y), quindi in questo dominio le funzioni f(x, y) ± g(x, y), e in cui

3. Se per chi si integra nel territorio D funzioni f(x, y) E g(x, y) vale la disuguaglianza f(x, y)≤g(x, y), Quello

(24.6)

Dimostriamo alcune altre proprietà dell’integrale doppio:

4. Se l'area D diviso in due aree D 1 e D 2 senza punti interni e funzioni comuni f(x, y) continuativo nella regione D, Quello

(24.7) Prova . Somma integrale sull'area D può essere rappresentato come:

dov'è la partizione dell'area D disegnato in modo che il confine tra D 1 e D 2 è costituito dai confini delle parti della partizione. Passando poi al limite a , otteniamo l'uguaglianza (24.7).

5. Nel caso di integrabilità on D funzioni f(x, y) anche in questo dominio la funzione è integrabile | f(x, y) |, e vale la disuguaglianza

(24.8)

Prova.

da cui, sfruttando il passaggio al limite a, si ottiene la disuguaglianza (24.8)

6. dove SD– zona della regione D. Otteniamo la dimostrazione di questa affermazione sostituendo nella somma integrale f(x, y)≡ 0.

7. Se integrato nel territorio D funzione f(x, y) soddisfa la disuguaglianza

m ≤ f(x, y) ≤ M,

Quello (24.9)

Prova.

La dimostrazione si effettua passando al limite dalla disuguaglianza ovvia

Conseguenza.

Se dividiamo tutte le parti della disuguaglianza (24.9) per D, possiamo ottenere il cosiddetto teorema del valore medio:

In particolare, a condizione di continuità della funzione F V D c'è un tale punto in questa regione ( x0, y0), in cui F(x0, y0) = μ , questo è

-

Un'altra formulazione del teorema del valore medio.

Significato geometrico dell'integrale doppio.

Consideriamo il corpo V, limitato dalla parte di superficie data dall'equazione z = f(x, y), proiezione D questa superficie al piano O xy ed una superficie cilindrica laterale ottenuta da generatrici verticali che collegano i punti del confine della superficie con le loro proiezioni.

z=f(x,y)

V

sì P i D Fig.2.

Cercheremo il volume di questo corpo come limite della somma dei volumi dei cilindri le cui basi sono parti Δ S i regione D e le altezze sono segmenti di lunghezza F(P i), dove i punti P i appartengono a Δ S i. Passando al limite a , otteniamo che

(24.11)

cioè l'integrale doppio rappresenta il volume del cosiddetto cilindroide, delimitato superiormente dalla superficie z = f(x, y) e sotto: la regione D.

Calcolo di un integrale doppio riducendolo ad uno ripetuto.

Considera la zona D, delimitato da linee x = un, x = b(UN< b ), dove φ 1 ( X) e φ2 ( X) sono continui su [ un, b]. Quindi qualsiasi retta parallela all'asse delle coordinate O A e passando per il punto interno della regione D, interseca il confine della regione in due punti: N 1 e N 2 (figura 1). Chiamiamo quest'area corretto in na-

A Controllo dell'asse O A. Allo stesso modo, definire

y=φ 2 (X) c'è un'area corretta nella direzione

N 2 Asse O X. L'area nella direzione corretta è

Nii di entrambi gli assi delle coordinate, lo faremo

D chiamalo semplicemente giusto. Per esempio,

l'area corretta è mostrata in Fig. 1.

y=φ 1 (X) N 1

O a b x

Lasciamo la funzione f(x, y) continuativo nella regione D. Considera l'espressione

, (24.12)

chiamato doppio integrale dalla funzione f(x, y) per regione D. Calcoliamo prima l'integrale interno (tra parentesi) sulla variabile A, contando X permanente. Il risultato è una funzione continua di X:

Integriamo la funzione risultante sopra X che vanno da UN Prima B. Di conseguenza otteniamo il numero

Dimostriamo un'importante proprietà dell'integrale doppio.

Teorema 1. Se la zona D, correggere in direzione O A, diviso in due aree D 1 e D 2 rette parallele all'asse O A o asse O X, quindi l'integrale doppio sull'area D sarà uguale alla somma degli stessi integrali sulle aree D 1 e D 2:

Prova.

a) Sia una linea retta x = c pause D SU D 1 e D 2, correggere in direzione O A. Poi

+

+

b) Lasciamo la linea y = h pause D a destra in direzione O A regione D 1 e D 2 (figura 2). Indichiamo con M 1 (UN 1 , H) E M 2 (B 1 , H) punti di intersezione della retta y = h con un bordo l regione D.

sì Regione D 1 delimitato da linee continue

y=φ 2 (X) 1) y = φ 1 (X);

D 2 2) curva UN 1 M 1 M 2 IN, di cui scriviamo l'equazione

hM 1 M 2 y = φ 1 *(X), Dove φ 1 *(X) = φ 2 (X) A a ≤ x ≤ a 1 e

UN 1 D 1 Sib 1 ≤ x ≤ b, φ 1 *(X) = H A UN 1 ≤ x ≤ b 1 ;

3) dritto x = a, x = b.

Regione D 2 limitato da linee y = φ 1 *(X),

Ay= φ 2 (X),UN 1 ≤ x ≤ b 1 .

y=φ 1 (X) Applichiamo il teorema su

partizionamento dell'intervallo di integrazione:

Oh un a 1 B 1 B

+

Presentiamo il secondo degli integrali ottenuti come somma:

+ + .

Perché il φ 1 *(X) = φ 2 (X) A a ≤ x ≤ a 1 e B 1 ≤ x ≤ b, il primo e il terzo degli integrali risultanti sono identicamente uguali a zero. Quindi,

Io D = , questo è .

Tangente e normale alla superficie

Definizione. Normale alla superficie nel punto N 0 c'è una linea retta passante per il punto N 0 perpendicolare al piano tangente a questa superficie.

In ogni punto la superficie ha un solo piano tangente oppure non lo ha affatto.

Se la superficie è data dall'equazione z = f(x, y), dove f(x, y) è una funzione differenziabile nel punto M 0 (x 0, y 0), il piano tangente nel punto N 0 ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) esiste e ha l'equazione:

L'equazione della normale alla superficie a questo punto è:

Senso geometrico il differenziale totale di una funzione a due variabili f(x, y) nel punto (x 0, y 0) è l'incremento dell'applicata (coordinate z) del piano tangente alla superficie quando ci si sposta dal punto (x 0 , y 0) al punto (x 0 + Dx, y 0 +Dу).

Come puoi vedere, il significato geometrico del differenziale totale di una funzione di due variabili è un analogo spaziale del significato geometrico del differenziale di una funzione di una variabile.

Esempio. Trova le equazioni del piano tangente e normale alla superficie

nel punto M(1, 1, 1).

Equazione del piano tangente:

Equazione normale:

Calcolo dell'integrale doppio in coordinate polari.

Sia l'area D delimitata da una linea r = r() e raggi = E = , dove e R– coordinate polari di un punto del piano associato alle sue coordinate cartesiane X E sì

Relazioni (Fig. 5). In questo caso

Commento. Se la regione D in coordinate cartesiane è data da un'equazione contenente un binario, ad esempio, ecc., allora è più conveniente calcolare l'integrale doppio su tale regione in coordinate polari.

Doppio integrale. Definizioni e proprietà fondamentali.

Integrali doppi.

Consideriamo una curva chiusa sul piano la cui equazione è

L'insieme di tutti i punti che giacciono all'interno della curva e sulla curva stessa verrà chiamato regione chiusa D. Se si selezionano punti nella regione senza tenere conto dei punti che giacciono sulla curva, la regione verrà chiamata regione aperta D.

Da un punto di vista geometrico D è l'area della figura delimitata dal contorno.

Dividiamo la regione D in n regioni parziali mediante una griglia di linee distanziate tra loro lungo l'asse x di una distanza Dx i, e lungo l'asse y di una distanza Dу i. In generale, questo ordine di suddivisione è obbligatorio; è possibile suddividere l'area in aree parziali di forma e dimensione arbitrarie.

Troviamo che l'area S è divisa in rettangoli elementari, le cui aree sono uguali a S i = Dx i × Dy i.

In ciascuna regione parziale, prendi un punto arbitrario P(xi, y i) e componi la somma integrale

dove f è una funzione continua e non ambigua per tutti i punti della regione D.

Se aumentiamo all'infinito il numero delle regioni parziali D i , allora, ovviamente, l'area di ciascuna regione parziale S i tende a zero.

Definizione: Se, quando il passo di partizione del dominio D tende a zero, le somme integrali hanno un limite finito, allora questo limite è chiamato doppio integrale dalla funzione f(x, y) sul dominio D.

Tenendo conto del fatto che S i = Dx i × Dy i otteniamo:

Nella notazione sopra ci sono due segni S, perché la somma viene effettuata su due variabili x e y.

Perché La divisione della regione di integrazione è arbitraria, e anche la scelta dei punti Р i è arbitraria, quindi, considerando tutte le aree Si uguali, otteniamo la formula:

Condizioni per l'esistenza di un integrale doppio.

Formuliamo condizioni sufficienti per l'esistenza di un integrale doppio.

Teorema. Se la funzione f(x, y) è continua in un dominio chiuso D, allora esiste l'integrale doppio

Teorema. Se la funzione f(x, y) è limitata in un dominio chiuso D ed è continua in esso ovunque tranne che per un numero finito di linee morbide a tratti, allora esiste l'integrale doppio.

Proprietà dell'integrale doppio.

3) Se D = D 1 + D 2, allora

4) Teorema del valore medio. Il doppio integrale della funzione f(x, y) è uguale al prodotto del valore di questa funzione in un punto del dominio di integrazione e dell'area del dominio di integrazione.

5) Se f(x, y) ³ 0 nel dominio D, allora .

6) Se f 1 (x, y) £ f 2 (x, y), allora .

N. 43 Definizione Supponiamo che la curva Cè dato da una funzione vettoriale dove la variabile S− lunghezza dell'arco di curva. Quindi la derivata della funzione vettoriale

È un vettore unitario diretto lungo la tangente a questa curva (Figura 1).
Nella formula sopra α, β E γ − angoli tra le direzioni tangente e positiva degli assi O X, o sì e O z, rispettivamente.

Introduciamo una funzione vettoriale definita sulla curva C, quindi per una funzione scalare

Esisteva un integrale curvilineo. Tale integrale è chiamato integrale curvilineo del secondo tipo di funzione vettoriale lungo una curva C ed è indicato come

Quindi, per definizione,

dove è il vettore unitario della tangente alla curva C.
L'ultima formula può anche essere riscritta in forma vettoriale:

Dove.
Se la curva C giace nel piano O xy, quindi assumendo R= 0, otteniamo

Proprietà di un integrale curvilineo di seconda specie

Un integrale curvilineo del secondo tipo ha le seguenti proprietà: Let C denota una curva che inizia in un punto UN e punto finale B. Indichiamo con −C curva nella direzione opposta - da B A UN. Poi

Se C− combinazione di curve C 1 e C 2 (Figura 2 sopra), quindi Se la curva Cè dato parametricamente nella forma , allora Se la curva C giace nel piano O xy e viene data l'equazione Tm (si assume che R= 0 e t = x), quindi l'ultima formula viene scritta nel modulo

No. 49La superficie F è data esplicitamente z = z(x,y), (x,y)О D (compatta),

dove z(x,y) ha derivate parziali continue del primo ordine in D, la funzione f(x,y,z) è definita e continua su F. Allora esiste un integrale uguale a

Prova. Per le aree che otteniamo

Allora le somme integrali saranno uguali

La prima delle somme è intera per , la seconda può essere resa arbitrariamente piccola scegliendo una partizione sufficientemente piccola. Quest'ultima segue dalla continuità uniforme della funzione f(x,y,z(x,y)) su D.

N. 40 (continua) Una condizione sufficiente per l'esistenza di un integrale curvilineo del primo tipo verrà formulata più avanti, quando mostreremo come calcolarlo.

La definizione di integrale curvilineo del primo tipo è la stessa struttura della definizione di integrale definito. Pertanto un integrale curvilineo del primo tipo ha le stesse proprietà di un integrale definito. Presentiamo queste proprietà senza dimostrazione.

PROPRIETÀ DEGLI INTEGRALI CURVILINEI DI 1° TIPO

1. , dove è la lunghezza della curva.

2. Il fattore costante può essere tolto dal segno dell'integrale curvilineo del primo tipo, cioè

3. L'integrale curvilineo del primo tipo dalla somma algebrica di due funzioni (di numero finito) è uguale alla somma algebrica degli integrali curvilinei del primo tipo da queste funzioni, cioè

4. Se la curva è divisa in due parti e non ha punti interni comuni, allora

(proprietà di additività di un integrale curvilineo della prima specie).

5. Se la funzione () è ovunque sulla curva, allora

6. Se ovunque sulla curva (),

7. (una conseguenza delle proprietà 6 e 1) Se e sono, rispettivamente, il valore più piccolo e quello più grande della funzione sulla curva, allora

dove è la lunghezza della curva.

8. (teorema della media per un integrale curvilineo della prima specie) Se la funzione è continua sulla curva, allora esiste un punto tale che l'uguaglianza

dove è la lunghezza della curva.

N. 42 Lunghezza curva.

Se la funzione integranda f(x, y, z) ≡ 1, allora dalla definizione di integrale curvilineo di 1a specie troviamo che in questo caso è uguale alla lunghezza della curva lungo la quale viene effettuata l'integrazione:

Massa curva.

Supponendo che la funzione integranda γ (x, y, z) determini la densità di ciascun punto della curva, troviamo la massa della curva utilizzando la formula

3. Troveremo i momenti della curva l, ragionando allo stesso modo del caso di una regione piana: -

momenti statici di una curva piana l rispetto agli assi Ox e Oy;

momento d'inerzia della curva spaziale rispetto all'origine;

· momenti di inerzia della curva rispetto agli assi coordinati.

4. Le coordinate del centro di massa della curva vengono calcolate utilizzando le formule

N. 38(2) Cambiamento di variabili negli integrali tripli

Quando si calcola un integrale triplo, come un integrale doppio, spesso è conveniente effettuare un cambio di variabili. Ciò consente di semplificare la forma del dominio di integrazione o dell'integrando.

Sia dato l'integrale triplo originale in coordinate cartesiane x, y, z nel dominio U:

È necessario calcolare questo integrale nelle nuove coordinate u, v, w. La relazione tra le vecchie e le nuove coordinate è descritta dalle relazioni:

Si presuppone che siano soddisfatte le seguenti condizioni:

1. Le funzioni φ, ψ, χ sono continue insieme alle loro derivate parziali;

2. Esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti della regione di integrazione U nello spazio xyz ed i punti della regione U" nello spazio uvw;

3. Jacobiano della trasformazione I (u,v,w), uguale a

è diverso da zero e mantiene segno costante ovunque nel dominio di integrazione U.

Quindi la formula per cambiare le variabili in un integrale triplo è scritta come:

Nell'espressione sopra si intende il valore assoluto dello Jacobiano.

N. 38 Integrali tripli in coordinate sferiche

Le coordinate sferiche del punto M(x,y,z) sono tre numeri − ρ, φ, θ, dove

ρ è la lunghezza del raggio vettore del punto M;

φ è l'angolo formato dalla proiezione del raggio vettore sul piano Oxy e sull'asse Ox;

θ è l'angolo di deviazione del raggio vettore dalla direzione positiva dell'asse Oz (Figura 1).

Si noti che le definizioni di ρ, φ nelle coordinate sferiche e cilindriche sono diverse l'una dall'altra.

Le coordinate sferiche di un punto sono legate alle sue coordinate cartesiane dalle relazioni

Lo Jacobiano della transizione dalle coordinate cartesiane a quelle sferiche ha la forma:

Espandendo il determinante sulla seconda colonna, otteniamo

Di conseguenza, il valore assoluto dello Jacobiano è uguale a

Pertanto, la formula per modificare le variabili durante la conversione delle coordinate cartesiane in coordinate sferiche ha la forma:

È più conveniente calcolare l'integrale triplo in coordinate sferiche quando il dominio di integrazione U è una palla (o una parte di essa) e/o quando l'integrando ha la forma f (x2 + y2 + z2).

Superficie

Selezioniamo un punto M0 su una superficie liscia (chiusa o delimitata da un contorno liscio) e disegniamo una normale alla superficie, scegliendo per essa una certa direzione (una delle due possibili). Disegniamo un contorno chiuso lungo la superficie, che inizia e termina nel punto M0. Consideriamo un punto M che gira attorno a questo contorno e in ciascuna delle sue posizioni tracciamo la normale della direzione in cui passa continuamente la normale del punto precedente. Se, dopo aver attraversato il contorno, la normale ritorna nel punto M0 alla sua posizione originale per qualsiasi scelta del punto M0 sulla superficie, la superficie è detta bilaterale. Se la direzione della normale, dopo aver attraversato almeno un punto, cambia nella direzione opposta, la superficie è detta unilaterale (un esempio di superficie unilaterale è un nastro di Möbius Da quanto sopra segue che la scelta di la direzione della normale in un punto determina in modo inequivocabile la direzione della normale in tutti i punti della superficie.

Definizione

L’insieme dei punti della superficie che hanno la stessa direzione normale si chiama lato della superficie.

Orientamento della superficie.

Consideriamo una superficie aperta, liscia, a due lati S, delimitata da un contorno L, e scegliamo un lato di questa superficie.

Definizione

Chiamiamo positiva la direzione di attraversamento del contorno L, in cui il movimento lungo il contorno avviene in senso antiorario rispetto all'osservatore situato nel punto finale della normale ad un punto della superficie S corrispondente al lato selezionato della superficie. La direzione inversa dell'attraversamento del contorno verrà chiamata negativa.

Flusso del campo vettoriale.

Consideriamo un campo vettoriale A(M) definito in un dominio spaziale G, una superficie liscia orientata S G e un campo di normali unitarie n(M) su un lato selezionato della superficie S.

Definizione 13.3. Integrale di superficie di 1a specie, (13.1)

dove An è il prodotto scalare dei vettori corrispondenti, e An è la proiezione del vettore A sulla direzione normale, chiamata flusso del campo vettoriale A(M) attraverso il lato selezionato della superficie S.

Nota 1.

Se scegli l'altro lato della superficie, la normale e, di conseguenza, il flusso cambieranno segno.

Nota 2.

Se il vettore A specifica la velocità del flusso del fluido in un dato punto, l'integrale (13.1) determina la quantità di fluido che scorre per unità di tempo attraverso la superficie S nella direzione positiva (da cui il termine generale "flusso").

N. 53 Integrale di superficie del secondo tipo. Definizione e santi.

Definizione

Consideriamo una superficie a due lati, liscia o liscia a tratti, e fissiamo uno qualsiasi dei suoi due lati, il che equivale a scegliere un certo orientamento sulla superficie.

Per chiarezza, assumiamo innanzitutto che la superficie sia data da un'equazione esplicita e che il punto vari in una regione del piano delimitata da un contorno liscio a tratti.

Si definisca ora una funzione nei punti di questa superficie. Dopo aver diviso la superficie in parti con una rete di curve lisce a tratti e scelto un punto su ciascuna di queste parti, calcoliamo il valore della funzione in un dato punto e lo moltiplichiamo per l'area della proiezione sul piano di l'elemento, dotato di un certo segno. Facciamo una somma integrale:

Il limite finale di questa somma integrale quando i diametri di tutte le parti tendono a zero è chiamato integrale di superficie del secondo tipo

si estende sul lato selezionato della superficie ed è indicato dal simbolo

(qui) ricorda l'area di proiezione di un elemento di superficie su un piano

Se invece che su un piano proiettiamo elementi di superficie su un piano o , allora otteniamo altri due integrali di superficie del secondo tipo:

Nelle applicazioni, si incontrano più spesso connessioni di integrali di tutti questi tipi:

dove sono funzioni di , definite in punti della superficie.

Relazione tra integrali di superficie di seconda e di prima specie

Dov'è il vettore normale unitario della superficie - ort.

Proprietà

1. Linearità: ;

2. Additività: ;

3. Quando cambia l'orientamento della superficie, l'integrale di superficie cambia segno.

N. 60 Operatornabla (operatore di Hamilton)- operatore differenziale vettoriale, indicato con il simbolo (nabla). Per lo spazio euclideo tridimensionale in coordinate cartesiane rettangolari, l'operatore nabla è definito come segue: dove sono i versori lungo gli assi x, y, z.

Proprietà dell'operatore osservabile. Questo vettore ha senso se combinato con la funzione scalare o vettoriale a cui è applicato. Se moltiplichi il vettore per lo scalare φ, ottieni un vettore che rappresenta il gradiente della funzione. Se un vettore viene moltiplicato scalarmente per un vettore, il risultato è uno scalare

cioè la divergenza del vettore. Se moltiplichi per vettore, ottieni il rotore di un vettore:

Nota: oltre che per denotare il prodotto scalare e vettoriale in generale, quando vengono utilizzati con l'operatore nabla, insieme a quelli usati sopra, vengono spesso utilizzate notazioni alternative equivalenti, ad esempio, invece di spesso scrivono , e invece di loro scrivere ; questo vale anche per le formule riportate di seguito.

Di conseguenza, il prodotto scalare è un operatore scalare chiamato operatore di Laplace. Anche quest'ultimo è designato . Nelle coordinate cartesiane, l'operatore di Laplace è definito come segue: Poiché l'operatore Nabla è un operatore differenziale, quando si trasformano le espressioni è necessario tenere conto sia delle regole dell'algebra vettoriale che delle regole di differenziazione. Per esempio:

Cioè, la derivata di un'espressione dipendente da due campi è la somma di espressioni in ciascuna delle quali è differenziato un solo campo. Per comodità di indicare su quali campi agisce nabla, è generalmente accettato che nel prodotto di campi e operatori, ciascun operatore agisca sull'espressione a destra di esso e non su tutto a sinistra. Se l'operatore deve agire su un campo a sinistra, questo campo viene contrassegnato in qualche modo, ad esempio posizionando una freccia sopra la lettera: Questa forma di notazione viene solitamente utilizzata nelle trasformazioni intermedie. A causa del suo inconveniente, stanno cercando di eliminare le frecce nella risposta finale.

№61 Operazioni differenziali vettoriali del secondo ordine Le seguenti cinque operazioni vengono chiamate:

1. dove è l'operatore di Laplace.

- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -

2

- - - - - - - - - - - - -

3 .

- - - - - - - - - - - - - - - - -

4. Ecco la quantità vettoriale ottenuta applicando l'operatore di Laplace a ciascuna proiezione del vettore.

- - - - - - - - - - - - - - -