미터법 공간. 거리(미터법)
1. 고립된 점들의 공간.
임의의 집합과
2. 거리가 있는 실수 집합은 미터법 공간을 형성합니다.
3. 실수 그룹 c의 집합을 차원 산술 유클리드 공간이라고 합니다.
증거.
공간이 미터법임을 증명하려면 공리의 만족 여부를 확인해야 합니다.
허락하다 , , .
, , …, , 즉. .
A3. 삼각형 공리가 성립하는지 확인해 봅시다. 공리를 다음 형식으로 작성해 보겠습니다.
, , 을 가정하면 및 .
이 부등식을 증명하기 위해 Cauchy-Bunyakovsky 부등식을 사용합니다.
정말,
결과적으로, 삼각형 공리는 만족되고, 주어진 메트릭을 사용하여 고려 중인 집합은 메트릭 공간입니다.
Q.E.D.
4. 를 갖는 실수들의 순서화된 그룹의 집합. 이 미터법 공간은 으로 표시됩니다.
5. . 이 미터법 공간은 으로 표시됩니다.
예 3, 4, 5는 동일한 포인트 재고가 다른 방식으로 측정될 수 있음을 보여줍니다.
6. 거리가 있는 세그먼트에 정의된 모든 연속 실수 함수의 집합입니다. 이 미터법 공간은 공간 자체의 점 집합으로 표시됩니다. 특히 대신에 .
7. through는 조건을 만족하는 실수의 가능한 수열이 모두 점으로 이루어진 메트릭 공간(metric space)을 나타내며, 메트릭은 다음 공식으로 정의됩니다.
증거.
이후로 그것은 모두에게 의미가 있습니다. 저것들. 계열은 다음과 같은 경우 수렴합니다.
공리를 만족하는 것이 무엇인지 보여드리겠습니다.
공리 1, 2는 분명합니다. 삼각형 공리는 다음과 같은 형식을 취합니다.
모든 계열은 수렴합니다.
불평등은 누구에게나 해당됩니다(예 3 참조). 에 대한 불평등을 얻을 때.
Q.E.D.
8. 구간과 에서 연속인 모든 함수의 집합을 생각해 보세요. 이러한 미터법 공간은 2차 미터법을 사용하는 연속 함수 공간으로 표시되고 호출됩니다.
9. 모든 유계 실수 수열의 집합을 생각해 보세요. 정의해보자. 이 미터법 공간은 으로 표시됩니다.
10. 거리가 이고, 가 임의의 고정된 숫자인 순서화된 실수 그룹의 집합은 로 표시되는 미터법 공간입니다.
이 예에서 고려된 메트릭은 (예 3 참조)에 대한 유클리드 메트릭과 에 대한 예 4의 메트릭으로 전환됩니다. 메트릭(예 5 참조)은 제한적인 경우임을 알 수 있습니다.
11. 조건을 만족하는 실수의 가능한 수열을 모두 고려하십시오. 여기서 는 고정된 숫자이고 거리는 공식에 의해 결정됩니다. 미터법 공간이 있습니다.
12. 복소수의 모든 무한 수열의 집합이라고 하자. 정의해보자. 미터법 공간이 있습니다.
정의: 미터법 공간이 되고 의 하위 집합이 되기를 바랍니다. 그런 다음 현재 정의된 동일한 함수를 사용하여 다음과 같은 미터법 공간이 있습니다. 부분공간공간.
기본 개념
미터법 공간을 로 나타내자.
정의: 미터법 공간에 속하는 시퀀스를 호출합니다. 근본적인, 각각이 부등식인 숫자에 해당하는 경우.
정의: 미터법 공간에 속하는 시퀀스를 호출합니다. 수렴하는, 각각이 불평등이 모든 사람에게 적용되는 숫자에 해당하는 경우. 그런 다음 호출됩니다. 한계시퀀스.
정리: 시퀀스에 제한이 있으면 고유한 것입니다.
증거.
실제로, 만약 그리고 , 그렇다면 . 이후 and , then , 즉 .
정리가 입증되었습니다.
정의: 전체 미터법 공간각 기본 시퀀스가 수렴되는 미터법 공간입니다.
정리: 두 인수의 함수인 메트릭은 연속 함수입니다. 만약 그리고 , 그러면 .
증거:
허락하다 , , , .
삼각형 부등식으로:
(1)로부터 우리는 다음을 얻습니다:
(2)로부터 우리는 다음을 얻습니다:
왜냐하면 ,
을 나타내자.
안에 미터법 공간다양한 집합, 점의 이웃, 한계점 및 기타 고전적 분석 개념을 고려할 수 있습니다.
정의: 아래에 주위점은 점에 중심이 있는 반경의 열린 공을 포함하는 집합을 의미합니다.
정의: 포인트라고 합니다 한계점한 점의 이웃이 와는 다른 하나 이상의 점을 포함하는 경우 세트에 대해.
정의: 포인트라고 합니다 내부점해당 이웃의 일부와 함께 포함되는지 여부를 설정합니다.
정의: 세트라고 합니다 열려 있는, 내부 점만으로 구성된 경우. 세트라고 합니다 닫은모든 한계점을 포함하는 경우 자체적으로.
미터법 공간이 닫혀 있습니다.
부분 공간은 닫힌 부분 집합이 될 수 없습니다.
모든 한계점을 추가하면 종료됩니다.
정의: 미터법 공간에 있는 집합을 집합이라고 합니다. 닫은, 클로저와 일치하는 경우: .
닫힌 집합은 을 포함하는 가장 작은 닫힌 집합입니다.
정의: 허락하다 . 세트라고 합니다 단단한에, 만약에 . 세트라고 합니다 곳곳에 밀집된, 만약에 . 세트라고 합니다 어디에도 빽빽하지 않은, 공이 무엇이든 세트 포인트에서 벗어난 또 다른 공이 있습니다.
정의: 모든 곳에서 밀집된 셀 수 있는 집합을 포함하는 공간을 분리 가능 공간이라고 합니다.
수학적 분석에서는 수직선의 완전성, 즉 실수의 모든 기본 수열이 특정 한계(코시 수렴 기준)에 수렴한다는 사실이 중요한 역할을 합니다.
수직선은 완전한 미터법 공간의 예입니다.
고립된 점의 공간, , , , , 는 완전한 미터법 공간.
공간 완전하지 않은.
분석에서는 소위 말하는 방법을 널리 사용합니다. 중첩된 세그먼트의 보조정리 :
중첩된 세그먼트의 시스템이라고 가정하겠습니다. 그런 다음 세그먼트에 대해 .
이는 세트의 모든 세그먼트에 공통점이 있음을 의미합니다.
미터법 공간 이론에서 내장된 공에 대한 정리도 비슷한 역할을 합니다.
정리: 미터법 공간이 완성되기 위해서는 반경이 이고, 서로 박혀 있는 모든 공의 순서가 비어 있지 않은 교차점을 갖는 것이 필요하고 충분합니다.
증거:
필요성:
완전한 미터법 공간이라고 하고 서로 내장된 일련의 닫힌 공이라고 하자.
반경을 a라고 하고 공의 중심을 a라 하자.
중심의 순서는 기본적입니다. 이후 at , 및 at 입니다. 이후 - 완료되면 . 그럼 넣어 봅시다. 실제로 공에는 점을 제외하고 시퀀스의 모든 점이 포함되어 있습니다. 따라서 그 지점은 각 공의 터치 지점(제한 지점)입니다. 하지만 은 닫힌 집합이므로 .
적절:
기본 시퀀스를 보자. 한계가 있음을 증명해 보겠습니다. 기본성으로 인해 모든 항목에 대해 시퀀스의 한 지점을 선택할 수 있습니다. 반경이 닫힌 공의 중심을 점으로 삼아 이 공을 표시해 봅시다. , 서로 내장되어 있고 공 - 반경의 일부 닫힌 공에는 완료 시 특정 지점이 포함됩니다.
모듈 2.
강의 17. 여러 변수의 기능
섹션 17.1. n차원 공간
1. 다차원 공간
2. 거리(미터법)의 개념. 미터법 공간
3. 군집분석의 원리
섹션 17.2 다중 변수 기능
1. 여러 변수의 기능
2. 부분파생상품
3. 이중 적분
4. 극좌표 및 적분 오일러-퓌송
프로그램 조항
강의에서는 2차원보다 큰 공간과 관련된 문제에 대해 논의합니다. 거리 개념의 도입, 군집 분석에서 거리의 사용, 여러(우리의 경우에는 2개) 변수의 함수, 편도함수를 사용한 특성화 등 면적과 부피를 계산합니다. 확률 이론에서 무작위 벡터를 연구할 때 두 변수의 함수와 이중 적분의 개념이 필요합니다. 강의 자료는 확률 이론의 주요 적분 중 하나인 오일러-푸아송 적분의 계산으로 끝납니다(가우시안 함수의 무한 적분은 취할 수 없는 것이며 적분 한계의 경우 이러한 적분의 계산 명확하지 않은 방법을 사용해야 하며 그 중 하나가 여기에 나와 있습니다.)
강의 자료를 공부하기 전에 함수, 도함수, 적분의 정의를 반복하세요.
문학
B.P. Demidovich, V.A. Kudryavtsev "고등 수학 단기 과정" XX장(§1, 2.3,10), XXIV장(§1, 2,3,4,7)
자제력을 위한 질문
1. n차원이라고 불리는 공간은 무엇입니까?
2. 거리를 만족해야 하는 조건은 무엇인가요?
3. 미터법이라고 불리는 공간은 무엇입니까?
4. 군집분석은 어떤 용도로 사용되나요?
5. 2변수 함수의 그래프는 무엇입니까? 레벨 라인이란 무엇입니까?
6. 부분도함수란 무엇인가요?
7. 이중 적분의 정의를 제시하십시오. 면적과 부피를 계산하는 데 어떻게 사용할 수 있나요?
8. 점 A(1,2,3)과 B(5,1,0) 사이의 거리를 구합니다(다른 거리를 사용).
9.기능 수준 라인 찾기
z = x + y.
10. 함수의 편도함수 찾기 
11. 선으로 둘러싸인 도형의 넓이 구하기
12. 계산
섹션 17.1. 다차원 공간의 개념
정의 17.1.1. n차원 공간.
직교 좌표계가 평면 R2에 고정되어 있으면 평면의 점과 가능한 모든 숫자 쌍(x, y) 사이에 일대일 대응이 있습니다(x와 y는 점의 좌표입니다). . 유사한 좌표계가 공간에 주어지면 공간의 점과 좌표(가능한 모든 삼중항(x, y, z)) 사이에 일대일 대응도 있습니다.
거리(미터법). 미터법 공간
정의 17.1.2
미터법 공간( 중 ,디)는 점 M의 집합이며, 그 제곱에는 (즉, M의 점 쌍에 대해) 거리 함수(미터법)가 제공됩니다. 이는 다음과 같이 정의됩니다:
모든 포인트에 대해 엑스, 와이, 지~에서 중이 함수는 다음 조건을 충족해야 합니다.
이러한 공리는 거리의 직관적인 개념을 반영합니다. 예를 들어 거리는 음수가 아니어야 하며 엑스~ 전에 와이에서와 동일 와이~ 전에 엑스. 삼각형 부등식은 다음을 의미합니다. 엑스~ 전에 지첫 번째 걷기보다 짧거나 길지 않을 수 있습니다. 엑스~ 전에 와이, 그런 다음 와이~ 전에 지.
우리에게 가장 친숙한 것은 유클리드 거리(Euclidean distance)입니다. 그러나 이것이 설정하는 유일한 방법은 아닙니다. 예를 들어, 다음 거리는 위의 공리를 충족합니다. d(x,y) = 1, 만약에 x ≠ y그리고 d(x,y) = 0, 만약에 x = y.
공간의 특정 요구 사항이나 속성에 따라 다양한 측정 기준을 고려할 수 있습니다.
거리의 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
정의 17.1.3.
유클리드 거리.이것이 가장 일반적인 유형의 거리인 것으로 보입니다. 이는 단순히 다차원 공간에서의 기하학적 거리이며 다음과 같이 계산됩니다.
d(x,y) = ( i (x i - y i) 2 ) 1/2
유클리드 거리(및 그 제곱)는 표준화된 데이터가 아닌 원본 데이터에서 계산됩니다. 이는 이를 계산하는 일반적인 방법으로, 특정 이점이 있습니다(예를 들어, 분석에 새 개체가 도입될 때 두 개체 사이의 거리는 변경되지 않으며 이는 이상치가 될 수 있음). 그러나 거리는 거리가 계산되는 축 간의 차이에 의해 크게 영향을 받을 수 있습니다. 예를 들어 축 중 하나를 센티미터 단위로 측정한 다음 이를 밀리미터로 변환하면(값에 10을 곱함) 좌표에서 계산된 최종 유클리드 거리(또는 유클리드 거리의 제곱)가 변경됩니다. 있으며, 이에 따라 군집분석의 결과는 이전의 결과와 크게 다를 수 있다.
제곱된 유클리드 거리.표준 유클리드 거리는 더 멀리 떨어져 있는 물체에 더 큰 가중치를 부여하기 위해 제곱됩니다. 이 거리는 다음과 같이 계산됩니다(이는 이전 단락의 측정 단위 영향에 대한 참고 사항에도 적용됩니다).
d (x, y) = i (x i - y i) 2
도시 블록 거리(맨해튼 거리).이 거리는 단순히 좌표 간의 차이의 평균입니다. 대부분의 경우 이 거리 측정은 일반적인 유클리드 거리와 동일한 결과를 생성합니다. 그러나 이 측정의 경우 개인별 큰 차이(이상치)의 영향이 감소합니다(제곱되지 않기 때문에). 맨해튼 거리는 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.
d(x,y) = i |x i - y i |
체비쇼프 거리.이 거리는 두 개체의 어느 한 좌표(한 차원)가 다른 경우 두 개체를 "다른" 것으로 정의하려는 경우 유용할 수 있습니다. 체비쇼프 거리는 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.
d(x,y) = 최대 |xi - yi |
(Max는 최대값을 의미합니다 - 차이점 모듈의 모든 값 중 가장 큰 값입니다)
권력 격차.때때로 해당 객체가 매우 다른 차원과 관련된 가중치를 점진적으로 늘리거나 줄이기를 원할 수 있습니다. 이는 다음을 사용하여 달성할 수 있습니다. 권력 격차. 전력 거리는 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.
d(x,y) = ( i |x i - y i | p) 1/r
어디 아르 자형그리고 피-사용자 정의 매개변수. 몇 가지 계산 예를 통해 이 측정값이 "작동"하는 방식을 확인할 수 있습니다. 매개변수 피개별 좌표에 따른 차이의 점진적인 가중치를 담당합니다. 아르 자형물체 사이의 먼 거리를 점진적으로 측정하는 역할을 담당합니다. 두 매개변수가 모두 아르 자형그리고 피, 가 2와 같으면 이 거리는 유클리드 거리와 일치합니다.
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지금까지 거리에 관해 이야기할 때 우리는 항상 유클리드 거리를 의미했습니다. 그래서 우리는 벡터 사이의 거리를 벡터의 길이로 정의했습니다. 즉,
그러나 거리는 다양한 길이 측정 방법을 사용하여 다른 방식으로 계산할 수 있습니다. 예를 들어, 양방향 거리의 직사각형 그리드 형태로 단순화된 도시 지도를 생각해 보세요. 그러면 적절한 길이 측정은 한 교차로에서 다른 교차로로 이동하기 위해 이동해야 하는 최단 거리가 될 수 있습니다. 때로는 이 거리를 맨해튼이라고 부르기도 합니다.
대부분 필요하지 않은 모든 가능한 길이 측정값을 나열하는 대신 이제 임의의 길이 측정값이 충족해야 하는 요구 사항(공리)을 고려해 보겠습니다. 거리에 관한 모든 후속 정리는 이러한 공리의 틀 내에서, 즉 가장 일반적인 형태로 입증됩니다. 수학에서는 "길이 측정"이라는 표현 대신 메트릭이라는 용어를 사용하는 것이 일반적입니다.
측정항목.
집합 X의 메트릭은 곱 x에 정의되고 다음 공리를 충족하는 실수 함수 d(x, y)입니다.
b) 수반
d) 모두에 대한(삼각형 부등식)
미터법 공간은 유클리드 거리가 공리 (a), (b) 및 (c)를 충족한다는 증거는 간단합니다. 삼각형 부등식:
우리는 이를 섹션 3.1(정리 3.1.2)에서 증명했습니다. 따라서 유클리드 거리는 미터법이며, 앞으로는 이를 유클리드 미터법이라고 부르겠습니다.
공간에서 중요한 메트릭 클래스 중 하나, 즉 -metrics 클래스를 고려해 보겠습니다. -metric은 유클리드 메트릭의 일반화이며 에 대해 일치합니다. p-metric의 경우 다음과 같이 정의됩니다.
증거없이 다음 사실을 남겨 두겠습니다.
-metric이 실제로 메트릭임을 증명합니다. 우리가 생략한 공리도 충족합니다. 부분적으로 이 질문은 연습에 포함됩니다.
메트릭의 정의에서는 요소 x와 y가 공간에 속할 것을 요구하지 않았습니다. 이를 통해 집합 X와 해당 요소 x, y 등을 다양한 방법으로 정의할 수 있습니다. 우리의 임무는 프랙탈 구성이 수렴되는 조건을 나타내는 것입니다. 이렇게 하려면 컴팩트 세트 사이의 거리를 측정할 수 있어야 합니다. 즉, 적절한 측정 기준을 결정해야 합니다.
미터법 공간에 이론을 설정합니다.
우리는 큰 진전을 이루어 유클리드 메트릭을 암시하는 섹션 3.1의 집합 이론 정의를 임의의 메트릭으로 확장해야 합니다. 미터법 공간(X, d)의 열린 공은 다음과 같이 정의됩니다.
(3.4)를 고려하면 다음 개념에 대한 위의 정의를 변경하지 않고 그대로 둘 수 있습니다.
예를 들어, 집합은 E에 포함된 열린 공(정의(3.4)의 의미에서)을 지정할 수 있는 경우에만 열린 집합입니다. 목록에는 다음을 제외하고 변경 없이 모든 정의가 포함됩니다. 컴팩트함의 개념. 임의의 미터법 공간에서 컴팩트 세트의 엄격한 정의가 부록에 나와 있습니다. 우리는 주로 공간 하위 집합의 컴팩트함에 관심이 있으므로 위에 주어진 정의(폐쇄성 및 경계성)가 여전히 유효합니다.
가 집합 X의 메트릭이고 일대일 실수 함수인 경우
X에 대한 메트릭도 있습니다. 공리 (a)와 (c)는 분명히 만족됩니다. 일대일 함수이므로 공리 (b)를 만족합니다. 공리 (d)는 부등식으로 작성됩니다:
즉, 실수에 대한 고전적인 삼각형 부등식입니다. 다음과 같이 정의된 측정항목의 예:
집합 X에 정의된 두 측정항목은 다음과 같이 지정할 수 있는 경우 동일하다고 합니다.
공간에서 두 개의 -metrics가 동등한 것으로 표시될 수 있습니다(사례는 이 섹션 끝에 있는 연습 3에 표시됨). 반면에 세트 R의 메트릭은 동일하지 않습니다(이 섹션 끝에 있는 연습 4).
분명히 프랙탈 이론에 대한 측정법의 동등성의 주요 결과는 측정법을 동등한 측정법으로 대체할 때 프랙탈 차원(5장)이 보존된다는 사실입니다. 더욱이 집합이 하나의 메트릭에서 열려(닫혀) 있으면 모든 동등한 메트릭에서도 열려(닫혀) 있습니다. 또한 세트가 하나의 측정항목으로 제한되면 해당 세트는 동일한 측정항목으로도 제한됩니다. 완벽하고 연결되어 있으며 완전히 불연속적인 집합에도 동일하게 적용됩니다.
수렴.
집합 X의 메트릭이라고 합시다. 숫자의 시퀀스가 일반적인 의미에서 0으로 수렴하는 경우, 즉 다음과 같은 경우 메트릭 공간 X의 일련의 점은 메트릭 d의 극한으로 수렴합니다.
여기서 측정항목의 동등성은 다음과 같이 표현됩니다. 메트릭이 동일하면 -metric에 있는 경우에만 -metric에 있는 경우에만 다음과 같습니다.
그렇다면 그 반대도 마찬가지입니다.
연속성.
미적분학 과정에서 X에 정의된 함수는 if 지점에서 연속이라고 합니다.
분석에서 가장 중요한 작업 중 하나는 한계까지 통과하는 것입니다. 이 연산은 한 지점에서 다른 지점까지의 거리가 수직선으로 정의된다는 사실에 기초합니다. 분석의 많은 기본 사실은 실수의 대수적 특성(즉, 필드를 형성한다는 사실)과 관련이 없으며 거리 개념에만 의존합니다. 실수의 아이디어를 요소 사이의 거리가 도입되는 집합으로 일반화하면 현대 수학의 가장 중요한 개념 중 하나인 미터법 공간의 개념에 도달하게 됩니다.
미터법 공간커플이라고 불렀어 (X, r),일부로 구성된 세트(공백) X 요소(점) 및 거리즉, 음이 아닌 실수 함수 r(x,y),누구에게나 특정한 엑스그리고 ~에~에서 엑스다음 세 가지 공리를 따릅니다.
1) r(x, y)= 0인 경우에만 엑스 = 와이,
2) r(x, y) = r(y, x)(대칭 공리),
3) r(x, z)≤ r(x, y)+ r (와이, r)(삼각형 공리).
미터법 공간 자체, 즉 쌍 (X, ρ),원칙적으로 하나의 문자로 표시합니다.
R = (X, ρ).
오해가 배제된 경우, 우리는 종종 "점의 재고" 자체와 동일한 기호로 미터법 공간을 표시합니다. 엑스.
미터법 공간의 예를 들어보겠습니다. 이러한 공간 중 일부는 분석에서 매우 중요한 역할을 합니다.
1. 임의 집합의 요소 설정
우리는 분명히 미터법 공간을 얻습니다. 고립된 점들의 공간이라고 할 수 있다.
2. 거리가 있는 실수 집합
ρ(x, y) = | x - y |
미터법 공간을 형성합니다 아르 자형 1 .
3. 주문한 세트 피거리가 있는 실수
~라고 불리는 피-차원 산술 유클리드 공간 아르 자형N.
4. 동일한 세트 세트를 고려하십시오. 피실수이지만 공식으로 거리를 정의합니다.
여기서 공리 1)-3)의 타당성은 명백합니다. 이 미터법 공간을 기호로 표시하겠습니다. 아르 자형N 1 .
5. 예제 3과 4에서와 동일한 세트를 다시 가져오고 공식을 사용하여 해당 요소 사이의 거리를 결정합니다.
공리 1)-3)의 타당성은 명백합니다. 이곳이 우리가 지정할 공간이에요 아르 자형N¥ 많은 분석 질문에서 유클리드 공간보다 덜 편리하지 않습니다. 아르 자형N.
마지막 세 가지 예는 동일한 포인트 재고가 다른 방식으로 측정될 수 있기 때문에 미터법 공간 자체와 해당 포인트 집합에 대해 서로 다른 표기법을 갖는 것이 때로는 실제로 중요하다는 것을 보여줍니다.
6. 많이 와 함께구간에 정의된 모든 연속 실수 함수 거리가 있는
또한 미터법 공간을 형성합니다. 공리 1)-3)은 직접 검증됩니다. 이 공간은 분석에서 매우 중요한 역할을 합니다. 같은 기호로 표시하겠습니다. 와 함께, 이는 이 공간 자체의 점 집합입니다.
7. 예제 6에서처럼 구간에서 연속인 모든 함수의 집합을 생각해 보세요. 와 함께 ,하지만 거리를 다르게 정의해 보겠습니다.
우리는 그러한 미터법 공간을 표시할 것입니다 와 함께 2 그리고 전화해 2차 메트릭을 사용한 연속 함수의 공간.