비선형 음향 진동. 비선형 진동 선형 시스템의 진동

페첸킨 A.A. 패러다임과 이데올로기 : 비선형 진동 이론 역사의 철학적 재구성 경험 // 과학 철학. Vol. 7: 현대 자연과학 패러다임의 형성 - M.: , 2001

A.A.페첸킨

패러다임과 이데올로기: 이론사의 철학적 재구성 경험

비선형 진동*

서문

"작동 중인" 도입된 개념을 보여주기 위해 비선형 진동 이론 역사의 여러 단편을 고려해 보겠습니다. 우리는 Kuhnian 사회학적 의미에서 "비선형 진동 이론"이라는 용어를 사용합니다. 이것은 단순한 연역적 시스템(또는 이를 공식화하려는 시도)이 아니라 사회적 현상, 즉 20년대 후반에 개발된 아이디어입니다. 20세기와 30년대. 일반적으로 L.I. Mandelstam 학교라고 불리는 과학자 커뮤니티. 이러한 방식으로 고려된 비선형 진동 이론은 네덜란드 물리학자이자 무선 엔지니어인 B. Van der Pol이 이미 20년대 초반에 연구한 전기 진동의 비선형 이론을 대체했습니다. 1927년에 L.I. Mandelstam은 대학원생인 A.A. Andronov를 위해 과제를 설정했고, 그 결과 L.I. Mandelstam의 다른 두 대학원생인 A.A. Khaikin이 참여했습니다. 동시에 L.I. Mandelstam은 비선형 진동 이론의 창설을 시작했을 뿐만 아니라 그의 친구이자 공동 저자인 N.D. Papaleksi와 함께 이 이론의 발전에 기여했습니다. L.I. Mandelstam의 다른 학생, N.D. Papaleksi의 직원, A.A. Andronov의 학생 및 직원도 1931년에 모스크바에서 Gorky(현재 Nizhny Novgorod)로 이주하여 그곳에서 자신의 학교를 설립했습니다. Mandelstam 학교의 한 분과로 간주됩니다.

비선형 진동 이론은 해외에서 즉시 인정되지 않았습니다. N. Minorsky가 L.I. Mandelstam 학교의 주요 결과를 발표 한 전후 몇 년 동안 완전한 인식이 이루어졌습니다. 1949년에 A.A. Andronov, A.A. Witt 및 S.E. Khaikin의 책 "Theory of Oscillations"이 1937년 소련에서 출판되었습니다(Witt가 체포된 이후로 이 책의 제목에서 그의 이름이 삭제되었습니다). , 비선형 진동 이론의 주요 내용과 프로그램을 제시하는 책입니다 (어쨌든 Mandelstam이이 책의 서문에서 말한 내용입니다). 1966년에 Andronov의 학생 N.A. Zheleztsov가 준비한 이 책의 두 번째 판(1959)의 영어 번역본이 출판되었습니다. 그 후, 비선형 역학에 관한 일반적인 출판 흐름에 용해된 비선형 진동 이론에 대한 작업을 수행합니다.

이 글에서는 패러다임뿐만 아니라 이데올로기도 비선형진동이론의 형성과 발전을 이끌었으며, 70년대에 밝혀진 것은 사소하지 않은 개념을 낳은 것이 이데올로기였음을 보여줄 계획이다. 시너지 효과 분야-자기 조직 이론. 다음 단락에서

비선형 진동 이론이 형성된 패러다임에 대해 이야기하겠습니다. 세 번째 단락에서는 이 패러다임이 "실행 중인" 것을 살펴보겠습니다. T. Kuhn이 "퍼즐 풀기"라고 불렀던 경로에서 얻은 비선형 진동(30초) 이론의 여러 성과에 대해 논의해 보겠습니다. 네 번째 단락에서는 비선형 진동의 이데올로기를 설명하고 패러다임 내에서 해결된 문제의 경계를 넘어 그것이 어떻게 "작동"했는지 추적할 것입니다.

비선형 진동 이론의 패러다임

위에서 언급한 바와 같이, 비선형 진동 이론은 반 데르 폴(van der Pol)의 비선형 전기 진동 이론을 대체했습니다. 후자는 결국 무선 기술 장치, 즉 튜브 발생기 이론의 개발과 유 전적으로 연결됩니다. 실제 장치와 마찬가지로 "마찰"(즉, 비보존적 시스템)로 작동하는 이 장치에서는 감쇠되지 않은 진동이 발생합니다. 물론 이는 시스템에 에너지원이 포함되어 있음을 의미합니다(또는 에너지가 외부에서 시스템으로 유입됨). 그러나 우리는 강제 진동에 대해 말하는 것이 아닙니다. 튜브 생성기 자체는 감쇠되지 않은 진동을 생성합니다. 이는 자율 시스템입니다(이러한 시스템의 미분 방정식에는 시간이 명시적으로 포함되지 않습니다). 비주기적인 에너지 원을 가진 시스템. 진동 회로 외에도 피드백을 통해 진동 회로에 연결된 증폭기(전자 튜브)를 포함하는 튜브 발진기의 특수 설계로 인해 지속적인 진동이 발생합니다.

반데르폴 이론의 패러다임에 대한 질문을 남겨두고, 20년대 후반 만델스탐, 안드로노프 및 그들의 협력자들의 연구에서 나타난 패러다임을 기술할 것이다. 우리는 1969년 보충자료에서 Kuhn이 나열한 "규제 매트릭스의 요소"를 따를 것입니다. 그의 저서 '과학혁명의 구조'에 등장한다.

첫 번째 요소로 쿤은 보편적인 과학 법칙을 표현하는 수학적 공식인 "기호적 일반화"를 지적합니다. 현대 물리학에서는 주로 미분방정식을 사용합니다. "기호적 일반화"는 이러한 "일반화"를 "해독"하여 특정 작업의 공식화가 진행되도록 충분히 커야 합니다.

Van der Pol은 간단한 진공관 발진기의 작동 원리를 설명하는 그의 이름을 딴 방정식을 주로 사용하여 작업했습니다.

d 2 x/dt 2 –μ(1–2x 2)dx/dt+x=0 (1)

여기 엑스– 일반화된 좌표(튜브 생성기의 경우 – 전류 강도), 티는 시간이고 비선형 요소는 2x 2 dx/dt입니다. 증폭기(전자관)의 작동을 표현합니다.

Andronov와 Mandelstam 학파의 다른 대표자들의 연구에서 미분 방정식은 "기호적 일반화"가 되었으며, 이에 반 데르 폴 방정식은 특별한 경우입니다. 이는 다음 방정식입니다.

d 2 x/dt 2 +2δdx/dt+Ω 2 x=f(x,dx/dt) (2)

어디 x와 t,이전과 마찬가지로 일반화된 좌표 및 시간, δ는 감쇠 계수, Ω는 고유 주파수, 즉 마찰과 외력이 없을 때 발생하는 과정의 순환 주파수, f(x, dx/dt) – 연속 진동을 제공하는 제어 시스템에 포함된 에너지원의 동작을 설명하는 비선형 함수입니다. 방정식 (2)는 무선 공학 및 역학의 다양한 비선형 문제에 대해 매번 고유한 방식으로 작성될 수 있습니다. 즉, 튜브 생성기, 시계, 마찰 진자(소위 Froud 진자라고 불리는 일반 진자)를 설명할 수 있습니다. 일정한 속도로 회전하는 샤프트의 마찰) 등

쿤의 '상징적 일반화' 다음으로 '열은 신체를 구성하는 부분의 운동에너지를 나타낸다'와 같은 '일반적으로 받아들여지는 처방'이 있다. Mandelstam, Andronov, 공동 작업자 및 학생의 경우 이러한 지침은 주로 다음과 같습니다. "진동 시스템의 위상 초상화를 구성합니다. 위상 평면(좌표축은 x, dx/dt)의 궤적입니다." 일반적으로 방정식 (2)는 적분될 수 없으며 기본 함수로 풀 수 없습니다. 방정식 (1)을 푸는 Van der Pol은 자신이 발명한 대략적인 방법, 즉 진폭이 천천히 변하는 방법을 사용했습니다(그는 μ를 작은 매개변수로 해석했습니다). 위상 초상화의 구성도 통합으로 간주될 수 있습니다. 위상 초상화는 미분 방정식 이론의 엄격한 법칙을 따르기 때문에 위상 초상화를 구성하면 미분 방정식에 대한 정확한 해를 얻을 수 있습니다. 위상 초상화 자체는 진동의 진폭, 위상 및 주파수에 대한 정량적 정보를 전달하지 않으므로 이 솔루션은 정성적입니다. 따라서 안드로노프 집단에서 인기 있는 용어는 "질적 통합"입니다.

Van der Pol은 1926년에 위상 초상화를 구성하는 문제에 근접했습니다. 그는 등방선 방법을 사용하여 나중에 방정식 (1)의 위상 초상화라고 불리는 것의 윤곽을 그렸습니다. 그러나 그의 "위상 초상화"는 19세기 마지막 수십 년 동안 A. Poincaré가 정립한 미분 방정식의 질적 이론의 대상이 아니었습니다. 그것은 그림, 그래픽 일러스트레이션에 가깝습니다.

방정식 (1)과 (2)의 위상 초상화는 Andronov가 1928~1929년 연구에서 구성했으며, 이는 그의 박사 학위 논문의 기초가 되었습니다. 안드로노프는 관 발진기, 시계 등에서 발생하는 감쇠되지 않은 진동을 보여주었습니다. (그는 이를 자기 진동이라고 불렀습니다.) 푸앵카레 한계 사이클(근처의 모든 곡선이 점근적으로 접근하는 폐곡선)의 형태로 위상 평면에 표시됩니다. 한계 사이클은 특이점을 둘러싸고 있으며 이는 평형 상태를 상징합니다. 후속 작업에서 Andronov는 과도 프로세스(튜브 발생기에서 진동의 "강성" 및 "연성" 여기 사례)를 조사하고 위상 평면에서 기하학적 이미지를 발견했습니다.

"정성적 통합"에는 진동의 안정성을 분석하는 작업이 포함됩니다. Andronov는 자체 진동이 안정적인 푸앵카레 한계 주기에 해당함을 보여주었습니다. 이 경우 두 가지 유형의 안정성, 즉 Lyapunov 안정성과 진동 시스템의 구조적 안정성(거칠기)이 중요한 것으로 나타났습니다. Lyapunov 안정성은 초기 조건의 작은 변화에 대한 안정성을 의미합니다. "동적 시스템의 거칠기"라는 용어는 이미 Andronov가 한계 사이클에 대한 첫 번째 작업에서 소개했습니다. 그러나 이 개념의 올바른 공식화는 1937년 L.S. Pontryagin과 함께 수행되었습니다. 이 시스템을 설명하는 미분 방정식의 작은 변화에 대해 위상 초상화가 안정적인 시스템을 러프라고 합니다. "거칠기"를 보다 정확하게 공식화하려면 방정식 (2)를 다음과 같이 다시 작성해야 합니다.

d 2 x/dt 2 +Ω 2 x=f(x,dx/dt) (3)

여기서 비선형 함수 f(x, dx/dt) 비주기적인 에너지원일 뿐만 아니라 감쇠 계수도 나타냅니다(마찰이 비선형일 수 있으므로 이에 대한 이유가 있습니다). 대략적인 움직임은 식 (3)의 우변의 작은 변화에 대해 안정적인 움직임이 될 것입니다.

20세기 초 A.M. Lyapunov가 개발한 안정성 이론에 따라 Andronov는 A.A. Witt와 함께 시스템의 거칠기를 고려하여 Lyapunov의 특성 지수를 사용하여 한계 주기의 안정성을 판단할 수 있음을 보여주었습니다. 따라서 자체 진동이 존재합니다.

자동 조절. 안드로노프는 1927년 만델스탐이 그에게 제기한 움직임의 안정성 문제를 이 기간 동안 해결했다고 썼습니다.

피팅 방법을 사용하여 솔루션 조각에서 이 솔루션의 개별 섹션을 근사화하는 선형 방정식까지 유형(2)의 비선형 방정식에 대한 솔루션을 구성하고 다음 요구 사항을 기반으로 선형 솔루션을 "함께 연결"하여 위상 초상화를 찾습니다. 비선형 방정식에 대한 해의 연속성. 이 경우 후속 선형 조각에 해당하는 선형 솔루션의 적분 상수는 이 섹션을 이전 섹션에 "맞춤"하여 구합니다. 이 섹션을 특징짓는 초기 값은 이전 섹션을 특징짓는 최종 값과 일치해야 합니다. .

피팅 방법이 제공하는 위상 초상화의 스케치는 첫 번째 선형 방정식의 해를 얻은 초기 값, 즉 "피팅"이 시작된 조건에 따라 크게 달라집니다. 점 매핑 방법을 사용하면 이러한 단점을 부분적으로 극복할 수 있습니다. 즉, 가능한 초기 값의 범위를 고려할 수 있습니다. 어떤 식으로든 피팅 방법을 사용하면 해결 중인 문제의 위상 초상화의 성격을 판단하고 이 초상화의 정량적 특성을 평가할 수 있습니다. 경험적 관찰과 규칙의 법칙이 아니라 엄격한 수학적 이론의 법칙인 미분의 질적 이론에 따라 다른 법칙에 따라 이미 움직여야 하는 위상 공간의 문을 여는 것 같습니다. 방정식.

위에서 언급한 또 다른 대략적인 방법은 van der Pol이 개발한 천천히 변화하는 진폭 방법입니다. 이 방법은 위상 초상화에 관한 경험적 고려에도 사용되었습니다. 1930년 안드로노프(Andronov)와 비트(Witt)는 진폭을 천천히 변화시키는 방법을 사용하여 비자율 시스템에서 발생하는 "포착" 현상을 조사했습니다(자율 시스템을 설명하는 방정식 (1) 및 (2)와 달리 비자율 시스템의 경우 주기적인 외부 힘을 고려하는 용어가 있습니다)*. 동시에 그들은 이런 이미지를 받았습니다.

* 비자율 시스템의 경우 "박동"이 일반적이며 두 가지 주파수(주파수 Ω - 방정식 (2) 및 외력의 주파수 참조)를 특징으로 하는 진동입니다. "캡처"는 강제 동기화라고 합니다. 외력의 주파수를 변경하면 이 매개변수의 특정 값에서 이 주파수와 함께 균일한 진동이 발생하는 것을 관찰할 수 있습니다.

위상 공간에서의 현상, 즉 외력의 주파수 변화에 따른 자체 진동 시스템의 위상 초상화 변화를 추적했습니다.

진폭을 천천히 변화시키는 방법은 방정식 (1)을 더 간단한 "단축" 방정식으로 대체하는 것으로 구성되며, 이 방정식의 해는 매개변수 μ의 작은 값에 대한 원래 방정식의 해에 가깝습니다. Andronov, Witt 및 Khaikin이 쓴 책에서는 원래 방정식의 위상 초상화와 "단축 방정식"의 위상 초상화 사이의 관계를 설명합니다. "단축된" 방정식의 위상 평면에 배치된 원래 방정식의 좌표계는 각속도 1로 시계 방향으로 회전합니다. 원래 방정식의 극한 주기는 위상 초상화의 평형 상태 원에 해당합니다. "단축된" 방정식과 한계 사이클을 둘러싸는 나선은 이 보조 위상 초상화의 직선 궤적입니다.

물론 이러한 대응은 원래 방정식의 추측적인 위상 초상화로만 이어집니다. 그러나 이 가정은 엄격한 수학 이론, 즉 미분 방정식의 질적 이론의 맥락에 도입됩니다. 따라서 그것은 물리학 구조에서 더 높은 지위를 얻습니다. 모든 물리학 이론은 추측이다. 그러나 그 중에는 엄격한 개념과 법칙에 따라 작동하는 폐쇄적인 개념 시스템이 있습니다. 이러한 엄격함은 그것들이 공식화되는 엄격한 수학적 장치에 의해 제공됩니다. 미분 방정식의 질적 이론 덕분에 이러한 이론은 비선형 진동 이론이 됩니다.

이미 Poincaré 한계 주기에 대한 첫 번째 작업에서 Andronov는 또 다른 점근적 방법, 즉 "천체 역학의 새로운 방법"에서 Poincaré가 소개한 작은 매개변수 방법을 사용했습니다(이 방법은 Poincaré 방법이라고도 함). 1930년대. Witt와 협력하여 그는 미분 방정식의 질적 이론을 기반으로 수행된 연구 범위를 넘어서는 영역에 이 방법을 적용했습니다.

"존재론적" 모델과 "발견적" 모델을 비교한 후, 우리는 이미 쿤의 "학문적" 매트릭스의 세 번째 요소인 가치를 다루었습니다. 만델스탐 학파는 근본주의가 특징입니다. 즉, "생산적인" 모델보다는 일반 물리 이론을 선호했습니다. 안드로노프 자신과 만델스탐은 모두 푸앵카레 한계 사이클에 대한 안드로노프의 연구를 비선형 진동 이론의 기초로 해석했습니다. 그들은 이 연구 덕분에 비선형 진동 이론이 얻어졌다고 믿었습니다.

엄격한 수학적 장치로서 기본 이론(예: 역학, 전기역학 등)에 접근합니다. 전기 진동 이론을 개발하고 Mandelstam 및 Andronov와 동시에 자신의 연구를 발표한 Van der Pol은 대략적인 방법을 사용했을 뿐만 아니라 이러한 방법의 근본적인 중요성을 선언했습니다. Mandelstam과 Andronov는 van der Pol의 방법의 효율성에 경의를 표하면서 그가 고려 중인 주제에 "적절한" 이론을 만들지 않았으며 광범위한 질적 예측을 이끌어 내지 못했다고 지적했습니다.

Andronov, Witt 및 Khaikin의 책 서문에서 Mandelstam은 이 작업의 개념적 중요성을 강조했습니다. 선형 계산에 대한 수정 형태로 비선형성을 고려하는 방법을 검토했을 뿐만 아니라 비선형 물리학의 특정 언어도 만들었습니다. Mandelstam은 "비선형 진동의 복잡한 영역에서 특정 일반 개념, 규정 및 방법이 결정화되어 물리학자의 일상 생활에 익숙해지고 명확해지며 복잡한 현상 세트를 이해하고 다음을 제공할 수 있습니다"라고 예측했습니다. 새로운 연구를 위한 강력한 경험적 무기입니다. .. 진동의 현대 문제에 관심이 있는 물리학자는 이제 이미 이 길을 따라 발전하는 데 참여해야 합니다.”

이것은 Mandelstam, Andronov, 그들의 협력자 및 학생들이 대략적인 방법을 과소평가했다는 의미는 아닙니다. 오히려 그들의 작품은 거의 모두 30년대 작품이었다. 대략적인 방법의 사용과 관련이 있습니다. 정확한 방법을 선호하는 것은 일종의 규제 아이디어였습니다. 교과서와 평론 기사의 자료 제시를 결정했습니다. 또한 이러한 선호는 천천히 변화하는 진폭의 대략적인 방법을 입증하는 작업을 자극했습니다(L.I. Mandelstam 및 N.D. Papaleksi, 1935). 그리고 마지막으로(아마도 이것이 가장 중요한 것일 수 있음) 미분 방정식의 질적 이론을 최전선에 두면서 Andronov는 여러 공동 작업자 및 학생과 협력하여 시스템의 위상 초상화의 진화 이론을 개발했습니다. 시스템의 매개변수가 변경될 때 발생합니다. 이러한 개발은 위에서 언급한 튜브 발진기의 "소프트" 및 "하드" 여기 연구에서 시작되었으며 "안정성 변화" 및 분기점 개념을 갖춘 비선형 진동 이론의 심화로 이어졌습니다.

일종의 점근적 방법, 일종의 대응 원리입니다.”라고 Mandelstam이 말했습니다. 그러나 나중에 그는 소모수 방법을 사용한 학생들의 작업을 승인했을 뿐만 아니라 N.D. Papaleksi와 함께 제2종 공명 현상에 관한 기사(1934~35)에 이 방법을 적용했습니다. Andronov와 Witt는 작은 매개변수 방법을 사용하여 2자유도를 갖는 시스템을 계산했습니다. 그들 자신은 이 시스템이 미분 방정식의 질적 이론의 관점에서 고려하기에는 여전히 너무 복잡하다고 지적했습니다. 그럼에도 불구하고 Mandelstam 학교에서 채택된 가치의 척도에 따라 Mandelstam의 마지막 대학원생 중 한 명이자 Andronov의 공동 작업자인 G.S. Gorelik은 다음과 같이 썼습니다. “작은 매개변수 방법은 그의(Andronov) 작업에서 완전히 부차적인 위치를 차지합니다. 그 중 가장 중요한 것은 미분방정식의 질적 이론과 관련 위상학적 방법의 비선형 진동 연구에 적용하는 것입니다."

마지막으로, "학제 매트릭스"의 네 번째 구성 요소는 문제의 공식화 및 해결이 실행되는 예, "기호 일반화"를 구체화하고 "처방"을 적용하는 방법, "경험적 모델"을 통해 다음을 수행하는 방법을 보여주는 예입니다. "존재론적 모델"을 구축합니다. 위에서 언급했듯이 비선형 진동 이론은 처음에는 간단한 무선 공학 장치인 튜브 발진기의 이론으로 개발되었습니다. 이 장치는 자체 진동의 개념과 자체 진동을 설명하기 위한 푸앵카레 한계 사이클의 사용이 교과서에서 설명된 "공유 예" 역할을 했습니다. 진동에 대한 강의에서 Mandelstam은 또 다른 예를 제공합니다. Andronov, Witt 및 Khaikin의 저서에서 튜브 생성기는 시계 옆에 있습니다.

패러다임 "직장에서"

비선형 진동 이론의 개발에서 패러다임이 수행한 역할을 설명하기 위해 두 가지 문제, 즉 Abraham 및 Bloch 멀티바이브레이터(눈에 띄는 인덕턴스를 포함하지 않는 시스템)의 진동 문제와 문제가 어떻게 해결되었는지 살펴보겠습니다. 바이올린 현의 진동. 첫 번째 문제(1930)는 빠르고 느린 움직임으로 구성된 강력한 비정현파 진동인 이완 진동 교리의 형성으로 이어졌습니다. 두 번째(1936)는 분산 시스템과 연속 환경 분야로의 돌파구를 의미했습니다. 그의 첫 번째 작품에서 시작되었습니다.

Andronovo의 Poincaré 한계 사이클 적용, Mandelstam, 그의 협력자 및 학생들은 진동이 공간적 움직임(진자의 스윙, 전하의 움직임)인 집중 시스템만을 다루었습니다. 이러한 시스템의 동작을 결정하는 매개변수(진자의 질량, 진동 회로의 인덕턴스 및 커패시턴스)는 실제로 점형이 아니지만 자체 공간 영역에 분산되어 있지만 이러한 비점성에서 추상화할 수 있습니다. 집중 시스템은 상미분 방정식으로 설명되는 반면, 분산 시스템은 편미분 방정식으로 설명됩니다.

안드로노프 자신은 이 이야기에 대해 다음과 같이 설명했습니다. “나중에 살펴보겠지만, 1929년에 나는 감쇠되지 않은 진동, 즉 자기 진동의 수학적 이미지가 푸앵카레 한계주기. 나는 다양한 시스템을 살펴보고 어디에서나 한계 주기를 찾습니다. 그러나 나는 커패시턴스만 포함하고 자체 진동을 표시하는 일반적으로 이상화된 Abraham-Bloch 멀티바이브레이터 회로를 사용합니다. 나는 사이클을 찾고 있지만 결과가 없는 역학의 미분 방정식을 쓰고 있습니다. 또한, 고려중인 미분방정식은 극한주기를 가질 수 없음을 증명할 수 있었습니다. 사이클 대신에 위상 속도가 무한해지는 것을 보여주는 특정 곡선을 찾았습니다. 그러한 곡선이 존재한다고 해서 대표점의 움직임을 명확하게 설정할 수는 없습니다. 역설적으로 밝혀졌습니다. 자체 진동은 사이클을 의미하고 사이클은 없지만 시스템은

자체 진동을 수행합니다. 이 역설을 가지고 나는 Mandelstam에 왔고 Mandelstam은 무슨 일이 일어나고 있는지 즉시 이해했습니다. 약간의 논의 끝에 그는 다음과 같이 결론을 내렸습니다. “사이클이 없다는 것이 입증된다면 그것은 이미 중요한 것입니다. 시스템이 진동하고 있기 때문에 이상화가 유효하지 않거나 작동 방법을 모르는 것입니다.” 그는 레닌그라드로 떠날 예정이며 그곳에서 이 역설에 대해 생각하려고 노력할 것이라고 덧붙였습니다. 레닌그라드에서 돌아온 그는 다음과 같이 말했습니다. “N.D. Papaleksi와 나는 우리가 당신의 이상화를 연구하고 물리적 관점에서 흥미로운 주기적인 해결책을 찾을 수 있다고 생각합니다. 하지만 이 솔루션은 귀하가 찾고 있는 지속적인 솔루션에 속하지 않습니다. 이는 불연속적인 솔루션이 될 것입니다. 대표 지점의 해당 움직임은 순간적인 점프를 만듭니다. 이러한 변화에 따라 커패시터에 저장된 에너지가 지속적으로 변한다는 추가적인 가설을 도입하면 주기적인 해법을 찾는 것이 가능하다고 생각합니다." 곧 나는 Witt와 함께 Mandelstam의 이러한 아이디어를 구현하려고 노력했습니다. 몇 가지 계산상의 어려움을 극복한 후 불연속 주기 해를 찾았습니다."

따라서 Abraham-Bloch 멀티바이브레이터의 문제는 Andronov에 의해 두 단계로 해결되었습니다.

안드로노프는 이 방정식 시스템이 "연속적인 주기적인 해를 허용하지 않는다"는 것을 엄격하게 보여주었습니다. 동시에, 패러다임 문제는 그에게 시스템이 스스로 진동한다는 사실을 알려주었습니다. 연속적인 주기 운동을 수행합니다.

II. Mandelstam과 문제를 논의한 후 Andronov는 Witt와 협력하여 "수수께끼"를 해결했습니다. 동일한 이상화를 유지하면서 그는 Mandelstam과 Papaleksi가 제안한 "도약 가설"을 받아들였습니다. 커패시터의 전압이 연속적이라는 사실로 구성된 이 가설을 통해 우리는 4차원 위상 공간에서 한계 사이클까지 멀티바이브레이터 방정식의 위상 궤적을 "완성"할 수 있습니다. 임계값(그리드의 전압 변화율이 무한대로 변함)에 도달한 대표 지점은 표시된 연속성 조건에 의해 결정된 곡선 지점으로 점프한 다음 다시 이들의 위상 궤적을 따라 이동합니다. 방정식,

무한대로 바뀜), 표시된 연속성 조건에 의해 결정된 곡선의 한 지점으로 점프한 다음 다시 이 방정식의 위상 궤적을 따라 이동합니다.

바이올린 현의 진동 문제는 Witt에 의해 해결되었습니다. Witt는 1934년에 "분산 자체 진동 시스템"에 관한 기사를 발표했습니다. 그러나 이 작품에서 그는 Witt 자신이 규정한 대로 매우 조잡하고 대략적인 방법을 사용하여 행동했습니다. 첫째, 그는 비선형 시스템을 약한 비선형으로 간주하여 작은 매개변수 방법을 사용할 수 있는 기회를 제공하고 가장 간단한 버전에서는 매개변수 μ의 거듭제곱에 대한 계열의 첫 번째 항만 고려합니다. 둘째, Witt는 집중형 시스템에 유효한 Lyapunov의 안정성 정리가 분산형 시스템에도 적용된다고 가정합니다.

바이올린 현의 진동에 관한 기사에서 Witt는 이미 비선형 진동 이론의 패러다임 내에서 작업하고 있습니다. 수학적으로 이 문제는 편미분 방정식 시스템(파동 방정식 및 경계 조건을 표현하는 방정식)의 형태로 공식화됩니다. 그 중 하나는 비선형입니다. 문제를 "기호적 일반화"(1)-(2)에 해당하는 형식으로 줄이기 위해 Witt는 점 매핑 방법을 사용합니다(위 참조). 즉, 그는 편미분방정식으로부터 점사상법에 따라 상미분방정식의 문제점을 줄인 '함수방정식'을 얻었다. Witt는 “보편적인 관계를 얻기 위해 우리는 무차원 수량을 사용할 것입니다.”라고 썼습니다. – y=x/l 값으로 문자열의 점 위치를 측정합니다. 여기서 엑스– 고정 끝에서 줄의 고려되는 지점까지의 거리, / – 줄의 절반 길이, τ=tc/l=4t/T 비율로 시간을 측정합니다. , 어디 와 함께 -현의 진동 전파 속도, 티 –시간, T - 자유 진동의 기본 톤 기간. 다음으로 나타내자 유비율 v/l, 여기서 v는 끈의 변위입니다. 달랑베르에 따르면:

u=Φ1(τ-у)+Φ2(τ+у)(a)

y=0의 경우: u=0이므로 ъ=0(τ>0의 경우) (b)

ϕ(τ+ Τ )=ψ(ϕ(τ))

초기값 ψ(t)=ψ 0 (τ), 0<τ<Τ.

그는 반복을 사용하여 점 매핑을 정의하는 이 방정식을 연구했습니다. 동시에 그는 고정 수열의 개념을 도입했는데, 그러한 수열의 예로는 모든 구성원이 동일한 수열과 주기적인 수열이 있습니다. 그는 또한 Koenigs-stable 시퀀스의 개념을 도입했습니다. 이러한 시퀀스가 ​​Lemerey 다이어그램(함수 ψ(ψ(τ))의 그래프에 표시될 때 한계 사이클과의 유사성이 발생합니다. 데카르트 좌표에서 ψ(τ)=х 및 ψ(τ+Т)=ψ).

Witt는 매우 단순한 분산 비선형 시스템의 예를 고려했습니다. 그의 비선형성은 활과 현 사이의 접촉점에 집중되었습니다. 분산 시스템의 비선형 진동에 대한 체계적인 연구는 1950년대 후반에 시작되었습니다. 그리고 그것은 더 이상 '자기 진동의 패러다임'이 아니라 '자기 진동 이데올로기'의 틀 안에서 수행되었습니다.

비선형 진동 이론의 이데올로기

비선형 진동 이론의 이데올로기는 무엇보다도 위에서 언급했듯이 1928-1929년 기사에서 Andronov가 도입한 자기 진동의 개념입니다. 실제로 반 데르 폴(Van der Pol)도 자체 진동을 다루면서 진공관 발진기의 감쇠되지 않은 진동을 설명했지만 이에 대한 특별한 용어를 소개하지는 않았습니다. 안드로노프는 특별한 용어를 도입했을 뿐만 아니라 자기 진동을 위상 평면의 한계 주기와 연결함으로써 이 현상에 이론적 깊이를 부여했습니다. 그리고 Andronov 이전에 무선 엔지니어와 무선 물리학자들은 튜브 발생기가 이러한 진동의 여기 조건과 관계없이 특정 진폭을 특징으로 하는 감쇠되지 않은 진동을 특징으로 한다는 것을 알고 있었습니다. 그러나 안드로노프는 이 개념을 이론적으로 만들었습니다. 그는 보여 주었다,

자기 진동의 안정성은 수학적 의미로 이해될 수 있으며 Lyapunov 안정성과 진동 시스템의 거칠기로 설명됩니다.

자기 진동의 개념은 L.I. Mandelstam 학교가 개최한 최초의 진동에 관한 전체 연합 회의(1931) 이후 권위를 얻기 시작했습니다. 이번 컨퍼런스의 초점은 자기 진동이었습니다. 우리는 1936년 기사 중 하나에서 "현재 다양한 종류의 자기 진동 현상에 대한 수학적으로 엄격하고 물리적으로 적절한 이론이 있으며, 이는 수많은 연구에서 그 유용성이 입증되었습니다"라는 내용을 읽었습니다. "자기 진동 현상은... 자연의 모든 단계에서 발생합니다."라고 G.S. Gorelik은 자신의 교과서에 썼는데, 그의 교과서에는 작은 매개변수 방법에 대한 접근 방식이 위에서 논의되었습니다. 리뷰 중 하나는 "소련 과학자들은 본질적으로 진동에 관한 새로운 과학 분야, 즉 현재 새로운 연구와 결과로 보충되고 있는 자기 진동 분야를 창안했습니다"라고 말합니다.

전후 몇 년 동안 자기 진동에 관한 책이 특별히 등장했습니다. 1939년에 직책을 맡은 K.F. Teodorchik의 책이 1944년에 출판되었습니다. 그리고 약. L.I. Mandelstam이 설립한 진동 부서의 책임자입니다. 이 책은 "Self-Oscillating Systems"라고 불리며 세 가지 판을 거쳤습니다. 자동 제어 문제의 저명한 전문가인 A.A. Kharkevich의 책 "Self-Oscillations"도 세 가지 버전을 거쳤습니다. “본문에 단 하나의 수학 공식도 없이” 쓰여진 이 책의 서문에서는 “자기진동이 기술뿐 아니라 자연과학 전반에 있어서 폭넓은 의미를 갖는다”고 기술하고 있습니다.

이데올로기는 패러다임과 함께 발생합니다. 패러다임이 특정 이데올로기를 전달한다고 말할 수도 있습니다. 그러나 이데올로기는 패러다임을 넘어 확장됩니다. 위에서 우리는 Kuhn에 따라 패러다임의 네 가지 구성 요소를 특성화했습니다. "기호 일반화"(보통 미분 방정식), "처방"(보통 미분 방정식을 푸는 방법), 처방 간의 계층 구조를 설정하는 값 및 공유 예를 들어, 상당히 간단한 문제를 통해 "처방"이 어떻게 "기호 일반화"의 적용을 보장하는지 설명할 수 있습니다. "기호적 일반화"와 "처방"은 모두 특정 규칙(예: 수학 규칙)에 따라 조건이 지정됩니다. 이데올로기는 단어와 표현이며, 그 의미는 예(유추 및 삽화)를 사용하여 설명됩니다. 이러한 단어와 표현의 사용은 직관에 따라 결정됩니다. 물론 각 과학계에는 고유한 직관이 있습니다. 하지만 직관

규칙을 넘어서서 규칙 개정이 필요한 문제를 일으킬 수도 있습니다. 단어와 표현의 의미가 발전하여 L. Wittgenstein이 "가족 유사성"이라고 부르는 것을 형성할 수 있습니다. 예를 들어, 비트겐슈타인이 모델로 삼은 "게임"이라는 단어의 의미는 체스, 솔리테어, 라운드 댄스와 같은 예를 인정합니다. "자기 진동"이라는 단어의 의미는 튜브 생성기, Froud 진자 및 기계식 시계에서 시작하여 활로 여기되는 바이올린 현, 가변 밝기의 별(세페이드), 심장과 "생물학적 시계". "초기 조건이 아닌 시스템 자체의 속성에 따라 조건이 지정된다"와 같은 술어를 사용하면 이 시리즈는 자동파 및 소산 구조와 같은 개체로 보충될 것입니다.

개념의 이데올로기적 적용의 중요한 징후 중 하나는 내용의 침식입니다. 개념이 범위를 벗어나는 것 같습니다. 본질적으로 이는 이 개념의 유사체가 공식화되고, 동일한 용어로 새로운 개념이 발생하며, 명확하게 정의되지 않은 개념을 의미합니다.

자기 진동의 개념이 교차하는 첫 번째 임계값은 자기 진동과 강제 진동 사이의 임계값이었습니다. “자기 진동을 생성하는 새로운 원리의 발견과 이미 알려진 원리의 개발과 관련하여 제2차 세계 대전 이후 자기 진동의 개념이 크게 확장되었습니다. 특히, 자체 진동에는 일정한 소스에서 에너지를 끌어오는 감쇠되지 않은 진동뿐만 아니라 외부에서 여기되는 충분히 강한 또 다른 진동 프로세스의 에너지에 의해 지원되는 진동도 포함되기 시작했습니다... ( 이러한 진동은 시스템 매개변수(예: 감쇠 또는 디튜닝)를 변경하여 완전히 소멸될 수 있습니다."

이러한 침식 과정의 지속은 언어적 유사체 형태의 개념 복제입니다. 자기 진동과 관련하여 자동 파동 및 자동 구조 개념이 등장했습니다. 첫 번째는 R.V. Khokhlov가 A.M. Zhabotinsky의 진동 화학 반응에 관한 박사 논문(1972)을 검토하면서 소개했습니다. Khokhlov는 Zhabotinsky가 화학적 자기 진동 자체뿐만 아니라 주권의 의미에서 유사한 유사한 파동 과정, 즉 초기로부터의 독립성과 어느 정도 경계 조건 및 시스템 매개변수에 의한 정의 가능성을 설명했음을 의미했습니다.

자동 구조의 개념은 Mandelstam의 학교인 A.V. Gaponov-Grekhov(Andronov의 전 대학원생)와 M.I. 자동구조는 비선형성이 명확하게 표현되고 평형 상태에서 멀리 떨어진 분산 시스템에서 발생하는 안정적인 공간적 또는 시간적 순서로 이해됩니다. 자동구조의 특성은 초기 및 경계 조건으로부터 상대적인 독립성입니다.

자동파 및 자동 구조와 같은 개념을 공식화할 때 자동 진동의 정의뿐만 아니라 이러한 정의에 고유한 언어 형식이 사용된다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 이러한 언어적 형태는 자기 진동의 정의에 의해 전달되는 한계 주기의 직관뿐만 아니라 일반적으로 어트랙터의 직관을 전달합니다.

"자동 구조"가 소개된 Gaponov-Grekhov와 Rabinovich의 기사는 위에서 언급되었습니다. 이 글의 저자와의 인터뷰(1992년 5월 22일)에서 "특정한 "자기 진동 이데올로기"가 당신에게 필수적이라고 말할 수 있습니까? "라는 질문에 대한 응답으로. – M.I. Rabinovich는 다음과 같이 말했습니다. “그렇습니다. 사실 그것은 단어에 관한 것도 아닙니다. R.V. Khokhlov가 발명한 자동파와 같은 자체 진동입니다. 그는 파도 자체를 생각해 낸 것이 아니라 한 마디, 매우 성공적인 문구 전환... 하지만 아시다시피 매우 성공적인 말입니다. 나는 거의 평생 동안 비선형 소산 비평형 시스템을 사용해 왔습니다. 수요일이 될 수도 있습니다. 원칙적으로 나는 파도 문제나 난류 문제를 연구하지만 거기에는 항상 소산이 있습니다. 나는 해밀턴 시스템, 즉 마찰이 없고 소산이 없는 시스템을 가지고 있으며 항상 제한적인 경우입니다. 나는 항상 어트랙터가 있는 시스템에 더 관심을 가져왔습니다. t→무엇에서 항상 무언가가 확립됩니다: 혼돈, 그래서 혼돈, 주기적인 진동, 그래서 주기적인 진동, 확률론적 구조 - 맙소사. 이런 의미에서, 나에게 있어서 구조와 역동적인 혼돈은 단순히 시스템의 행동이 진화하는 동안 무한대로 향하는 경향이 있는 서로 다른 유형의 어트랙터입니다. 나는 항상 초기 조건과 관계없이 무언가가 확립되고 객관적인 것이 있는 시스템에 관심을 가져왔습니다.”

따라서 M.I. Rabinovich는 자기 진동 개념 자체가 아니라 그 안에 포함된 주권 개념에 매료되었습니다.

결론

과학 이론을 철학적으로 한정할 때 일반적으로 그 이론의 설명 능력이나 설명 도구에 중점을 둡니다. 이 기사에서는 이론적 지식의 이러한 가설을 모두 고려합니다. 패러다임은 문제를 해결하고 과학적 설명과 예측을 구성하는 데 대한 지침입니다. 이데올로기는 일반적으로 설명 자원의 한계를 넘어서는 과학적 설명 장치 인 언어입니다.

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지금까지 다양한 유형의 불안정성을 고려할 때 선형화 가능성 덕분에 분산 방정식의 기록 및 해법이 크게 단순화되는 작은 진폭 영역에만 제한되었습니다. 실제로 실제로 존재하는 전자 장치에서는 진동이 증가하는 과정에서 일반적으로 프로세스가 상당히 비선형이 됩니다. 몇 가지 예외에는 진동이 비선형 단계에 들어갈 시간이 없는 전자 흐름을 따라 매우 짧은 펄스 또는 매우 짧은 전자빔 시스템이 포함될 수 있습니다.

비선형 진동의 특징을 고려하여 먼저 가장 간단한 방정식을 살펴 보겠습니다. 손실이 없는 자율 1차원 시스템의 선형 진동은 다음 방정식으로 설명됩니다.

이 가장 간단한 방정식은 등식의 왼쪽에 있는 두 번째 항이 비선형 함수인 경우 비선형 진동의 형태 특성으로 변환됩니다. 에프(엑스)

(10.5)

비선형 진동의 가장 간단한 예는 그림 10.1에 표시된 유형의 주기장에서 큰 진폭을 갖는 전자의 진동입니다. 이러한 상황은 예를 들어 TWT 또는 BWO에서 발생할 수 있는 진행파 분야에서 실현됩니다.

안에
파동과 함께 움직이는 좌표계, 전자의 위치 에너지 변화가 설명됩니다.

방정식

(10.6)

따라서 전자 운동 방정식은 다음과 같은 형식으로 쓸 수 있습니다.

왜냐하면
그리고
.

따라서 마이크로파 장치의 일반적인 상황에서 전자의 운동은 기본적으로 비선형 방정식으로 설명됩니다. 그러나 이 경우에는 비선형 시스템의 특성 중 하나는 비등시성입니다., 즉. 진동하는 입자의 초기 에너지에 대한 상태의 의존성. 전자의 초기 진동 에너지가 작으면 최소 전위에 가까운 작은 진폭으로 진동 운동을 수행합니다. 이 경우 그 움직임은 실질적으로 조화롭습니다. 초기 에너지가 크고 포텐셜 우물의 깊이와 비슷하면 진동의 진폭도 크고 결과적으로 운동은 동시에 상당히 비선형이 됩니다.

비선형 진동의 또 다른 특징은 비조화성입니다. 조화롭게 비선형진동을 설명해보자다른 예에 대한 자세한 내용.

축을 따라 전파되는 전자빔을 다루고 있다고 가정합니다. 엑스, 즉. 전자의 움직임은 1차원적이다. 전자 속도의 초기 작은 진폭 변조를 소개하겠습니다.

, (10.8)

저것들. 이제 전자의 최대 속도 V합계와 동일 V=V 영형 +유

이러한 방해가 발생하면 빔에서 전자가 그룹화됩니다. 고려중인 상황은 공진기에서 속도 변조가 발생하고 드리프트 공간에서 속도 변조가 밀도 변조로 변환되는 클라이스트론에서 실현되는 상황에 가깝습니다.

초기 전자 속도로 움직이는 좌표계에서 시간에 따른 빔의 진화를 고려해 보겠습니다. V 영형. 이 시스템에서 운동은 초기 외란에 의해서만 발생하며 운동 방정식은 다음과 같은 형식으로 쓸 수 있습니다.

(10.9)

속도 교란의 총 미분이 0과 같다는 것은 전자 그룹화로 인한 전기력 발생을 무시하고 자기장 없이 고려한다는 것을 의미합니다. 물론, 전기력을 무시하는 것은 그룹화의 초기 단계에서만 정당화됩니다. 그러면 다발의 전기장은 더 이상 무시할 수 없습니다. 그룹화를 제한하는 것은 이러한 필드입니다. 따라서 우리는 전자빔에서 그룹 진화의 초기 단계만을 어느 정도 정확하게 분석할 수 있습니다. 자기장이 존재하는 경우에도 자기장의 효과를 무시할 수 있지만 전자 운동 방향으로 향합니다. 그러나 이 경우 전자가 자기장선을 가로지르는 속도를 가지지 않는 것이 중요합니다.

위상 평면을 사용하여 전자 흐름 특성의 진화를 추적해 보겠습니다. x,유(그림 10.2). 먼저 매체에 분산이 없는 경우를 고려해 보겠습니다. 위상 평면에서 각 점은 자체 속도로 이동합니다. 위쪽 절반 평면의 점은 오른쪽으로 이동하고 아래쪽은 왼쪽으로 이동하며 각 점의 속도는 축으로부터의 거리에 비례합니다. 엑스. 초기 상태는 사인파(그림 10.2a의 얇은 선)로 표시됩니다. 그러면 정현파가 왜곡되고(같은 그림의 굵은 선) 전자 그룹화의 결과로 공간 전하 밀도의 최대값이 값이 있는 지점 근처에 형성됩니다. 유=0(그림 10.2b). 동시에, 변화는 엑스속도가 조화롭지 않게 되고 공간 전하 덩어리가 형성됩니다. 다음으로, 파생 상품이 있는 지점이 나타납니다. 무한대 경향이 있으므로 전자의 농도는 무한대 경향이 있습니다.

그런 다음 "파도 깨짐"이 발생합니다(그림 10.2c의 곡선). 그 후에는 이미 무한 미분을 갖는 점 쌍이 있습니다. 그리고 무한한 전자 농도를 가지고 있습니다(그림 10.2d). 빔의 추가 진화는 단일 최대값이 발산된다는 사실로 이어집니다(왼쪽은 왼쪽으로 이동하고 오른쪽은 반대 방향으로 이동). 위의 논의는 클라이스트론의 전자 그룹화를 설명하고 비선형 시스템의 또 다른 중요한 특징을 명확하게 보여줍니다. 불일치. 실제로, 빔의 속도 분포와 공간 전하 밀도는 초기 순간에만 고조파 함수로 설명되었습니다. 다음은 전부다

특성은 상당히 비고조파가 됩니다. 동일한 고려 사항이 최적의 그룹화 조건을 설명합니다. 이러한 조건은 파도가 부서지기 시작하기 전에 실현됩니다.

비선형 효과는 다양한 방식으로 나타날 수 있습니다. 전형적인 예는 복원력이 신장에 따라 비선형적으로 변하는 비선형 스프링입니다. 대칭적 비선형성(압축 및 장력 하에서 동일한 반응)의 경우 운동 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

감쇠가 없고 고유 진동수에서 진폭이 증가하는 주기적인 솔루션이 있는 경우.

쌀. 1.7. 진동이 주기적이고 구동력과 동일한 주기를 갖는 경우(식 (1.2.4)에 정의됨) 강체 스프링이 있는 비선형 발진기의 고전적인 공명 곡선.

이 모델은 이를 연구한 수학자 이름을 따서 종종 더핑 방정식(Duffing Equation)이라고 불립니다.

시스템에 주기적인 힘이 가해지면 고전 이론에서는 반응도 주기적인 것으로 간주됩니다. 힘의 주파수와 일치하는 응답 주파수에서 비선형 스프링의 공진이 그림 1에 나와 있습니다. 1.7. 이 그림에 표시된 것처럼 구동력 진폭이 일정할 때 세 가지 다른 응답 진폭이 가능한 구동 주파수 범위가 있습니다. 그림에서 점선으로 표시된 것을 볼 수 있다. 1.7은 불안정하며, 주파수가 증가하고 감소함에 따라 히스테리시스가 발생합니다. 이 현상을 오버슈트라고 하며 많은 기계 및 전기 시스템을 사용한 실험에서 관찰됩니다.

저조파 및 초고조파 진동과 같은 다른 주기적인 솔루션이 있습니다. 추진력이 의 형태를 갖는 경우, 저조파 진동은 더 높은 고조파(-정수)를 더한 형태를 가질 수 있습니다. 아래에서 볼 수 있듯이, 서브고조파는 사전 혼돈 진동에서 중요한 역할을 합니다.

비선형 공명 이론은 주기적인 자극이 주기적인 반응을 일으킨다는 가정에 기초합니다. 그러나 혼돈진동에 관한 새로운 이론이 도전하는 것은 바로 이 가정이다.

자려 진동은 비선형 현상의 또 다른 중요한 부류입니다. 이는 주기적인 외부 영향이나 주기적인 힘이 없는 시스템에서 발생하는 진동 운동입니다. 그림에서. 1.8은 몇 가지 예를 보여줍니다.

쌀. 1.8. 자려 진동의 예: a - 질량과 움직이는 물체 사이의 건식 마찰; b - 얇은 날개에 작용하는 공탄성력; c - 활성 요소가 있는 회로의 음 저항.

첫 번째 예에서 진동은 질량과 움직이는 벨트의 상대적인 움직임으로 인해 발생하는 마찰로 인해 발생합니다. 두 번째 예는 공탄성 진동의 전체 클래스를 보여줍니다. 여기서 고정 진동은 탄성 서스펜션의 고체 뒤에 있는 고정 유체 흐름에 의해 발생합니다. 그림에 표시된 고전적인 전기 예에서. 1.9이며 Van der Pol이 연구한 진공관이 회로에 포함되어 있습니다.

이러한 모든 예에서 시스템은 고정 에너지원과 소산원 또는 비선형 감쇠 메커니즘을 포함합니다. 반데르폴 발진기의 경우 에너지원은 정전압이다.

쌀. 1.9. Van der Pol이 연구한 것과 동일한 유형의 한계 주기에서 진동하는 진공관이 있는 회로 다이어그램.

이 회로의 수학적 모델에서 에너지원은 음저항의 형태로 포함됩니다.

에너지는 작은 진폭으로 시스템에 들어갈 수 있지만 진폭이 증가하면 비선형 감쇠에 의해 에너지 증가가 제한됩니다.

Froude 진자(예: 참조)의 경우 축의 고정 회전에 의해 에너지가 공급됩니다. 작은 진동의 경우 비선형 마찰이 음의 감쇠 역할을 합니다. 한편, 강한 진동의 경우 진동의 진폭은 비선형 항에 의해 제한됩니다.

이러한 시스템의 진동 운동을 종종 한계 사이클이라고 합니다. 그림에서. 그림 1.10은 위상 평면에서 Van der Pol 발진기의 궤적을 보여줍니다. 작은 진동은 나선형으로 풀려 닫힌 점근 궤적에 접근하고, 큰 진폭의 움직임은 동일한 한계 주기로 나선형으로 수축됩니다(그림 1.10 및 1.11 참조).

이러한 문제를 연구할 때 종종 두 가지 질문이 발생합니다. 한계주기에서 진동의 진폭과 주파수는 얼마입니까? 어떤 매개변수 값에 대해 안정적인 한계 사이클이 존재합니까?

쌀. 1.10. 위상 평면에 표시된 Van der Pol 발진기의 한계 사이클 솔루션입니다.

쌀. 1.11. 반데르폴 발진기의 이완 진동.

반데르폴(van der Pol) 방정식의 경우, 방정식이 다음과 같은 형식을 갖도록 공간변수 by 및 시간 by를 정규화하는 것이 편리합니다.

어디 . 작은 값의 경우 한계 사이클은 위상 평면에서 반경 2의 원입니다.

여기서는 3차 이상의 고조파가 표시됩니다. 큰 경우 운동은 그림 1에 표시된 이완 진동의 형태를 취합니다. 1.11, 무차원 주기는 약 1.61입니다.

반데르폴 시스템의 주기력 문제는 더 복잡합니다.

이 시스템은 비선형이기 때문에 자유 진동과 강제 진동의 중첩 원리는 적용되지 않습니다. 대신, 결과적인 주기적인 동작은 구동 주파수가 한계 사이클 주파수에 가까울 때 구동 주파수에서 캡처됩니다. 외부 영향이 약한 경우 세 가지 주기적인 해가 있지만 그 중 하나만 안정적입니다(그림 1.12). 큰 힘 진폭의 경우 솔루션은 하나뿐입니다. 어쨌든 디튜닝이 증가하면 고정된 솔루션에서 캡처된 주기적 솔루션이 불안정해지고 다른 유형의 모션이 가능해집니다.

쌀. 1.12. Van der Pol 발진기의 강제 운동에 대한 진폭 곡선(1.2.9).

구동 주파수와 고유 주파수 사이에 큰 차이가 있는 경우 Van der Pol 시스템에 새로운 현상, 즉 거의 주기적 또는 준주기적 솔루션이라고도 불리는 결합 진동이 나타납니다. 조합 진동은 다음과 같은 형태를 갖습니다.

빈도와 가 통약 불가능한 숫자인 경우, 즉 무리수인 경우 해를 준주기적 해라고 합니다. 반데르폴 방정식의 경우 는 자유 진동의 한계 주기 주파수입니다(예를 들어 참조).

모든 진동과는 달리 복원력은 편향에 비례합니다(즉, 법칙에 따라 변경됩니다(- 크)).예를 들어 그림 2.74에 표시된 스프링을 생각해 보십시오. 여러 개의 판으로 구성되어 있습니다. 작은 변형의 경우 긴 플레이트만 구부러집니다. 더 높은 하중에서는 더 짧고 더 단단한 플레이트도 구부러질 수 있습니다. 복원력은 이제 다음과 같이 설명될 수 있습니다.

전투 모드로 전환 비주기적,진동이 사라지고 몸체가 천천히 평형 위치에 접근할 때(그림 1) 2.72, b, c).

점이 있는 선 대신에 입력하세요. (t,x),점이 배치될 선( x,v), 다양한 마찰에서 감쇠 진동의 위상 초상화를 얻습니다. 기성 프로그램 중 하나를 사용할 수도 있습니다 파스뎀*또는 포트 * PAKPRO 패키지에서 사용 가능한 것 중 하나입니다. 그림 2.73과 같은 다이어그램이 나타나야 합니다.

즉, 반환됩니다. 에프그리고 엑스항상 다른 부호를 가지고 있으므로 일련의 홀수 거듭제곱으로 확장해야 합니다. 엑스.위치에너지부터 유공식으로 힘과 관련됨 에프 = - dU/dx, 그것은 다음을 의미합니다

즉, 포물선보다 가파른 벽을 가진 전위 우물에서 진동이 발생합니다(그림 2.75, a). 플레이트 간의 마찰은 진동을 완화하는 데 필요한 감쇠를 제공합니다.

다음과 같은 경우 비대칭 구덩이에서도 진동이 가능합니다.

(그림 2.75, b). 복원력은 다음과 같습니다.

비선형 진동과 관련된 문제를 해결하려면 분석 솔루션이 없기 때문에 컴퓨터의 사용이 불가피합니다. 컴퓨터에서는 해결 방법이 전혀 어렵지 않습니다. 속도가 증가하는 라인에서만 필요 (V = v + F At/m),예를 들어 F에 대한 전체 표현식을 작성하십시오. -으-으-으 2 - 픽셀 3.

예. 비선형 진동 그래프를 그리는 프로그램은 PAKPRO 패키지에 제공됩니다. Nlkol.작동시키세요. 다양한 초기 편차에 대한 일련의 곡선을 얻어야 합니다. x 0 이 특정 값보다 크면 진동하는 입자가 전위 장벽을 극복하고 전위 우물을 떠납니다.

또한 프로그램을 테스트 Nlcol*그리고 Nlosc.*, PAKPRO 패키지와 비선형 진동의 위상 초상화를 얻을 수 있는 프로그램에서 사용할 수 있습니다. Phaspnl.*, Phportnl*.

엄밀히 말하면 거의 모든 진동은 비선형입니다. 작은 진폭에서만 선형으로 간주될 수 있습니다((2.117)과 같은 공식에서 x 2, x 3 등의 항을 무시).

주파수 Co로 자체 진동을 제공하는 복원력 외에도 진동자가 (Oo)와 같거나 같지 않은 주파수 co로 주기적으로 변하는 외부 힘에 의해 작용한다고 가정합니다. 이 힘은 몸체를 흔들 것입니다. 주파수 co로 이 경우에 발생하는 진동을 호출합니다. 강요된.

이 경우의 운동 방정식은 다음과 같습니다.

첫째, 진동을 설정하는 과정이 발생합니다. 첫 번째 충격부터 신체는 0부터 자체 주파수로 진동하기 시작합니다. 그런 다음 점차 자연 진동이 사라지고 추진력이 프로세스를 제어하기 시작합니다. 강제 진동은 주파수(O0)가 아닌 구동력 co의 주파수로 설정됩니다. 전환 과정은 매우 복잡하며, 수치적 방법을 사용하여 문제를 해결할 때 프로그램은 더 이상 복잡하지 않습니다. 예를 들어, 진동을 감쇠시키는 프로그램은 운동 방정식에 따라 속도가 증가하는 라인에만 FobiH = Focos(cot) 형식으로 추진력을 추가하면 됩니다.

예. PAKG1RO 패키지는 컴퓨터 화면에서 강제 진동 그래프를 얻는 프로그램의 예를 제공합니다. 프로그램도 참조하세요 Ustvcol.pas그리고 UstvcoW.pas.결과 x(?) 플롯 및 상태 다이어그램 v(x)그림 2.76에 나와 있습니다. 매개변수를 성공적으로 선택하면 강제 진동이 점차적으로 어떻게 설정되는지 명확하게 볼 수 있습니다. 위상 다이어그램(프로그램)에서 강제 진동의 설정을 관찰하는 것도 흥미롭습니다. Phpforc.pas).

주파수 co를 갖는 진동이 이미 확립된 경우 방정식 (2.118)에 대한 해는 다음 형식에서 찾을 수 있습니다.

여기서 Jo는 정상 상태 진동의 진폭입니다. (2.119)를 (2.118)로 대체하면 먼저 시간 도함수를 찾은 후 엑스"그리고 엑스"그리고 그걸 감안할 때 에게= coo 2 tn이면 (2.119)는 방정식 (2.118)의 해가 될 것입니다.

마찰은 고려되지 않았습니다. 계수 ㅏ 0으로 가정되었습니다. co가 C0에 접근함에 따라 진동의 진폭이 급격히 증가하는 것을 볼 수 있습니다(그림 2.77). 이 현상을 공명.

실제로 마찰이 없었다면 с = (Оо의 진폭은 무한히 커질 것입니다. 실제로는 이런 일이 발생하지 않습니다. 동일한 그림 2.77은 마찰이 증가함에 따라 공명 곡선이 어떻게 변하는지 보여줍니다. 그러나 여전히 co와 co가 일치하면 진폭은 기존보다 수십 배, 수백 배 더 커질 수 있습니다. 에프정말. 기술적으로 이러한 현상은 위험합니다. 엔진의 강제 진동이 기계 부품의 고유 진동수와 공명하여 파손될 수 있기 때문입니다.

물리적 진동 상미분 방정식의 비선형 시스템으로 설명되는 시스템

어디 벡터 구성요소 - 시간의 벡터 함수 - 작은 매개변수(또는 및 )에 최소한 2차 항이 포함되어 있습니다. 가능한 일반화는 불연속 시스템, 불연속 특성(예: 히스테리시스)이 있는 영향, 지연 및 무작위 영향, 적분 미분 및 미분 연산자 방정식, 편미분 방정식으로 설명되는 분산 매개변수가 있는 진동 시스템의 고려와 관련됩니다. 비선형 진동 시스템의 최적 제어 방법을 사용하는 것과 같습니다. N.K.의 주요 일반 임무: 평형 위치, 고정 체제, 특히 주기적 체제 찾기. 움직임, 자기 진동 및 안정성 연구, N. to의 동기화 및 안정화 문제.

모든 물리적 엄밀히 말하면 시스템은 비선형입니다. NC의 가장 특징적인 특징 중 하나는 진동 중첩 원리를 위반한다는 것입니다. 즉, 다른 영향이 있을 때 각 영향의 결과는 다른 영향이 없을 때와 다른 것으로 나타납니다.

준선형 시스템 - 에 대한 시스템(1). 주요 연구방법은 작은 매개변수 방법.우선, 이것이 주기성을 결정하는 Poincaré-Lindstedt 방법입니다. 충분히 작은 값에 대한 매개변수에서 거듭제곱의 계열(9장 참조) 형태 또는 거듭제곱 및 일련의 형태로 분석되는 준선형 시스템의 해 - 벡터 구성요소의 초기값에 추가(III장 참조). 이 방법의 추가 개발에 대해서는 예를 들어 -를 참조하세요.

또 다른 작은 매개변수 방법은 다음과 같습니다. 평균화.동시에 새로운 방법도 준선형 시스템 연구에 침투했습니다. 즉, 점근적 방법입니다. A. M. Lyapunov - N. G. Chetaeva 등의 기본 결과를 기반으로 한 방법 (참조), K- 함수 방법 (참조)

미리 결정된 작은 매개변수가 없는 본질적으로 비선형 시스템입니다. Lyapunov 시스템의 경우

행렬의 고유값 중에는 근의 배수가 없습니다. - 분석적 벡터 함수 엑스,확장은 적어도 2차 항으로 시작되며 특수 형식의 분석적 첫 번째 적분이 있습니다. A. M. Lyapunov(§ 42 참조)는 주기 적분을 찾는 방법을 제안했습니다. 임의의 상수 c(두 개의 중요한 변수 중 하나의 초기 값 또는 취할 수 있음)의 거듭제곱으로 된 시리즈 형태의 솔루션입니다.

Lyapunov 시스템에 가까운 시스템의 경우,

(2)와 같은 형식인 경우 - 분석적입니다. 벡터 함수 및 작은 매개변수, 연속 및 주기 티,주기성을 결정하는 방법도 제안됩니다. 결정(VIII장 참조) 행렬에 단순 기본 제수가 포함된 0개의 고유값, 두 개의 순수 허수 고유값이 있고 다음의 배수인 고유값이 없는 Lyapunov 유형 시스템(2) - (2)와 동일하게 Lyapunov 시스템으로 축소될 수 있습니다(IV.2 참조). N.K.는 Lyapunov 시스템과 소위에서도 연구되었습니다. 감쇠 기능이 있는 Lyapunov 시스템은 에너지를 펌핑하는 일반적인 문제도 해결했습니다(I, III, IV장 참조).

본질적으로 비선형 자율 시스템을 선형 부분의 요르단 형태로 축소하자

여기서 벡터는 0이 아닌 구성 요소가 하나 이상 있다고 가정합니다. , 선형 부분의 행렬의 복소 기본 제수가 없거나 존재하는 경우 각각 0 또는 1과 같습니다. - 계수; 정수 구성요소가 포함된 벡터 값 세트는 다음과 같습니다.

그런 다음 정규화 변환이 있습니다.

(3)을 정규 형태의 미분 방정식으로 유도

그리고 만약 . 따라서 정규형(5)에는 공진 항만 포함됩니다. 즉, 공진 방정식이 충족되는 항에 대해서만 계수가 0이 아닐 수 있습니다.

진동이론에서 중요한 역할을 한다. 정규화 변환(4)의 수렴과 발산이 연구되었습니다(1부, 2장, 3장 참조). (대칭을 통해) 계수 계산이 제공됩니다(§ 5.3 참조). 본질적으로 비선형 자율 시스템의 비선형 형태에 관한 여러 문제에서 정규 형태의 방법이 효과적인 것으로 입증되었습니다(VI-VIII장 참조).

본질적으로 비선형 시스템을 연구하는 다른 방법 중에서 점 매핑 방법(스트로보스코닉 참조)이 사용됩니다. 방법 및 기능 분석. 행동 양식.

비선형 미분 방정식의 질적 방법 여기서 출발점은 A. Poincare(N. Poincare, 참조)가 수행한 비선형 상미분 방정식의 적분 곡선 형태에 대한 연구입니다. 2차 자율 시스템에 의해 설명되는 N.K. 문제에 대한 적용을 참조하세요. 주기성의 존재에 대한 질문이 연구되었습니다. 다차원 시스템에 대한 솔루션 및 안정성; 거의 주기적인 비주기 방정식이 완화 비선형 방정식의 문제에 대한 특정 도함수에 대한 작은 매개변수를 갖는 상미분 방정식 이론의 적용을 고려합니다.

N. k.의 중요한 측면. 기사 보기 섭동 이론, 진동 이론.

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