이중 적분의 정의와 기본 속성. 인형의 이중 적분
이중 적분의 기본 속성
이중 적분(및 그 파생)의 속성은 단일 정적분의 해당 속성과 유사합니다.
1°. 가산성. 기능의 경우 에프(엑스, 와이)은 도메인에 통합 가능 디그리고 그 지역이라면 디곡선을 사용하여 G영역 0은 공통 내부 점이 없는 두 개의 연결된 영역으로 나뉩니다. 디 1과 디 2, 다음 기능 에프(엑스, 와이)는 각 도메인에 통합 가능합니다. 디 1과 디 2, 그리고
2°. 선형 속성. 기능의 경우 에프(엑스, 와이) 그리고 g(엑스, 와이)는 도메인에 통합 가능 디, ㅏ α 그리고 β - 임의의 실수, 그 다음에는 함수 [ α · 에프(엑스, 와이) + β · g(엑스, 와이)]도 도메인에 통합 가능합니다. 디, 그리고
3°. 기능의 경우 에프(엑스, 와이) 그리고 g(엑스, 와이)는 도메인에 통합 가능 디, 이러한 함수의 곱은 다음과 같이 통합될 수 있습니다. 디.
4°. 기능의 경우 에프(엑스, 와이) 그리고 g(엑스, 와이) 둘 다 도메인 통합 가능 디그리고 이 지역 곳곳에 에프(엑스, 와이) ≤ g(엑스, 와이), 저것
5°. 기능의 경우 에프(엑스, 와이)은 도메인에 통합 가능 디, 그 다음에는 함수 | 에프(엑스, 와이)| 영역으로 통합 가능 디, 그리고
(물론 통합성 | 에프(엑스, 와이)| V 디통합성은 따르지 않는다 에프(엑스, 와이) V 디.)
6°. 평균값 정리. 두 가지 기능이 모두 있는 경우 에프(엑스, 와이) 그리고 g(엑스, 와이)는 도메인에 통합 가능 디, 기능 g(엑스, 와이)는 이 지역의 모든 곳에서 음수가 아닌(양수가 아닌), 중그리고 중- 함수의 정확한 상한 및 하한 에프(엑스, 와이) 지역 내 디, 그러면 숫자가 있습니다 μ , 부등식을 만족시키다 중 ≤ μ ≤ 중그리고 공식이 유효하도록
이중 적분의 개념으로 이어지는 문제 이중 적분의 정의 이중 적분의 기본 특성 평평한 영역의 영역 이중 적분을 반복 적분으로 감소 이중 적분의 변수 변경 곡선 좌표의 영역 요소 야코비안 및 그 기하학적 의미 이중 적분의 변수 변경 공식 극좌표의 이중 적분
이중 적분의 개념으로 이어지는 문제입니다. 이중 적분의 정의. 우리는 원통형 몸체의 부피를 계산하는 특정 문제를 해결함으로써 이중 적분의 개념에 도달했습니다. 원통형 몸체는 xOy 평면, 특정 표면 및 원통형 표면으로 둘러싸인 몸체이며, 그 생성선은 축과 평행합니다(그림 1 참조). 변수 x와 y의 변화 영역 D를 원통형 몸체의 밑면이라고 합니다. 몸체의 부피를 결정할 때 우리는 두 가지 원칙에 따라 진행합니다. !) 몸체를 여러 부분으로 나누면 그 부피는 모든 부분의 부피의 합과 같습니다(가산성의 속성). 2) xOy 평면에 평행한 z = const 평면으로 둘러싸인 직선 원통의 부피는 밑면 면적에 높이를 곱한 것과 같습니다. 다음에서는 영역 D가 연결되어 있고(하나의 조각으로 구성됨), 제곱이 가능하고(즉, 면적이 있음) 경계가 있는(즉, 원점을 중심으로 하는 특정 원 내부에 위치함) 가정합니다. 영역 Z>의 모든 영역에 있는 점 P(x, y)의 연속 함수라고 가정합니다. 즉, 고려 중인 원통형 표면이 xOy 평면 위에 완전히 놓이게 됩니다. 원통형 몸체의 부피를 V로 표시하겠습니다. 원통형 몸체의 밑면인 영역 D를 임의 모양의 교차하지 않는 특정 수 n개의 사분면 영역으로 나눕니다. 우리는 이를 부분 영역이라고 부를 것입니다. 부분 영역에 어떤 순서로 번호를 매겼는지, 그에 따라 영역을 지정합니다. 부분 영역의 직경을 Dk라고 합시다. 이중 적분의 개념으로 이어지는 문제 이중 적분의 정의 이중 적분의 기본 특성 평평한 영역의 면적 이중 적분을 반복 적분으로 감소 변경 이중 적분의 변수 곡선 좌표계의 면적 요소 야코비안과 그 기하학적 의미 이중 적분의 변수 변경 공식 극좌표의 이중 적분 기호 p(P; Q)는 점 P와 Q 사이의 거리를 의미합니다. 부분 영역 Dk(k = 1,2,...,n)의 가장 큰 직경을 d로 합니다. 각 부분 영역의 경계를 통해 오즈 축에 평행한 생성기가 있는 원통형 표면을 그려 보겠습니다. 결과적으로, 원통형 본체는 n개의 부분 원통형 본체로 분할됩니다. 이 부분 몸체를 교체된 표면의 일부 지점의 적용 범위와 동일한 밑면과 높이를 가진 직선 원통으로 교체해 보겠습니다(그림 2). 그러한 원통의 부피는 점이 Dk 영역의 면적인 곳과 같습니다. 각 부분 원통형 몸체에 대해 설명된 구성을 수행하면 n단계 몸체를 얻습니다. 그 부피는 (o) 직관적으로 Vn이 원하는 부피 V를 더 정확하게 표현하고 부분 영역의 크기가 작을수록 분명합니다. Dk. 우리는 원통형 몸체의 부피 V를 n단계 몸체의 부피(1)가 부분 영역 Dk의 최대 직경 d가 0이 되는 경향이 있는 한계와 동일하다고 간주합니다. 당연히, 한계는 영역 D를 부분 영역 Dk로 분할하는 유형과 부분 영역에서 점 Pk의 선택에 의존해서는 안 됩니다. /(x, y)를 도메인 D에 정의된 임의의 함수로 둡니다. 합 n(1)은 이 도메인의 주어진 분할에 해당하는 도메인 D에 대한 함수 f(x)y)에 대한 적분 합이라고 합니다. n개의 부분 도메인과 부분 도메인 Dk의 주어진 점 Ж ®*,!/*)를 선택합니다. 정의. d -* 0에 대해 영역 D를 부분 영역으로 분할하는 방법이나 부분 영역에서 점 Pk의 선택에 의존하지 않는 적분 합 n의 한계가 있는 경우 이를 다음의 이중 적분이라고 합니다. 도메인 D에 대한 함수 f(P) (또는 f(x, y ))는 OR 기호로 표시됩니다. 따라서 (2) 함수 자체 f(x, y)는 도메인 D(f(f( P)는 피적분 함수, f(P) dS는 피적분 함수, dS는 면적의 미분(또는 요소), 영역 D - 적분 영역 P(®, y) - 적분 변수)입니다. ,.. 원통형 몸체로 돌아가서 우리는 다음과 같은 결론을 내립니다. xOy 평면, 표면 및 Oz 축에 평행한 모선이 있는 원통형 표면으로 둘러싸인 원통형 몸체의 부피는 함수 /( x, y) 원통형 본체의 기본인 영역 D에 대해. / 또는 여기서 dx dy는 데카르트 좌표의 면적 요소입니다. 이것은 음이 아닌 함수의 이중 적분의 기하학적 의미입니다. 그렇다면 볼륨 D 함수 f(P)의 양수 값과 음수 값을 모두 취하면 적분은 xOy 평면 위에 위치한 신체 부분의 부피의 대수적 합을 나타냅니다. "+" 기호) 및 xOy 평면 아래에 있는 신체 부위("-" 기호로 표시). 원통형 몸체의 부피 문제뿐만 아니라 다양한 문제로 인해 두 독립 변수의 함수에 대한 형식 (1)의 합이 계산되고 이후 극한까지 도달하게 됩니다. 통합성을 위한 충분한 조건을 공식화해 보겠습니다. 정리 1. 제한된 닫힌 도메인 D에서 연속적인 모든 함수 y)는 이 도메인에서 적분 가능합니다. 피적분 함수의 연속성에 대한 요구 사항은 종종 너무 제한적인 것으로 드러납니다. 응용 분야에서는 특정 클래스의 불연속 함수에 대한 이중 적분의 존재를 보장하는 다음 정리가 중요합니다. 평면 위의 특정 점 집합이 임의로 작은 면적의 다각형 그림으로 둘러싸일 수 있다면 면적이 0이라고 말할 수 있습니다. 정리 2. 함수 /(x, y)가 닫힌 경계 영역 D에 속하고 영역 0의 일부 점 집합을 제외하고 D의 모든 곳에서 연속인 경우 이 함수는 영역 D에서 적분 가능합니다. §2. 이중 적분의 기본 속성 이중 적분은 하나의 독립 변수 함수에 대한 정적분의 속성과 유사한 여러 속성을 갖습니다. 2.1. 선형 속성 함수)가 정의역 D에 적분 가능하고 a와 p가 임의의 실수이면 함수 af)도 정의역 D에 적분 가능하며 o) 2.2. 불평등의 통합 기능)이 영역 D와 이 영역의 모든 곳에서 통합 가능하면 (2) 즉, 불평등이 통합될 수 있습니다. 특히, 우리가 얻는 명백한 불평등을 통합하면 평평한 영역의 면적 평평한 영역 D의 면적은 1과 동일하게 동일한 함수의 이 영역에 대한 이중 적분과 같습니다. 실제로, 도메인 D에서 함수 /(P) = 1에 대한 적분 합은 다음과 같은 형식을 가지며, 도메인 D를 부분 도메인 Dt로 분할하는 경우 면적 S와 같습니다. 그러나 이 합의 극한은 다음과 같습니다. 즉, 이중 적분은 면적 S 면적 D와 같습니다. 또는 동일한 것은 무엇입니까? (3) 2.4. 적분의 추정 함수 /(P)가 경계가 있는 닫힌 영역 D에서 연속이라고 가정하고, M과 mn을 영역 D에서 /(P)의 최대값과 최소값으로 설정하고 해당 영역을 5로 설정합니다. 그러면 (4)2.5. 가산성: 함수 /(P)가 도메인 D에서 적분 가능하고 도메인 Z)가 공통 내부 점 없이 두 개의 도메인 D\ 및 Di로 분할되면 /(P)는 각 도메인 D\ 및 Di에서 적분 가능합니다. 및 (5) 2.6. 평균값 정리 정리 3(평균값). 함수 /(P)가 닫힌 경계 도메인 D에서 연속이면 공식이 성립하는 도메인 D의 점 Pc가 하나 이상 있으며 여기서 S는 도메인 D의 면적이므로 유효합니다. /(P)는 닫힌 경계 영역 D에서 연속적이며, D에서 가장 큰 값 M과 가장 작은 값 m을 취합니다. 우리가 갖는 적분 추정에 대한 속성 4에 따라 숫자는 가장 큰 값과 가장 작은 값 사이에 포함됩니다. 도메인 D에서 함수 /(P)의 값. 도메인 D에서 함수 /( P)의 연속성으로 인해 어떤 지점에서 Pc G D 이 숫자와 같은 값을 취하며, 여기서 S 값 f( 공식 (7)에 의해 결정된 Pc)를 영역 D에서 함수 f(P)의 평균값이라고 합니다. 평균값 정리 값의 기하학적 의미 영역 D에서 함수 /(P) ^O이면 식 (6)은 밑면이 D(면적은 5)이고 높이가 H = /(Pc)인 직선 원통이 있으며 그 부피는 원통형 본체의 부피와 같습니다(그림 1). 삼). § 3. 이중 적분을 반복 적분으로 줄이기 이중 적분을 계산하는 효과적인 방법 중 하나는 이를 반복 적분으로 줄이는 것입니다. 3.1. 직사각형의 경우 영역 D를 좌표축에 평행한 변을 갖는 닫힌 직사각형 P라고 가정합니다. 함수 f(x, y)가 직사각형 P에서 연속이라고 가정합니다. 이중 적분은 밑면이 P인 원통형 몸체의 (대수적) 부피로 해석될 수 있으며 해당 원통형 몸체를 고려합니다. Oy 축에 수직인 평면을 그려보겠습니다(그림 4). 이 평면은 위에서부터 평평한 선 z로 경계가 지정된 곡선 사다리꼴을 따라 원통형 본체를 해부합니다. 이는 방정식으로 설명됩니다. 사다리꼴 ABC\A\의 면적은 x에 대해 통합이 수행되는 적분으로 표현됩니다. - 피적분 함수의 두 번째 인수 -는 상수(c ^Uo ^d)로 간주됩니다. 적분(1)의 값은 уо 값의 선택에 따라 달라집니다. (2) 식 (2)는 원통형 몸체의 단면적 a를 y의 함수로 나타냅니다. 따라서 원통형 몸체의 부피는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다. 반면에 이 부피는 직사각형 P에 대한 함수 f(x, y)의 이중 적분으로 표현됩니다. 이는 S(y)를 그 표현 (2), 우리는 이중 적분의 개념으로 이어지는 문제를 얻습니다. 이중 적분의 정의 이중 적분의 기본 특성 평평한 영역의 영역 이중 적분을 반복 적분으로 감소 이중 적분에서 변수 대체 곡선 좌표의 면적 요소 야코비안과 그 기하학적 의미 이중 적분에서 변수 대체 공식 극좌표의 이중 적분 마지막 관계는 일반적으로 다음과 같이 작성됩니다. 원통형 몸체의 부피는 원통형 본체의 단면적에서도 찾을 수 있습니다. 평면 x = x0. 이는 공식 (4)로 이어집니다. 공식 (3)과 (4)의 오른쪽에 있는 각 표현식은 함수 /(x, y)의 일반적인 적분의 두 가지 연속 연산을 포함합니다. 이를 도메인 P에 대한 함수 /(x, y)의 반복 적분이라고 합니다. f(x, y)가 닫힌 직사각형 P에서 연속이면 반복 적분으로의 전환이 항상 가능하며 (5) 즉, 연속 함수 /(x, y)의 반복 적분 값은 적분 순서에 의존하지 않습니다. 예 1. 영역에 대한 함수의 이중 적분 찾기 우리는 (그림 5 참조): 3.2. 임의 도메인의 경우 이제 적분 도메인이 다음 조건을 만족하는 xOy 평면에서 임의의 제한된 제곱 가능 폐쇄 도메인 D라고 가정하겠습니다. Oy 축에 평행한 모든 직선은 도메인 D의 경계와 전혀 교차하지 않습니다. 두 개 이상의 점 또는 전체 세그먼트를 따라(그림 . 6a). 그림과 같이 직사각형 내부에 영역 D를 넣습니다. 66. 세그먼트 [a, 6]은 Oxy 축에 대한 D 영역의 직교 투영이고, 세그먼트 [c, dj는 Oy 축에 대한 D 영역의 직교 투영입니다. 점 A와 C는 영역 D의 경계를 두 개의 곡선 ABC와 AEC로 나눕니다. 이들 곡선 각각은 한 지점 이하에서 Oy 축에 평행한 임의의 직선과 교차합니다. 따라서 방정식은 y에 대해 해결된 형식으로 작성될 수 있습니다. f(x, y)를 영역 D에서 연속적인 함수라고 가정합니다. 고려 중인 원통형 몸체를 평면으로 분해해 보겠습니다. 이 섹션에서 우리는 곡선 사다리꼴 PQMN(그림 7)을 얻습니다. 이 영역은 하나의 변수 y의 함수로 간주되는 함수 /(x, y)의 일반 적분으로 표현됩니다. 이 경우 변수 y는 점 P의 세로 좌표에서 점 Q의 세로 좌표로 변경됩니다. \ 점 P는 선 x = const(평면에서)가 영역으로 들어가는 "입구"입니다. 즉 "출구" 지점입니다. 이 지역 출신. 곡선 ABC의 방정식은 이고 곡선은 이므로 x에 대한 이러한 좌표는 각각 동일합니다. 결과적으로 적분은 절단 평면 x = const의 위치에 따라 원통형 몸체의 평평한 단면적을 표현합니다. 몸 전체의 부피는 변화 간격에서 x에 대한 이 식의 적분과 같습니다. 따라서 특히 영역 D의 영역 S에 대해 다음을 얻습니다. 이제 각 직선이 가로좌표가 각각 동일한 두 점 P와 Q 이하에서 영역 D의 경계와 교차한다고 가정합니다. 또는 전체 세그먼트를 따라)(그림 8). 유사한 추론을 수행하여 이중 적분 계산을 반복 계산으로 줄이는 공식에 도달했습니다. 예 2. 선으로 둘러싸인 면적 D에 대한 함수의 이중 적분을 계산합니다. ^ 첫 번째 방법. 적분 영역 D를 그려보겠습니다. 직선 y = x와 포물선 y = x2가 점에서 교차합니다. 이는 x가 0부터 8개의 한계 내에서 변한다는 것을 의미합니다. 임의의 직선 x = const)는 최대 2개 지점에서 영역 경계와 교차합니다. 따라서 식(8)이 적용 가능하다: 두 번째 방법(그림 10). 공식 (10)을 사용합니다. 동일한 결과를 얻습니다. 예 3. 좌표 평면 xOz 및 y Ox에 대한 이 몸체의 대칭으로 인해 반축이 있는 타원 선을 따라 xOy 평면과 교차하는 표면으로 둘러싸인 몸체의 부피를 계산합니다. 우리는 다음을 얻습니다: 참고. 영역 D가 일부 직선(기골 또는 수평)이 두 개 이상의 지점에서 경계와 교차하는 경우 영역 D에 대한 이중 적분을 계산하려면 영역 D를 적절하게 여러 부분으로 나누고 각 적분을 다음으로 반복해야 합니다. 부품을 선택하고 얻은 결과를 추가합니다. 예 4. 내부 정사각형의 변이 2이고 외부 정사각형의 변이 4인 경우, 중심이 있는 두 개의 정사각형과 원점 및 좌표축에 평행한 변 사이에 둘러싸인 면적 D에 대한 이중 적분을 계산합니다. 이는 다음과 같이 연속적입니다. 변이 4인 큰 정사각형 Q와 변이 2인 작은 정사각형 R.(그림 12). 정리 1에 따르면 표시된 사각형에 대한 함수 e***의 적분이 존재하므로 필요한 적분 §4의 값이 존재합니다. 이중 적분의 변수 변경 4.1. 점의 곡선 좌표 개념 uOv 평면의 영역 D*에 한 쌍의 함수가 주어지고, 이 영역에서 연속이고 연속 부분 도함수를 갖는 것으로 간주합니다. 방정식 (1)에 의해, 도메인 D*의 각 점 M*(α, v)는 xOy 평면의 하나의 특정 점 M(x, y)에 대응하고, 따라서 도메인 D*의 점은 xOy 평면에서 점(x, y)의 특정 세트 D(그림 13). 이 경우 함수 (1)이 도메인 D4를 집합 D에 매핑한다고 합니다. 서로 다른 점 (u, v)가 서로 다른 점 (x, y)에 대응한다고 가정하겠습니다. 이는 u, v에 대한 방정식 (1)의 고유한 해결 가능성과 동일합니다. 이 경우 매핑을 도메인 D*에 대한 도메인 D의 일대일 매핑이라고 합니다. 이러한 변환을 사용하면 모든 영역 D*에 있는 연속 곡선 L*은 영역 D에 있는 연속 곡선 L로 들어갑니다. 함수 d(x) y) 및 h(x, y)도 연속인 경우 도움이 필요한 연속 선 LCD 변환 (2)는 연속선 L* C D*를 넘어갑니다. 주어진 쌍 Ш, 변수의 Vo 값 및 영역 D*의 v에 대해 점 M*(u<)> Vq)는 £)* 자체 영역에 있지만 영역 D에서 해당 점 M(xo, vo)의 위치는 xo = 4>(io, v0), 3/0 = o, vo)입니다. 이는 숫자 u, v를 xOy 평면에서 영역 M의 점 D의 새로운 좌표로 간주할 수 있는 근거를 제공합니다. 이를 점 M의 곡선 좌표라고 합니다. 좌표 중 하나가 일정하게 유지되는 영역 D의 점 집합을 좌표선이라고 합니다. 식 (1)에서 u = vq로 설정하면 좌표선의 매개변수 방정식을 얻을 수 있습니다. 여기서 매개변수의 역할은 변수 u에 의해 수행됩니다. 좌표 v에 다양한(가능한) 상수 값을 제공하여 xOy 평면에서 좌표선 계열(v = const)을 얻습니다. 마찬가지로, 우리는 또 다른 좌표선군(u = const)을 얻습니다. 영역 D*와 D 사이에 일대일 대응이 있는 경우, 같은 가족의 서로 다른 좌표선은 서로 교차하지 않으며 각 가족의 한 선은 영역 D의 임의의 지점을 통과합니다. xOp 평면의 곡선 좌표선 그리드는 uOv 평면의 직사각형 그리드 이미지입니다(그림 13 참조). 4.2. 곡선 좌표의 영역 요소입니다. 야코비 행렬과 그 기하학적 의미 Uo*V 평면의 D* 영역에서 변이 좌표축 0*u 및 O"v에 평행하고 변 길이가 Ai 및 Av인 작은 직사각형 P*P?P$Pl을 선택하겠습니다. (명확성을 위해 A )(그림 14a) 해당 영역은 D 영역(그림 146)에서 곡선 사변형 *으로 변환됩니다. 그러면 공식(1)에 따라 좌표가 있습니다. ), 해당 정점 Pi는 좌표를 갖습니다) 두 변수의 함수에 대한 Taylor의 공식을 사용하고 A와 Av에 대한 1차/pc의 항으로 제한하면 다음과 같은 좌표의 대략적인 값을 얻습니다. 점의 좌표에 대해 발견된 표현식은 사변형 P\PiPiPa가 평행사변형임을 보여줍니다. 그런 다음 사변형의 면적 DS는 대략 벡터 곱의 길이로 표현될 수 있습니다. 이중 적분의 개념으로 이어지는 문제 이중 적분의 정의 이중 적분의 기본 속성 평평한 영역의 면적 감소 이중 적분에서 반복 적분으로의 이중 적분에서 변수 대체 곡선 좌표계의 영역 요소 야코비언 및 그 기하학적 의미 이중 적분에서 변수를 변경하는 공식 극좌표에서 이중 적분 행렬식 비디오의 공식 (7) 및 (8)에서, 야코비 행렬의 절대값은 변환 공식(1)을 사용하여 도메인 D에 매핑할 때 영역 D"(이 지점(tx, v))의 로컬 신축 계수 역할을 합니다. 4.3. 이중 적분에서 변수를 변경하는 공식 연속 함수가 도메인 D*를 D에 일대일 매핑하고 1차 연속 부분 도함수를 갖도록 합니다. xOy 평면의 영역 D에 연속 함수가 있다고 가정합니다. 영역 D에 있는 함수)의 각 값은 영역 D"에 있는 함수 r =의 동일한 값에 해당합니다. 여기서 영역 D*를 나눕니다. 부분 영역으로 나누고 영역 D의 해당 분할을 구성합니다. 해당 부분 영역 (u, v) 및 (x, y)에서 점을 선택하여 함수 값이 일치하도록 하고 다음에 대한 적분 합을 구성합니다. 영역 D와 D*에 대한 함수 z = /(x, y) 및 v) 부분 영역 D\의 최대 직경 d*가 0이 되는 극한까지의 함수의 야코비 행렬을 얻습니다. (맵(I)의 연속성으로 인해 D의 부분 영역 중 가장 큰 직경 d는 0이 되는 경향이 있습니다.) 조건 J Ф 0은 다음과 같이 수행되는 로컬 일대일 매핑 조건입니다. 함수 정리 4. 데카르트 좌표에 지정된 이중 적분을 곡선 좌표의 이중 적분으로 변환하려면 적분 함수 /(x, y)의 변수 x 및 y를 각각 면적 요소 dx를 통해 대체해야 합니다. dy - 곡선 좌표 표현: 예. 쌍곡선 m으로 둘러싸인 그림의 영역을 찾습니다. 표시된 그림의 영역을 찾는 것은 영역 O에 대한 이중 적분 계산으로 귀결됩니다. 조건에서 새로운 곡선 좌표와 및 o를 소개하겠습니다. 방정식의 그것. 이는 uOv 평면에서 직사각형(그림 156)을 얻었음을 의미합니다. 이는 주어진 그림 D보다 간단한 그림입니다. 관계식 (11)에서 u와 t>를 통해 x와 y를 표현해 보겠습니다. 그림 15 그런 다음 이중 적분 극좌표에서 이중 적분의 계산은 종종 다음 공식에 따라 직교 좌표 x 및 y를 극좌표로 대체하여 단순화됩니다. 극좌표의 면적 요소는 데카르트 좌표의 적분에서 적분으로의 전환에 대한 형식과 공식을 갖습니다. 극좌표는 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 이 경우 (13) 극좌표의 면적 요소는 기하학적 고려 사항으로부터 얻을 수 있습니다(그림 16 참조). 그림 A에서 색칠한 부분의 면적 = 정사각형. 분야. 섹터 극소량의 고차의 극소량을 버리고 극좌표 영역의 요소로 구하여 취합니다. 따라서 데카르트 좌표의 이중 적분을 극좌표의 이중 적분으로 변환하려면 피적분 함수의 a: 및 y를 각각 p costp 및 psini로 바꾸고 데카르트 좌표 dx dy의 면적 요소를 다음으로 바꿔야 합니다. 극좌표 p dp dip의 면적 요소. 이제 극좌표의 이중 적분을 계산해 보겠습니다. 직각 데카르트 좌표의 경우와 마찬가지로 극좌표의 적분 계산은 이를 반복 적분으로 줄여 수행됩니다. 먼저 극 O가 주어진 영역 D 외부에 있는 경우를 고려해 보겠습니다. 영역 D는 극에서 나오는 모든 광선(좌표선 y가 두 점 이하 또는 전체 세그먼트를 따라 경계와 교차하는 속성을 갖습니다) (그림 17) 극각의 극값 i는 외부 적분의 한계입니다. 광선 μ> = 영역 D 윤곽의 점 A를 통과하고 점 B를 통과합니다. 점 Aw B는 영역 D의 윤곽을 ACB와 AFB의 두 부분으로 나눕니다. 그리고)는 조건을 만족하는 단일 값 연속 함수입니다. 함수는 내부 적분의 한계입니다. 반복 적분을 통해 우리는 다음 공식을 얻습니다. 특히, F(p, r 1)를 사용하여 영역 D의 면적 S에 대해 이제 극 O가 영역 D 내부에 위치한다고 가정합니다. 즉, 모든 광선 tp = const는 한 지점에서만 또는 전체 세그먼트를 따라 영역의 경계와 교차합니다(그림 18). 극좌표에서 영역 경계 방정식을 가정합니다. 그런 다음 그림 18. 영역이 첫 번째 사분면에 있는 단위원의 1/4인 적분을 계산합니다. 변환된 적분 /는 쉽게 계산됩니다. d 참고. 도메인 D에서 0이 아닌 경우, 이 도메인의 각 지점의 특정 부근에서의 매핑은 일대일입니다. 그러나 전체 도메인의 매핑이 일대일이 아닌 경우가 발생할 수 있습니다. 함수에 의해 정의된 매핑입니다. 이러한 함수의 야코비 행렬은 동일하므로 모든 곳에서 0과 다릅니다. 그럼에도 불구하고 우리는 얻었으므로 이 매핑은 일대일이 아닙니다. 반면, 매핑의 야코비 행렬이 어느 시점에서 사라지더라도 이 지점 근처의 매핑은 일대일 매핑이 될 수 있습니다. 예를 들어 함수로 정의된 매핑의 경우 야코비 행렬은 0과 at과 같지만 매핑은 일대일입니다. 역 매핑은 다음 함수에 의해 결정됩니다.
이중 적분
강의 1
이중 적분.이중 적분의 정의와 그 속성. 반복 적분. 이중 적분을 반복 적분으로 줄입니다. 통합 한계를 설정합니다. 데카르트 좌표계의 이중 적분 계산.
이중 적분은 두 변수의 함수에 대한 정적분 개념을 일반화한 것입니다. 이 경우 통합 세그먼트 대신 일종의 평면적인 그림이 나타납니다.
허락하다 디일부 폐쇄된 제한 구역이고, 에프(x,y)는 이 영역에서 정의되고 제한되는 임의의 함수입니다. 지역의 경계를 가정하겠습니다. 디다음 형식의 방정식으로 정의된 유한 수의 곡선으로 구성됩니다. 와이=에프(엑스) 또는 엑스=지( 와이), 어디 에프(엑스) 그리고 g(와이)은 연속 함수입니다.
구역을 나누어보자 디무작위로 N부속. 정사각형 나-번째 섹션은 기호 D로 표시됩니다. 나야?. 각 섹션에서 무작위로 한 점을 선택합니다. 파이,고정된 데카르트 시스템의 좌표를 갖도록 합니다( x 나 ,y 나). 작곡하자 적분합기능을 위해 에프(x,y) 지역별 디,이렇게하려면 모든 지점에서 함수 값을 찾으십시오. 파이, 해당 섹션 Ds의 면적을 곱합니다. 나얻은 모든 결과를 요약합니다.
전화하자 직경 직경(G) 지역 G이 영역의 경계점 사이의 최대 거리.
이중 적분 함수 f(x,y) 영역 D에 대한 적분합의 시퀀스가 경향이 있는 한계입니다. (1.1) 파티션 수를 무제한으로 늘리면 n (여기서). 이는 다음과 같이 작성됩니다.
일반적으로 주어진 함수와 주어진 적분 영역에 대한 적분 합은 영역을 분할하는 방법에 따라 달라집니다. 디그리고 포인트 선택 파이. 그러나 이중 적분이 존재하는 경우 이는 해당 적분 합의 극한이 더 이상 표시된 요소에 의존하지 않음을 의미합니다. 이중적분이 존재하려면(또는 그들이 말하는 대로, 그래서 그 함수 f(x,y) 영역 D에서 적분 가능해야 함), 피적분 함수가 다음과 같으면 충분합니다. 마디 없는주어진 통합 도메인에서.
기능을 보자 에프(x,y)은 도메인에 통합 가능 디. 이러한 함수에 대한 해당 적분합의 한계는 적분 영역을 분할하는 방법에 의존하지 않으므로 수직선과 수평선을 사용하여 분할을 수행할 수 있습니다. 그러면 대부분의 지역이 디직사각형 모양을 가지며 그 면적은 D와 같습니다 나야?=디 x 나는디 응 나. 따라서 면적 미분은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. ds=dxdy. 따라서, 데카르트 좌표계 이중 적분형태로 쓸 수 있다
논평. 만약 피적분함수 f(x,y)°1, 그러면 이중 적분은 통합 영역의 면적과 같습니다.
이중 적분은 정적분과 동일한 속성을 갖습니다. 그 중 일부를 살펴보겠습니다.
이중 적분의 속성.
1 0 .선형 속성. 함수 합의 적분은 적분의 합과 같습니다.:
상수 인자는 적분 부호에서 빼낼 수 있습니다.:
2 0 .추가 속성. 적분 영역 D가 두 부분으로 나누어지면 이중 적분은 이러한 각 부분에 대한 적분의 합과 같습니다.:
3 0 .평균값 정리. 기능의 경우에프( x,y)가 도메인 D에서 연속이면 이 도메인에는 다음과 같은 점이 있습니다.(x,h) , 무엇:
다음 질문은: 이중 적분은 어떻게 계산됩니까? 이는 대략적으로 계산될 수 있으며, 이를 위해 해당 적분 합계를 계산하고 컴퓨터를 사용하여 수치적으로 계산하는 효과적인 방법이 개발되었습니다. 이중 적분을 분석적으로 계산할 때 두 개의 정적분으로 축소됩니다.
이중 적분의 속성.
이중 적분의 일부 속성은 이 개념의 정의와 적분 합의 속성에서 직접적으로 따릅니다. 즉:
1. 기능의 경우 f(x, y)에 통합 디, 저것 kf(x, y)또한 이 영역에 통합 가능하며 (24.4)
2. 해당 지역에 있는 경우 디통합 가능한 기능 f(x, y)그리고 g(x, y), 이 영역에서 함수는 다음과 같습니다. f(x, y) ± g(x, y), 그리고 여기서
3. 해당 지역에 통합되어 있는 경우 디기능 f(x, y)그리고 g(x, y)불평등이 유지된다 f(x, y)≤g(x, y), 저것
(24.6)
이중 적분의 몇 가지 속성을 더 증명해 보겠습니다.:
4. 해당 지역의 경우 디두 영역으로 나누어져 있다 디 1과 디 2 공통된 인테리어 포인트와 기능이 없음 f(x, y)지역에서 지속적으로 디, 저것
(24.7) 증거 . 면적에 대한 적분합 디다음과 같이 표현될 수 있습니다:
영역 파티션은 어디에 있나요? 디사이의 경계가 되도록 그려졌다. 디 1과 디 2는 파티션 부분의 경계로 구성됩니다. 그런 다음 의 한계까지 전달하면 평등을 얻습니다(24.7).
5. 통합성의 경우 디기능 f(x, y)이 영역에서는 기능도 통합 가능합니다. | f(x, y) |, 불평등은 유지됩니다
(24.8)
증거.
여기서 한계까지의 통과를 사용하여 불평등을 얻습니다 (24.8)
6. 어디서 에스디– 지역의 면적 디.우리는 적분합으로 대체하여 이 진술의 증거를 얻습니다. f(x, y)≡ 0.
7. 해당 지역에 통합된 경우 디기능 f(x, y)불평등을 만족시킨다
m ≤ f(x, y) ≤ M,
저것 
(24.9)
증거.
증명은 명백한 부등식에서 극한까지 통과하여 수행됩니다.
결과.
불평등(24.9)의 모든 부분을 다음과 같이 나누면 디, 소위 평균값 정리를 얻을 수 있습니다.
특히, 기능의 연속성을 조건으로 하는 경우 에프 V 디이 지역에 그런 지점이 있어요( x 0, y 0), 여기서 에프(x 0, y 0) = μ , 그건
-
평균값 정리의 또 다른 공식입니다.
이중 적분의 기하학적 의미.
몸을 고려하라 V, 방정식에 의해 주어진 표면 부분으로 제한됩니다. z = f(x, y),투사 디이 표면을 평면 O로 xy및 표면 경계의 점과 돌출부를 연결하는 수직 모선으로부터 얻은 측면 원통형 표면.
z=f(x,y)
V
와이 피디그림 2.
우리는 이 몸체의 부피를 베이스가 부품 Δ인 실린더 부피의 합의 극한으로 찾을 것입니다. 나는지역 디, 높이는 길이의 세그먼트입니다. 에프(파이), 여기서 포인트는 파이Δ에 속한다 나는. 의 극한까지 전달하면 다음을 얻습니다.
(24.11)
즉, 이중 적분은 표면에 의해 위쪽으로 경계가 지정된 소위 원통형의 부피를 나타냅니다. z = f(x, y), 그리고 아래 - 지역 디.
이중 적분을 반복 적분으로 줄여서 계산합니다.
지역을 고려하십시오 디, 선으로 경계 x = a, x = b(ㅏ< b ), 여기서 Φ 1 ( 엑스) 및 Φ2( 엑스)은 [ 에, 비]. 그런 다음 좌표축 O에 평행한 직선 ~에그리고 해당 지역의 내부 지점을 통과합니다. 디, 두 지점에서 영역 경계와 교차합니다. N 1과 N 2 (그림 1). 이 지역을 부르자 옳은나에서-
~에 O 축 제어 ~에. 마찬가지로 정의
y=ψ 2 (엑스) 방향에 맞는 지역이 있습니다
N 2 O축 엑스. 올바른 방향의 면적은
두 좌표축 중 우리는
디그냥 바로 부르세요. 예를 들어,
올바른 영역은 그림 1에 나와 있습니다.
y=ψ 1 (엑스) N 1
오 a b x
기능을 보자 f(x, y)지역에서 지속적으로 디. 표현을 고려해보세요
, (24.12)
~라고 불리는 이중 적분기능에서 f(x, y)지역별 디. 먼저 변수에 대한 내부 적분(괄호 안)을 계산해 보겠습니다. ~에, 계산 엑스영구적인. 결과는 다음과 같은 연속 함수입니다. 엑스:
결과 함수를 다음과 같이 통합합니다. 엑스에 이르기까지 ㅏ~ 전에 비. 결과적으로 우리는 번호를 얻습니다
이중 적분의 중요한 특성을 증명해 보겠습니다.
정리 1. 해당 지역의 경우 디, O 방향으로 수정 ~에, 두 영역으로 나누어져 있음 디 1과 디 O축에 평행한 직선 2개 ~에또는 O축 엑스, 면적에 대한 이중 적분 디면적에 대한 동일한 적분의 합과 같습니다. 디 1과 디 2:
증거.
a) 직선이 되게 하라 x = c휴식 디~에 디 1과 디 2, O 방향으로 수정 ~에. 그 다음에
+
+ 
b) 라인을 보자 y = h휴식 디 O 방향으로 오른쪽으로 ~에지역 디 1과 디 2 (그림 2). 다음으로 나타내자 중 1 (ㅏ 1 , 시간) 그리고 중 2 (비 1 , 시간) 선의 교차점 y = h테두리가 있는 엘지역 디.
와이지역 디 1 연속선으로 경계 지어짐
y=ψ 2 (엑스) 1) 와이 = ψ 1 (엑스);
디 2 2) 곡선 ㅏ 1 중 1 중 2 안에, 우리가 쓰는 방정식
h 남 1 중 2 와이 = ψ 1 *(엑스), 어디 φ 1 *(엑스) = φ 2 (엑스) 에 a ≤ x ≤ a 1과
ㅏ 1 디 1 비비 1 ≤ x ≤ b, φ 1 *(엑스) = 시간~에 ㅏ 1 ≤ x ≤ b 1 ;
3) 직선 x = 에이, x = b.
지역 디 2줄로 제한됨 와이 = ψ 1 *(엑스),
응= φ 2 (엑스),ㅏ 1 ≤ x ≤ b 1 .
y=ψ 1 (엑스) 다음에 대한 정리를 적용해 보겠습니다.
통합 간격 분할:
아 아 아 1 비 1 비
+ 
얻은 적분 중 두 번째를 합계로 제시해 보겠습니다.
+ 
+ 
.
왜냐하면 φ 1 *(엑스) = φ 2 (엑스) 에 a ≤ x ≤ a 1과 비 1 ≤ x ≤ b, 결과 적분의 첫 번째와 세 번째는 동일하게 0과 같습니다. 따라서,
나는 D = 
, 그건 .
표면에 접하고 수직
정의. 정상점 N 0의 표면에 대한 직선은 이 표면의 접평면에 수직인 점 N 0을 통과하는 직선입니다.
어느 지점에서든 표면에는 단 하나의 접평면이 있거나 전혀 없습니다.
표면이 방정식 z = f(x, y)로 주어지면, 여기서 f(x, y)는 점 M 0 (x 0, y 0)에서 미분 가능한 함수이고, 점 N 0( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0))이 존재하며 방정식은 다음과 같습니다.
이 지점에서 표면에 대한 법선 방정식은 다음과 같습니다.
기하학적 감각점 (x 0, y 0)에서 두 변수 f(x, y) 함수의 총 미분은 점 (x 0)에서 이동할 때 표면에 대한 접평면의 적용(z 좌표) 증가분입니다. , y 0)을 (x 0 + Dx, y 0 +Dу) 지점으로 이동합니다.
보시다시피, 두 변수 함수의 총 미분의 기하학적 의미는 한 변수 함수의 미분의 기하학적 의미에 대한 공간적 유사체입니다.
예.접평면과 표면의 법선 방정식 찾기
M(1, 1, 1) 지점에서.
접평면 방정식:
일반 방정식:
극좌표의 이중 적분 계산.
영역 D를 선으로 경계를 정하자 r = r()그리고 광선 = 그리고 = , 어디서 그리고 아르 자형– 데카르트 좌표와 관련된 평면상의 한 점의 극좌표 엑스그리고 와이
관계(그림 5). 이 경우
논평.예를 들어 데카르트 좌표의 영역 D가 이진수 등을 포함하는 방정식으로 제공되는 경우 극좌표의 해당 영역에 대한 이중 적분을 계산하는 것이 더 편리합니다.
이중 적분. 기본 정의 및 속성.
이중 적분.
방정식이 다음과 같은 평면 위의 폐곡선을 생각해 보겠습니다.
곡선 내부와 곡선 자체에 있는 모든 점의 집합을 닫힌 영역 D라고 합니다. 곡선 위에 있는 점을 고려하지 않고 영역의 점을 선택하는 경우 해당 영역을 열린 영역 D라고 합니다.
기하학적 관점에서 D는 윤곽선으로 둘러싸인 그림의 영역입니다.
x축을 따라 거리 Dх i만큼, y축을 따라 거리 Dу i만큼 서로 간격을 둔 선의 그리드에 의해 영역 D를 n개의 부분 영역으로 나누겠습니다. 일반적으로 이러한 분할 순서는 필수입니다. 영역을 임의의 모양과 크기의 부분 영역으로 분할하는 것이 가능합니다.
우리는 면적 S가 기본 직사각형으로 나뉘어져 있으며 그 면적은 S i = Dx i × Dy i와 같습니다.
각 부분 영역에서 임의의 점 P(x i, y i)를 취하고 적분 합을 구성합니다.
여기서 f는 영역 D의 모든 점에 대한 연속적이고 명확한 함수입니다.
부분 영역 Di의 수를 무한히 늘리면 분명히 각 부분 영역 Si의 면적은 0이 되는 경향이 있습니다.
정의: 도메인 D의 분할 단계가 0에 가까워질 때 적분 합이 유한한 한계를 가지면 이 한계를 호출합니다. 이중 적분도메인 D에 대한 함수 f(x, y)로부터.
Si = Dx i × Dy i라는 사실을 고려하면 다음을 얻습니다.
위 표기법에는 두 개의 S 기호가 있습니다. 합산은 두 변수 x와 y에 대해 수행됩니다.
왜냐하면 통합 영역의 분할은 임의적이며 점 Р i의 선택도 임의적입니다. 그런 다음 모든 영역 Si를 동일하게 고려하여 다음 공식을 얻습니다.
이중 적분의 존재 조건.
이중 적분이 존재하기 위한 충분 조건을 공식화해 보겠습니다.
정리. 함수 f(x, y)가 닫힌 도메인 D에서 연속이면 이중 적분이 존재합니다.
정리. 함수 f(x, y)가 닫힌 도메인 D에 속하고 유한 개수의 조각별 매끄러운 선을 제외한 모든 곳에서 연속이면 이중 적분이 존재합니다.
이중 적분의 속성.
3) D = D1 + D2이면
4) 평균값 정리. 함수 f(x, y)의 이중 적분은 적분 영역의 특정 지점과 적분 영역의 영역에서 이 함수 값의 곱과 같습니다.
5) 도메인 D에서 f(x, y) ³ 0이면, .
6) f 1 (x, y) £ f 2 (x, y)이면 .
43번 정의곡선이 있다고 가정하자. 씨변수가 벡터 함수로 제공됩니다. 에스- 곡선의 호 길이. 그런 다음 벡터 함수의 파생물
이는 이 곡선의 접선을 따라 이동하는 단위 벡터입니다(그림 1).
위 수식에서 α, β
그리고 γ
- O 축의 접선 방향과 양의 방향 사이의 각도 엑스, 오 와이그리고 오 지, 각각.
곡선에 정의된 벡터 함수를 소개하겠습니다. 씨, 스칼라 함수의 경우
이러한 적분을 곡선을 따르는 두 번째 종류의 벡터 함수의 곡선 적분이라고 합니다. 씨그리고 다음과 같이 표시된다.
따라서 정의에 따르면,
곡선에 대한 접선의 단위 벡터는 어디에 있습니까? 씨.
마지막 공식은 벡터 형식으로 다시 작성할 수도 있습니다.
어디.
만약 곡선 씨 O 평면에 놓여있다 xy, 그런 다음 가정 R= 0, 우리는 얻습니다
제2종 곡선적분의 성질
제2종 곡선 적분은 다음과 같은 속성을 갖습니다. 씨한 점에서 시작하는 곡선을 나타냅니다. ㅏ그리고 끝점 비. 다음으로 나타내자 -C반대 방향으로 곡선 - 에서 비에게 ㅏ. 그 다음에
만약에 씨- 곡선 결합 씨 1과 씨 2(위의 그림 2), 곡선이 씨형태로 파라메트릭하게 주어지면, 곡선이 씨 O 평면에 놓여있다 xy그리고 방정식 Tm이 주어진다. R= 0과 티 = 엑스), 마지막 공식은 다음 형식으로 작성됩니다.
49번 곡면 F는 명시적으로 주어집니다. z = z(x,y), (x,y)О D (compact),
여기서 z(x,y)는 D에서 1차 연속 부분 도함수를 갖고, 함수 f(x,y,z)는 F에서 정의되고 연속적입니다. 그러면 다음과 같은 적분이 존재합니다.
증거. 우리가 얻는 영역에 대해서는
그러면 적분합은 같습니다.
합계 중 첫 번째는 적분이고, 두 번째는 충분히 작은 파티션을 선택하여 임의로 작게 만들 수 있습니다. 후자는 D에서 함수 f(x,y,z(x,y))의 균일한 연속성을 따릅니다.
40호(계속) 제1종 곡선적분의 존재를 위한 충분조건은 나중에 그것을 계산하는 방법을 보여줄 때 공식화될 것입니다.
제1종 곡선 적분의 정의는 정적분의 정의와 구조적으로 동일합니다. 따라서 제1종 곡선 적분은 정적분과 동일한 속성을 갖습니다. 우리는 증거 없이 이러한 속성을 제시합니다.
제1종 곡선적분의 성질
1. , 곡선의 길이는 어디입니까?
2. 상수 인자는 제1종 곡선 적분의 부호에서 빼낼 수 있습니다. 즉,
3. 두(유한수) 함수의 대수적 합에서 나온 제1종 곡선 적분은 이러한 함수에서 나온 제1종 곡선 적분의 대수적 합과 같습니다.
4. 곡선이 두 부분으로 나누어지고 내부 공통 점이 없는 경우
(제1종 곡선적분의 가산성의 성질).
5. 함수 ()가 곡선의 모든 곳에 있으면
6. 곡선()의 모든 곳에서
7. (속성 6과 1의 결과) 과 가 각각 곡선에서 함수의 가장 작은 값과 가장 큰 값인 경우
곡선의 길이는 어디에 있습니까?
8. (제1종 곡선 적분에 대한 평균값 정리) 함수가 곡선에서 연속이면 다음과 같은 점이 있습니다.
곡선의 길이는 어디에 있습니까?
42호 곡선 길이.
피적분 함수 f(x, y, z) DF 1이면 제1종 곡선 적분의 정의에서 이 경우 적분이 수행되는 곡선의 길이와 같다는 것을 알 수 있습니다.
곡선 질량.
적분 함수 γ(x, y, z)가 곡선의 각 점의 밀도를 결정한다고 가정하면 다음 공식을 사용하여 곡선의 질량을 찾습니다.
3. 평평한 영역의 경우와 같은 방식으로 추론하여 곡선 l의 모멘트를 찾습니다.
Ox 및 Oy 축에 대한 평평한 곡선 l의 정적 모멘트;
원점에 대한 공간 곡선의 관성 모멘트;
· 좌표축에 대한 곡선의 관성 모멘트.
4. 곡선의 질량 중심 좌표는 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.
38(2) 삼중 적분의 변수 변경
이중 적분과 같은 삼중 적분을 계산할 때 변수를 변경하는 것이 편리한 경우가 많습니다. 이를 통해 적분 영역 또는 피적분 함수의 형태를 단순화할 수 있습니다.
원래 삼중 적분을 정의역 U의 데카르트 좌표 x, y, z로 지정하겠습니다.
새로운 좌표 u, v, w에서 이 적분을 계산해야 합니다. 이전 좌표와 새 좌표 사이의 관계는 다음 관계로 설명됩니다.
다음 조건이 충족된다고 가정합니다.
1. 함수 ψ, ψ, χ는 부분 도함수와 함께 연속입니다.
2. xyz 공간의 통합 영역 U 지점과 uvw 공간의 U" 영역 지점 사이에는 일대일 대응이 있습니다.
3. 변환 I(u,v,w)의 야코비 행렬은 다음과 같습니다.
는 0과 다르며 적분 U 영역의 모든 곳에서 일정한 부호를 유지합니다.
그런 다음 삼중 적분에서 변수를 변경하는 공식은 다음과 같이 작성됩니다.
위 식에서 야코비안(Jacobian)의 절대값을 의미합니다.
No. 38 구면좌표계의 삼중적분
점 M(x,y,z)의 구면 좌표는 ρ, ψ, θ의 세 숫자입니다. 여기서
ρ는 점 M의 반경 벡터의 길이입니다.
ψ는 반경 벡터를 Oxy 평면과 Ox 축에 투영하여 형성된 각도입니다.
θ는 Oz 축의 양의 방향에서 반경 벡터의 편차 각도입니다(그림 1).
구형 좌표계와 원통형 좌표계에서 ρ, ψ의 정의가 서로 다르다는 점에 유의하세요.
점의 구형 좌표는 다음 관계에 의해 데카르트 좌표와 관련됩니다.
데카르트 좌표에서 구형 좌표로의 전환에 대한 야코비안의 형식은 다음과 같습니다.
두 번째 열에 대해 행렬식을 확장하면 다음을 얻습니다.
따라서 야코비 행렬의 절대값은 다음과 같습니다.
따라서 직교 좌표를 구면 좌표로 변환할 때 변수를 변경하는 공식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
적분 영역 U가 공(또는 공의 일부)일 때 및/또는 피적분 함수가 f(x2 + y2 + z2) 형식일 때 구면 좌표계에서 삼중 적분을 계산하는 것이 더 편리합니다.
표면
매끄러운 표면(부드러운 윤곽으로 닫혀 있거나 경계가 있음)에서 점 M0을 선택하고 해당 표면에 법선을 그리며 특정 방향(두 가지 중 하나 가능)을 선택합니다. 점 M0에서 시작하고 끝나는 표면을 따라 닫힌 윤곽선을 그려 보겠습니다. 이 윤곽선을 중심으로 회전하는 점 M을 고려하고 각 위치에서 이전 점의 법선이 연속적으로 통과하는 방향의 법선을 그립니다. 윤곽선을 횡단한 후 법선이 표면의 점 M0을 선택하기 위해 점 M0에서 원래 위치로 돌아가는 경우 표면을 양면이라고 합니다. 적어도 하나의 점을 통과한 후 법선의 방향이 반대 방향으로 변경되면 표면을 단면이라고 합니다(단면 표면의 예는 뫼비우스 띠입니다). 한 지점의 법선 방향은 표면의 모든 지점에서 법선의 방향을 명확하게 결정합니다.
정의
법선 방향이 동일한 표면의 모든 점 집합을 표면의 측면이라고 합니다.
표면 방향.
윤곽선 L로 둘러싸인 열린 매끄러운 양면 표면 S를 고려하고 이 표면의 한 쪽을 선택합니다.
정의
표면의 선택된 측면에 해당하는 표면 S의 일부 지점에 대한 법선의 끝점에 위치한 관찰자를 기준으로 윤곽선을 따라 이동하는 시계 반대 방향으로 윤곽선 L의 이동 방향을 긍정적으로 호출하겠습니다. 형상 이송의 반대 방향을 음수라고 합니다.
벡터 필드 흐름.
공간 영역 G에 정의된 벡터 필드 A(M), 방향이 지정된 매끄러운 표면 S G 및 표면 S의 선택된 측면에 있는 단위 법선 필드 n(M)을 고려합니다.
정의 13.3. 제1종 표면 적분, (13.1)
여기서 An은 해당 벡터의 스칼라 곱이고 An은 법선 방향으로의 벡터 A의 투영입니다. 이를 표면 S의 선택된 측면을 통과하는 벡터 장 A(M)의 흐름이라고 합니다.
참고 1.
표면의 반대쪽을 선택하면 법선과 결과적으로 플럭스의 부호가 변경됩니다.
노트 2.
벡터 A가 주어진 지점에서 유체 흐름의 속도를 지정하는 경우 적분(13.1)은 표면 S를 통해 양의 방향으로 단위 시간당 흐르는 유체의 양(따라서 "흐름"이라는 일반적인 용어)을 결정합니다.
53 제2종 표면적분. 정의와 성도.
정의
매끄럽거나 부분적으로 매끄러운 양면 표면을 고려하고 양면 중 하나를 수정합니다. 이는 표면에서 특정 방향을 선택하는 것과 같습니다.
명확성을 위해 먼저 표면이 명시적 방정식으로 주어지고 점이 조각별 매끄러운 윤곽으로 둘러싸인 평면 위의 영역에서 변한다고 가정하겠습니다.
이제 이 표면의 지점에서 일부 기능을 정의해 보겠습니다. 조각 단위의 부드러운 곡선 네트워크로 표면을 부분으로 나누고 각 부분의 점을 선택한 후 주어진 점에서 함수의 값을 계산하고 평면에 투영된 영역을 곱합니다. 특정 기호가 장착된 요소입니다. 적분합을 만들어 보겠습니다.
모든 부품의 직경이 0이 되는 경향이 있는 이 적분 합의 최종 극한을 두 번째 종류의 표면 적분이라고 합니다.
표면의 선택한 면으로 퍼지며 기호로 지정됩니다.
(여기)는 표면 요소를 평면에 투영하는 영역을 상기시킵니다.
평면 대신 표면 요소를 평면 또는 에 투영하면 두 번째 유형의 다른 두 표면 적분을 얻습니다.
응용 프로그램에서는 이러한 모든 유형의 적분 연결이 가장 자주 발생합니다.
어디에 의 함수가 표면의 점에서 정의되어 있습니까?
제2종 표면 적분과 제1종 표면 적분 간의 관계
표면의 단위 법선 벡터는 어디에 있습니까 - ort.
속성
1. 선형성: ;
2. 가산성: ;
3. 표면 방향이 변경되면 표면 적분의 부호가 변경됩니다.
60번 Operatornabla(해밀턴의 오퍼레이터)- 기호(nabla)로 표시되는 벡터 미분 연산자. 직사각형 데카르트 좌표의 3차원 유클리드 공간의 경우 nabla 연산자는 다음과 같이 정의됩니다. x, y, z 축을 따른 단위 벡터는 어디에 있습니까?
연산자의 속성입니다.이 벡터는 그것이 적용되는 스칼라 또는 벡터 함수와 결합될 때 의미가 있습니다. 벡터에 스칼라 Φ를 곱하면 함수의 기울기를 나타내는 벡터를 얻게 됩니다. 벡터에 벡터를 스칼라 곱하면 결과는 스칼라입니다.
즉, 벡터의 발산입니다. 벡터를 곱하면 벡터의 로터가 생성됩니다.
참고: 일반적으로 스칼라 및 벡터 곱을 표시하기 위해 위에 사용된 것과 함께 nabla 연산자와 함께 사용되는 경우 이에 상응하는 대체 표기법이 자주 사용됩니다. 예를 들어 자주 쓰는 대신 , 대신에 그들이 적다 ; 이는 아래 주어진 공식에도 적용됩니다.
따라서 스칼라 곱은 라플라스 연산자(Laplace Operator)라고 불리는 스칼라 연산자입니다. 후자도 지정됩니다. 데카르트 좌표에서 라플라스 연산자는 다음과 같이 정의됩니다. nabla 연산자는 미분 연산자이므로 표현식을 변환할 때 벡터 대수학 규칙과 미분 규칙을 모두 고려해야 합니다. 예를 들어:
즉, 두 필드에 따른 표현식의 도함수는 각각 하나의 필드만 미분된 표현식의 합입니다. 어떤 필드 nabla가 작동하는지 표시하는 편의를 위해 필드와 연산자의 곱에서 각 연산자는 오른쪽에 있는 표현식에 작동하고 왼쪽에 있는 모든 것에 작동하지 않는 것이 일반적으로 허용됩니다. 연산자가 왼쪽 필드에 대해 작업을 수행해야 하는 경우 이 필드는 문자 위에 화살표를 배치하는 등의 방식으로 표시됩니다. 이 표기 형식은 일반적으로 중간 변환에 사용됩니다. 그 불편함 때문에 최종 답변에서 화살표를 없애려고 노력하고 있습니다.
№61 2차 벡터 미분 연산다음 5가지 작업이 호출됩니다.
1. 라플라스 연산자는 어디에 있습니까?
- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -
2
- - - - - - - - - - - - -
3 .
- - - - - - - - - - - - - - - - -
4. 다음은 벡터의 각 투영에 Laplace 연산자를 적용하여 얻은 벡터 양입니다.
- - - - - - - - - - - - - - -