Polinominiai koeficientai. Polinominiai koeficientai Funkcijos interpoliavimas daugianariais

Kreivių ir paviršių pritaikymas prie duomenų naudojant regresiją, interpoliaciją ir išlyginimą

Curve Fitting Toolbox™ suteikia kreivių ir paviršių pritaikymo prie duomenų taikomąją programą ir funkcionalumą. Įrankių rinkinys leidžia atlikti tiriamąją duomenų analizę, apdoroti duomenis iš anksto ir po apdorojimo, palyginti kandidatų modelius ir pašalinti iškrypimus. Galite atlikti regresijos analizę naudodami pateiktą linijinių ir netiesinių modelių biblioteką arba apibrėžti savo lygtis. Biblioteka pateikia optimizuotus sprendiklio parametrus ir pradžios sąlygas, kad pagerintų jūsų tinkamumo kokybę. Įrankių rinkinys taip pat palaiko neparametrinio modeliavimo metodus, tokius kaip splainai, interpoliacija ir išlyginimas.

Sukūrus pritaikymą, galima taikyti įvairius papildomo apdorojimo būdus braižant, interpoliuojant ir ekstrapoliuojant; pasikliautinųjų intervalų įvertinimas; ir integralų bei išvestinių skaičiavimas.

Darbo pradžia

Išmokite „Curve Fitting Toolbox“ pagrindus

Tiesinė ir netiesinė regresija

Pritaikykite kreives arba paviršius naudodami linijinius ir netiesinius bibliotekos modelius ir pasirinktinius modelius

Interpoliacija

Pritaikykite interpoliacijos kreives arba paviršius, įvertinkite reikšmes tarp žinomų duomenų taškų

Išlyginimas

Tinkamas išlyginimas naudoja tarpą ir lokalizuotą regresiją, išlygintus duomenis su slenkamuoju vidurkiu ir kitus filtrus

Tinkamas tolesnis apdorojimas

Grafinis išvestis, nuokrypiai, likučiai, pasikliautinieji intervalai, patvirtinimo duomenys, integralai ir išvestinės, generuoja MATLAB ® kodą

Splainai

Sukurti splainus su duomenimis arba be jų; ppform, B-form, tensor sandauga, racionalus ir stform plonos plokštelės splainai

• 1-asis metodas naudojant grafiką;
• 2-as metodas naudojant funkciją Excel =LINEST();

Daugiau apie daugianarį ir kaip jį apskaičiuoti programoje „Excel“ skaitykite mūsų straipsnyje.

Polinominė tendencija naudojamas apibūdinti laiko eilučių vertes, kurios pakaitomis didėja ir mažėja. Dauginamas puikiai tinka analizuojant didelį kintamo dydžio duomenų rinkinį (pavyzdžiui, sezoninių produktų pardavimą).

Kas yra daugianomas? Polinomas yra laipsnio funkcija y=ax 2 +bx+c (antrojo laipsnio daugianario) ir y=ax 3 +bx 2 +cx+d (trečio laipsnio daugianario) ir kt. Polinominis laipsnis nustato ekstremalių (pikų) skaičių, t.y. didžiausios ir minimalios vertės per analizuojamą laikotarpį.

U antrojo laipsnio daugianario y=ax 2 +bx+c (daugiausia 1 toliau pateiktoje diagramoje).

U Trečiojo laipsnio polinomas y=ax 3 +bx 2 +cx+d galbūt vienas ar du kraštutinumai.

Vienas kraštutinumas

Du kraštutinumai

U Ketvirtojo laipsnio polinomas ne daugiau trys kraštutinumai ir tt

Kaip apskaičiuoti daugianario reikšmes „Excel“?

Yra 3 būdai, kaip apskaičiuoti daugianario reikšmes „Excel“:

• 1-asis metodas naudojant grafiką;
• 2-asis metodas naudojant Excel funkciją = LINEST;
• 3 metodas naudojant Forecast4AC PRO;

1-as daugianario skaičiavimo būdas – naudojant grafiką

Mes pasirenkame eilutę su reikšmėmis ir sudarome laiko eilutės grafiką.

Prie grafiko pridedame 6 laipsnio daugianarį.

Tada tendencijos linijos formatu pažymėkite langelį „rodyti lygtį diagramoje“

Tada lygtis nubraižoma kaip y = 3,7066x 6 - 234,94x 5 + 4973,6x 4 - 35930x 3 - 7576,8x 2 + 645515x + 5E+06. Kad paskutinis koeficientas būtų nuskaitomas, laikome nuspaudę kairįjį pelės mygtuką ir pasirenkame daugianario lygtį

Dešiniuoju pelės mygtuku spustelėkite ir pasirinkite "tendencijų linijos etiketės formatas"

Tendencijos linijos antraštės nustatymuose pasirinkite skaičių ir skaičių formatuose pasirinkite „Skaičius“.

Gauname daugianario lygtį skaitomu formatu:

y = 3,71 x 6 - 234,94 x 5 + 4 973,59 x 4 - 35 929,91 x 3 - 7 576,79 x 2 + 645 514,77 x 4 693 169,35

Iš šios lygties paimame koeficientus a, b, c, d, g, m, v ir įveskiteį atitinkamus Excel langelius

Kiekvienam laiko eilutės periodui priskiriame serijos numerį, kurį pakeisime lygtyje vietoj X.

Apskaičiuokime kiekvieno periodo daugianario reikšmes. Norėdami tai padaryti, įveskite daugianario formulę y = 3.71x 6 - 234.94x 5 + 4.973.59x 4 - 35.929.91x 3 - 7.576.79x 2 + 645.514.77x + 4.693.77x + 4.693.169.

R2C8 *RC[-3]^6+ R3C8 *RC[-3]^5+ R4C8 *RC[-3]^4+ R5C8 *RC[-3]^3+ R6C8 *RC[-3]^2+ R7C8 *RC[-3]+ R8C8

R2C8*RC[-3] ^6 +R3C8*RC[-3]^5 +R4C8*RC[-3]^4 +R5C8*RC[-3]^3 +R6C8*RC[-3]^2 +R7C8*RC[-3] +R8C8

2-as būdas apskaičiuoti daugianarį programoje „Excel“ funkcija LINEST()

Apskaičiuokime tiesinės tendencijos koeficientus naudodami standartą Excel funkcijos =LINEST()

Koeficientams apskaičiuoti formulėje =LINIJA(žinomos y reikšmės, žinomos x reikšmės, konstanta, statistika) įveskite:

• "žinomos y reikšmės" (pardavimo apimtys per laikotarpius),
• "žinomos x reikšmės" (laiko eilutės eilės numeris),
• nustatykite "1" į konstantą
• į statistiką "0"

Gauname tokią formulę:

LINEST(R[-4]C:R[-4]C;R[-5]C:R[-5]C; 1;0),

Dabar formulei Linear() apskaičiavo daugianario koeficientus, prie jo turime pridėti daugianario, kurio koeficientus norime apskaičiuoti, laipsnį.

Norėdami tai padaryti, įvedami į formulės dalį su „žinomomis x reikšmėmis“. daugianario laipsnis:

• ^(1:2:3:4:5:6) – 6 laipsnio daugianario koeficientams apskaičiuoti
• ^(1:2:3:4:5) – 5 laipsnio daugianario koeficientams apskaičiuoti
• ^(1:2) – 2-ojo laipsnio daugianario koeficientams apskaičiuoti

Gauname tokią formulę:

LINEST(R[-4]C:R[-4]C; R[-5]C:R[-5]C^(1:2:3:4:5:6) ; 1; 0)

Įveskite formulę į langelį, gausime 3,71 -- reikšmę (a) 6-ojo laipsnio polinomui y=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+gx^2+mx+v

Kad Excel apskaičiuotų visus 7 daugianario koeficientus 6 laipsnis y=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+gx^2+mx+v, būtina:

1. Įveskite žymeklį į langelį su formule ir pasirinkite 7 gretimus langelius dešinėje, kaip parodyta paveikslėlyje:

2. Paspauskite klavišą F2

Gauname 7 6-ojo laipsnio daugianario tendencijos koeficientus.

Apskaičiuokime daugianario tendencijos reikšmes naudodami gautus koeficientus. Pakeiskite lygtį y=3.7* x ^ 6 -234.9* x ^ 5 +4973.5* x ^ 4 -35929.9 * x^3 -7576.7 * x^2 +645514.7* x +4693169.3, kurių X taškų skaičių norime gauti apskaičiuokite daugianario reikšmes.

Kiekvienam laiko eilutės periodui priskiriame eilės numerį, kurį vietoj X pakeisime daugianario lygtyje.

Apskaičiuokime kiekvieno laikotarpio daugianario tendencijų reikšmes. Norėdami tai padaryti, pirmame langelyje įveskite daugianario formulę ir pritvirtinkite nuorodas į tendencijų koeficientus (žr.

Gauname tokią formulę:

R2C8 *RC[-3]^6+R3C8 *RC[-3]^5+R4C8 *RC[-3]^4+R5C8 *RC[-3]^3+R6C8 *RC[-3]^2+ R7C8 *RC[-3]+R8C8

kurioje yra fiksuoti tendencijų koeficientai, o vietoj „x“ pakeičiame nuorodą į esamos laiko eilutės numerį (pirmoje vertė yra 1, antroje 2 ir tt)

Taip pat padidiname „X“ iki atitinkamos galios („^“ piktograma „Excel“ reiškia padidinimą iki galios)

R2C8*RC[-3]^6 +R3C8*RC[-3]^5 +R4C8*RC[-3]^4 +R5C8*RC[-3]^3 +R6C8*RC[-3]^2 + R7C8*RC[-3]+R8C8

Dabar išplečiame formulę iki laiko eilutės pabaigos ir gauname apskaičiuotas kiekvieno laikotarpio polinomo tendencijos reikšmes.

2-asis metodas yra tikslesnis nei pirmasis, nes Tendencijos koeficientus gauname be apvalinimo, be to, šis skaičiavimas yra greitesnis.

3-asis būdas apskaičiuoti polinomo tendencijų reikšmes - Forecast4AC PRO

Padėkite žymeklį laiko eilutės pradžioje

Eikite į „Forecast4AC PRO“ nustatymus, pasirinkite „Prognozė su augimu ir sezoniškumu“, „6-ojo laipsnio polinomas“, spustelėkite mygtuką „Apskaičiuoti“.

Mes einame į lapą su žingsnis po žingsnio skaičiavimu „ForPol6“, randame eilutę „Atsirandanti tendencija“:

Nukopijuokite reikšmes į mūsų lapą.

Mes gauname 6-ojo laipsnio daugianario reikšmes, apskaičiuotas 3 būdais, naudojant:

1. Grafike nubraižyti polinominiai tendencijų koeficientai;
2. Polinominiai koeficientai, apskaičiuoti naudojant Excel =LINEST funkciją
3. ir su Forecast4AC PRO vienu klavišo paspaudimu greitai ir lengvai.

Prisijunk prie mūsų!

Atsisiųskite nemokamas prognozavimo ir verslo analizės programas:

• Novo Forecast Lite- automatinis prognozės skaičiavimas V Excel.
• 4analytics – ABC-XYZ analizė ir išmetamųjų teršalų analizė Excel.
• Qlik Sense Darbalaukis ir QlikViewPersonal Edition – BI sistemos, skirtos duomenų analizei ir vizualizavimui.

Išbandykite mokamų sprendimų galimybes:

• Novo Forecast PRO- didelių duomenų rinkinių prognozavimas Excel programoje.

Jei išraiška yra polinomas kurio nors kintamojo x atžvilgiu, pateiktas ne įprasta forma a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +..., o kaip kitų, paprastesnių daugianario sandauga, tai koeficientai a 0 + a 1 + a 2 yra lengvi, nustato Mathcad simbolių procesorius. Patys koeficientai gali būti kitų kintamųjų funkcijos (kartais gana sudėtingos).

Ryžiai. 5.10. Polinomo koeficientų skaičiavimas

Norėdami apskaičiuoti daugianario koeficientus išraiškoje naudodami meniu (5 pav. 10):

• Įveskite išraišką.
• Jame pasirinkite kintamojo ar išraiškos pavadinimą, kuriam norite skaičiuoti daugianario koeficientus (5.10 pav. pavyzdyje tai yra kintamasis z).
• Vykdykite komandą Simboliniai / polinominiai koeficientai.

Dėl to po išraiška atsiras vektorius, susidedantis iš daugianario koeficientų. Pirmasis vektoriaus elementas yra laisvasis terminas a 0, antrasis yra 1 ir kt.

Konkreti problema, reikalaujanti skaičiuoti daugianario koeficientus, pateikta skyriuje, skirtame skaitiniam daugianario šaknų atskyrimui (žr. skyrių „Dauginamo šaknys“ 8 skyriuje).

Norėdami apskaičiuoti daugianario koeficientus naudojant simbolinį išvados operatorių:

• Įveskite išraišką.
• Simbolių skydelyje spustelėkite mygtuką Coeffs.
• Įveskite daugianario argumentą vietos rezervavimo langelyje po įterptų raktinių žodžių koefų.
• Įveskite simbolinį išvesties operatorių ->
• Paspauskite klavišą .

Polinominių koeficientų skaičiavimo pavyzdžiai pateikti 5.7 ir 5.8 sąrašuose. 5.7 sąraše parodytas įvairių argumentų koeficientų skaičiavimas. Paskutinis sąrašas parodo galimybę nustatyti koeficientus ne tik atskiriems kintamiesiems, bet ir sudėtingesnėms išraiškoms, įtrauktoms į aptariamą formulę kaip komponentą.

Sąrašas 5.7. Dauginanario koeficientų skaičiavimas

Sąrašas 5.8. Paprasto kintamojo ir išraiškos daugianario koeficientų skaičiavimas

Jei išraiška yra daugianario kokio nors kintamojo x atžvilgiu, pateikta ne įprasta forma a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ..., o kaip kitų, paprastesnių daugianario sandauga, tai koeficientai a 0 + a 1 + a 2 yra lengvai nustatomi simboliškai Mathcad procesorius. Patys koeficientai gali būti kitų kintamųjų funkcijos (kartais gana sudėtingos).

Ryžiai. 5.10. Polinomo koeficientų skaičiavimas

Norėdami apskaičiuoti daugianario koeficientus ( Polinominiai koeficientai) išraiškoje naudojant meniu (5 pav. 10):

• Įveskite išraišką.
• Jame pasirinkite kintamojo ar išraiškos pavadinimą, kuriam norite skaičiuoti daugianario koeficientus (5.10 pav. pavyzdyje tai yra kintamasis z).
• Vykdykite komandą Simboliniai › Polinominiai koeficientai(Simbolika › Polinominiai koeficientai).

Dėl to po išraiška atsiras vektorius, susidedantis iš daugianario koeficientų. Pirmasis vektoriaus elementas yra laisvasis terminas a 0, antrasis yra 1 ir kt.

Konkreti problema, reikalaujanti skaičiuoti daugianario koeficientus, pateikta skyriuje, skirtame skaitiniam daugianario šaknų atskyrimui (žr. skyrių „Dauginamo šaknys“ 8 skyriuje).

Norėdami apskaičiuoti daugianario koeficientus naudojant simbolinį išvados operatorių:

• Įveskite išraišką.
• Spustelėkite mygtuką Koefai skydelyje Simboliška(Simbolizmas).
• Po įterpto raktinio žodžio įveskite rezervuotą vietą koefai daugianario argumentas.
• Įveskite simbolinį išvesties operatorių →
• Paspauskite klavišą Įeikite.

Polinomo koeficientų skaičiavimo pavyzdžiai pateikti 5.7 ir 5.8 sąrašuose. 5.7 sąraše parodytas įvairių argumentų koeficientų skaičiavimas. Paskutinis sąrašas parodo galimybę nustatyti koeficientus ne tik atskiriems kintamiesiems, bet ir sudėtingesnėms išraiškoms, įtrauktoms į aptariamą formulę kaip komponentą.

Sąrašas 5.7. Polinomo koeficientų skaičiavimas:

Sąrašas 5.8. Paprasto kintamojo ir išraiškos daugianario koeficientų apskaičiavimas: