logaritminė funkcija

Logaritminė funkcija yra f(x) = logax formos funkcija, apibrėžta

Domenas: . Vertybių diapazonas: . Funkcija griežtai didėja, kai > 1, ir griežtai mažėja, kai yra 0< a < 1. График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0). Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Linija x = 0 yra kairioji vertikali asimptotė, nes a > 1 ir 0< a < 1.

Logaritminės funkcijos išvestinė yra:

Logaritminė funkcija įgyvendina izomorfizmą tarp teigiamų realiųjų skaičių dauginamosios grupės ir visų realiųjų skaičių adityvinės grupės.

Kompleksinis logaritmas

Apibrėžimas ir savybės

Kompleksiniams skaičiams logaritmas apibrėžiamas taip pat, kaip ir tikrasis. Praktikoje beveik išimtinai naudojamas natūralus kompleksinis logaritmas, kurį žymime ir apibrėžiame kaip visų kompleksinių skaičių z aibę, kad ez = w. Sudėtingas logaritmas egzistuoja bet kam, o tikroji jo dalis yra vienareikšmiškai nustatyta, o įsivaizduojamas turi begalinį reikšmių skaičių. Dėl šios priežasties ji vadinama daugiareikšme funkcija. Jei w reprezentuojame eksponentinę formą:

tada logaritmas randamas pagal formulę:

Čia -- tikrasis logaritmas, r = | w | , k yra savavališkas sveikasis skaičius. Reikšmė, gauta, kai k = 0, vadinama pagrindine kompleksinio natūralaus logaritmo reikšme; įprasta argumento reikšmę jame imti intervale (? p, p]. Atitinkama (jau vienareikšmė) funkcija vadinama pagrindine logaritmo šaka ir žymima Kartais logaritmo reikšmė, kuri neguli ant pagrindinės šakos taip pat žymimas.

Iš formulės seka:

Tikroji logaritmo dalis nustatoma pagal formulę:

Neigiamojo skaičiaus logaritmas randamas pagal formulę.

Planas:

Įvadas

• 1 Tikrasis logaritmas
  • 1.1 Savybės
  • 1.2 logaritminė funkcija
  • 1.3 natūralūs logaritmai
  • 1.4 Dešimtainiai logaritmai
• 2 Kompleksinis logaritmas
  • 2.1 Apibrėžimas ir savybės
  • 2.2 Pavyzdžiai
  • 2.3 Analitinis tęsinys
  • 2.4 Riemann paviršius
• 3 Istorinis kontūras
  • 3.1 Tikrasis logaritmas
  • 3.2 Kompleksinis logaritmas
• 4 Logaritminės lentelės
• 5 Paraiškos
Literatūra
Pastabos

Įvadas

Ryžiai. 1. Logaritminių funkcijų grafikai

Skaičiaus logaritmas b dėl priežasties a (iš graikų kalbos. λόγος - „žodis“, „požiūris“ ir ἀριθμός - „skaičius“ yra apibrėžiamas kaip rodiklis, iki kurio reikia pakelti pagrindą a norėdami gauti numerį b. Pavadinimas:. Iš apibrėžimo matyti, kad įrašai ir yra lygiaverčiai.

Pavyzdžiui, nes.

1. Realusis logaritmas

Realiųjų skaičių logaritmas a b prasminga, kai. Kaip žinote, eksponentinė funkcija y = a x yra monotoniškas ir kiekviena reikšmė užima tik vieną kartą, o jos reikšmių diapazone yra visi teigiami realieji skaičiai. Tai reiškia, kad tikrojo teigiamo skaičiaus logaritmo reikšmė visada egzistuoja ir yra vienareikšmiškai nustatyta.

Plačiausiai naudojami šie logaritmų tipai.

1.1. Savybės

Įrodymas

Įrodykime tai.

(nes pagal sąlygą bc > 0). ■

Įrodymas

Įrodykime tai

(nes pagal sąlygą ■

Įrodymas

Pasinaudokime tapatybe tai įrodyti. Abi tapatybės puses logarituojame į bazę c. Mes gauname:

Įrodymas

Įrodykime tai.

(nes b p> 0 pagal sąlygą). ■

Įrodymas

Įrodykime tai

Įrodymas

Paimkite kairės ir dešinės pusės logaritmą iki pagrindo c :

Kairė pusė: Dešinė pusė:

Išraiškų lygybė akivaizdi. Kadangi logaritmai yra lygūs, tai dėl logaritminės funkcijos monotoniškumo ir pačios išraiškos yra lygios. ■

1.2. logaritminė funkcija

Jei logaritminį skaičių laikysime kintamuoju, gausime logaritminė funkcija y= žurnalas a x (žr. 1 pav.). Jis apibrėžiamas adresu . Vertybių diapazonas: .

Funkcija griežtai didėja a> 1 ir griežtai mažėja iki 0< a < 1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Tiesiai x= 0 yra kairioji vertikali asimptotė, nes at a> 1 ir 0< a < 1 .

Logaritminės funkcijos išvestinė yra:

Įrodymas

I. Įrodykime tai

Užsirašykime tapatybę e ln x = x ir atskirti jo kairę ir dešinę puses

Mes tai gauname, iš kur tai išplaukia

II. Įrodykime tai

Logaritminė funkcija įgyvendina izomorfizmą tarp teigiamų realiųjų skaičių dauginamosios grupės ir visų realiųjų skaičių adityvinės grupės.

1.3. natūralūs logaritmai

Ryšys su dešimtainiu logaritmu: .

Kaip minėta aukščiau, natūraliojo logaritmo išvestinė turi paprastą formulę:

Dėl šios priežasties natūralūs logaritmai dažniausiai naudojami matematiniuose tyrimuose. Jie dažnai atsiranda sprendžiant diferencialines lygtis, tiriant statistines priklausomybes (pavyzdžiui, pirminių skaičių skirstinį) ir kt.

Natūralaus logaritmo neapibrėžtą integralą lengva rasti integruojant dalimis:

Taylor serijos išplėtimas gali būti pavaizduotas taip:
kai lygybė

(1)

Visų pirma,

Ši eilutė suartėja greičiau, be to, kairėje formulės pusėje dabar galima išreikšti bet kurio teigiamo skaičiaus logaritmą.

1.4. Dešimtainiai logaritmai

Ryžiai. 2a. Logaritminė skalė

Ryžiai. 2b. Logaritminė skalė su simboliais

Logaritmai iki 10 bazės (simbolis: lg a) iki skaičiuotuvų išradimo buvo plačiai naudojami skaičiavimams. Nevienoda dešimtainių logaritmų skalė dažniausiai taikoma ir skaidrių taisyklėms. Panaši skalė naudojama daugelyje mokslo sričių, pavyzdžiui:

• Fizika – garso intensyvumas (decibelais).
• Astronomija yra žvaigždžių ryškumo skalė.
• Chemija – vandenilio jonų aktyvumas (pH).
• Seismologija – Richterio skalė.
• Muzikos teorija – muzikinė skalė, susijusi su muzikos garsų dažniais.
• Istorija yra logaritminė laiko skalė.

Logaritminė skalė taip pat plačiai naudojama nustatant eksponentą eksponentinėse priklausomybėse ir koeficientą eksponente. Tuo pačiu metu grafikas, pavaizduotas logaritmine skale išilgai vienos ar dviejų ašių, yra tiesės formos, kurią lengviau ištirti.

2. Kompleksinis logaritmas

2.1. Apibrėžimas ir savybės

Kompleksiniams skaičiams logaritmas apibrėžiamas taip pat, kaip ir tikrasis. Praktikoje beveik išimtinai naudojamas natūralus kompleksinis logaritmas, kurį žymime ir apibrėžiame kaip visų kompleksinių skaičių aibę z toks kad e z = w . Sudėtinis logaritmas egzistuoja bet kuriam , o jo tikroji dalis yra vienareikšmiškai nustatyta, o įsivaizduojamas turi begalinį reikšmių skaičių. Dėl šios priežasties ji vadinama daugiareikšme funkcija. Jei įsivaizduoti w eksponentine forma:

,

tada logaritmas randamas pagal formulę:

Štai tikrasis logaritmas, r = | w | , k yra savavališkas sveikasis skaičius. Vertė, gauta, kai k= 0 vadinamas pagrindinė svarba sudėtingas natūralusis logaritmas; įprasta paimti argumento reikšmę intervale (− π,π] ) Atitinkama (jau vienareikšmė) funkcija vadinama pagrindinė šaka logaritmas ir žymimas . Kartais taip pat žymi logaritmo reikšmę, kuri nėra pagrindinėje šakoje.

Iš formulės seka:

• Tikroji logaritmo dalis nustatoma pagal formulę:

• Neigiamojo skaičiaus logaritmas randamas pagal formulę:

Kadangi sudėtingos trigonometrinės funkcijos yra susijusios su eksponentine (Eulerio formulė), kompleksinis logaritmas, kaip atvirkštinė eksponentinė funkcija, yra susijęs su atvirkštinėmis trigonometrinėmis funkcijomis. Tokio ryšio pavyzdys:

2.2. Pavyzdžiai

Štai pagrindinė kai kurių argumentų logaritmo reikšmė:

Turėtumėte būti atsargūs konvertuodami sudėtingus logaritmus, atsižvelgdami į tai, kad jie yra daugiareikšmiai, todėl šių išraiškų lygybė neišplaukia iš bet kokių išraiškų logaritmų lygybės. Klaidingo samprotavimo pavyzdys:

iπ = ln(− 1) = ln((− i) 2) = 2ln(− i) = 2(− iπ / 2) = − iπ - akivaizdus absurdas.

Atkreipkite dėmesį, kad pagrindinė logaritmo reikšmė yra kairėje, o pagrindinės šakos vertė yra dešinėje ( k= – 1). Klaidos priežastis yra neatsargus nuosavybės naudojimas, kuris, paprastai tariant, sudėtingu atveju reiškia visą begalinį logaritmo verčių rinkinį, o ne tik pagrindinę vertę.

2.3. Analitinis tęsinys

Ryžiai. 3. Sudėtinis logaritmas (įsivaizduojama dalis)

Kompleksinio skaičiaus logaritmas taip pat gali būti apibrėžtas kaip analitinis tikrojo logaritmo tęsinys iki visos kompleksinės plokštumos. Tegul kreivė Γ prasideda nuo 1, nepereina per nulį ir nekerta neigiamos tikrosios ašies dalies. Tada pagrindinė logaritmo reikšmė pabaigos taške w kreivę Γ galima nustatyti pagal formulę:

Jei Γ yra paprasta kreivė (be susikirtimų), tada ant jos gulintiems skaičiams logaritminės tapatybės gali būti taikomos be baimės, pvz.

Jei kreivei Γ leidžiama kirsti neigiamą tikrosios ašies dalį, tada pirmoji tokia sankirta perkelia rezultatą iš pagrindinės reikšmės šakos į gretimą šaką, o kiekviena paskesnė sankryža sukelia panašų poslinkį išilgai logaritminės funkcijos šakų ( žr. paveikslą).

Iš analitinės tęsinio formulės išplaukia, kad bet kurioje logaritmo šakoje

Bet kokiam ratui S pridedant tašką 0:

Integralas imamas teigiama kryptimi (prieš laikrodžio rodyklę). Ši tapatybė yra likučių teorijos pagrindas.

Taip pat galima apibrėžti analitinį sudėtingo logaritmo tęsinį, naudojant pirmiau pateiktą eilutę (1), apibendrintą sudėtingo argumento atveju. Tačiau iš plėtimosi tipo išplaukia, kad jis yra lygus nuliui esant vienybei, tai yra, eilutė nurodo tik pagrindinę kompleksinio logaritmo daugiareikšmės funkcijos šaką.

2.4. Riemann paviršius

Sudėtinga logaritminė funkcija yra Riemano paviršiaus pavyzdys; jo įsivaizduojama dalis (3 pav.) susideda iš begalės šakų, susisukusių spiralės pavidalu. Šis paviršius yra tiesiog sujungtas; jo vienintelis nulis (pirmos eilės) gaunamas pagal z= 1 , specialūs taškai: z= 0 ir (begalinės eilės šakų taškai).

Riemano logaritmo paviršius yra universali danga kompleksinei plokštumai be taško 0 .

3. Istorijos metmenys

3.1. Tikrasis logaritmas

Sudėtingų skaičiavimų poreikis XVI amžiuje sparčiai augo, o didžioji dalis sunkumų buvo susiję su daugiaženklių skaičių dauginimu ir dalijimu, taip pat šaknų išskyrimu. Šimtmečio pabaigoje keli matematikai beveik vienu metu sugalvojo: pakeisti daug laiko reikalaujantį dauginimą paprastu sudėjimu, lyginant geometrines ir aritmetines progresijas naudojant specialias lenteles, o geometrinė bus originali. Tada dalyba automatiškai pakeičiama neišmatuojamai paprastesne ir patikimesne atimta bei laipsnio šaknies ištraukimu n redukuoja iki radikalios išraiškos logaritmo dalijimo iš n. Jis pirmasis paskelbė šią mintį savo knygoje Aritmetika integra» Michaelas Stiefelis, kuris rimtai nesistengė įgyvendinti savo idėjos.

1614 m. škotų matematikas mėgėjas Johnas Napier paskelbė esė lotynų kalba pavadinimu " Nuostabios logaritmų lentelės aprašymas“ (lot. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). Jame buvo trumpas logaritmų ir jų savybių aprašymas, taip pat 8 skaitmenų sinusų, kosinusų ir liestinių logaritmų lentelės su 1 žingsniu. logaritmas, kurį pasiūlė Napier, įsitvirtino moksle. Kitoje savo knygoje Napier išdėstė logaritmų teoriją. Sukurkite nuostabią logaritmų lentelę“ (lot. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), 1619 m. po mirties paskelbė jo sūnus.

Funkcijos samprata dar neegzistavo, o Napier nustatė logaritmą kinematiškai, lygindamas tolygų ir logaritminį lėtą judėjimą; Pavyzdžiui, jis apibrėžė sinuso logaritmą taip:

Tam tikro sinuso logaritmas yra skaičius, kuris visada aritmetiškai didėjo tokiu pačiu greičiu, kaip geometriškai pradėjo mažėti pilnas sinusas.

Šiuolaikiniu žymėjimu Napier kinematinį modelį galima pavaizduoti diferencialine lygtimi: dx/x = -dy/M, kur M yra mastelio koeficientas, įvestas siekiant, kad reikšmė būtų sveikasis skaičius su reikiamu skaitmenų skaičiumi (tuomet dešimtainės dalys dar nebuvo plačiai naudojamos). Napier paėmė M = 10000000.

Griežtai kalbant, Napier surašė neteisingą funkciją, kuri dabar vadinama logaritmu. Jei pažymime jo funkciją kaip LogNap(x), tada ji yra susijusi su natūraliu logaritmu taip:

Akivaizdu, kad LogNap (M) = 0, tai yra, „viso sinuso“ logaritmas yra lygus nuliui – būtent to Napier ir siekė savo apibrėžimu. .

Pagrindinė Napier logaritmo savybė: jei dydžiai sudaro geometrinę progresiją, tai jų logaritmai sudaro aritmetinę progresiją. Tačiau ne Pjero funkcijos logaritmo taisyklės skyrėsi nuo šiuolaikinio logaritmo taisyklių.

Pavyzdžiui, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) – LogNap(1).

Deja, visose Napier lentelės reikšmėse po šeštojo skaitmens buvo skaičiavimo klaida. Tačiau tai nesutrukdė naujam skaičiavimo metodui išpopuliarėti, ir daugelis Europos matematikų, įskaitant Keplerį, ėmėsi logaritminių lentelių sudarymo. Jau po 5 metų, 1619 m., Londono matematikos mokytojas Johnas Spydell ( Džonas Spidelis) iš naujo paskelbė Napier lenteles, transformuotas taip, kad jos iš tikrųjų tapo natūraliųjų logaritmų lentelėmis (nors Spydell išlaikė mastelį iki sveikųjų skaičių). Terminą „natūralus logaritmas“ sugalvojo italų matematikas Pietro Mengoli. Pietro Mengoli)) XVI amžiaus viduryje.

1620-aisiais Edmundas Vingeitas ir Williamas Oughtredas išrado pirmąją skaidrių taisyklę, prieš atsirandant kišeniniams skaičiuotuvams – nepakeičiamą inžinieriaus įrankį.

Artimas šiuolaikiniam logaritmo supratimui – kaip operacija, atvirkštinė pakėlimui į galią – pirmą kartą pasirodė Wallis ir Johann Bernoulli, o galiausiai įteisino Euleris XVIII amžiuje. Knygoje „Introduction to the Analysis of Infinites“ (1748 m.) Euleris pateikė modernius eksponentinių ir logaritminių funkcijų apibrėžimus, išplėtė jas laipsnių eilėmis ir ypač atkreipė dėmesį į natūralaus logaritmo vaidmenį.

Euleris taip pat turi pranašumą išplėsti logaritminę funkciją į sudėtingą sritį.

3.2. Kompleksinis logaritmas

Pirmuosius bandymus išplėsti logaritmus iki kompleksinių skaičių XVII–XVIII amžių sandūroje padarė Leibnizas ir Johannas Bernoulli, tačiau jiems nepavyko sukurti holistinės teorijos – pirmiausia dėl to, kad pati logaritmo samprata dar nebuvo aiški. apibrėžta. Diskusija šiuo klausimu pirmiausia buvo tarp Leibnizo ir Bernullio, o XVIII amžiaus viduryje - tarp d'Alemberto ir Eulerio. Bernoulli ir d'Alembert manė, kad tai būtina apibrėžti log(-x) = log(x). Visą neigiamų ir kompleksinių skaičių logaritmų teoriją Euleris paskelbė 1747–1751 m. ir iš esmės niekuo nesiskiria nuo šiuolaikinės.

Nors ginčas tęsėsi (D'Alembertas gynė savo požiūrį ir išsamiai jį argumentavo savo Enciklopedijos straipsnyje ir kituose darbuose), Eulerio požiūris greitai sulaukė visuotinio pripažinimo.

4. Logaritminės lentelės

Logaritminės lentelės

Iš logaritmo savybių išplaukia, kad vietoj daug laiko reikalaujančio daugiareikšmių skaičių padauginimo pakanka rasti (iš lentelių) ir sudėti jų logaritmus, o tada atlikti potenciavimą naudojant tas pačias lenteles, ty rasti rezultato vertė pagal jo logaritmą. Dalybos darymas skiriasi tik tuo, kad atimami logaritmai. Laplasas teigė, kad logaritmų išradimas „pailgino astronomų gyvenimą“, nes labai pagreitino skaičiavimo procesą.

Perkeliant dešimtainį skaičių į n skaitmenų, šio skaičiaus dešimtainio logaritmo reikšmė pakeičiama n. Pavyzdžiui, lg8314.63 = lg8.31463 + 3 . Iš to išplaukia, kad pakanka sudaryti skaičių nuo 1 iki 10 dešimtainių logaritmų lentelę.

Pirmąsias logaritmų lenteles paskelbė Johnas Napier (1614), jose buvo tik trigonometrinių funkcijų logaritmai ir su klaidomis. Nepriklausomai nuo jo, Keplerio draugas Joostas Burgi paskelbė jo lenteles (1620). 1617 m. Oksfordo matematikos profesorius Henry Briggsas paskelbė lenteles, kuriose jau buvo pačių skaičių dešimtainiai logaritmai nuo 1 iki 1000 su 8 (vėliau 14) skaitmenų. Tačiau Briggso lentelėse taip pat buvo klaidų. Pirmasis neklystantis leidimas pagal Vegos lenteles (1783 m.) pasirodė tik 1857 m. Berlyne (Bremiverio lentelės).

Rusijoje pirmosios logaritmų lentelės buvo paskelbtos 1703 m., Dalyvaujant L. F. Magnitskiui. SSRS buvo išleisti keli logaritmų lentelių rinkiniai.

• Bradis V. M. Keturių skaitmenų matematinės lentelės. 44-asis leidimas, M., 1973 m.

Bradis lentelės (1921 m.) buvo naudojamos mokymo įstaigose ir didelio tikslumo nereikalaujančiuose inžineriniuose skaičiavimuose. Juose buvo skaičių ir trigonometrinių funkcijų dešimtainių logaritmų mantisos, natūralūs logaritmai ir kai kurios kitos naudingos skaičiavimo priemonės.

• Vega G. Septynių skaitmenų logaritmų lentelės, 4 leidimas, M., 1971 m.

Profesionali kolekcija tiksliam skaičiavimui.

• Trigonometrinių dydžių natūralių verčių penkiaženklės lentelės, jų logaritmai ir skaičių logaritmai, 6 leid., M .: Nauka, 1972 m.
• Natūralių logaritmų lentelės, 2 leidimas, 2 tomai, Maskva: Nauka, 1971 m.

Šiuo metu, išplitus skaičiuotuvams, nebeliko poreikio naudoti logaritmų lenteles.

M, ypatybė (sudėtinga analizė).

Apibrėžimas ir savybės

Kompleksinis nulis neturi logaritmo, nes kompleksinis eksponentas neįgyja nulio reikšmės. ne nulis texvc gali būti pavaizduotas eksponentine forma:

Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. math/README, jei reikia sąrankos pagalbos.): z=r \cdot e^(i (\varphi + 2 \pi k))\;\;, Kur Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): k- savavališkas sveikasis skaičius

Tada Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos/README sąrankos pagalbą.): \mathrm(Ln)\,z randama pagal formulę:

Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. math/README, jei reikia derinimo pagalbos.): \mathrm(Ln)\,z = \ln r + i \left(\varphi + 2 \pi k \right)

Čia Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbą.): \ln\,r= \ln\,|z| yra tikrasis logaritmas. Iš to išplaukia:

Iš formulės matyti, kad viena ir tik viena iš reikšmių turi įsivaizduojamą intervalo dalį Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc . Ši vertė vadinama pagrindinė svarba sudėtingas natūralusis logaritmas. Iškviečiama atitinkama (jau vienareikšmė) funkcija pagrindinė šaka logaritmas ir yra žymimas Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): \ln\,z. Kartais per Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): \ln\, z taip pat žymi logaritmo reikšmę, kuri nėra pagrindinėje šakoje. Jeigu Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): z yra tikrasis skaičius, tada pagrindinė jo logaritmo reikšmė sutampa su įprastu realiuoju logaritmu.

Iš aukščiau pateiktos formulės taip pat išplaukia, kad tikroji logaritmo dalis nustatoma taip, naudojant argumento komponentus:

Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbą.): \operatoriaus pavadinimas(Re)(\ln(x+iy)) = \frac(1)(2) \ln(x^2+y^2)

Paveikslėlyje parodyta, kad tikroji dalis kaip komponentų funkcija yra centriškai simetriška ir priklauso tik nuo atstumo iki pradžios. Jis gaunamas sukant tikrojo logaritmo grafiką aplink vertikalią ašį. Kai jis artėja prie nulio, funkcija linkusi Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): -\infty.

Neigiamojo skaičiaus logaritmas randamas pagal formulę:

Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. math/README, jei reikia derinimo pagalbos.): \mathrm(Ln) (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1, \ pm2\dots)

Sudėtingų logaritmų reikšmių pavyzdžiai

Pateikiame pagrindinę logaritmo reikšmę ( Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): \ln) ir jo bendroji išraiška ( Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Norėdami gauti pagalbos dėl sąrankos, žr. math/README.): \mathrm(Ln)) dėl kai kurių argumentų:

Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbą.): \ln (1) = 0;\; \mathrm(Ln) (1) = 2k\pi i Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbą.): \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm(Ln) (-1) = (2k+1)i \pi Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos/README sąrankos pagalbą.): \ln (i) = i \frac(\pi) (2);\; \mathrm(Ln) (i) = i \frac(4k+1)(2) \pi

Turėtumėte būti atsargūs konvertuodami sudėtingus logaritmus, atsižvelgdami į tai, kad jie yra daugiareikšmiai, todėl šių išraiškų lygybė neišplaukia iš bet kokių išraiškų logaritmų lygybės. Pavyzdys klaidingas samprotavimas:

Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Norėdami gauti pagalbos dėl sąrankos, žr. matematikos / README.): i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2 ) = -i\pi yra akivaizdi klaida.

Atkreipkite dėmesį, kad pagrindinė logaritmo reikšmė yra kairėje, o pagrindinės šakos vertė yra dešinėje ( Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbą.): k=-1). Klaidos priežastis – neatsargus turto naudojimas Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Norėdami gauti pagalbos dėl sąrankos, žr. matematiką / README.): \log_a((b^p)) = p~\log_a b, o tai, paprastai kalbant, sudėtingu atveju reiškia visą begalinį logaritmo reikšmių rinkinį, o ne tik pagrindinę reikšmę.

Sudėtinga logaritminė funkcija ir Riemann paviršius

Dėl to, kad Riemano logaritmo paviršius yra tiesiog sujungtas, jis yra universali kompleksinės plokštumos be taško danga. Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc .

Analitinis tęsinys

Kompleksinio skaičiaus logaritmas taip pat gali būti apibrėžtas kaip analitinis tikrojo logaritmo tęsinys iki visos kompleksinės plokštumos. Tegul kreivė Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc prasideda nuo vieneto, nepereina per nulį ir nekerta neigiamos tikrosios ašies dalies. Tada pagrindinė logaritmo reikšmė pabaigos taške Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): w kreivas Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): \Gamma galima nustatyti pagal formulę:

Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Norėdami gauti pagalbos dėl sąrankos, žr. matematikos / README.): \ln z = \int\limits_\Gamma (du \over u)

Jeigu Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): \Gamma- paprasta kreivė (be susikirtimų), tada ant jos gulintiems skaičiams be baimės galima pritaikyti logaritminius tapatumus, pavyzdžiui:

Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Norėdami gauti pagalbos dėl sąrankos, žr. matematikos / README: \ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\dvitaškis zw\in \Gamma

Pagrindinė logaritminės funkcijos šaka yra ištisinė ir diferencijuojama visoje kompleksinėje plokštumoje, išskyrus neigiamą tikrosios ašies dalį, ant kurios menamoji dalis peršoka į Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): 2\pi. Tačiau šis faktas yra dirbtinio pagrindinės vertės įsivaizduojamos dalies apribojimo intervalu pasekmė Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Norėdami gauti pagalbos dėl sąrankos, žr. matematiką / README.): (-\pi, \pi]. Jei nagrinėsime visas funkcijos šakas, tai tęstinumas vyksta visuose taškuose, išskyrus nulį, kur funkcija neapibrėžta. Jei leidžia kreivė Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): \Gamma kirsti neigiamą tikrosios ašies dalį, tada pirmoji tokia sankirta perkelia rezultatą iš pagrindinės reikšmės šakos į gretimą šaką, o kiekviena sekanti sankryža sukelia panašų poslinkį išilgai logaritminės funkcijos šakų (žr. pav.).

Iš analitinės tęsinio formulės išplaukia, kad bet kurioje logaritmo šakoje:

Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Norėdami gauti pagalbos dėl sąrankos, žr. matematikos / README.): \frac(d)(dz) \ln z = (1\virš z)

Bet kokiam ratui Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Norėdami gauti pagalbos dėl sąrankos, žr. matematiką / README.): S apgaubiantis tašką Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): 0 :

Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Norėdami gauti pagalbos dėl sąrankos, žr. matematiką / README.): \oint\limits_S (dz \over z) = 2\pi i

Integralas imamas teigiama kryptimi (prieš laikrodžio rodyklę). Ši tapatybė yra likučių teorijos pagrindas.

Taip pat galima apibrėžti sudėtingo logaritmo analitinį tęsinį, naudojant seriją, žinomą realiam atvejui:

Tačiau iš šių eilučių formos matyti, kad esant vienybei eilučių suma yra lygi nuliui, tai yra, eilutė nurodo tik pagrindinę kompleksinio logaritmo daugiareikšmės funkcijos šaką. Abiejų eilučių konvergencijos spindulys yra 1.

Ryšys su atvirkštinėmis trigonometrinėmis ir hiperbolinėmis funkcijomis

Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Norėdami gauti pagalbos dėl sąrankos, žr. matematikos/README.): \operatoriaus pavadinimas(Arcsin) z = -i \operatoriaus pavadinimas(Ln) (i z + \sqrt(1-z^2)) Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Norėdami gauti pagalbos dėl sąrankos, žr. matematikos / README.): \operatoriaus pavadinimas(Arccos) z = -i \operatoriaus pavadinimas(Ln) (z + i\sqrt(1-z^2)) Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos/README sąrankos pagalbą.): \operatoriaus pavadinimas(Arctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(1+z i)(1-z i) + k \pi \; (z \ne \pm i) Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos/README sąrankos pagalbą.): \operatoriaus pavadinimas(Arcctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(z i-1)(z i+1) + k \pi \; (z \ne \pm i) Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbą.): \operatoriaus pavadinimas(Arsh)z = \operatoriaus pavadinimas(Ln)(z+\sqrt(z^2+1))- atvirkštinis hiperbolinis sinusas Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbą.): \operatoriaus pavadinimas(Arch)z=\operatoriaus pavadinimas(Ln) \left(z+\sqrt(z^(2)-1) \right)- atvirkštinis hiperbolinis kosinusas Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos/README sąrankos pagalbą.): \operatoriaus pavadinimas(Arth)z=\frac(1)(2)\operatoriaus pavadinimas(Ln)\left(\frac(1+z)(1-z)\right)- atvirkštinė hiperbolinė tangentė Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos/README sąrankos pagalbą.): \operatoriaus pavadinimas(Arcth)z=\frac(1)(2)\operatoriaus pavadinimas(Ln)\left(\frac(z+1)(z-1)\right)- atvirkštinis hiperbolinis kotangentas

Istorinis kontūras

Pirmuosius bandymus išplėsti logaritmus iki kompleksinių skaičių XVII–XVIII amžių sandūroje padarė Leibnizas ir Johannas Bernoulli, tačiau jiems nepavyko sukurti holistinės teorijos – pirmiausia dėl to, kad pati logaritmo samprata dar nebuvo aiški. apibrėžta. Diskusija šia tema pirmiausia kilo tarp Leibnizo ir Bernullio, o XVIII amžiaus viduryje – tarp d'Alemberto ir Eulerio. Bernoulli ir d'Alembert manė, kad tai būtina apibrėžti Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbą.): \log(-x) = \log(x), o Leibnicas teigė, kad neigiamo skaičiaus logaritmas yra įsivaizduojamas skaičius. Visą neigiamų ir kompleksinių skaičių logaritmų teoriją Euleris paskelbė 1747–1751 m. ir iš esmės niekuo nesiskiria nuo šiuolaikinės. Nors ginčai tęsėsi (d'Alembertas gynė savo požiūrį ir išsamiai jį argumentavo savo Enciklopedijos straipsnyje ir kituose darbuose), Eulerio požiūris XVIII a. pabaigoje buvo visuotinai priimtas.

Parašykite apžvalgą apie straipsnį „Sudėtingas logaritmas“

Literatūra

Logaritmų teorija

• Kornas G., Kornas T.. - M .: Nauka, 1973. - 720 p.
• Svešnikovas A. G., Tikhonovas A. N. Sudėtingo kintamojo funkcijų teorija. - M .: Nauka, 1967. - 304 p.
• Fikhtengoltas G. M. Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo kursas. – red. 6-oji. - M .: Nauka, 1966. - 680 p.

Logaritmų istorija

• XVIII amžiaus matematika // / Redagavo A. P. Juškevičius, trimis tomais. - M .: Nauka, 1972. - T. III.
• Kolmogorovas A. N., Juškevičius A. P. (red.). XIX amžiaus matematika. Geometrija. Analitinių funkcijų teorija. - M .: Nauka, 1981. - T. II.

Pastabos

1. Logaritminė funkcija. // . - M .: Sovietų enciklopedija, 1982. - T. 3.
2. , II tomas, p. 520-522..
3. , Su. 623 ..
4. , Su. 92-94..
5. , Su. 45-46, 99-100..
6. Boltyansky V. G., Efremovičius V. A.. - M .: Nauka, 1982. - S. 112. - (Kvantinė biblioteka, 21 numeris).
7. , II tomas, p. 522-526..
8. , Su. 624 ..
9. , Su. 325-328..
10. Rybnikovas K. A. Matematikos istorija. Dviejuose tomuose. - M .: Red. Maskvos valstybinis universitetas, 1963 m. - T. II. - S. 27, 230-231 ..
11. , Su. 122-123..
12. Kleinas F.. - M .: Nauka, 1987. - T. II. Geometrija. - S. 159-161. - 416 p.

Ištrauka, apibūdinanti kompleksinį logaritmą

Nuo mus apėmusio laukinio siaubo kaip kulkos veržėmės plačiu slėniu, net negalvodami, kad galime greitai pereiti į kitą „aukštą“... Tiesiog neturėjome laiko apie tai galvoti – buvome per daug išsigandę.
Padaras praskriejo tiesiai virš mūsų, garsiai spragtelėdamas dygstančiu dantytu snapu, o mes puolėme kiek galėdami, purškdami į šonus niekšiškus gleivingus purškalus ir mintyse melsdami, kad kažkas netikėtai sudomintų šį baisų „stebuklingą paukštį“ ... Buvo jaučiama, kad tai daug greitesnė ir tiesiog neturėjome galimybės nuo jo atitrūkti. Kaip blogis, šalia neaugo nei vienas medis, nebuvo krūmų, net akmenų, už kurių būtų galima pasislėpti, tik iš tolo matėsi grėsminga juoda uola.
- Ten! - sušuko Stella, rodydama pirštu į tą pačią uolą.
Bet staiga, netikėtai, tiesiai priešais mus, iš kažkur išniro būtybė, kurią pamačius tiesiogine to žodžio prasme sustingo mūsų kraujas mūsų gyslose... Jis kilo tarsi „tiesiai iš oro“ ir išties baugino. .. Didžiulis juodas karkasas buvo visiškai padengtas ilgais standžiais plaukais, todėl jis atrodė kaip puodas lokys, tik šis "meška" buvo aukštas kaip trijų aukštų namas ... Nedrąsa pabaisos galva buvo "ištekėjusi" su dviem didžiuliais išlenktais ragais ir pora neįtikėtinai ilgų ilčių, aštrių kaip peiliai, puošė jos baisią burną, kurią tik pažiūrėjus iš išgąsčio pasidavė kojos... Ir tada, mus neapsakomai nustebinęs, pabaisa lengvai pašoko. pakilo ir .... pakėlė skraidantį „dulką“ ant vienos iš didžiulių ilčių... Sustingome sustingę.
- Pabėgiokime!!! Stella rėkė. - Bėgime, kol jis „užimtas“! ..
Ir jau buvome pasiruošę vėl skubėti neatsigręždami, kai staiga už nugaros pasigirdo plonas balsas:
- Merginos, palaukite! Nereikia bėgti! .. Deanas tave išgelbėjo, jis nėra priešas!
Staigiai apsisukome - už nugaros stovėjo mažutė, labai graži juodaakė mergytė... ir ramiai glostė prie jos priėjusią pabaisą!.. Mūsų akys iššoko iš nuostabos... Neįtikėtina! Tikrai - tai buvo netikėtumų diena!.. Mergina, žiūrėdama į mus, maloniai nusišypsojo, visiškai nebijodama šalia stovinčios pūkuotos pabaisos.
Prašau, nebijok jo. Jis labai malonus. Pamatėme, kad Ovara tave vejasi, ir nusprendėme padėti. Deanas yra geras vaikinas, jis tai padarė laiku. Tikrai, mano gera?
„Gerai“ murktelėjo, kuris skambėjo kaip lengvas žemės drebėjimas, ir, palenkęs galvą, apsilaižė merginai veidą.
"O kas yra Owara ir kodėl ji mus užpuolė?" Aš paklausiau.
Ji puola visus, ji yra plėšrūnas. Ir labai pavojinga“, – ramiai atsakė mergina. – Ar galiu paklausti, ką tu čia veiki? Jūs ne iš čia, merginos, ar ne?
- Ne, ne iš čia. Mes tiesiog vaikščiojome. Bet tau tas pats klausimas – ką tu čia veiki?
Einu pas mamą... - nuliūdo mažylė. „Mes mirėme kartu, bet kažkodėl ji čia atsidūrė. Ir dabar aš čia gyvenu, bet jai to nesakau, nes ji niekada su tuo nesutiks. Ji mano, kad aš tik ateinu...
– Ar ne geriau tiesiog ateiti? Čia taip baisu!.. - Stela trūktelėjo pečiais.
„Negaliu jos čia palikti vienos, stebiu ją, kad jai nieko nenutiktų. O štai Dinas su manimi... Jis man padeda.
Tiesiog negalėjau patikėti... Ši mažytė drąsi mergytė savo noru paliko savo gražias ir malonias „grindis“ gyventi šiame šaltame, siaubingame ir svetimame pasaulyje, saugodama savo mamą, kuri dėl kažko labai „kalta“! Nedaug, manau, būtų buvę tokie drąsūs ir nesavanaudiški (net ir suaugę!) Žmonių, kurie būtų pasiryžę tokiam žygdarbiui... Ir aš iškart pagalvojau – gal ji tiesiog nesuprato, kam ketina save pasmerkti. ?!
- O kiek laiko tu čia, mergaite, jei ne paslaptis?
„Neseniai...“ – liūdnai atsakė juodaakė mergaitė, pirštais tampydama už juodos garbanotų plaukų sruogos. – Mirdamas patekau į tokį gražų pasaulį!.. Jis buvo toks geras ir šviesus!.. Ir tada pamačiau, kad mamos nėra su manimi ir puoliau jos ieškoti. Iš pradžių buvo taip baisu! Kažkodėl jos niekur nebuvo... Ir tada aš papuoliau į šį baisų pasaulį... Ir tada aš ją radau. Aš čia taip išsigandau... Tokia vieniša... Mama liepė išeiti, net barė. Bet aš negaliu jos palikti... Dabar turiu draugą savo gerą dekaną ir galiu kažkaip čia egzistuoti.
Jos „geras draugas“ vėl urzgė, nuo ko mes su Stella pasidarėme didžiuliai „apatiniai astraliniai“ žąsies oda... Susikaupusi bandžiau kiek nusiraminti ir ėmiau iš arti žiūrėti į šį pūkuotą stebuklą... Ir jis, iš karto jausdamas, kad jis pastebėjo, siaubingai apnuogino savo iltismis burną... Atšokau atgal.
- O, prašau, nebijok! Tai jis tau šypsosi“, – „nuramino“ mergina.
Taip... Iš tokios šypsenos išmoksi greitai bėgti... - pagalvojau sau.
– Bet kaip atsitiko, kad su juo susidraugavote? – paklausė Stella.
– Kai pirmą kartą čia atvykau, labai išsigandau, ypač kai šiandien buvo užpulti tokie monstrai kaip tu. Ir tada vieną dieną, kai vos nenumiriau, Deanas mane išgelbėjo nuo daugybės šiurpių skraidančių „paukščių“. Aš irgi iš pradžių jo bijojau, bet paskui supratau, kokia jo auksinė širdis... Jis – geriausias draugas! Niekada tokių neturėjau, net kai gyvenau Žemėje.
Kaip taip greitai pripratai? Jo išvaizda nėra visiškai pažįstama, tarkime ...
– Ir čia supratau vieną labai paprastą tiesą, kurios kažkodėl Žemėje nepastebėjau – išvaizda neturi reikšmės, ar žmogus ar būtybė geros širdies... Mama buvo labai graži, bet kartais ir labai pikta. . Ir tada visas jos grožis kažkur dingo... O Deanas, nors ir baisus, bet visada labai malonus, ir visada mane saugo, jaučiu jo gerumą ir nieko nebijau. Prie išvaizdos galima priprasti...
„Ar žinote, kad būsite čia labai ilgai, daug ilgiau nei žmonės gyvena Žemėje? Ar tikrai nori čia likti?
„Čia yra mano mama, todėl turiu jai padėti. O kai ji vėl „išvažiuos“ gyventi į Žemę, aš irgi išvažiuosiu... Kur daugiau gėrio. Šiame siaubingame pasaulyje žmonės labai keisti – tarsi visai negyventų. Kodėl taip? Ar žinote ką nors apie tai?
– O kas tau pasakė, kad mama vėl išvyks gyventi? – paklausė Stella.
Dekanas, žinoma. Jis daug žino, jau labai seniai čia gyvena. Jis taip pat sakė, kad kai mes (mano mama ir aš) vėl gyvensime, mūsų šeimos bus kitokios. Ir tada aš nebeturėsiu šios mamos... Štai kodėl aš noriu būti su ja dabar.
– O kaip tu kalbi su juo, su savo dekanu? – paklausė Stella. – O kodėl nenori pasakyti mums savo vardo?
Bet tai tiesa – mes vis dar nežinojome jos vardo! Ir iš kur ji atsirado - jie taip pat nežinojo ...
– Mano vardas buvo Marija... Bet ar tai čia tikrai svarbu?
- Būtinai! Stella nusijuokė. – O kaip su tavimi bendrauti? Išėjus tau duos naują vardą, bet kol būsi čia, teks gyventi su senuoju. Ar tu kalbėjai čia su kuo nors kitu, mergaite Marija? - Iš įpročio šokinėjant nuo temos prie temos paklausė Stella.
„Taip, aš padariau...“ – nepatikliai tarė maža mergaitė. „Bet jie čia tokie keisti. Ir tokie nelaimingi... Kodėl jie tokie apgailėtini?
„Bet ar tai, ką čia matai, skatina laimę? Mane nustebino jos klausimas. – Net pati vietinė „realybė“ iš anksto užmuša bet kokias viltis!.. Kaip čia gali būti laimingas?
- Nežinau. Kai būnu su mama, man atrodo, kad ir aš čia galėčiau būti laiminga... Tiesa, čia labai baisu, o jai čia labai nepatinka... Kai pasakiau, kad sutikau likti pas ji, ji šaukė ant manęs ir pasakė, kad aš esu jos "nelaimė be smegenų"... Bet aš neįsižeidžiau... Žinau, kad ji tiesiog išsigandusi. Visai kaip aš...
- Galbūt ji tiesiog norėjo išgelbėti jus nuo jūsų „kraštutinio“ sprendimo, o tik norėjo, kad grįžtumėte į savo „aukštą“? - Atsargiai, kad neįsižeisčiau, paklausė Stella.
– Ne, žinoma, ne... Bet ačiū už gerus žodžius. Mama dažnai mane vadindavo nelabai gerais vardais, net žemėje... Bet aš žinau, kad tai ne iš piktos valios. Ji buvo tiesiog nelaiminga, nes aš gimiau, ir dažnai man sakydavo, kad sugadinau jai gyvenimą. Bet tai nebuvo mano kaltė, ar ne? Visada stengiausi ją pradžiuginti, bet kažkodėl man nelabai sekėsi... Bet aš niekada neturėjau tėčio. Marijai buvo labai liūdna, o jos balsas drebėjo, tarsi ji tuoj verks.
Su Stella žiūrėjome vienas į kitą ir buvau beveik tikra, kad panašios mintys ją aplankė... Man jau labai nepatiko ši išlepinta, savanaudiška „mama“, kuri, užuot jaudinusi dėl pačios savo vaiko, nesirūpino jo herojiškumu. išvis aukotis.supratau ir, be to, skaudžiau mane įskaudino.
- Bet Deanas sako, kad aš esu geras ir kad aš jį labai džiuginu! - linksmiau sumurmėjo mažylė. Ir jis nori su manimi draugauti. O kiti, kuriuos čia sutikau, yra labai šalti ir abejingi, o kartais net pikti... Ypač tie, kuriems prisirišę monstrai...
- Monstrai - ką? .. - nesupratome.
„Na, jie turi baisius monstrus ant nugaros ir sako jiems, ką jie turėtų daryti. O jei neklauso, tai pabaisos siaubingai iš jų tyčiojasi... Bandžiau su jais kalbėtis, bet šitie monstrai man neleidžia.
Mes visiškai nieko nesupratome iš šio „paaiškinimo“, tačiau pats faktas, kad kai kurios astralinės būtybės kankina žmones, negalėjo likti mūsų „ištirtas“, todėl iš karto paklausėme jos, kaip galime pamatyti šį nuostabų reiškinį.
- O, visur! Ypač prie Juodojo kalno. Štai jis, už medžių. Ar nori, kad ir mes eitume su tavimi?
– Žinoma, būsime laimingi! - nustebusi iškart atsakė Stella.
Tiesą sakant, aš taip pat tikrai nesišypsojau, kad galiu susitikti su kuo nors kitu, „baisiu ir nesuprantamu“, ypač viena. Bet susidomėjimas nugalėjo baimę, ir mes, žinoma, būtume išvykę, nepaisant to, kad šiek tiek bijojome... Bet kai su mumis buvo toks gynėjas kaip Deanas, iškart pasidarė smagiau...
Ir dabar per trumpą akimirką prieš mūsų plačiai atmerktas akis iš nuostabos atsivėrė tikras pragaras... pasaulis... Žinoma, jis nebuvo pamišęs, o buvo tiesiog regėtojas, kuris dėl kažkokių priežasčių galėjo matyti tik apatinis Astral. Tačiau turime jį pripažinti – jis puikiai jį pavaizdavo... Mačiau jo paveikslus knygoje, kuri buvo mano tėčio bibliotekoje, ir vis dar prisiminiau tą baisų jausmą, kurį lydėjo dauguma jo paveikslų...
- Koks siaubas! .. - sušnibždėjo sukrėsta Stella.
Tikriausiai būtų galima sakyti, kad mes jau daug ką matėme čia, ant „grindys“... Bet net ir mes negalėjome įsivaizduoti tokio dalyko baisiausiame košmare! .. Už „juodosios uolos“ atsivėrė kažkas visiškai neįsivaizduojama ... Atrodė kaip didžiulis, plokščias uoloje iškaltas „katilas“, kurio dugne burbuliavo tamsiai raudona „lava“... Visur „sprogdino“ karštas oras keistais mirksinčiais rausvais burbulais, iš kurių išbėgo degantys garai ir dideliais lašais nukrito ant žemės, arba ant tuo metu po juo papuolusių žmonių... Pasigirdo širdį veriantys klyksmai, bet jie iškart nutilo, nes bjauriausios būtybės sėdėjo ant tų pačių žmonių nugarų, kurie , patenkintu žvilgsniu "tvarkė" savo aukas, nekreipdamas nė menkiausio dėmesio į jų kančias... Po nuogomis žmonių kojomis raudonavo raudonai įkaitę akmenys, burbuliavo ir "tirpė" karšta tamsiai raudona žemė... . O pačiame „duobės“ viduryje tekėjo ryškiai raudona plati ugninė upė, į kurią karts nuo karto netikėtai įmesdavo vienokios ar kitokios kankinamos būtybės tie patys šlykštūs monstrai, kurie krisdami sukeldavo tik trumpą pliūpsnį. oranžinės kibirkštėlės, o paskui, bet akimirkai pavirtęs puriu baltu debesiu, dingo... amžiams... Tai buvo tikras pragaras, ir mes su Stella norėjome kuo greičiau iš ten „dingti“... .
- Ką darysime? .. - tyliai su siaubu sušnibždėjo Stella. - Ar nori ten nusileisti? Ar galime kuo nors jiems padėti? Pažiūrėkite, kiek jų yra!..
Stovėjome ant juodai rudos, karščiui išdžiūvusios uolos ir stebėjome apačioje besidriekiantį skausmo, beviltiškumo ir smurto „netvarką“, užlietą siaubo, ir jautėmės taip vaikiškai bejėgiai, kad net mano karingoji Stella šį kartą kategoriškai sulenkė savo raizgytą „ sparnai“ ir buvo pasiruošusi per pirmąjį skambutį išskubėti į savo, tokį brangų ir patikimą, viršutinį „aukštą“ ...

Pateikiamos pagrindinės logaritmo savybės, logaritmo grafikas, apibrėžimo sritis, reikšmių rinkinys, pagrindinės formulės, didėjimas ir sumažėjimas. Svarstoma logaritmo išvestinės radimas. Taip pat integralas, laipsnių eilučių išplėtimas ir atvaizdavimas kompleksiniais skaičiais.

Turinys

Domenas, verčių rinkinys, didėjanti, mažėjanti

Logaritmas yra monotoninė funkcija, todėl ji neturi ekstremumų. Pagrindinės logaritmo savybės pateiktos lentelėje.

Domenas	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Vertybių diapazonas	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monotoniškas	didėja monotoniškai	mažėja monotoniškai
Nuliai, y= 0	x= 1	x= 1
Sankirtos taškai su y ašimi, x = 0	Nr	Nr
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Privačios vertybės

Vadinamas 10 bazinis logaritmas dešimtainis logaritmas ir pažymėtas taip:

bazinis logaritmas e paskambino natūralusis logaritmas:

Pagrindinės logaritmų formulės

Logaritmo savybės, išplaukiančios iš atvirkštinės funkcijos apibrėžimo:

Pagrindinė logaritmų savybė ir jos pasekmės

Bazės pakeitimo formulė

Logaritmas yra matematinė logaritmo ėmimo operacija. Imant logaritmą faktorių sandaugos paverčiamos narių sumomis.
Potencija yra matematinė operacija, atvirkštinė logaritmui. Potencuojant, duotoji bazė pakeliama iki išraiškos, ant kurios atliekamas stiprinimas, galios. Šiuo atveju terminų sumos paverčiamos veiksnių sandaugomis.

Pagrindinių logaritmų formulių įrodymas

Su logaritmais susijusios formulės kyla iš eksponentinių funkcijų formulių ir iš atvirkštinės funkcijos apibrėžimo.

Apsvarstykite eksponentinės funkcijos savybę
.
Tada
.
Taikyti eksponentinės funkcijos savybę
:
.

Įrodykime bazės pokyčio formulę.
;
.
Nustatę c = b , turime:

Atvirkštinė funkcija

Pagrindo a logaritmo atvirkštinė reikšmė yra eksponentinė funkcija su eksponentu a.

Jei tada

Jei tada

Logaritmo išvestinė

Logaritmo modulio x išvestinė:
.
n-osios eilės vedinys:
.
Formulių išvedimas >>>

Norint rasti logaritmo išvestinę, jis turi būti sumažintas iki pagrindo e.
;
.

Integralinis

Logaritmo integralas apskaičiuojamas integruojant dalimis : .
Taigi,

Išraiškos kompleksiniais skaičiais

Apsvarstykite kompleksinio skaičiaus funkciją z:
.
Išreikškime kompleksinį skaičių z per modulį r ir argumentas φ :
.
Tada, naudodamiesi logaritmo savybėmis, turime:
.
Arba

Tačiau argumentas φ nėra aiškiai apibrėžtas. Jei įdėtume
, kur n yra sveikas skaičius,
tada jis bus tas pats skaičius skirtingiems n.

Todėl logaritmas, kaip sudėtingo kintamojo funkcija, nėra vienareikšmė funkcija.

Galios serijos išplėtimas

Išplėtimas vyksta:

Nuorodos:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir aukštųjų mokyklų studentams, Lan, 2009 m.

Taip pat žiūrėkite:

Iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos

Apibrėžimas ir savybės

Kompleksinis nulis neturi logaritmo, nes kompleksinis eksponentas neįgyja nulio reikšmės. ne nulis $z$ gali būti pavaizduotas eksponentine forma:

$z=r\; \backslash cdot\; e^(i\; (\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k))\backslash ;\backslash ;,$ Kur $k$- savavališkas sveikasis skaičius

Tada $\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z$ randama pagal formulę:

$\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z\; =\; \backslash ln\; r\; +\; i\; \backslash left(\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k\; \backslash right)$

Čia $\backslash ln\backslash ,r=\; \backslash ln\backslash ,|z|$ yra tikrasis logaritmas. Iš to išplaukia:

$\backslash mathrm(Ln)\; (-x)\; =\; \backslash ln\; x\; +\; i\; \backslash pi\; (2\; k\; +\; 1)\; \backslash qquad\; (x>0,\backslash \; k\; =\; 0,\; \backslash pm\; 1,\; \backslash pm\; 2\; \backslash taškai)$

Sudėtingų logaritmų reikšmių pavyzdžiai

Pateikiame pagrindinę logaritmo reikšmę ( $\backslash ln$) ir jo bendroji išraiška ( $\backslash mathrm(Ln)$) dėl kai kurių argumentų:

$\backslash ln(1)\; =\; 0;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (1)\; =\; 2k\backslash pi\; i$ $\backslash ln\; (-1)\; =\; i\; \backslash pi;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (-1)\; =\; (2k+1)i\; \backslash pi$ $\backslash ln\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(\backslash pi)\; (2);\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(4k+1)(2)\; \backslash pi$

Turėtumėte būti atsargūs konvertuodami sudėtingus logaritmus, atsižvelgdami į tai, kad jie yra daugiareikšmiai, todėl šių išraiškų lygybė neišplaukia iš bet kokių išraiškų logaritmų lygybės. Pavyzdys klaidingas samprotavimas:

$i\backslash pi\; =\; \backslash ln(-1)\; =\; \backslash ln((-i)^2)\; =\; 2\backslash ln(-i)\; =\; 2(-i\backslash pi/2)\; =\; -i\backslash pi$ yra akivaizdi klaida.

Atkreipkite dėmesį, kad pagrindinė logaritmo reikšmė yra kairėje, o pagrindinės šakos vertė yra dešinėje ( $k=-1$). Klaidos priežastis – neatsargus turto naudojimas $\backslash log\_a((b^p))\; =\; p~\backslash log\_a\; b$, o tai, paprastai kalbant, sudėtingu atveju reiškia visą begalinį logaritmo reikšmių rinkinį, o ne tik pagrindinę reikšmę.

Sudėtinga logaritminė funkcija ir Riemann paviršius

Dėl to, kad Riemano logaritmo paviršius yra tiesiog sujungtas, jis yra universali kompleksinės plokštumos be taško danga. $0$.

Analitinis tęsinys

Kompleksinio skaičiaus logaritmas taip pat gali būti apibrėžtas kaip analitinis tikrojo logaritmo tęsinys iki visos kompleksinės plokštumos. Tegul kreivė $\backslash Gama$ prasideda nuo vieneto, nepereina per nulį ir nekerta neigiamos tikrosios ašies dalies. Tada pagrindinė logaritmo reikšmė pabaigos taške $w$ kreivas $\backslash Gama$ galima nustatyti pagal formulę:

$\backslash ln\; z\; =\; \backslash int\backslash limits\_\backslash Gamma\; (du\; \backslash over\; u)$

Jeigu $\backslash Gama$- paprasta kreivė (be susikirtimų), tada ant jos gulintiems skaičiams be baimės galima pritaikyti logaritminius tapatumus, pavyzdžiui:

$\backslash ln\; (wz)\; =\; \backslash ln\; w\; +\; \backslash ln\; z,\; ~\backslash forall\; z,w\backslash in\backslash Gamma\backslash dvitaškis\; zw\backslash in\; \backslash Gamma$

Pagrindinė logaritminės funkcijos šaka yra ištisinė ir diferencijuojama visoje kompleksinėje plokštumoje, išskyrus neigiamą tikrosios ašies dalį, ant kurios menamoji dalis peršoka į $2\backslash pi$. Tačiau šis faktas yra dirbtinio pagrindinės vertės įsivaizduojamos dalies apribojimo intervalu pasekmė $(-\backslash pi,\; \backslash pi]$. Jei nagrinėsime visas funkcijos šakas, tai tęstinumas vyksta visuose taškuose, išskyrus nulį, kur funkcija neapibrėžta. Jei leidžia kreivė $\backslash Gama$ kirsti neigiamą tikrosios ašies dalį, tada pirmoji tokia sankirta perkelia rezultatą iš pagrindinės reikšmės šakos į gretimą šaką, o kiekviena sekanti sankryža sukelia panašų poslinkį išilgai logaritminės funkcijos šakų (žr. pav.).

Iš analitinės tęsinio formulės išplaukia, kad bet kurioje logaritmo šakoje:

$\backslash frac(d)(dz)\; \backslash ln\; z\; =\; (1\backslash virš\; z)$

Bet kokiam ratui $S$ apgaubiantis tašką $0$:

$\backslash oint\backslash limits\_S\; (dz\; \backslash over\; z)\; =\; 2\backslash pi\; i$

Integralas imamas teigiama kryptimi (prieš laikrodžio rodyklę). Ši tapatybė yra likučių teorijos pagrindas.

Taip pat galima apibrėžti sudėtingo logaritmo analitinį tęsinį, naudojant seriją, žinomą realiam atvejui:

{{{2}}}

(1 eilutė)

{{{2}}}

(2 eilutė)

Tačiau iš šių eilučių formos matyti, kad esant vienybei eilučių suma yra lygi nuliui, tai yra, eilutė nurodo tik pagrindinę kompleksinio logaritmo daugiareikšmės funkcijos šaką. Abiejų eilučių konvergencijos spindulys yra 1.

Ryšys su atvirkštinėmis trigonometrinėmis ir hiperbolinėmis funkcijomis

$\backslash operatoriaus\; pavadinimas(Arcsin)\; z\; =\; -i\; \backslash operatoriaus\; pavadinimas(Ln)\; (i\; z\; +\; \backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operatoriaus\; pavadinimas(Arccos)\; z\; =\; -i\; \backslash operatoriaus\; pavadinimas(Ln)\; (z\; +\; i\backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operatoriaus\; pavadinimas(Arctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(1+z\; i)(1-z\; i)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operatoriaus\; pavadinimas(Arcctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(z\; i-1)(z\; i+1)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operatoriaus\; vardas(Arsh)z\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(Ln)(z+\backslash sqrt(z^2+1))$- atvirkštinis hiperbolinis sinusas $\backslash operatoriaus\; vardas(Arch)z=\backslash operatoriaus\; vardas(Ln)\; \backslash left(z+\backslash sqrt(z^(2)-1)\; \backslash right)$- atvirkštinis hiperbolinis kosinusas $\backslash operatoriaus\; pavadinimas(Arth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operatoriaus\; vardas(Ln)\backslash left(\backslash frac(1+z)(1-z)\backslash right)$- atvirkštinė hiperbolinė tangentė $\backslash operatoriaus\; vardas(Arcth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operatoriaus\; vardas(Ln)\backslash left(\backslash frac(z+1)(z-1)\backslash right)$- atvirkštinis hiperbolinis kotangentas

Istorinis kontūras

Pirmuosius bandymus išplėsti logaritmus iki kompleksinių skaičių XVII–XVIII amžių sandūroje padarė Leibnizas ir Johannas Bernoulli, tačiau jiems nepavyko sukurti holistinės teorijos – pirmiausia dėl to, kad pati logaritmo samprata dar nebuvo aiški. apibrėžta. Diskusija šia tema pirmiausia kilo tarp Leibnizo ir Bernullio, o XVIII amžiaus viduryje – tarp d'Alemberto ir Eulerio. Bernoulli ir d'Alembert manė, kad tai būtina apibrėžti $\backslash log(x)\; =\; \backslash log(x)$, o Leibnicas teigė, kad neigiamo skaičiaus logaritmas yra įsivaizduojamas skaičius. Visą neigiamų ir kompleksinių skaičių logaritmų teoriją Euleris paskelbė 1747–1751 m. ir iš esmės niekuo nesiskiria nuo šiuolaikinės. Nors ginčai tęsėsi (d'Alembertas gynė savo požiūrį ir išsamiai jį argumentavo savo Enciklopedijos straipsnyje ir kituose darbuose), Eulerio požiūris XVIII a. pabaigoje buvo visuotinai priimtas.

Parašykite apžvalgą apie straipsnį „Sudėtingas logaritmas“

Literatūra

Logaritmų teorija

• Kornas G., Kornas T.. - M .: Nauka, 1973. - 720 p.
• Svešnikovas A. G., Tikhonovas A. N. Sudėtingo kintamojo funkcijų teorija. - M .: Nauka, 1967. - 304 p.
• Fikhtengoltas G. M. Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo kursas. – red. 6-oji. - M .: Nauka, 1966. - 680 p.

Logaritmų istorija

• XVIII amžiaus matematika // / Redagavo A. P. Juškevičius, trimis tomais. - M .: Nauka, 1972. - T. III.
• Kolmogorovas A. N., Juškevičius A. P. (red.). XIX amžiaus matematika. Geometrija. Analitinių funkcijų teorija. - M .: Nauka, 1981. - T. II.

Pastabos

1. Logaritminė funkcija. // . - M .: Sovietų enciklopedija, 1982. - T. 3.
2. , II tomas, p. 520-522..
3. , Su. 623 ..
4. , Su. 92-94..
5. , Su. 45-46, 99-100..
6. Boltyansky V. G., Efremovičius V. A.. - M .: Nauka, 1982. - S. 112. - (Kvantinė biblioteka, 21 numeris).
7. , II tomas, p. 522-526..
8. , Su. 624 ..
9. , Su. 325-328..
10. Rybnikovas K. A. Matematikos istorija. Dviejuose tomuose. - M .: Red. Maskvos valstybinis universitetas, 1963 m. - T. II. - S. 27, 230-231 ..
11. , Su. 122-123..
12. Kleinas F.. - M .: Nauka, 1987. - T. II. Geometrija. - S. 159-161. - 416 p.

Ištrauka, apibūdinanti kompleksinį logaritmą

Buvo akivaizdu, kad šį stiprų, keistą vyrą jam padarė nenugalimas ši juoda, grakšti, mylinti mergina.
Rostovas pastebėjo kažką naujo tarp Dolokhovo ir Sonya; bet jis pats neapibrėžė, kokie tai nauji santykiai. „Jie visi yra ką nors įsimylėję“, - pagalvojo jis apie Soniją ir Natašą. Tačiau jis nebuvo toks, kaip anksčiau, mikliai su Sonja ir Dolokhovu, ir pradėjo rečiau būti namuose.
Nuo 1806 metų rudens vėl viskas ėmė kalbėti apie karą su Napoleonu dar įkarščiau nei pernai. Buvo paskirtas ne tik rekrūtų rinkinys, bet ir dar 9 kariai iš tūkstančio. Visur Bonapartą keikė anatema, o Maskvoje buvo kalbama tik apie artėjantį karą. Rostovo šeimai visas šių pasirengimo karui susidomėjimas buvo susijęs tik su tuo, kad Nikoluška niekada nesutiks likti Maskvoje ir laukė tik Denisovo atostogų pabaigos, kad galėtų eiti su juo į pulką po atostogų. Artėjantis išvykimas ne tik nesutrukdė linksmintis, bet ir paskatino tai daryti. Didžiąją laiko dalį jis praleisdavo ne namuose, vakarienėse, vakarėliuose ir baliuose.

XI
Trečią Kalėdų dieną Nikolajus vakarieniavo namuose, kas jam pastaruoju metu nutinka retai. Tai buvo oficiali atsisveikinimo vakarienė, nes jis ir Denisovas po Epifanijos išvyko į pulką. Vakarieniavo apie dvidešimt žmonių, tarp jų Dolokhovas ir Denisovas.
Niekada Rostovų namuose meilės oras, meilės atmosfera nebuvo jaučiama taip stipriai, kaip šiomis švenčių dienomis. „Pagauk laimės akimirkas, prisiversk mylėti, įsimylėk save! Tik šis vienas dalykas pasaulyje yra tikras – visa kita yra nesąmonė. Ir tai yra vienintelis dalykas, kuriuo mes čia užsiėmę“, – kalbėjo tokia atmosfera. Nikolajus, kaip visada, nukankinęs dvi poras arklių ir net tada nespėjęs aplankyti visose vietose, kur jam reikėjo ir kur buvo pašauktas, namo grįžo prieš pat vakarienę. Vos įėjęs jis pastebėjo ir pajuto namuose tvyrančią meilės atmosferos įtampą, tačiau papildomai pastebėjo keistą sumaištį, tvyrančią tarp kai kurių draugijos narių. Sonya, Dolokhovas, senoji grafienė ir mažoji Nataša buvo ypač susijaudinę. Nikolajus suprato, kad prieš vakarienę tarp Sonjos ir Dolokhovo kažkas turi įvykti, ir jam būdingas švelnumas per vakarienę buvo labai švelnus ir atsargus bendraudamas su jais abiem. Tą patį trečios atostogų dienos vakarą turėjo būti vienas iš tų balių pas Yogelį (šokių mokytoją), kurį jis dovanojo per šventes visiems savo mokiniams.
- Nikolenka, eini į Jogelą? Prašau, eik, - pasakė jam Nataša, - jis ypač tavęs paprašė, o Vasilijus Dmitričius (tai buvo Denisovas) eina.
„Ten, kur aš neinu pono Afini įsakymu, – juokaudamas pasakė Denisovas, kuris atsidūrė Rostovų namuose ant riterio Natašos kojos, – „pas de chale“ [šokis su skara] pasiruošęs šokti. .
- Jei aš galiu! Pažadėjau Archarovams, jie turės vakarą, - sakė Nikolajus.
- O tu?... - jis atsisuko į Dolokhovą. Ir kai tik to paklausiau, pastebėjau, kad neturėjau to klausti.
„Taip, galbūt...“ - šaltai ir piktai atsakė Dolokhovas, žvilgtelėdamas į Soniją ir, susiraukęs, lygiai taip pat, kaip žiūrėjo į Pierre'ą per klubo vakarienę, vėl pažvelgė į Nikolajų.
„Yra kažkas“, - pagalvojo Nikolajus, ir šią prielaidą dar labiau patvirtino faktas, kad Dolokhovas išėjo iškart po vakarienės. Jis paskambino Natašai ir paklausė, kas tai buvo?
„Aš ieškojau tavęs“, - pasakė Nataša, pribėgdama prie jo. „Aš sakiau, kad vis dar nenorite tikėti, – pergalingai pasakė ji, – jis pasipiršo Sonjai.
Kad ir kaip mažai elgėsi Nikolajus Sonja per tą laiką, kai jis tai išgirdo, atrodė, kad kažkas jame išsisuko. Dolokhovas buvo padorus ir kai kuriais atžvilgiais puikus atitikmuo be kraičio našlaitėlei Sonyai. Senosios grafienės ir visuomenės požiūriu jo atsisakyti buvo neįmanoma. Ir todėl pirmasis Nikolajaus jausmas, kai jis tai išgirdo, buvo kartėlio prieš Sonya. Jis ruošėsi pasakyti: „Ir gerai, žinoma, reikia pamiršti vaikystės pažadus ir priimti pasiūlymą“; bet jis dar nespėjo to pasakyti...
- Ar gali įsivaizduoti! ji atsisakė, visiškai atsisakė! Nataša prabilo. „Ji sakė, kad myli kitą“, – po pauzės pridūrė ji.
„Taip, mano Sonya negalėjo kitaip! pagalvojo Nikolajus.
- Kad ir kiek mama jos prašė, ji atsisakė, ir aš žinau, kad ji nepasikeis, jei ką nors pasakys...
- Ir mama jos paklausė! – priekaištingai tarė Nikolajus.
„Taip“, - pasakė Nataša. „Žinai, Nikolenka, nepyk; bet aš žinau, kad tu jos nevesi. Žinau, Dievas žino, kodėl, aš tikrai žinau, tu nesituoksi.
- Na, tu to visai nežinai, - pasakė Nikolajus; Bet man reikia su ja pasikalbėti. Koks žavesys, ši Sonya! - pridūrė šypsodamasis.
- Tai toks žavesys! atsiųsiu jums. - Ir Nataša, pabučiavusi savo brolį, pabėgo.
Po minutės įėjo Sonya, išsigandusi, sutrikusi ir kalta. Nikolajus priėjo prie jos ir pabučiavo jai ranką. Tai buvo pirmas kartas, kai šio vizito metu jie kalbėjo akis į akį ir apie savo meilę.
- Sofija, - iš pradžių nedrąsiai tarė jis, o paskui vis drąsiau, - jei nori atsisakyti ne tik puikaus, pelningo vakarėlio; bet jis puikus, kilnus žmogus... jis mano draugas...
Sonia jį pertraukė.
„Aš jau atsisakiau“, - skubiai pasakė ji.
- Jei tu atsisakai dėl manęs, bijau, kad ant manęs...
Sonya vėl jį pertraukė. Ji pažvelgė į jį maldaujančiomis, išsigandusiomis akimis.
„Nikolajai, nesakyk man to“, – pasakė ji.
- Ne, turiu. Galbūt tai yra pakankama [arogancija] iš mano pusės, bet geriau pasakyti. Jei tu atsisaki manęs, aš turiu pasakyti tau visą tiesą. Aš myliu tave, manau, labiau nei bet kas kitas...
– Man to užtenka, – paraudusi tarė Sonya.
– Ne, bet aš įsimylėjau tūkstantį kartų ir mylėsiu toliau, nors tokio draugystės, pasitikėjimo, meilės jausmo niekam, kaip tau, neturiu. Tada aš jaunas. Mama to nenori. Na, aš nieko nežadu. Ir prašau pagalvoti apie Dolokhovo pasiūlymą“, – sunkiai tardamas draugo vardą tarė jis.
- Nesakyk man to. Aš nieko nenoriu. Myliu tave kaip brolį ir visada mylėsiu, ir man daugiau nieko nereikia.
– Tu esi angelas, aš tavęs nepakenčiu, bet bijau tik tave apgauti. Nikolajus vėl pabučiavo jos ranką.

Iogelis surengė smagiausius balius Maskvoje. Tai sakydavo mamos, žiūrėdamos į savo paaugles, [mergaites] darančius ką tik išmoktus žingsnelius; tai sakydavo patys paaugliai ir paaugliai, [merginos ir berniukai] šokdami tol, kol nukrito; šios suaugusios merginos ir jaunuoliai, kurie atėjo į šiuos balius su mintimi jiems nuolaidžiauti ir rasti juose geriausią pramogą. Tais pačiais metais šiuose baliuose įvyko dvi santuokos. Dvi gražios princesės Gorčakovos susirado piršlius ir susituokė, o tuo labiau paleido šiuos kamuoliukus į šlovę. Ypatinga šiuose baliuose buvo tai, kad nebuvo šeimininkės ir šeimininkės: ten, kaip pūkas skraido, pagal meno taisykles nusilenkė, geraširdis Jogelis, kuris priimdavo bilietus į pamokas iš visų savo svečių; buvo tai, kad šiuose baliuose vis dar dalyvavo tik norintys šokti ir smagiai praleisti laiką, nes to nori 13 ir 14 metų mergaitės, pirmą kartą vilkinčios ilgas sukneles. Visi, išskyrus retas išimtis, buvo arba atrodė gražūs: visi taip entuziastingai šypsojosi, o jų akys taip spindėjo. Kartais geriausi mokiniai net šoko pas de chale, iš kurių geriausia buvo Nataša, išsiskirianti grakštumu; bet šiame, paskutiniame baliuje, šoko tik ekosai, anglaise ir dar tik į madą atėjusi mazurka. Salę Jogelis nuvedė į Bezukhovo namus, ir balius, kaip visi sakė, puikiai pavyko. Buvo daug gražių merginų, o Rostovo jaunos moterys buvo vienos geriausių. Abu buvo ypač laimingi ir linksmi. Tą vakarą Sonya, didžiuodamasi Dolokhovo pasiūlymu, jos atsisakymu ir paaiškinimu su Nikolajumi, vis dar sukiojosi namuose, neleisdama mergaitei susišukuoti pynių, o dabar spindėjo veržliu džiaugsmu.
Nataša, ne mažiau didžiavusi, kad pirmą kartą, tikrame baliuje, vilkėjo ilga suknele, buvo dar laimingesnė. Abi vilkėjo baltomis, muslininėmis suknelėmis su rausvais kaspinėliais.
Nataša įsimylėjo nuo pat tos akimirkos, kai įėjo į kamuolį. Ji nebuvo įsimylėjusi ką nors konkrečiai, bet buvo įsimylėjusi visus. Toje, į kurią žiūrėjo tuo metu, kai žiūrėjo, ji buvo jį įsimylėjusi.
- Oi, kaip gerai! ji vis kartojo, pribėgdama prie Sonios.
Nikolajus ir Denisovas vaikščiojo per sales, meiliai ir globėjiškai žiūrėdami į šokėjus.
- Kokia ji miela, tokia ji bus, - pasakė Denisovas.
- PSO?
- Pone Atėnė Nataša, - atsakė Denisovas.
"Ir kaip ji šoka, kokia g"acija! - po pauzės vėl pasakė.
- Apie ką tu šneki?
„Apie tavo seserį“, – piktai sušuko Denisovas.
Rostovas nusijuokė.
– Mon cher Comte; vous etes l "un de mes meilleurs ecoliers, il faut que vous dansiez", - tarė mažasis Yogelis, artėdamas prie Nikolajaus. - Voyez combien de jolies demoiselles. [Gerbiamas grafe, jūs esate vienas geriausių mano mokinių. Jums reikia šokti. Pažiūrėkite, kaip daug gražių merginų!] – su tuo pačiu prašymu jis kreipėsi į Denisovą, taip pat savo buvusį mokinį.
- Ne, mon cher, je fe "ai tapisse", ty, [Ne, mano brangusis, aš sėdėsiu prie sienos, - pasakė Denisovas. – Ar neprisimeni, kaip blogai išnaudojau tavo pamokas?
- O ne! – paskubomis guosdamas jį, pasakė Jogelis. – Buvote tik nedėmesingas, bet sugebėjote, taip, sugebėjote.
Pradėjo groti naujai pristatyta mazurka; Nikolajus negalėjo atsisakyti Jogelio ir pakvietė Soniją. Denisovas atsisėdo šalia senų moterų ir pasirėmė kardu, trypčiodamas kojomis, kažką linksmai pasakodamas ir prajuokindamas senbuves, žiūrėdamas į šokantį jaunimą. Jogelis pirmoje poroje šoko su Nataša, savo pasididžiavimu ir geriausia mokine. Švelniai, švelniai judindamas kojas batuose, Jogelis pirmasis perskrido per salę su nedrąsia, bet uoliai žingsniuojančia Nataša. Denisovas neatitraukė nuo jos akių ir bakstelėjo laiką su kardu, aiškiai sakydamas, kad jis pats nešoko tik todėl, kad nenori, o ne todėl, kad negali. Figūros viduryje jis pašaukė jam pro šalį ėjusį Rostovą.
"Tai visai ne tai", - sakė jis. – Ar tai lenkiška mazu „ka?“ Ir ji gerai šoka.“ Žinodamas, kad Denisovas net Lenkijoje garsėjo savo sugebėjimu šokti lenkišką mazurką, Nikolajus pribėgo prie Natašos:
- Pirmyn, pasirinkite Denisovą. Štai ji šoka! Stebuklas! - jis pasakė.
Kai vėl atėjo Natašos eilė, ji atsistojo ir greitai pirštais batus su lankais, nedrąsiai nubėgo viena per salę į kampą, kuriame sėdėjo Denisovas. Ji pamatė, kad visi žiūri į ją ir laukia. Nikolajus pamatė, kad Denisovas ir Nataša ginčijasi šypsodamiesi, o Denisovas atsisakė, bet linksmai nusišypsojo. Jis bėgo.
„Prašau, Vasilijai Dmitričiau“, – pasakė Nataša, – eime, prašau.
„Taip, ačiū, ponia Atėnė“, – pasakė Denisovas.
„Na, užteks, Vasja“, - pasakė Nikolajus.
„Atrodo, Vaska būtų įtikinamas“, – juokaudamas pasakė Denisovas.
„Aš dainuosiu tau visą vakarą“, - sakė Nataša.
- Su manimi burtininkė padarys viską! - pasakė Denisovas ir atsegė kardą. Jis išlipo iš už kėdžių, tvirtai paėmė savo damą už rankos, pakėlė galvą ir nuleido koją į šalį, tikėdamasis takto. Tik ant žirgo ir mazurkoje Denisovo mažo ūgio nesimatė ir atrodė, kad jis buvo toks pat puikus vaikinas, kokį jautėsi pats. Sulaukęs smūgio, pergalingai ir juokaudamas pažvelgė į savo damą iš šono, netikėtai bakstelėjo viena koja ir, kaip kamuolys, elastingai atšoko nuo grindų ir skrido ratu, tempdamas su savimi savo damą. Jis tyliai nuskraidino pusę salės ant vienos kojos ir atrodė, kad nematė priešais stovinčių kėdžių ir puolė tiesiai į jas; bet staiga, spragtelėjęs spygliuočius ir išskėstęs kojas, sustojo ant kulnų, taip stovėjo sekundę, ūžiant spygliams, kojomis trinktelėjo į vieną vietą, greitai apsisuko ir, dešine trenkdamas kaire koja, vėl skrido ratu. Nataša atspėjo, ką jis ketina daryti, ir, pati nežinodama, kaip, nusekė paskui jį – pasidavė jam. Dabar jis apėjo ją, dabar dešine, tada kaire ranka, tada griuvo ant kelių, apsuko ją aplink save ir vėl pašoko ir puolė į priekį taip greitai, tarsi ketintų neįkvėpdamas bėgti. visuose kambariuose; tada jis staiga vėl sustotų ir dar vieną naują ir netikėtą kelį. Kai jis, sparčiai aplenkdamas damą priešais jos sėdynę, spustelėjo atšaką, nusilenkdamas prieš ją, Nataša net neprisėdo prie jo. Ji suglumusi pažvelgė į jį ir šypsojosi, tarsi jo nepažintų. - Kas tai? Ji pasakė.
Nepaisant to, kad Jogelis nepripažino šios mazurkos kaip tikros, visi džiaugėsi Denisovo įgūdžiais, nepaliaujamai pradėjo jį rinktis, o seni žmonės šypsodamiesi pradėjo kalbėti apie Lenkiją ir apie senus gerus laikus. Denisovas, paraudęs nuo mazurkos ir nusišluostęs nosine, atsisėdo šalia Natašos ir nepaliko jos viso kamuolio.