Apskaičiuokite vektorinių projekcijų į koordinačių ašis sumą. Vektorinė projekcija

A. Taško A projekcija į PQ ašį (4 pav.) yra statmeno, nuleisto iš tam tikro taško į nurodytą ašį, pagrindas a. Ašis, ant kurios projektuojame, vadinama projekcijos ašimi.

b. Tegu pateiktos dvi ašys ir vektorius A B, kaip parodyta fig. 5.

Vektorius, kurio pradžia yra pradžios projekcija, o pabaiga yra šio vektoriaus pabaigos projekcija, vadinamas vektoriaus A B projekcija į PQ ašį.

Kartais PQ indikatorius nėra parašytas apačioje, tai daroma tais atvejais, kai, be PQ, nėra kitos OS, kurioje būtų galima kurti.

Su. I teorema. Vienoje ašyje esančių vektorių dydžiai yra susiję kaip jų projekcijų į bet kurią ašį dydžiai.

Tegu pateiktos 6 pav. nurodytos ašys ir vektoriai Iš trikampių panašumo aišku, kad vektorių ilgiai yra susiję kaip jų projekcijų ilgiai, t.y.

Kadangi vektoriai brėžinyje yra nukreipti skirtingomis kryptimis, jų dydžiai turi skirtingus ženklus, todėl

Akivaizdu, kad projekcijų dydžiai taip pat turi skirtingus ženklus:

pakeitę (2) į (3) į (1), gauname

Apversdami ženklus, gauname

Jei vektoriai vienodai nukreipti, tai jų projekcijos bus tos pačios krypties; (2) ir (3) formulėse minuso ženklų nebus. Pakeitę (2) ir (3) lygybe (1), iš karto gauname lygybę (4). Taigi, teorema buvo įrodyta visais atvejais.

d. II teorema. Vektoriaus projekcijos į bet kurią ašį dydis yra lygus vektoriaus dydžiui, padaugintam iš kampo tarp projekcijų ašies ir vektoriaus ašies kosinuso, kaip parodyta Fig . 7. Sukonstruokime vektorių, kurio kryptis ta pati kaip ir jo ašis ir nubraižytą, pavyzdžiui, nuo ašių susikirtimo taško. Tegul jo ilgis lygus vienetui. Tada jo dydis

Tegu l ašis yra pateikta erdvėje, tai yra nukreipta tiesė.

Taško M projekcija į l ašį yra statmeno MM 1, nuleisto nuo taško į ašį, pagrindas M 1.

Taškas M 1 – tai l ašies susikirtimo taškas su plokštuma, kertanti ašiai statmeną tašką M (žr. 7 pav.).

Jei taškas M yra l ašyje, tai taško M projekcija į ašį sutampa su M1.

Tegu AB yra savavališkas vektorius (AB¹ 0). A 1 ir b 1 pažymėkime vektoriaus AB pradžios A ir pabaigos B projekcijas atitinkamai į l ašį ir panagrinėkime vektorių A 1 B 1

Vektoriaus AB projekcija į l ašį yra teigiamas skaičius |A 1 B 1 | , jei vektorius A 1 B 1 ir l ašis nukreipti vienodai, o neigiamas skaičius yra |A 1 B 1 | , jei vektorius A 1 B 1 ir l ašis nukreipti priešingai (žr. 8 pav.). Jei taškai a 1 ir b 1 sutampa (A 1 B 1 = 0), tai vektoriaus AB projekcija lygi 0.

Vektoriaus AB projekcija į l ašį žymima taip: pr l AB. Jei AB=0 arba AB^l, tai pr l AB=0.

Kampas j tarp vektoriaus a ir l ašies (arba kampas tarp dviejų vektorių) parodytas 9 paveiksle. Akivaizdu, kad 0£j£p

Pažvelkime į kai kurias pagrindines projekcijų savybes.

Savybė 1. Vektoriaus a projekcija į l ašį yra lygi vektoriaus a modulio ir kampo j kosinuso sandaugai tarp vektoriaus ir ašies, t.y. pr l a =|a | cos j .

Išvada 5.1. Vektoriaus projekcija į ašį yra teigiama (neigiama), jei vektorius sudaro smailųjį (buką) kampą su ašimi, ir lygi nuliui, jei šis kampas yra tiesus.

Išvada 5.2. Lygių vektorių projekcijos į tą pačią ašį yra lygios viena kitai.

2 savybė. Kelių vektorių sumos projekcija į tą pačią ašį yra lygi jų projekcijų į šią ašį sumai

Savybė 3. Vektorių a padauginus iš skaičiaus A, iš šio skaičiaus dauginama ir jo projekcija į ašį, t.y.

Taigi, tiesinės operacijos su vektoriais veda į atitinkamas tiesines operacijas su šių vektorių projekcijomis.

5.4. Vektoriaus skaidymas koordinačių ašių vienetiniais vektoriais.
Vektorinis modulis. Krypties kosinusai.

Panagrinėkime stačiakampę koordinačių sistemą Oxyz erdvėje. Koordinačių ašyse Ox, Oy ir Oz parinksime vienetinius vektorius (orts), atitinkamai žymimus i, j, k (žr. 12 pav.).

Pasirinkime savavališką erdvės vektorių a ir sulygiuokime jo pradžią su koordinačių pradžia: a = OM.

Raskime vektoriaus a projekcijas į koordinačių ašis. Per vektoriaus OM galą nubrėžkime plokštumas, lygiagrečias koordinačių plokštumoms. Šių plokštumų susikirtimo taškus su ašimis pažymime atitinkamai M 1, M 2 ir M3 Gauname stačiakampį gretasienį, kurio viena iš įstrižainių yra vektorius OM. Tada pr x a=|OM 1 |, np y a = |OM 2 |, pr z a=|OM3|. Apibrėžę kelių vektorių sumą, randame a = OM 1 + M 1 N + NM.

O kadangi M 1 N=OM 2, NM = OM3, tai

a=OM 1 + OM 2 + OM 3 (5.1)

Vektoriaus a=OM projekcijas Ox, Oy ir Oz ašyse pažymėkime atitinkamai a x, a y ir a z, t.y. |OM 1 | = a x,|OM 2 | = a y, |OM 3 | = a z . Tada iš lygybių (5.1) ir (5.2) gauname

a=a x i+a y j+a z k (5.3)

Ši formulė yra pagrindinė vektorių skaičiavime ir vadinama vektoriaus skaidymu į koordinačių ašių vienetinius vektorius. Skaičiai a x, a y, a z vadinami vektoriaus a koordinatėmis, t.y. vektoriaus koordinatės yra jo projekcijos į atitinkamas koordinačių ašis.

Vektorinė lygybė (5.3) dažnai rašoma simboline forma: a = (a x ;a y ;a z).

Lygybė b = (b x; b y; b z) reiškia, kad b = b x i + b y j + b z k. Žinodami vektoriaus a projekcijas, galite lengvai rasti vektoriaus modulio išraišką. Remdamiesi teorema apie stačiakampio gretasienio įstrižainės ilgį, galime parašyti

y., vektoriaus modulis lygus jo projekcijų į koordinačių ašis kvadratų sumos kvadratinei šaknei.

Tegul vektoriaus a kampai su ašimis Ox, Oy ir Oz bus atitinkamai lygūs a, b, g. Pagal vektoriaus projekcijos į ašį savybę turime

Arba kas tas pats,

Skaičiai vadinami vektoriaus a krypties kosinusais.

Pakeitę išraiškas (5.5) į lygybę (5.4), gauname

Sumažinus gauname santykį

tai nulinio vektoriaus krypties kosinusų kvadratų suma lygi vienetui.

Nesunku pastebėti, kad vieneto vektoriaus e koordinatės yra skaičiai

Taigi, nurodę vektoriaus koordinates, visada galite nustatyti jo dydį ir kryptį, t.y. pats vektorius.

Konverguojančių jėgų pusiausvyros uždavinių sprendimas konstruojant uždarus jėgų daugiakampius apima sudėtingas konstrukcijas. Universalus tokių problemų sprendimo būdas – pereiti prie duotų jėgų projekcijų į koordinačių ašis nustatymo ir darbo su šiomis projekcijomis. Ašis yra tiesi linija, kuriai priskirta konkreti kryptis.

Vektoriaus projekcija į ašį yra skaliarinis dydis, kurį lemia ašies atkarpa, nupjauta statmenais, nuleistas į jį nuo vektoriaus pradžios ir pabaigos.

Vektorinė projekcija laikoma teigiama, jei kryptis nuo projekcijos pradžios iki jos pabaigos sutampa su teigiama ašies kryptimi. Vektorinė projekcija laikoma neigiama, jei kryptis nuo projekcijos pradžios iki jos pabaigos yra priešinga teigiamai ašies krypčiai.

Taigi jėgos projekcija į koordinačių ašį yra lygi jėgos modulio sandaugai ir kampo tarp jėgos vektoriaus ir teigiamos ašies krypties kosinuso.

Panagrinėkime keletą jėgų projektavimo į ašį atvejų:

Jėgos vektorius F(15 pav.) daro smailųjį kampą su teigiama x ašies kryptimi.

Norėdami rasti projekciją, nuo jėgos vektoriaus pradžios ir pabaigos nuleidžiame statmenis ašiai Oi; mes gauname

1. Fx = F cos α

Vektoriaus projekcija šiuo atveju yra teigiama

Jėga F(16 pav.) yra su teigiama ašies kryptimi X bukas kampas α.

Tada F x = F cos α, bet kadangi α = 180 0 - φ,

F x = F cos α = F cos180 0 - φ =- F cos φ.

Jėgos projekcija F vienai ašiai Oišiuo atveju jis yra neigiamas.

Jėga F(17 pav.) statmenai ašiai Oi.

Jėgos F projekcija į ašį X lygus nuliui

F x = F cos 90° = 0.

Lėktuve esančios jėgos kaip(18 pav.), gali būti projektuojamas ant dviejų koordinačių ašių Oi Ir OU.

Jėga F gali būti suskirstyti į komponentus: F x ir F y. Vektorinis modulis F x lygus vektoriaus projekcijai F vienai ašiai Jautis, ir vektoriaus modulis F y lygi vektoriaus projekcijai F vienai ašiai Oi.

Nuo Δ OAV: F x = F cos α, F x = F sin α.

Nuo Δ OAS: F x = F cos φ, F x = F sin φ.

Jėgos dydį galima rasti naudojant Pitagoro teoremą:

Vektorių sumos arba rezultato projekcija į bet kurią ašį yra lygi vektorių sumos projekcijų į tą pačią ašį algebrinei sumai.

Panagrinėkime konverguojančias jėgas F 1 , F 2 , F 3 ir F 4, (19 pav., a). Geometrinė šių jėgų suma arba rezultatas F nustatomas pagal jėgos daugiakampio uždarymo pusę

Nukreipkime nuo jėgos daugiakampio viršūnių į ašį x statmenai.

Atsižvelgdami į gautas jėgų projekcijas tiesiogiai iš baigtos konstrukcijos, turime

F= F 1x+ F 2x+ F 3x+ F 4x

kur n yra vektoriaus terminų skaičius. Jų projekcijos įveda į aukščiau pateiktą lygtį su atitinkamu ženklu.

Plokštumoje geometrinė jėgų suma gali būti projektuojama į dvi koordinačių ašis, o erdvėje - į tris.

Ašis yra kryptis. Tai reiškia, kad projekcija į ašį arba į nukreiptą liniją laikoma ta pačia. Projekcija gali būti algebrinė arba geometrinė. Geometrine prasme vektoriaus projekcija į ašį suprantama kaip vektorius, o algebriškai – kaip skaičius. Tai yra, vartojamos vektoriaus projekcijos į ašį ir skaitinės vektoriaus projekcijos į ašį sąvokos.

Jei turime L ašį ir nulinį vektorių A B →, tai galime sukurti vektorių A 1 B 1 ⇀, žymintį jo taškų A 1 ir B 1 projekcijas.

A 1 B → 1 bus vektoriaus A B → projekcija į L.

1 apibrėžimas

Vektoriaus projekcija į ašį yra vektorius, kurio pradžia ir pabaiga yra tam tikro vektoriaus pradžios ir pabaigos projekcijos. n p L A B → → įprasta projekciją A B → žymėti į L. Norint sukurti projekciją į L, statmenai nuleidžiami į L.

1 pavyzdys

Vektorinės projekcijos į ašį pavyzdys.

Koordinačių plokštumoje O x y nurodytas taškas M 1 (x 1, y 1). Norint pavaizduoti taško M 1 spindulio vektorių, reikia sudaryti O x ir O y projekcijas. Gauname vektorių (x 1, 0) ir (0, y 1) koordinates.

Jei kalbame apie a → projekciją į nulį b → arba a → projekciją į kryptį b → , tai turime omenyje a → projekciją į ašį, su kuria kryptis b → sutampa. A → projekcija į tiesę, apibrėžtą b →, žymima n p b → a → → . Yra žinoma, kad kai kampas tarp a → ir b → , n p b → a → → ir b → gali būti laikomas bendrakrypčiu. Tuo atveju, kai kampas yra bukas, n p b → a → → ir b → yra priešingomis kryptimis. Esant statmenai a → ir b →, o a → yra nulis, a → projekcija kryptimi b → yra nulinis vektorius.

Skaitinė vektoriaus projekcijos į ašį charakteristika yra skaitinė vektoriaus projekcija į nurodytą ašį.

2 apibrėžimas

Skaitinė vektoriaus projekcija į ašį yra skaičius, lygus duoto vektoriaus ilgio ir kampo tarp nurodyto vektoriaus ir vektoriaus, lemiančio ašies kryptį, sandaugai.

Skaitinė A B → projekcija į L žymima n p L A B → , o a → į b → - n p b → a → .

Remdamiesi formule gauname n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , iš kur a → yra vektoriaus ilgis a → , a ⇀ , b → ^ yra kampas tarp vektorių a → ir b → .

Gauname skaitinės projekcijos apskaičiavimo formulę: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Jis taikomas žinomiems ilgiams a → ir b → ir kampui tarp jų. Formulė taikoma žinomoms koordinatėms a → ir b →, tačiau yra supaprastinta forma.

2 pavyzdys

Išsiaiškinkite skaitinę a → projekciją į tiesę b → kryptimi, kurios ilgis a → lygus 8 ir kampas tarp jų yra 60 laipsnių. Pagal sąlygą turime a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. Tai reiškia, kad skaitines reikšmes pakeičiame į formulę n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Atsakymas: 4.

Kai žinomas cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , turime a → , b → kaip a → ir b → skaliarinę sandaugą. Vadovaudamiesi formule n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , galime rasti skaitinę projekciją a → nukreiptą išilgai vektoriaus b → ir gauti n p b → a → = a → , b → b → . Formulė atitinka pastraipos pradžioje pateiktą apibrėžimą.

3 apibrėžimas

Vektoriaus a → skaitinė projekcija į ašį, sutampančią su b → kryptimi, yra vektorių a → ir b → skaliarinės sandaugos santykis su ilgiu b → . Formulė n p b → a → = a → , b → b → taikoma norint rasti a → skaitinę projekciją į tiesę, kurios kryptis sutampa su b → , su žinomomis a → ir b → koordinatėmis.

3 pavyzdys

Duota b → = (- 3 , 4) . Raskite skaitmeninę projekciją a → = (1, 7) į L.

Sprendimas

Koordinačių plokštumoje n p b → a → = a → , b → b → turi formą n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , kai a → = (a x , a y ) ir b → = b x , b y . Norint rasti vektoriaus a → skaitinę projekciją į L ašį, reikia: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Atsakymas: 5.

4 pavyzdys

Raskite a → projekciją L, sutampančią su kryptimi b →, kur yra a → = - 2, 3, 1 ir b → = (3, - 2, 6). Nurodoma trimatė erdvė.

Sprendimas

Atsižvelgiant į a → = a x , a y , a z ir b → = b x , b y , b z , apskaičiuojame skaliarinę sandaugą: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Ilgis b → randamas naudojant formulę b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Iš to seka, kad skaitinės projekcijos a → nustatymo formulė bus tokia: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Pakeiskite skaitines reikšmes: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Atsakymas: - 67.

Pažvelkime į ryšį tarp a → ant L ir projekcijos a → ilgio ant L. Nubrėžkime ašį L, iš taško L pridėdami a → ir b →, po to nubrėžkime statmeną tiesę nuo galo a → iki L ir nubrėžkime projekciją į L. Yra 5 vaizdo variantai:

Pirmas atvejis su a → = n p b → a → → reiškia a → = n p b → a → → , taigi n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Antra atvejis reiškia, kad naudojamas n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , o tai reiškia n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Trečias atvejis paaiškina, kad kai n p b → a → → = 0 → gauname n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0, tada n p b → a → → = 0 ir n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Ketvirta atvejis rodo n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , seka n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Penkta atvejis rodo a → = n p b → a → → , o tai reiškia a → = n p b → a → → , todėl turime n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .

4 apibrėžimas

Vektoriaus a → skaitmeninė projekcija į L ašį, kuri nukreipta taip pat, kaip ir b →, turi tokią reikšmę:

• vektoriaus a → projekcijos į L ilgį, su sąlyga, kad kampas tarp a → ir b → yra mažesnis nei 90 laipsnių arba lygus 0: n p b → a → = n p b → a → → su sąlyga 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• nulis su sąlyga, kad a → ir b → yra statmenos: n p b → a → = 0, kai (a → , b → ^) = 90 °;
• projekcijos a → į L ilgis, padaugintas iš -1, kai yra bukas arba tiesus vektorių a → ir b → kampas: n p b → a → = - n p b → a → → su sąlyga 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

5 pavyzdys

Atsižvelgiant į projekcijos a → į L ilgį, lygų 2. Raskite skaitinę projekciją a → su sąlyga, kad kampas yra 5 π 6 radianai.

Sprendimas

Iš sąlygos aišku, kad šis kampas yra bukas: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Atsakymas: - 2.

6 pavyzdys

Duota plokštuma O x y z, kurios vektoriaus ilgis a → lygus 6 3, b → (- 2, 1, 2), kurios kampas 30 laipsnių. Raskite projekcijos a → koordinates į L ašį.

Sprendimas

Pirmiausia apskaičiuojame skaitinę vektoriaus a → projekciją: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Pagal sąlygą kampas yra smailusis, tada skaitinė projekcija a → = vektoriaus a → projekcijos ilgis: n p L a → = n p L a → → = 9. Šis atvejis rodo, kad vektoriai n p L a → → ir b → yra nukreipti kartu, o tai reiškia, kad yra skaičius t, kurio lygybė yra teisinga: n p L a → → = t · b → . Iš čia matome, kad n p L a → → = t · b → , tai reiškia, kad galime rasti parametro t reikšmę: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Tada n p L a → → = 3 · b → su vektoriaus a → projekcijos koordinatėmis į L ašį, lygią b → = (- 2 , 1 , 2) , kur reikia reikšmes padauginti iš 3. Turime n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Atsakymas: (- 6, 3, 6).

Būtina pakartoti anksčiau išmoktą informaciją apie vektorių kolineariškumo sąlygą.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Algebrinė vektoriaus projekcija bet kurioje ašyje yra lygus vektoriaus ilgio ir kampo tarp ašies ir vektoriaus kosinuso sandaugai:

Pr a b = |b|cos(a,b) arba

Kur a b yra vektorių skaliarinė sandauga, |a| - vektoriaus a modulis.

Instrukcijos. Norėdami rasti vektoriaus Pr a b projekciją internete, turite nurodyti vektorių a ir b koordinates. Šiuo atveju vektorius gali būti nurodytas plokštumoje (dvi koordinatės) ir erdvėje (trys koordinatės). Gautas sprendimas išsaugomas Word faile. Jei vektoriai nurodomi per taškų koordinates, tuomet reikia naudoti šį skaičiuotuvą.

Vektorių projekcijų klasifikacija

Projekcijų tipai pagal apibrėžimo vektorinę projekciją

1. Vektoriaus AB geometrinė projekcija į ašį (vektorių) vadinama vektoriumi A"B", kurio pradžia A' yra pradžios A projekcija į ašį (vektorių), o pabaiga B' yra projekcija galo B ant tos pačios ašies.
2. Algebrinė vektoriaus AB projekcija į ašį (vektorių) vadinama vektoriaus A"B" ilgiu, paimtu + arba - ženklu, priklausomai nuo to, ar vektoriaus A"B" kryptis yra tokia pati kaip ašies ( vektorius).

Projekcijų tipai pagal koordinačių sistemą

Vektorinės projekcijos ypatybės

1. Vektoriaus geometrinė projekcija yra vektorius (turi kryptį).
2. Algebrinė vektoriaus projekcija yra skaičius.

Vektorinės projekcijos teoremos

1 teorema. Vektorių sumos projekcija į bet kurią ašį yra lygi vektorių sumos projekcijai į tą pačią ašį.

AC" =AB" +B"C"

2 teorema. Algebrinė vektoriaus projekcija į bet kurią ašį yra lygi vektoriaus ilgio ir kampo tarp ašies ir vektoriaus kosinuso sandaugai:

Pr a b = |b|·cos(a,b)

Vektorių projekcijų tipai

1. projekcija į OX ašį.
2. projekcija į OY ašį.
3. projekcija į vektorių.

Projekcija OX ašyje	Projekcija ant OY ašies	Projekcija į vektorių
Jei vektoriaus A’B’ kryptis sutampa su OX ašies kryptimi, tai vektoriaus A’B’ projekcija turi teigiamą ženklą.	Jei vektoriaus A’B’ kryptis sutampa su OY ašies kryptimi, tai vektoriaus A’B’ projekcija turi teigiamą ženklą.	Jeigu vektoriaus A’B’ kryptis sutampa su vektoriaus NM kryptimi, tai vektoriaus A’B’ projekcija turi teigiamą ženklą.
Jeigu vektoriaus kryptis priešinga OX ašies krypčiai, tai vektoriaus A’B’ projekcija turi neigiamą ženklą.	Jei vektoriaus A’B’ kryptis yra priešinga OY ašies krypčiai, tai vektoriaus A’B’ projekcija turi neigiamą ženklą.	Jei vektoriaus A’B’ kryptis yra priešinga vektoriaus NM krypčiai, tai vektoriaus A’B’ projekcija turi neigiamą ženklą.
Jeigu vektorius AB lygiagretus OX ašiai, tai vektoriaus A’B’ projekcija lygi vektoriaus AB absoliučiai reikšmei.	Jeigu vektorius AB lygiagretus OY ašiai, tai vektoriaus A’B’ projekcija lygi vektoriaus AB absoliučiai reikšmei.	Jeigu vektorius AB lygiagretus vektoriui NM, tai vektoriaus A’B’ projekcija lygi vektoriaus AB absoliučiai reikšmei.
Jeigu vektorius AB yra statmenas ašiai OX, tai projekcija A’B’ lygi nuliui (nulinis vektorius).	Jeigu vektorius AB yra statmenas OY ašiai, tai projekcija A’B’ lygi nuliui (nulinis vektorius).	Jeigu vektorius AB yra statmenas vektoriui NM, tai projekcija A’B’ lygi nuliui (nulinis vektorius).

1. Klausimas: Ar vektoriaus projekcija gali turėti neigiamą ženklą? Atsakymas: Taip, projekcijos vektorius gali būti neigiamas. Šiuo atveju vektorius turi priešingą kryptį (žr., kaip nukreipta OX ašis ir AB vektorius)
2. Klausimas: ar vektoriaus projekcija gali sutapti su absoliučia vektoriaus verte? Atsakymas: Taip, gali. Šiuo atveju vektoriai yra lygiagretūs (arba yra toje pačioje tiesėje).
3. Klausimas: ar vektoriaus projekcija gali būti lygi nuliui (nulinis vektorius). Atsakymas: Taip, gali. Šiuo atveju vektorius yra statmenas atitinkamai ašiai (vektoriui).

1 pavyzdys. Vektorius (1 pav.) sudaro 60° kampą su OX ašimi (jis nurodomas vektoriumi a). Jei OE yra mastelio vienetas, tai |b|=4, taigi .

Iš tiesų vektoriaus ilgis (geometrinė projekcija b) lygus 2, o kryptis sutampa su OX ašies kryptimi.

2 pavyzdys. Vektorius (2 pav.) sudaro kampą (a,b) = 120 o su OX ašimi (su vektoriumi a). Ilgis |b| vektorius b lygus 4, taigi pr a b=4·cos120 o = -2.

Iš tiesų, vektoriaus ilgis yra 2, o kryptis yra priešinga ašies krypčiai.