Keyfi olarak konumlandırılmış kuvvetlerin uzaysal sisteminin dengesi için analitik koşullar. Uzaysal bir keyfi kuvvet sisteminin dengesi için koşullar (denklemler) Uzaysal bir kuvvet sisteminin dengesi için koşullar şu şekildedir:

Bir kuvvetler sistemi dengedeyse, ana vektörü ve ana momenti sıfıra eşittir:

Bu vektör eşitlikleri aşağıdaki altı skaler eşitliğe yol açar:

Bunlara uzaysal keyfi kuvvetler sisteminin denge koşulları denir.

İlk üç koşul, ana vektörün sıfıra eşitliğini, sonraki üçü ise kuvvetler sisteminin ana momentinin sıfıra eşitliğini ifade eder.

Bu denge koşulları altında, hem aktif (ayarlanmış) hem de reaksiyon bağlantıları olmak üzere tüm etki eden kuvvetler dikkate alınmalıdır. İkincisi önceden bilinmemektedir ve denge koşulları, bu bilinmeyenleri belirlemek için denklemler haline gelir - denge denklemleri.

Maksimum denklem sayısı altı olduğundan, keyfi bir uzaysal kuvvet sisteminin etkisi altındaki vücut dengesi probleminde altı bilinmeyen reaksiyon belirlenebilir. Bilinmeyenlerin artmasıyla problem statik olarak belirsiz hale gelir.

Ve bir not daha. Eğer ana vektör ve bir O merkezine göre ana moment sıfıra eşitse, o zaman başka herhangi bir merkeze göre sıfıra eşit olacaktır. Bu doğrudan indirgeme merkezinin değiştirilmesiyle ilgili malzemeden kaynaklanmaktadır (bunu kendiniz kanıtlayın). Sonuç olarak, eğer bir cismin denge koşulları bir koordinat sisteminde karşılanıyorsa, diğer herhangi bir sabit koordinat sisteminde de karşılanacaktır. Başka bir deyişle, denge denklemlerini hazırlarken koordinat eksenlerinin seçimi tamamen keyfidir.

Dikdörtgen bir plaka (Şekil 51, a), A taşıyan küresel bir O menteşesi ve BE kablosu tarafından ağırlıkça yatay konumda tutulur ve noktalar aynı dikey üzerindedir. D noktasında, plakaya OD kenarına dik ve plakanın düzlemine 45° açıyla eğimli bir kuvvet uygulanır. Kablonun gerilimini ve He A noktalarındaki mesnetlerin tepkilerini (eğer ve ise) belirleyin.

Sorunu çözmek için plakanın dengesini dikkate alıyoruz. Aktif kuvvetler P, G'ye bağlantıların reaksiyonunu ekliyoruz - küresel menteşenin reaksiyonunun bileşenleri, reaksiyon, yatak, kablonun reaksiyonu. Aynı zamanda Oxyz koordinat eksenlerine giriyoruz (Şekil 51, b). Sonuçta ortaya çıkan kuvvetler kümesinin, kuvvetlerin bilinmediği keyfi bir uzaysal sistem oluşturduğu görülebilir.

Bilinmeyenleri belirlemek için denge denklemleri oluştururuz.

Eksen üzerine kuvvetlerin izdüşümü denklemiyle başlıyoruz:

İzdüşümün tanımını açıklayalım: hesaplama iki adımda gerçekleştirilir - ilk önce T kuvvetinin düzleme izdüşümü belirlenir, ardından x eksenine (daha uygun şekilde paralel eksene) izdüşümü yapılır, şunu buluruz ( bkz. Şekil 51,b):

Bu çift tasarım yöntemi, kuvvetin etki çizgisi ile eksenin kesişmediği durumlarda kullanıma uygundur. Daha sonra makyaj yapıyoruz:

Eksen etrafındaki kuvvetlerin momentlerinin denklemi şu şekildedir:

Denklemde kuvvetlerin momentleri yoktur, çünkü bu kuvvetler ya x() ekseniyle kesişir ya da ona paraleldir. Her iki durumda da eksene göre kuvvetin momenti sıfırdır (bkz. s. 41).

Kuvvet uygun şekilde bileşenlerine ayrıştırılırsa ve Varignon teoremi kullanılırsa kuvvet momentini hesaplamak genellikle daha kolaydır. Bu durumda güç için bunu yapmak uygundur. Bunu yatay ve dikey bileşenlere ayırarak şunu yazabiliriz:

Yukarıda (6.5, durum 6) şu tespit edilmiştir:

Hesaba katıldığında, formüllerini (6.18) Kartezyen koordinat eksenlerine yansıtalım. Sahibiz Rasgele bir uzaysal kuvvet sistemi için denge denklemlerinin analitik formu:

(6.19)

Son üç denklem, kuvvet momentinin bir noktaya göre bu noktadan geçen eksene izdüşümünün kuvvetin eksene göre momentine eşit olması nedeniyle oluşur (formül (6.9)).

Çözüm keyfi uzaysal kuvvet sistemi katı bir gövdeye uygulanan, oluşturmalıyız altı denge denklemi(6.19), dolayısıyla bu denklemleri kullanarak belirleme fırsatımız var altı bilinmeyen miktar.

Davayı düşünün paralel kuvvetlerin uzaysal sistemi. Koordinat sistemini eksene göre seçiyoruz. Oz kuvvetlerin hareket çizgilerine paraleldi (Şekil 6.11).

Geriye üç denklem kalıyor:

Çözüm. Denge problemlerini çözerken paralel uzaysal kuvvet sistemi, katı bir cisme uygulanan üç denge denklemi ve bu denklemlerin yardımıyla şu fırsata sahibiz: üç bilinmeyen miktarı belirleyin.

“Statik” bölümündeki ilk derste şunları öğrendik: altı çeşit kuvvet sistemi Mühendislik hesaplamaları uygulamalarınızda karşılaşabileceğiniz. Ayrıca kuvvet çiftlerini düzenlemek için iki olasılık vardır: uzayda ve düzlemde. Kuvvetler ve kuvvet çiftleri için tüm denge denklemlerini tek bir tabloda özetleyelim (Tablo 6.2), burada son sütunda denge denklemleri sisteminin belirlememize izin vereceği bilinmeyen miktarların sayısını not ediyoruz.

Tablo 6.2 – Farklı kuvvet sistemleri için denge denklemleri

	Kuvvet sistemi türü	Denge denklemleri	Belirlenecek bilinmeyenlerin sayısı
	Yakınsak düz
	Paralel düz (eksen 0 en)	t.bir 0xy
	Keyfi düz (0xy düzleminde)	t.bir– keyfi, uçağa ait 0xy

Tablo 6.2'nin devamı

Tablo 6.2'nin devamı

6. Konuyla ilgili öz kontrol soruları

1. Bir eksene göre kuvvetin momenti nasıl bulunur?

2. Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti ile aynı kuvvetin bu noktadan geçen eksene göre momenti arasında nasıl bir ilişki vardır?

3. Hangi durumlarda kuvvetin eksene göre momenti sıfıra eşit olur? Peki ne zaman en büyüğü?

4. Hangi durumlarda kuvvetler sistemi bileşkeye indirgenir?

5. Uzaysal kuvvet sistemi hangi durumda verilmiştir:

– bir çift kuvvete;

– dinamik vidaya mı?

6. Statiğin değişmezine ne denir? Hangi statik değişmezleri biliyorsunuz?

7. Rastgele uzaysal kuvvetler sistemi için denge denklemlerini yazın.

8. Paralel uzaysal kuvvetler sisteminin dengesi için gerekli ve yeterli koşulu formüle edin.

9. Ağırlık merkezi değiştiğinde kuvvet sisteminin ana vektörü de değişir mi? Peki asıl nokta?

Konu 7. ÇİFTLİKLER. ÇABA TANIMI

O., Rasgele bir uzaysal kuvvetler sisteminin dengesi için, tüm bu kuvvetlerin keyfi olarak seçilen üç koordinat ekseninin her birine izdüşümlerinin cebirsel toplamının sıfıra eşit olması ve momentlerinin cebirsel toplamının sıfıra eşit olması gerekli ve yeterlidir. bu eksenlerin her biri de sıfıra eşittir.

Koşullar (1.33) denir analitik biçimde keyfi bir uzaysal kuvvetler sisteminin denge koşulları.

Paralel kuvvetlerin uzaysal sistemi için denge koşulları. Belirli bir kuvvetler sisteminin tüm kuvvetlerinin etki çizgileri farklı düzlemlerde bulunuyorsa ve birbirine paralel ise, o zaman böyle bir kuvvetler sistemine denir. paralel kuvvetlerin uzaysal sistemi.

Rastgele bir uzaysal kuvvetler sisteminin denge koşulları (1.33) kullanılarak, bir uzaysal paralel kuvvetler sisteminin denge koşulları bulunabilir. (Daha önce yakınsak kuvvetlerin düzlemsel ve uzaysal sistemleri, keyfi bir düzlemsel kuvvet sistemi ve paralel kuvvetlerin düzlemsel sistemi için türettiğimiz denge koşulları, keyfi bir uzaysal kuvvetler sisteminin denge koşulları (1.33) kullanılarak da elde edilebilir).

Paralel kuvvetlerden oluşan uzaysal bir sistemin katı bir cisim üzerine etki ettiğini varsayalım (Şekil 1.26). Koordinat eksenlerinin seçimi isteğe bağlı olduğundan, koordinat eksenlerini eksenin z kuvvetlere paraleldi. Koordinat eksenlerinin bu seçimiyle, her bir kuvvetin eksen üzerindeki izdüşümleri X Ve en ve eksene göre momentleri z sıfıra eşit olacaktır ve dolayısıyla eşitlikler, belirli bir kuvvetler sisteminin dengede olup olmadığına bakılmaksızın karşılanır ve bu nedenle denge koşulları olmaktan çıkar. Bu nedenle (1.33) sistemi yalnızca üç denge koşulunu verecektir:

Buradan, Paralel kuvvetlerden oluşan uzaysal bir sistemin dengesi için, tüm kuvvetlerin bu kuvvetlere paralel eksen üzerindeki izdüşümlerinin cebirsel toplamının sıfıra eşit olması ve iki koordinatın her birine göre momentlerinin cebirsel toplamının olması gerekli ve yeterlidir. bu kuvvetlere dik eksenler de sıfıra eşittir.

1. Bu problemde dengesi dikkate alınacak bir cisim (veya nokta) seçin.

2. Seçilen gövdeyi bağlardan kurtarın ve bu gövdeye (ve yalnızca bu gövdeye) etki eden tüm aktif kuvvetleri ve atılan bağların reaksiyon kuvvetlerini tasvir edin (düzenleyin). Bağlantılardan arındırılmış, kendisine bağlı aktif ve tepki kuvvetleri sistemi bulunan bir gövde ayrı olarak tasvir edilmelidir.

3. Denge denklemlerini yazın. Denge denklemlerini oluşturmak için önce koordinat eksenlerini seçmelisiniz. Bu seçim keyfi olarak yapılabilir, ancak eksenlerden biri bilinmeyen bir reaksiyon kuvvetinin etki çizgisine dik olarak yönlendirilirse ortaya çıkan denge denklemleri daha kolay çözülecektir. Ortaya çıkan denge denklemlerinin çözümü, kural olarak, genel biçimde (cebirsel olarak) sonuna kadar gerçekleştirilmelidir. Daha sonra gerekli miktarlar için bulunan sonuçların analiz edilmesine olanak tanıyan formüller elde edilecektir; Bulunan miktarların sayısal değerleri yalnızca son formüllerde ikame edilir. Denge denklemleri, yakınsak kuvvetler sisteminin dengesi ile ilgili problemleri çözmenin analitik yöntemi kullanılarak derlenir. Ancak dengesi kabul edilen yakınsak kuvvetlerin sayısı üç ise bu problemlerin çözümünde geometrik yöntemin uygulanması uygun olur. Bu durumda çözüm, tüm etkili kuvvetlerin (aktif ve reaksiyon bağları) denge denklemleri yerine, geometrik denge durumuna göre kapatılması gereken bir kuvvet üçgeninin oluşturulması (inşası) gerçeğine iner. bu üçgen belirli bir kuvvetle başlamalıdır). Kuvvet üçgenini çözerek gerekli miktarları buluruz.

Dinamik

Dinamikler bölümünü anlamak için aşağıdaki bilgileri bilmeniz gerekir. Matematikten - iki vektörün skaler çarpımı, diferansiyel denklemler. Fizikten – enerjinin ve momentumun korunumu yasaları. Salınım teorisi. Bu konuların incelenmesi tavsiye edilir.

GERİ DÖNMEK Bir noktanın (gövdenin) karmaşık hareketi– bir noktanın (gövdenin) aynı anda birden fazla harekete katıldığı bir hareket (örneğin, hareket eden bir vagon boyunca hareket eden bir yolcu). Bu durumda, sabit (ana) koordinat sistemine (O 1 x 1 y 1 z 1) göre belirli bir hareketi yapan hareketli bir koordinat sistemi (Oxyz) tanıtılır. Mutlak hareket nokta adı Sabit bir koordinat sistemine göre hareket. Bağıl hareket– hareketli koordinat sistemine göre hareket. (arabanın etrafında hareket). Taşınabilir hareket– mobil sistemin hareketi. sabit olana göre koordinatlar (arabanın hareketi). Hız toplama teoremi: , ; -orts (birim vektörler) hareketli koordinat sisteminin, ort anlık eksen etrafında döner, yani uç hızı vb., Þ: , ; – göreceli hız. ; taşıma hızı: dolayısıyla bir noktanın mutlak hızı = taşınabilir (v e) ve bağıl (v r) hızlarının geometrik toplamı, modül: . :
vesaire. İvmeyi belirleyen ifadenin terimleri: 1) – O kutbunun ivmesi; 2) 3) – noktanın bağıl ivmesi; 4) şunu elde ederiz: . İlk üç terim taşınabilir hareket halindeki bir noktanın ivmesini temsil eder: – O kutbunun ivmesi; – dönme ivmesi, – hızlanmanın hızlandırılması, ör. . İvmelerin toplanmasına ilişkin teorem (Coriolis teoremi): , Nerede – Coriolis ivmesi (Coriolis ivmesi) – öteleme dışı taşınabilir hareket durumunda, mutlak ivme = taşınabilir, bağıl ve Coriolis ivmelerinin geometrik toplamı. Coriolis ivmesi şunları karakterize eder: 1) göreceli hareketinden dolayı bir noktanın taşınabilir hızının modülünde ve yönünde bir değişiklik; 2) dönme öteleme hareketinden dolayı bir noktanın bağıl hızının yönündeki değişiklik. Coriolis ivme modülü: а с = 2×|w e ×v r |×sin(w e ^ v r), vektörün yönü vektör çarpımı kuralıyla veya Zhukovsky kuralıyla belirlenir: bağıl hızın bir düzleme izdüşümü taşınabilir açısal hıza dik olarak dönme yönünde 90 o döndürülmelidir. Coriolis ac. = 0 üç durumda: 1) w e =0, yani. öteleme taşınabilir hareketi durumunda veya açının dönme anında. 0'da hız; 2) v r =0; 3) sin(w e ^ v r)=0, yani. Ð(w e ^ v r)=0, bağıl hız v r öteleme dönüş eksenine paralel olduğunda. Tek düzlemde hareket durumunda v r ile w e = 90 o, sin90 o =1 ve c =2×w e ×v r vektörü arasındaki açı. Karmaşık katı cisim hareketi İki öteleme hareketi toplandığında ortaya çıkan hareket de ötelemedir ve ortaya çıkan hareketin hızı, bileşen hareketlerinin hızlarının toplamına eşittir. TV rotasyonlarının eklenmesi. Kesişen eksenler etrafındaki cisimler. Uzaydaki konumu zamanla değişen dönme eksenine denir. Vücudun anlık dönme ekseni. Açısal hız vektörü, anlık dönme ekseni boyunca yönlendirilen kayan bir vektördür. Bir cismin mutlak açısal hızı = bileşenlerin dönme hızlarının geometrik toplamı - açısal hızların paralelkenar kuralı. . Eğer bir cisim aynı anda bir noktada kesişen birden fazla eksen etrafında anlık dönüşlere katılıyorsa, o zaman . Noktalarından biri tüm hareket boyunca hareketsiz kalan katı bir cismin küresel hareketi durumunda, küresel hareket denklemlerine sahibiz: Y=f 1 (t); q=f2(t); j=f3(t). Y – devinim açısı, q – nutasyon açısı, j – uygun dönme açısı – Euler açıları. Açısal devinim hızı, ang. nutasyon hızı, ark. Sk. kendi rotasyonu. , cismin anlık eksen etrafındaki açısal hızının modülüdür. Sabit koordinat eksenlerine izdüşümler aracılığıyla: – Euler kinematik denklemleri. 2 paralel eksen etrafındaki dönüşlerin eklenmesi. 1) Döndürmeler bir yöne yönlendirilir. w=w 2 +w 1 , C anlık hızların merkezidir ve anlık dönme ekseni buradan geçer, , . 2) Döndürmeler farklı yönlere yönlendirilir. , w=w 2 -w 1 S – anında. merkez sk. ve anında dönme ekseni, . || eksenleri etrafında dönerken, açısal hız vektörleri paralel kuvvet vektörleriyle aynı şekilde toplanır. 3) Birkaç dönüş– ||-th eksenleri etrafındaki dönüşler farklı yönlere yönlendirilir ve açısal hızlar büyüklük olarak eşittir ( – bir çift açısal hız). Bu durumda, v A =v B, vücudun sonuçta ortaya çıkan hareketi, v=w 1 ×AB hızıyla öteleme (veya anlık öteleme) hareketidir - bir çift açısal hızın momenti (bisiklet pedalının göreceli öteleme hareketi) çerçeveye). Ani hızların merkezi sonsuzdadır. Öteleme ve dönme hareketlerinin eklenmesi. 1) Dönme eksenine öteleme hızı ^ - düzlemsel paralel hareket - Рр ekseni etrafında w=w" açısal hızıyla anlık dönüş. 2) Vida hareketi– Cismin hareketi Aa ekseni etrafında sk açısıyla dönme hareketinden oluşur. w ve v||Aa hızıyla öteleme. Eksen Aa vidanın eksenidir. Eğer v ve w aynı yönde ise vida sağ yönlüdür, farklı yönlerde ise sol yönlüdür. Vida ekseni üzerinde bulunan gövdenin herhangi bir noktasının bir dönüş sırasında kat ettiği mesafeye denir. pervane adımı – h. Eğer v ve w sabitse, o zaman h= =sabit; sabit adımla, vida ekseni üzerinde yer almayan herhangi bir (×)M sarmal bir çizgiyi tanımlar. sarmala teğetsel olarak yönlendirilir. 3) Öteleme hareketinin hızı, dönme ekseni ile keyfi bir açı oluşturur, bu durumda hareketin, sürekli değişen vida eksenleri etrafındaki bir dizi anlık vida hareketinden - anlık vida hareketinden - oluştuğu düşünülebilir.

HAKKINDAR= 0 ve M R x = R y = R z = 0 ve M x = M y = M

Rasgele bir uzaysal kuvvet sistemi için denge koşulları.

Düz bir sistem gibi keyfi bir uzaysal kuvvet sistemi bir merkeze getirilebilir. HAKKINDA ve onu bir bileşke kuvvet ve bir çift an ile değiştirin. Bu kuvvetler sisteminin dengesi için aynı zamanda gerekli ve yeterli olacak şekilde akıl yürütmek R= 0 ve M o = 0. Ancak u vektörleri yalnızca koordinat eksenleri üzerindeki tüm izdüşümleri sıfıra eşit olduğunda yok olabilir; R x = R y = R z = 0 ve M x = M y = M z = 0 veya etki eden kuvvetler koşulları sağladığında

Bu nedenle, keyfi bir uzaysal kuvvetler sisteminin dengesi için, tüm kuvvetlerin üç koordinat ekseninin her birine izdüşümü toplamının ve bu eksenlere göre momentlerinin toplamının sıfıra eşit olması gerekli ve yeterlidir.

Uzaysal kuvvetler sisteminin etkisi altında vücut dengesi problemlerini çözme ilkeleri.

Bu bölümdeki problemlerin çözümüne yönelik prensip, düzlemsel kuvvet sistemiyle aynı kalır. Hangi cismin dikkate alınacağının dengesini kurduktan sonra, cisme dayatılan bağlantıları kendi tepkileriyle değiştirirler ve bu cismin serbest olduğunu düşünerek dengesinin koşullarını çizerler. Ortaya çıkan denklemlerden gerekli miktarlar belirlenir.

Daha basit denklem sistemleri elde etmek için, eksenlerin daha bilinmeyen kuvvetlerle kesişecek veya onlara dik olacak şekilde çizilmesi önerilir (bu, diğer kuvvetlerin projeksiyonlarının ve momentlerinin hesaplamalarını gereksiz yere karmaşıklaştırmadığı sürece).

Denklemlerin oluşturulmasındaki yeni bir unsur, kuvvetlerin koordinat eksenlerine göre momentlerinin hesaplanmasıdır.

Genel çizimden belirli bir kuvvetin momentinin herhangi bir eksene göre ne olduğunu görmenin zor olduğu durumlarda, söz konusu cismin (kuvvetle birlikte) bir düzlem üzerindeki izdüşümünün yardımcı bir çizimde gösterilmesi önerilir. bu eksene dik.

Anı hesaplarken, kuvvetin karşılık gelen düzleme veya bu çıkıntının koluna izdüşümünü belirlemede zorlukların ortaya çıktığı durumlarda, kuvvetin karşılıklı olarak dik iki bileşene (bunlardan biri bazı koordinatlara paralel) ayrıştırılması önerilir. ekseni) ve ardından Varignon teoremini kullanın.

Örnek 5.

Çerçeve AB(Şek. 45) bir menteşe ile dengede tutulur A ve çubuk Güneş. Çerçevenin kenarında bir yük tartımı var R. Menteşenin tepkilerini ve çubuğa gelen kuvveti belirleyelim.

Şekil 45

Yükle birlikte çerçevenin dengesini de dikkate alıyoruz.

Çerçeveyi serbest bir cisim olarak gösteren ve ona etki eden tüm kuvvetleri gösteren bir hesaplama şeması oluşturuyoruz: bağlantıların reaksiyonu ve yükün ağırlığı R. Bu kuvvetler düzlem üzerinde keyfi olarak konumlandırılmış bir kuvvetler sistemi oluşturur.

Her biri bir bilinmeyen kuvvet içerecek şekilde denklemler oluşturulması tavsiye edilir.

Bizim problemimizde asıl nokta bu A bilinmeyenlerin ve eklendiği yer; nokta İLE Bilinmeyen kuvvetlerin etki hatlarının kesiştiği yer; nokta D– kuvvetlerin etki çizgilerinin kesişme noktası ve. Kuvvetlerin eksene izdüşümü için bir denklem oluşturalım en(eksen başına X tasarlamak imkansızdır çünkü çizgiye diktir AC).

Denklemleri oluşturmadan önce bir yararlı açıklama daha yapalım. Tasarım diyagramında, kolunun yerinin belirlenmesi kolay olmayacak şekilde yerleştirilmiş bir kuvvet varsa, o zaman momenti belirlerken, önce bu kuvvetin vektörünün daha uygun şekilde yönlendirilmiş iki vektöre ayrıştırılması önerilir. Bu problemde kuvveti ikiye ayıracağız: u (Şekil 37), öyle ki modülleri

Denklemleri oluşturalım:

Bulduğumuz ikinci denklemden . Üçüncüden Ve ilk andan itibaren

Peki nasıl oldu S<0, то стержень Güneş sıkıştırılacaktır.