Eksenlerin paralel ötelenmesi sırasında eylemsizlik momentlerindeki değişiklikler. Eksenlerin paralel ötelenmesi sırasında bir kesitin eylemsizlik momentlerinin belirlenmesi Eksenlerin paralel ötelenmesi üzerine Steiner-Huygens teoremi

Çoğu zaman, pratik problemleri çözerken, bir bölümün kendi düzleminde farklı yönlerde yönlendirilmiş eksenlere göre atalet momentlerini belirlemek gerekir. Bu durumda, teknik literatürde, özel referans kitaplarında ve tablolarda verilen tüm bölümün (veya bireysel kurucu parçalarının) diğer eksenlere göre atalet momentlerinin halihazırda bilinen değerlerinin kullanılması uygundur. mevcut formüller kullanılarak hesaplandığı gibidir. Bu nedenle aynı kesitin farklı eksenlere göre atalet momentleri arasındaki ilişkilerin kurulması çok önemlidir.

En genel durumda, herhangi bir eski koordinat sisteminden herhangi bir yeni koordinat sistemine geçiş, eski koordinat sisteminin birbirini takip eden iki dönüşümü olarak düşünülebilir:

1) Koordinat eksenlerinin yeni bir konuma paralel aktarılmasıyla ve

2) onları yeni orijine göre döndürerek. Bu dönüşümlerden ilkini, yani koordinat eksenlerinin paralel ötelenmesini ele alalım.

Belirli bir bölümün eski eksenlere göre atalet momentlerinin bilindiğini varsayalım (Şekil 18.5).

Eksenleri öncekilere paralel olan yeni bir koordinat sistemini ele alalım. Eski koordinat sisteminde a ve b noktanın koordinatlarını (yani yeni orijini) gösterelim.

Temel bir platform düşünelim, eski koordinat sistemindeki koordinatları y ve . Yeni sistemde eşitler

Bu koordinat değerlerini eksene göre eksenel atalet momentinin ifadesine koyalım

Ortaya çıkan ifadede kesitin eksene göre statik momenti olan eylemsizlik momenti kesitin F alanına eşittir.

Buradan,

Z ekseni kesitin ağırlık merkezinden geçerse statik moment ve

Formül (25.5)'ten, ağırlık merkezinden geçmeyen herhangi bir eksene göre atalet momentinin, ağırlık merkezinden geçen eksene göre atalet momentinden her zaman pozitif bir miktarda daha büyük olduğu açıktır. Sonuç olarak, paralel eksenlere göre tüm atalet momentleri arasında eksenel atalet momenti, bölümün ağırlık merkezinden geçen eksene göre en küçük değere sahiptir.

Eksene göre eylemsizlik momenti [formül (24.5)'e benzetilerek]

Y ekseninin kesitin ağırlık merkezinden geçtiği özel durumda

Formüller (25.5) ve (27.5), karmaşık (kompozit) bölümlerin eksenel atalet momentlerinin hesaplanmasında yaygın olarak kullanılır.

Şimdi değerleri eksenlere göre merkezkaç atalet momentinin ifadesinde yerine koyalım

2. Kesit alanının eksenlere göre statik momentleri Oz Ve Ah(cm3, m3):

4. Bölümün eksenlere göre merkezkaç atalet momenti Oz Ve Oy(cm4, m4):

O zamandan beri

eksenel J z Ve Jy ve kutupsal Jİkinci kuvvetin koordinatları integral işaretinin altında olduğundan p eylemsizlik momenti her zaman pozitiftir. Statik anlar S z Ve Evet ve merkezkaç atalet momenti J zy hem olumlu hem de olumsuz olabilir.

Açılar için haddelenmiş çelik aralığı, modülo merkezkaç momentlerinin değerlerini verir. Değerleri, işaret dikkate alınarak hesaplamaya girilmelidir.

Köşenin merkezkaç momentinin işaretini belirlemek için (Şekil 3.2), bunu zihinsel olarak koordinat sisteminin çeyreğinde bulunan bölümün parçaları için ayrı ayrı hesaplanan üç integralin toplamı olarak hayal ederiz. Açıkçası, birinci ve üçüncü çeyrekte yer alan parçalar için bu integralin pozitif bir değerine sahip olacağız, çünkü çarpım zydA pozitif, II ve IV çeyreklerde yer alan parçalar için hesaplanan integraller negatif olacaktır (çarpım) zydA negatif olacaktır). Böylece, Şekil 2'deki köşe için. 3.2 ve merkezkaç atalet momentinin değeri negatif olacaktır.

En az bir simetri eksenine sahip bir kesit için benzer şekilde akıl yürüterek (Şekil 3.2,b), şu sonuca varabiliriz: Eksenlerden birinin (Oz veya Oy) kesitin simetri ekseni olması durumunda Jzy merkezkaç atalet momenti sıfıra eşittir. Gerçekten de, üçgenin 1. ve 2. çeyreğinde yer alan kısımları için merkezkaç atalet momentleri yalnızca işaret bakımından farklılık gösterecektir. Aynı şey III ve IV. çeyrekte yer alan kısımlar için de söylenebilir.

Statik anlar. Ağırlık merkezinin belirlenmesi

Eksenlere göre statik momentleri hesaplayalım Oz Ve AhŞekil 2'de gösterilen dikdörtgen. 3.3.

Şekil 3.3. Statik momentlerin hesaplanmasına doğru

Burada: A- kesit alanı, y C Ve z C– ağırlık merkezinin koordinatları. Dikdörtgenin ağırlık merkezi köşegenlerin kesişim noktasındadır.

Statik momentlerin hesaplandığı eksenler şeklin ağırlık merkezinden geçiyorsa koordinatlarının sıfıra eşit olacağı açıktır ( z C = 0, y C= 0) ve formül (3.6)'ya göre statik momentler de sıfıra eşit olacaktır. Böylece, bir kesitin ağırlık merkezi şu özelliğe sahip bir noktadır: içinden geçen herhangi bir eksene göre statik moment,sıfıra eşit.

Formüller (3.6) ağırlık merkezinin koordinatlarını bulmamızı sağlar z C Ve y C karmaşık şekilli bölümler. Bölüm formda temsil edilebiliyorsa N Ağırlık merkezlerinin alanları ve konumları bilinen parçalar, daha sonra tüm bölümün ağırlık merkezinin koordinatlarının hesaplanması şu şekilde yazılabilir:

.

(3.7)

Eksenlerin paralel ötelenmesi sırasında atalet momentlerinin değiştirilmesi

Atalet momentleri bilinsin J z, Jy Ve J zy eksenlere göre Oyz. Atalet momentlerinin belirlenmesi gereklidir JZ, JY Ve JZY eksenlere göre Ö 1 YZ, eksenlere paralel Oyz(Şekil 3.4) ve onlardan belli bir mesafede ayrılmış A(yatay olarak) ve B(dikey olarak)

Şekil 3.4. Eksenlerin paralel ötelenmesi sırasında atalet momentlerinin değiştirilmesi

İlköğretim alanının koordinatları dA birbirleriyle aşağıdaki eşitliklerle ilişkilidir: Z = z + A; e = sen + B.

Atalet momentlerini hesaplayalım JZ, JY Ve JZY.

(3.8)

(3.9)

(3.10)

Eğer nokta Ö eksen kesişmeleri Oyz noktaya denk geliyor İLE– kesitin ağırlık merkezi (Şekil 3.5) statik momentleri S z Ve Evet sıfıra eşit olur ve formüller basitleştirilirY i ve Z ben işaretleri dikkate alınarak yapılmalıdır. Koordinat işaretleri eksenel atalet momentlerini etkilemeyecektir (koordinatlar ikinci kuvvete yükseltilir), ancak koordinat işareti merkezkaç atalet momenti üzerinde önemli bir etkiye sahip olacaktır (çarpım) Z i Y i A i olumsuz sonuçlanabilir).

Eksenler merkezi ise moment eksenleri şöyle görünecektir:

15.Arasındaki bağımlılık eksenleri döndürürken atalet momentleri:

J x 1 =J x cos 2 a + J y sin 2 a - J xy sin2a; J y 1 =J y cos 2 a + J x sin 2 a + J xy sin2a;

J x 1 y1 = (J x - J y)sin2a + J xy cos2a ;

Eski koordinat sisteminden yenisine geçiş saat yönünün tersine gerçekleşirse açı a>0. J y 1 + J x 1 = J y + J x

Atalet momentlerinin aşırı (maksimum ve minimum) değerlerine denir ana atalet momentleri. Eksenel atalet momentlerinin aşırı değerlere sahip olduğu eksenlere denir ana atalet eksenleri. Ataletin ana eksenleri karşılıklı olarak diktir. Ana eksenlere göre merkezkaç atalet momentleri = 0, yani. ana atalet eksenleri - merkezkaç atalet momentinin = 0 olduğu eksenler. Eksenlerden biri çakışırsa veya her ikisi de simetri ekseniyle çakışırsa, bunlar ana eksenlerdir. Ana eksenlerin konumunu tanımlayan açı: 0 >0 Þ ise eksenler saat yönünün tersine döner. Maksimum eksen, eylemsizlik momentinin daha büyük olduğu eksenlere göre her zaman daha küçük bir açı yapar. Ağırlık merkezinden geçen ana eksenlere ne ad verilir? ataletin ana merkezi eksenleri. Bu eksenlere göre eylemsizlik momentleri:

J maks + J min = J x + J y . Ataletin ana merkezi eksenlerine göre merkezkaç atalet momenti 0'a eşittir. Ana atalet momentleri biliniyorsa, döndürülmüş eksenlere geçiş formülleri şöyledir:

J x 1 =J maksimum cos 2 a + J min sin 2 a; J y 1 =J maksimum cos 2 a + J min sin 2 a; J x 1 y1 = (Jmaks - Jmin)sin2a;

Kesitin geometrik özelliklerini hesaplamanın nihai amacı, ana merkezi atalet momentlerini ve ana merkezi atalet eksenlerinin konumunu belirlemektir. Atalet yarıçapı - ; J x =F×i x 2 , J y =F×i y 2 .

Eğer J x ve J y ana atalet momentleri ise, o zaman i x ve i y - ana atalet yarıçapı. Yarı eksenlerde olduğu gibi ana eylemsizlik yarıçapları üzerine inşa edilen bir elips denir. eylemsizlik elipsi. Atalet elipsini kullanarak, herhangi bir x 1 ekseni için atalet yarıçapını i x 1 grafiksel olarak bulabilirsiniz. Bunu yapmak için elipse x1 eksenine paralel bir teğet çizmeniz ve bu eksenden teğete olan mesafeyi ölçmeniz gerekir. Atalet yarıçapını bildiğinizde, kesitin x eksenine göre atalet momentini 1: bulabilirsiniz. İkiden fazla simetri eksenine sahip kesitler için (örneğin: daire, kare, halka vb.), tüm merkezi eksenlere göre eksenel atalet momentleri birbirine eşittir, J xy = 0, atalet elipsi a'ya dönüşür. eylemsizlik çemberi.

Verilenler: şeklin z, y eksenlerine göre eylemsizlik momentleri; bunlar ile paralel eksenler arasındaki mesafeler z 1, y 1 – a, b.

Belirleyin: z 1, y 1 eksenlerine göre atalet momentleri (Şekil 4.7).

Yeni sistem z 1 Oy 1'deki herhangi bir noktanın koordinatları, eski sistemdeki koordinatlarla şu şekilde ifade edilebilir:

z 1 = z + b, y 1 = y + a.

Bu değerleri (4.6) ve (4.8) formüllerinde yerine koyuyoruz ve terimi terime entegre ediyoruz:

Formül (4.1) ve (4.6)'ya uygun olarak şunu elde ederiz:

,

, (4.13)

zCy ekseninin başlangıç ​​verileri merkezi ise, o zaman statik momentler S z ve

S y sıfıra eşittir ve formül (4.13) basitleştirilmiştir:

,

, (4.14)

.

Örnek: Tabandan geçen z 1 eksenine göre dikdörtgenin eksenel atalet momentini belirleyin (Şekil 4.6, a). Formül (4.14)'e göre

4.4. Eksenleri döndürürken atalet momentleri arasındaki bağımlılık

Verilenler: z, y koordinat eksenlerine göre rastgele bir şeklin eylemsizlik momentleri; bu eksenlerin dönme açısı α (Şekil 4.8). Saat yönünün tersine dönüş açısının pozitif olduğunu düşünüyoruz.

Belirleyin: şeklin z 1, y 1'e göre eylemsizlik momentleri.

Yeni eksenlerdeki rastgele bir temel alan dF'nin koordinatları, önceki eksen sisteminin koordinatları aracılığıyla aşağıdaki şekilde ifade edilir:

z 1 = OB = OE + EB = OE + DC = zcos α + ysin α,

y 1 = AB = AC – BC = AC – ED = ycos α – zsin α.

Bu değerleri (4.6) ve (4.8)'de yerine koyalım ve terim terim integralini alalım:

,

,

(4.6) ve (4.8) formüllerini hesaba katarsak sonunda şunu buluruz:

. (4.16)

(4.15) formüllerini topladığımızda şunu elde ederiz: (4.17)

Böylece, eksenler döndüğünde eksenel atalet momentlerinin toplamı sabit kalır. Bu durumda her biri formüllere (4.15) göre değişir. Eksenlerin bazı konumlarında eylemsizlik momentlerinin aşırı değerlere sahip olacağı açıktır: bunlardan biri en büyüğü, diğeri ise en küçüğü olacaktır.

4.5. Asal eksenler ve asal atalet momentleri

Merkezkaç atalet momenti sıfır olan ana merkezi eksenler, pratik açıdan en büyük öneme sahiptir. Bu tür eksenleri u, υ harfleriyle göstereceğiz. Sonuç olarak, J uυ = 0. Başlangıçtaki keyfi koordinat sistemi z, y, merkezkaç atalet momentinin sıfıra eşit olacağı şekilde bir α 0 açısı kadar döndürülmelidir. (4.16)’yı sıfıra eşitlersek şunu elde ederiz:

. (4.18)

Atalet momentleri teorisi ve düzlem gerilme durumu teorisinin aynı matematiksel aygıt tarafından tanımlandığı ortaya çıktı, çünkü (4.15) – (4.18) formülleri (3.10), (3.11) ve (3.18) formülleriyle aynıdır. Sadece normal gerilimler yerine σ eksenel atalet momentleri J z ve J y kaydedilir ve teğetsel gerilimler yerine τ zy - merkezkaç atalet momenti J zy kaydedilir. Bu nedenle, ana eksenel atalet momentleri için türetme olmaksızın formülleri (3.18) formüllerine benzeterek sunuyoruz:

.(4.19)

(4.18)'den elde edilen α 0 açısının iki değeri birbirinden 90 0 farklılık gösterir, bu açılardan küçük olanı mutlak değer olarak 45 0'ı geçmez.

Atalet yarıçapı ve direnç momenti

Bir şeklin herhangi bir eksene göre atalet momenti, şeklin alanının belirli bir miktarın karesi ile çarpımı olarak temsil edilebilir. dönme yarıçapı:

, (4.20)

burada i z, z eksenine göre dönme yarıçapıdır.

İfadeden (4.20) şu sonuç çıkar:

,
. (4.21)

Ataletin ana merkezi eksenleri, ataletin ana yarıçaplarına karşılık gelir

,
. (4.22)

Ana atalet yarıçapını bilerek, isteğe bağlı bir eksene göre atalet yarıçapını (ve dolayısıyla atalet momentini) grafiksel olarak bulabilirsiniz.

Çubuğun burulma ve bükülme sırasındaki mukavemetini karakterize eden başka bir geometrik özelliği ele alalım - direniş anı. Direnç momenti, atalet momentinin eksenden (veya direkten) kesitin en uzak noktasına kadar olan mesafeye bölünmesine eşittir. Direnç momentinin boyutu uzunluğun küpü (cm3) birimidir.

Bir dikdörtgen için (Şekil 4.6, a)
,
dolayısıyla eksenel direnç momentleri

,
. (4.23)

Bir daire için
(Şekil 4.6, b),
, dolayısıyla direncin kutupsal momenti

. (4.24)

Bir daire için
,
dolayısıyla eksenel direnç momenti

. (4.25)

Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi O xy'yi tanıtalım. Koordinat düzleminde alanı A olan rastgele bir kesiti (kapalı alan) ele alalım (Şekil 1).

Statik anlar

Koordinatları olan C noktası (x C , y C)

isminde bölümün ağırlık merkezi.

Koordinat eksenleri bölümün ağırlık merkezinden geçiyorsa bölümün statik momentleri sıfıra eşittir:

Eksenel atalet momentleri x ve y eksenlerine göre bölümlere formun integralleri denir:

Kutupsal eylemsizlik momenti Koordinatların kökenine göre bölüme formun integrali denir:

Merkezkaç atalet momenti bölüme formun integrali denir:

Bölümün ana atalet eksenleri I xy = 0'a göre karşılıklı olarak dik iki eksen denir. Karşılıklı dik eksenlerden biri bölümün simetri ekseni ise, o zaman I xy =0 ve dolayısıyla bu eksenler ana eksenlerdir. Kesitin ağırlık merkezinden geçen ana eksenlere denir. bölümün ana merkezi atalet eksenleri

2. Eksenlerin paralel ötelenmesine ilişkin Steiner-Huygens teoremi

Steiner-Huygens teoremi (Steiner teoremi).
Bölüm I'in isteğe bağlı bir sabit eksen x'e göre eksenel atalet momenti, bölümün kütle merkezinden geçen göreceli eksen x * ona paralel olan bu bölüm I'in eksenel atalet momentinin toplamına eşittir, ve A kesit alanının iki eksen arasındaki d mesafesinin karesiyle çarpımı.

X ve y eksenlerine göre atalet momentleri I x ve I y biliniyorsa, o zaman bir α açısıyla döndürülen ν ve u eksenlerine göre eksenel ve merkezkaç atalet momentleri aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

Yukarıdaki formüllerden açıkça görülmektedir ki

Onlar. Karşılıklı olarak dik eksenleri döndürürken eksenel atalet momentlerinin toplamı değişmez, yani bölümün merkezkaç atalet momentinin sıfır olduğu ve I u ve I v eksenel atalet momentlerinin aşırı olduğu u ve v eksenleri max veya min değerlerine bölümün ana eksenleri denir. Kesitin ağırlık merkezinden geçen ana eksenlere denir. bölümün ana merkezi eksenleri. Simetrik kesitler için simetri eksenleri her zaman ana merkezi eksenlerdir. Bölümün ana eksenlerinin diğer eksenlere göre konumu aşağıdaki ilişki kullanılarak belirlenir:

burada α 0, x ve y eksenlerinin ana eksenler haline gelmesi için döndürülmesi gereken açıdır (pozitif bir açı genellikle saat yönünün tersine, negatif bir açı ise saat yönünde ayarlanır). Asal eksenlere göre eksenel atalet momentlerine denir ana atalet momentleri:

İkinci terimin önündeki artı işareti maksimum atalet momentini, eksi işareti ise minimumu ifade eder.