Doğrusal bağımlılık. Vektör sisteminin temeli

Geometride bir vektör, yönlendirilmiş bir parça olarak anlaşılır ve paralel öteleme yoluyla birbirlerinden elde edilen vektörler eşit kabul edilir. Tüm eşit vektörler aynı vektör olarak kabul edilir. Vektörün orijini uzayda veya düzlemde herhangi bir noktaya yerleştirilebilir.

Vektörün uçlarının koordinatları uzayda verilirse: A(X 1 , sen 1 , z 1), B(X 2 , sen 2 , z 2), sonra

= (X 2 – X 1 , sen 2 – sen 1 , z 2 – z 1). (1)

Benzer bir formül uçakta da geçerlidir. Bu, vektörün bir koordinat çizgisi olarak yazılabildiği anlamına gelir. Dizeler üzerinde bir sayıyla toplama ve çarpma gibi vektörler üzerindeki işlemler bileşen bazında gerçekleştirilir. Bu, vektör kavramını herhangi bir sayı dizisi olarak anlayarak vektör kavramını genişletmeyi mümkün kılar. Örneğin, bir doğrusal denklem sisteminin çözümü ve sistem değişkenlerinin herhangi bir değer kümesi bir vektör olarak görülebilir.

Aynı uzunluktaki dizilerde toplama işlemi kurala göre gerçekleştirilir.

(a 1, a 2,…, a N) + (b 1 , b 2 , … , b N) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a N+ b N). (2)

Bir dizeyi bir sayıyla çarpmak kurala uyar

l(a 1 , a 2 , … , a N) = (la 1 , la 2 , … , la N). (3)

Belirli bir uzunluktaki satır vektörleri kümesi N Belirtilen vektörlerin eklenmesi ve bir sayı ile çarpılması işlemleriyle, adı verilen cebirsel bir yapı oluşturulur. n boyutlu doğrusal uzay.

Vektörlerin doğrusal birleşimi bir vektördür , burada λ 1 , ... , λ M– keyfi katsayılar.

Bir vektörler sistemi, sıfırdan farklı en az bir katsayıya sahip olan ve eşit bir doğrusal kombinasyonu varsa doğrusal bağımlı olarak adlandırılır.

Herhangi bir doğrusal kombinasyonda tüm katsayılar sıfır ise, bir vektörler sistemine doğrusal bağımsız denir.

Böylece, bir vektör sisteminin doğrusal bağımlılığı sorununu çözmek, denklemin çözümüne indirgenir.

X 1 + X 2 + … + xm = . (4)

Bu denklemin sıfırdan farklı çözümleri varsa, vektörler sistemi doğrusal olarak bağımlıdır. Sıfır çözüm tek ise, o zaman vektörler sistemi doğrusal olarak bağımsızdır.

Sistem (4)'ü çözmek için, açıklık amacıyla, vektörler satırlar halinde değil sütunlar halinde yazılabilir.

Daha sonra sol tarafta dönüşümler gerçekleştirerek denklem (4)'e eşdeğer bir doğrusal denklem sistemine ulaşırız. Bu sistemin ana matrisi, orijinal vektörlerin sütunlar halinde düzenlenmiş koordinatlarından oluşur. Sistem homojen olduğundan burada serbest üyelerden oluşan bir sütuna ihtiyaç yoktur.

Temel vektör sistemi (sonlu veya sonsuz, özellikle tüm doğrusal uzay), sistemin herhangi bir vektörünün ifade edilebildiği, boş olmayan, doğrusal olarak bağımsız bir alt sistemidir.

Örnek 1.5.2. Vektör sisteminin temelini bulun = (1, 2, 2, 4), = (2, 3, 5, 1), = (3, 4, 8, –2), = (2, 5, 0, 3) ve kalan vektörleri taban üzerinden ifade edin.

Çözüm. Bu vektörlerin koordinatlarının sütunlar halinde düzenlendiği bir matris oluşturuyoruz. Bu sistemin matrisidir X 1 + X 2 + X 3 + X 4 =. . Matrisi adım adım forma indirgeriz:

~ ~ ~

Bu vektör sisteminin temeli, dairelerle vurgulanan satırların önde gelen elemanlarının karşılık geldiği vektörler tarafından oluşturulur. Vektörü ifade etmek için denklemi çözeriz X 1 + X 2 + X 4 = . Serbest terimler sütunu yerine karşılık gelen sütunun yeniden düzenlenmesiyle matrisi orijinalden elde edilen bir doğrusal denklem sistemine indirgenir. Bu nedenle basamaklı forma indirgendiğinde matris üzerinde yukarıdaki dönüşümlerin aynısı yapılacaktır. Bu, ortaya çıkan matrisi, içindeki sütunların gerekli yeniden düzenlemelerini yaparak adım adım formda kullanabileceğiniz anlamına gelir: daire içeren sütunları dikey çubuğun soluna yerleştiririz ve vektöre karşılık gelen sütun sağa yerleştirilir. bardan.

Sürekli olarak şunu buluyoruz:

X 4 = 0;

X 2 = 2;

X 1 + 4 = 3, X 1 = –1;

Yorum. Birkaç vektörü temel olarak ifade etmek gerekiyorsa, her biri için karşılık gelen bir doğrusal denklem sistemi oluşturulur. Bu sistemler yalnızca ücretsiz üyelerin sütunlarında farklılık gösterecektir. Üstelik her sistem diğerlerinden bağımsız olarak çözülür.

Alıştırma 1.4. Vektör sisteminin tabanını bulun ve kalan vektörleri bu temele göre ifade edin:

a) = (1, 3, 2, 0), = (3, 4, 2, 1), = (1, –2, –2, 1), = (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3), = (1, 2, 2, 3), = (3, –1, 2, 2), = (4, –2, 2, 2);

c) = (1, 2, 3), = (2, 4, 3), = (3, 6, 6), = (4, –2, 1); = (2, –6, –2).

Belirli bir vektör sisteminde, bir baz genellikle farklı yollarla tanımlanabilir, ancak tüm bazlar aynı sayıda vektöre sahip olacaktır. Doğrusal bir uzayın tabanındaki vektörlerin sayısına uzayın boyutu denir. İçin N boyutlu doğrusal uzay N– bu uzayın boyutudur, çünkü bu uzayın standart bir tabanı vardır = (1, 0, ... , 0), = (0, 1, ... , 0), ... , = (0, 0) , ... , 1). Bu temelde herhangi bir vektör = (a 1 , a 2 , … , a N) aşağıdaki gibi ifade edilir:

= (a 1 , 0, … , 0) + (0, a 2 , … , 0) + … + (0, 0, … , a N) =

A 1 (1, 0, … , 0) + a 2 (0, 1, … , 0) + … + a N(0, 0, … ,1) = a 1 + a 2 +… + a N .

Böylece vektörün satırındaki bileşenler = (a 1 , a 2 , … , a N) standart esasa göre genişlemedeki katsayılarıdır.

Düzlemde düz çizgiler

Analitik geometrinin görevi koordinat yönteminin geometrik problemlere uygulanmasıdır. Böylece problem cebirsel forma dönüştürülür ve cebir kullanılarak çözülür.

Formun ifadesi isminde vektörlerin doğrusal kombinasyonu A 1 , A 2 ,...,A n ihtimalli λ1, λ2,...,λn.

Bir vektör sisteminin doğrusal bağımlılığının belirlenmesi

Vektör sistemi A 1 , A 2 ,...,A n isminde doğrusal bağımlı, sıfırdan farklı bir sayı kümesi varsa λ1, λ2,...,λn, burada vektörlerin doğrusal birleşimi λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n sıfır vektörüne eşit yani denklem sistemi: sıfır olmayan bir çözümü vardır.
Sayı kümesi λ1, λ2,...,λn sayılardan en az biri sıfır değilse λ1, λ2,...,λn sıfırdan farklı.

Bir vektör sisteminin doğrusal bağımsızlığının belirlenmesi

Vektör sistemi A 1 , A 2 ,...,A n isminde Doğrusal bağımsız, eğer bu vektörlerin doğrusal birleşimi λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n yalnızca sıfır sayı kümesi için sıfır vektörüne eşittir λ1, λ2,...,λn yani denklem sistemi: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ benzersiz bir sıfır çözümü vardır.

Örnek 29.1

Bir vektör sisteminin doğrusal bağımlı olup olmadığını kontrol edin

Çözüm:

1. Bir denklem sistemi oluşturuyoruz:

2. Gauss yöntemini kullanarak çözüyoruz. Sistemin Jordanano dönüşümleri Tablo 29.1'de verilmiştir. Hesaplama yapılırken sistemin sağ tarafları sıfıra eşit olduğundan ve Jordan dönüşümleri sırasında değişmediklerinden yazılmaz.

3. Tablonun son üç satırından Orijinal sisteme eşdeğer çözümlenmiş bir sistemi yazın sistem:

4. Sistemin genel çözümünü elde ediyoruz:

5. Serbest değişkenin değerini x 3 =1 olarak kendi takdirinize göre ayarladıktan sonra, sıfır olmayan belirli bir çözüm elde ederiz X=(-3,2,1).

Yanıt: Dolayısıyla, sıfır olmayan bir sayı kümesi için (-3,2,1), vektörlerin doğrusal birleşimi sıfır vektörü -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ'ye eşittir. Buradan, vektör sistemi doğrusal bağımlı.

Vektör sistemlerinin özellikleri

Mülk (1)
Bir vektörler sistemi doğrusal olarak bağımlıysa, vektörlerden en az biri diğerleri cinsinden genişletilir ve bunun tersine, sistemin vektörlerinden en az biri diğerleri cinsinden genişletilirse, o zaman vektörler sistemi doğrusal bağımlıdır.

Mülk (2)
Vektörlerin herhangi bir alt sistemi doğrusal bağımlıysa, sistemin tamamı doğrusal bağımlıdır.

Mülk (3)
Bir vektör sistemi doğrusal olarak bağımsızsa, bu sistemin alt sistemlerinden herhangi biri doğrusal olarak bağımsızdır.

Mülk (4)
Sıfır vektör içeren herhangi bir vektör sistemi doğrusal olarak bağımlıdır.

Mülk (5)
M boyutlu vektörlerden oluşan bir sistem, eğer vektörlerin sayısı n, boyutlarından büyükse (n>m) her zaman doğrusal olarak bağımlıdır.

Vektör sisteminin temeli

Vektör sisteminin temeli A 1 , A 2 ,..., A n böyle bir alt sisteme B 1 , B 2 ,...,B r denir(B 1,B 2,...,B r vektörlerinin her biri A 1, A 2,..., A n vektörlerinden biridir), bu da aşağıdaki koşulları karşılar:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r doğrusal bağımsız vektör sistemi;
2. herhangi bir vektör bir j A 1 , A 2 ,..., An sistemi B 1 , B 2 ,..., B r vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir

R- Tabana dahil edilen vektörlerin sayısı.

Teorem 29.1 Bir vektör sisteminin birim bazında.

Eğer m boyutlu vektörlerden oluşan bir sistem m farklı birim vektör E 1 E 2 ,..., E m içeriyorsa, bunlar sistemin temelini oluşturur.

Bir vektör sisteminin temelini bulmak için algoritma

A 1 ,A 2 ,...,A n vektörleri sisteminin temelini bulmak için gereklidir:

• Vektörler sistemine karşılık gelen homojen bir denklem sistemi oluşturun A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Bu sistemi getir

Vektörlerin doğrusal birleşimi bir vektördür
, burada λ 1, ..., λ m keyfi katsayılardır.

Vektör sistemi
eşit bir doğrusal kombinasyonu varsa doğrusal bağımlı olarak adlandırılır. sıfır olmayan en az bir katsayıya sahip olan.

Vektör sistemi
doğrusal kombinasyonlarından herhangi biri şuna eşitse doğrusal bağımsız olarak adlandırılır: , tüm katsayılar sıfırdır.

Vektör sisteminin temeli
sistemin herhangi bir vektörünün ifade edilebildiği, boş olmayan, doğrusal olarak bağımsız alt sistemi denir.

Örnek 2. Bir vektörler sisteminin temelini bulun = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3) ve kalan vektörleri tabana göre ifade edin.

Çözüm: Bu vektörlerin koordinatlarının sütunlar halinde düzenlendiği bir matris oluşturuyoruz. Bunu kademeli bir forma getiriyoruz.

~
~
~
.

Bu sistemin temelini vektörler oluşturur. ,,, dairelerle vurgulanan çizgilerin önde gelen öğelerine karşılık gelir. Bir vektörü ifade etmek için denklemi çöz x 1 +x2 +x4 =. Matrisi, aşağıdakilere karşılık gelen sütunun orijinal permütasyonundan elde edilen bir doğrusal denklem sistemine indirgenir. , serbest terimler sütunu yerine. Bu nedenle sistemi çözmek için, ortaya çıkan matrisi adım adım kullanarak, içinde gerekli yeniden düzenlemeleri yapıyoruz.

Sürekli olarak şunu buluyoruz:

x1 + 4 = 3, x1 = -1;

= -+2.

Açıklama 1. Birkaç vektörü temel olarak ifade etmek gerekiyorsa, bunların her biri için karşılık gelen bir doğrusal denklem sistemi oluşturulur. Bu sistemler yalnızca ücretsiz üyelerin sütunlarında farklılık gösterecektir. Bu nedenle, bunları çözmek için birkaç sütun serbest terim içeren bir matris oluşturabilirsiniz. Üstelik her sistem diğerlerinden bağımsız olarak çözülür.

Açıklama 2. Herhangi bir vektörü ifade etmek için yalnızca sistemin kendisinden önce gelen temel vektörlerini kullanmak yeterlidir. Bu durumda matrisi yeniden biçimlendirmeye gerek yoktur; doğru yere dikey bir çizgi koymak yeterlidir.

Alıştırma 2. Vektör sisteminin temelini bulun ve kalan vektörleri bu temele göre ifade edin:

A) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

B) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

V) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

1. 3. Temel çözüm sistemi

Bir doğrusal denklem sistemine, tüm serbest terimleri sıfıra eşitse homojen denir.

Homojen bir doğrusal denklem sisteminin temel çözüm sistemi, çözüm kümesinin temelidir.

Bize homojen olmayan bir doğrusal denklem sistemi verilsin. Belirli bir sistemle ilişkili homojen bir sistem, belirli bir sistemden tüm serbest terimlerin sıfırlarla değiştirilmesiyle elde edilen bir sistemdir.

Homojen olmayan sistem tutarlı ve belirsizse, bu durumda keyfi çözümü f n +  1 f o1 + ... +  k f o k formuna sahiptir; burada f n, homojen olmayan sistemin özel bir çözümüdür ve f o1, ... , f o k ilgili homojen sistemin temel sistem çözümleri.

Örnek 3. Örnek 1'deki homojen olmayan sisteme özel bir çözüm ve ilgili homojen sistemin temel çözüm sistemini bulun.

Çözüm Örnek 1'de elde edilen çözümü vektör formunda yazalım ve elde edilen vektörü, içinde bulunan serbest parametreler ve sabit sayısal değerler üzerinden bir toplama ayrıştıralım:

= (x 1 , x 2 , x 3 , x 4) = (–2a + 7b – 2, a, –2b + 1, b) = (–2a, a, 0, 0) + (7b, 0, – 2b, b) + +(– 2, 0, 1, 0) = a(-2, 1, 0, 0) + b(7, 0, -2, 1) + (– 2, 0, 1, 0 ).

f n = (– 2, 0, 1, 0), f o1 = (-2, 1, 0, 0), f o2 = (7, 0, -2, 1) elde ederiz.

Yorum. Homojen bir sisteme temel çözüm sistemi bulma sorunu da benzer şekilde çözülür.

Alıştırma 3.1 Homojen bir sistemin temel çözüm sistemini bulun:

A)

B)

c) 2x 1 – x 2 +3x 3 = 0.

Alıştırma 3.2. Homojen olmayan sisteme özel bir çözüm ve ilgili homojen sistemin temel çözüm sistemini bulun:

A)

B)

N boyutlu vektörlerle ilgili makalede, bir dizi n boyutlu vektör tarafından oluşturulan doğrusal uzay kavramına geldik. Şimdi bir vektör uzayının boyutu ve tabanı gibi eşit derecede önemli kavramları dikkate almamız gerekiyor. Bunlar doğrudan doğrusal olarak bağımsız bir vektör sistemi kavramıyla ilgilidir, bu nedenle kendinize bu konunun temellerini hatırlatmanız da önerilir.

Bazı tanımları tanıtalım.

Tanım 1

Vektör uzayının boyutu– bu uzaydaki doğrusal bağımsız vektörlerin maksimum sayısına karşılık gelen bir sayı.

Tanım 2

Vektör uzayı temeli– uzay boyutuna göre sıralı ve eşit sayıda doğrusal bağımsız vektörler kümesi.

Belirli bir n-vektör uzayını ele alalım. Boyutu buna karşılık gelen n'ye eşittir. N birimli vektörlerden oluşan bir sistemi ele alalım:

e (1) = (1, 0, . . 0) e (2) = (0, 1, . . , 0) e (n) = (0, 0, . . , 1)

Bu vektörleri A matrisinin bileşenleri olarak kullanırız: n'ye n boyutlu birim matris olacaktır. Bu matrisin rütbesi n'dir. Bu nedenle vektör sistemi e(1) , e(2) , . . . , e(n) doğrusal olarak bağımsızdır. Bu durumda doğrusal bağımsızlığını ihlal etmeden sisteme tek bir vektör eklemek mümkün değildir.

Sistemdeki vektör sayısı n olduğundan n boyutlu vektörlerin uzayının boyutu n, birim vektörler ise e(1), e(2), dir. . . , e(n) belirtilen uzayın tabanıdır.

Ortaya çıkan tanımdan şu sonuca varabiliriz: Vektör sayısının n'den az olduğu herhangi bir n boyutlu vektör sistemi, uzayın temeli değildir.

Birinci ve ikinci vektörleri değiştirirsek, e(2), e(1), , vektörlerinden oluşan bir sistem elde ederiz. . . , e(n) . Aynı zamanda n boyutlu bir vektör uzayının da temeli olacaktır. Ortaya çıkan sistemin vektörlerini satır olarak alarak bir matris oluşturalım. Matris birim matristen ilk iki satırın yeri değiştirilerek elde edilebilir, sırası n olacaktır. Sistem e(2) , e(1) , . . . , e(n) doğrusal olarak bağımsızdır ve n boyutlu bir vektör uzayının temelidir.

Orijinal sistemdeki diğer vektörleri yeniden düzenleyerek başka bir temel elde ederiz.

Birim olmayan vektörlerden oluşan doğrusal olarak bağımsız bir sistem alabiliriz ve bu aynı zamanda n boyutlu bir vektör uzayının temelini de temsil edecektir.

Tanım 3

Boyutu n olan bir vektör uzayının, n sayısının doğrusal olarak bağımsız n boyutlu vektör sistemlerinin sayısı kadar tabanı vardır.

Düzlem iki boyutlu bir uzaydır; temeli doğrusal olmayan herhangi iki vektör olacaktır. Üç boyutlu uzayın temeli eş düzlemli olmayan herhangi üç vektör olacaktır.

Belirli örnekler kullanarak bu teorinin uygulamasını ele alalım.

örnek 1

İlk veri: vektörler

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Belirtilen vektörlerin üç boyutlu bir vektör uzayının temeli olup olmadığının belirlenmesi gerekir.

Çözüm

Sorunu çözmek için verilen vektör sistemini doğrusal bağımlılık açısından inceliyoruz. Satırların vektörlerin koordinatları olduğu bir matris oluşturalım. Matrisin rütbesini belirleyelim.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R an k (A) = 3

Sonuç olarak, problemin koşuluyla belirlenen vektörler doğrusal olarak bağımsızdır ve sayıları vektör uzayının boyutuna eşittir - bunlar vektör uzayının temelidir.

Cevap: belirtilen vektörler vektör uzayının temelini oluşturur.

Örnek 2

İlk veri: vektörler

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)

Belirtilen vektör sisteminin üç boyutlu uzayın temeli olup olamayacağının belirlenmesi gerekmektedir.

Çözüm

Problem ifadesinde belirtilen vektörler sistemi doğrusal olarak bağımlıdır çünkü doğrusal olarak bağımsız vektörlerin maksimum sayısı 3'tür. Bu nedenle, belirtilen vektör sistemi, üç boyutlu bir vektör uzayı için temel oluşturamaz. Fakat şunu belirtmekte fayda var ki orijinal sistemin alt sistemi a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) bir temeldir.

Cevap: belirtilen vektör sistemi bir temel değildir.

Örnek 3

İlk veri: vektörler

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Dört boyutlu uzayın temeli olabilirler mi?

Çözüm

Verilen vektörlerin koordinatlarını satır olarak kullanarak bir matris oluşturalım.

bir = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Gauss yöntemini kullanarak matrisin rütbesini belirleriz:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

Sonuç olarak, verilen vektörlerden oluşan sistem doğrusal olarak bağımsızdır ve sayıları vektör uzayının boyutuna eşittir; bunlar dört boyutlu bir vektör uzayının temelini oluşturur.

Cevap: verilen vektörler dört boyutlu uzayın temelini oluşturur.

Örnek 4

İlk veri: vektörler

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

4 boyutlu bir uzayın temelini mi oluşturuyorlar?

Çözüm

Orijinal vektör sistemi doğrusal olarak bağımsızdır, ancak içindeki vektörlerin sayısı dört boyutlu bir uzayın temeli olmaya yeterli değildir.

Cevap: hayır, yapmıyorlar.

Bir vektörün tabana ayrıştırılması

Keyfi vektörlerin e(1), e(2), , olduğunu varsayalım. . . , e(n) n boyutlu bir vektör uzayının temelidir. Onlara belirli bir n boyutlu vektör x → ekleyelim: ortaya çıkan vektör sistemi doğrusal olarak bağımlı hale gelecektir. Doğrusal bağımlılığın özellikleri, böyle bir sistemin vektörlerinden en az birinin diğerleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilebileceğini belirtir. Bu ifadeyi yeniden formüle ederek doğrusal bağımlı bir sistemin vektörlerinden en az birinin geri kalan vektörlere genişletilebileceğini söyleyebiliriz.

Böylece en önemli teoremin formülasyonuna geldik:

Tanım 4

N boyutlu bir vektör uzayının herhangi bir vektörü benzersiz bir şekilde bir tabana ayrıştırılabilir.

Kanıt 1

Bu teoremi kanıtlayalım:

n boyutlu vektör uzayının temelini oluşturalım - e (1) , e (2) , . . . , e(n) . Sisteme n boyutlu bir x → vektörünü ekleyerek sistemi doğrusal bağımlı hale getirelim. Bu vektör orijinal e vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilebilir:

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , burada x 1 , x 2 , . . . , x n - bazı sayılar.

Şimdi böyle bir ayrıştırmanın benzersiz olduğunu kanıtlıyoruz. Durumun böyle olmadığını ve benzer başka bir ayrışmanın olduğunu varsayalım:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , burada x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - bazı sayılar.

Bu eşitliğin sırasıyla sol ve sağ taraflarından x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + eşitliğinin sol ve sağ taraflarını çıkaralım. . . + x n · e (n) . Şunu elde ederiz:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)

Temel vektörler sistemi e(1) , e(2) , . . . , e(n) doğrusal olarak bağımsızdır; Bir vektörler sisteminin doğrusal bağımsızlığının tanımı gereği, yukarıdaki eşitlik yalnızca tüm katsayılar (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , olduğunda mümkündür. . . , (x ~ n - x n) sıfıra eşit olacaktır. Buna göre adil olacaktır: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n . Ve bu, bir vektörü tabana ayırmanın tek seçeneğinin olduğunu kanıtlıyor.

Bu durumda katsayılar x 1, x 2, . . . , x n'ye x → vektörünün e (1) , e (2) , temelindeki koordinatları denir. . . , e(n) .

Kanıtlanmış teori, "n boyutlu bir vektör x = (x 1, x 2, . . ., x n) verildiğinde" ifadesini açıkça ortaya koymaktadır: bir x → n boyutlu vektör uzayı dikkate alınır ve koordinatları bir formülde belirtilir. belli bir temel. Aynı vektörün n boyutlu uzayın başka bir tabanında farklı koordinatlara sahip olacağı da açıktır.

Şu örneği düşünün: n boyutlu vektör uzayının bir bazında n doğrusal bağımsız vektörden oluşan bir sistemin verildiğini varsayalım.

ve ayrıca x = (x 1 , x 2 , . . , x n) vektörü verilmiştir.

Vektörler e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) bu durumda aynı zamanda bu vektör uzayının da temelidir.

x → vektörünün koordinatlarını e 1 (1) , e 2 (2) , temelinde belirlemenin gerekli olduğunu varsayalım. . . , e n (n) , x ~ 1 , x ~ 2 , olarak gösterilir. . . , x ~ n.

Vektör x → aşağıdaki gibi temsil edilecektir:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

Bu ifadeyi koordinat biçiminde yazalım:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2 ) 1 , e(2)2 , . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , . . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . + x ~ n e 2 (n) , . e n (1) + x ~ 2 e n (2) + .

Ortaya çıkan eşitlik, x ~ 1, x ~ 2, n bilinmeyen doğrusal değişkenli n doğrusal cebirsel ifadeden oluşan bir sisteme eşdeğerdir. . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Bu sistemin matrisi aşağıdaki forma sahip olacaktır:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Bu bir A matrisi olsun ve sütunları e 1 (1), e 2 (2), vektörlerinden oluşan doğrusal bağımsız bir sistemin vektörleri olsun. . . , e n (n) . Matrisin rütbesi n'dir ve determinantı sıfırdan farklıdır. Bu, denklem sisteminin herhangi bir uygun yöntemle belirlenen benzersiz bir çözümü olduğunu gösterir: örneğin Cramer yöntemi veya matris yöntemi. Bu şekilde x ~ 1, x ~ 2, koordinatlarını belirleyebiliriz. . . , x ~ n vektörü x → e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Ele alınan teoriyi belirli bir örneğe uygulayalım.

Örnek 6

İlk veri: vektörler üç boyutlu uzay temelinde belirtilir

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

E (1), e (2), e (3) vektörleri sisteminin aynı zamanda belirli bir uzayın temelini oluşturduğunu doğrulamak ve ayrıca x vektörünün koordinatlarını belirli bir temelde belirlemek gerekir.

Çözüm

E (1), e (2), e (3) vektör sistemi, eğer doğrusal olarak bağımsızsa, üç boyutlu uzayın temeli olacaktır. Satırları verilen e(1), e(2), e(3) vektörleri olan A matrisinin rütbesini belirleyerek bu olasılığı bulalım.

Gauss yöntemini kullanıyoruz:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 . Dolayısıyla e(1), e(2), e(3) vektörlerinden oluşan sistem doğrusal olarak bağımsızdır ve bir temeldir.

x → vektörünün temelinde x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 koordinatları olsun. Bu koordinatlar arasındaki ilişki aşağıdaki denklemle belirlenir:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Değerleri problemin koşullarına göre uygulayalım:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Denklem sistemini Cramer yöntemini kullanarak çözelim:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Böylece, e(1), e(2), e(3) tabanındaki x → vektörünün koordinatları x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1'dir.

Cevap: x = (1 , 1 , 1)

Bazlar arasındaki ilişki

N boyutlu vektör uzayının bir bazında doğrusal olarak bağımsız iki vektör sisteminin verildiğini varsayalım:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))

Bu sistemler aynı zamanda belirli bir mekanın temelleridir.

c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , , olsun. . . , c ~ n (1) - e (1) , e (2) , temelinde c (1) vektörünün koordinatları. . . , e (3) , o zaman koordinat ilişkisi bir doğrusal denklem sistemi tarafından verilecektir:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

Sistem aşağıdaki gibi bir matris olarak temsil edilebilir:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Aynı girişi c(2) vektörü için de benzetme yoluyla yapalım:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . ., c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Matris eşitliklerini tek bir ifadede birleştirelim:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

İki farklı bazın vektörleri arasındaki bağlantıyı belirleyecektir.

Aynı prensibi kullanarak, e(1) , e(2) , tüm temel vektörleri ifade etmek mümkündür. . . , e (3)'ten c (1) , c (2) , . . . , c(n):

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Aşağıdaki tanımları verelim:

Tanım 5

Matris c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n), e(1) , e(2) , tabanından geçiş matrisidir. . . , e (3)

c(1) , c(2) , temeline göre. . . , c(n) .

Tanım 6

Matris e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n), c(1) , c(2) , tabanından geçiş matrisidir. . . , c(n)

e(1) , e(2) , temeline göre. . . , e(3) .

Bu eşitliklerden açıkça görülüyor ki

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 ( 1 ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

onlar. geçiş matrisleri karşılıklıdır.

Belirli bir örnek kullanarak teoriye bakalım.

Örnek 7

İlk veri: temelden geçiş matrisini bulmak gerekir

c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) ​​​​c (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

Ayrıca verilen tabanlarda rastgele bir x → vektörünün koordinatları arasındaki ilişkiyi de belirtmeniz gerekir.

Çözüm

1. T geçiş matrisi olsun, o zaman eşitlik doğru olacaktır:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Eşitliğin her iki tarafını da şu şekilde çarpın:

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

ve şunu elde ederiz:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Geçiş matrisini tanımlayın:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. x → vektörünün koordinatları arasındaki ilişkiyi tanımlayalım:

c(1) , c(2) bazında olduğunu varsayalım. . . , c (n) vektörü x → x 1 , x 2 , x 3 koordinatlarına sahiptir, o zaman:

x = (x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

ve e(1) , e(2) , temelinde. . . , e (3) x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 koordinatlarına sahiptir, o zaman:

x = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Çünkü Bu eşitliklerin sol tarafları eşitse sağ taraflarını da eşitleyebiliriz:

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Sağdaki her iki tarafı da çarpın

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

ve şunu elde ederiz:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Diğer tarafta

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Son eşitlikler x → vektörünün her iki tabandaki koordinatları arasındaki ilişkiyi gösterir.

Cevap: geçiş matrisi

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Verilen tabanlardaki x → vektörünün koordinatları şu ilişkiyle ilişkilidir:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.