Зміна моментів інерції при паралельному перенесенні осей. Визначення моментів інерції перерізу при паралельному перенесенні осей Теорема Штейнера-Гюйгенса про паралельне перенесення осей

Часто при вирішенні практичних завдань необхідно визначати моменти інерції перерізу щодо осей, по-різному орієнтованих у його площині. При цьому зручно використовувати вже відомі значення моментів інерції всього перерізу (або окремих складових його частин) щодо інших осей, що наводяться в технічній літературі, спеціальних довідниках та таблицях, а також підраховуються за формулами. Тому дуже важливо встановити залежності між моментами інерції одного і того ж перерізу щодо різних осей.

У загальному випадку перехід від будь-якої старої до будь-якої нової системи координат може розглядатися як два послідовні перетворення старої системи координат:

1) шляхом паралельного перенесення осей координат у нове положення та

2) шляхом повороту їх щодо нового початку координат. Розглянемо перше з цих перетворень, тобто паралельне перенесення координатних осей.

Припустимо, що моменти інерції цього перерізу щодо старих осей (рис. 18.5) відомі.

Візьмемо нову систему координат осі якої паралельні тим самим. Позначимо а і b координати точки (тобто нового початку координат) у старій системі координат

Розглянемо елементарну площадку Координати її у старій системі координат рівні у і . У новій системі вони рівні

Підставимо ці значення координат у вираз осьового моменту інерції щодо осі

В отриманому вираженні - момент інерції статичний момент перерізу щодо осі дорівнює площі F перерізу.

Отже,

Якщо вісь z проходить через центр тяжкості перерізу, то статичний момент і

З формули (25.5) видно, що момент інерції щодо будь-якої осі, що не проходить через центр тяжіння, більше моменту інерції щодо осі, що проходить через центр тяжіння, на величину, яка завжди позитивна. Отже, із усіх моментів інерції щодо паралельних осей осьовий момент інерції має найменше значення щодо осі, що проходить через центр тяжкості перерізу.

Момент інерції щодо осі [за аналогією до формули (24.5)]

В окремому випадку, коли вісь у проходить через центр тяжкості перерізу

Формули (25.5) та (27.5) широко використовуються при обчисленні осьових моментів інерції складних (складових) перерізів.

Підставимо тепер значення у вираз відцентрового моменту інерції щодо осей

2. Статичні моменти площі перерізу щодо осей Ozі Оy(див 3, м 3):

4. Відцентровий момент інерції перерізу щодо осей Ozі Ой(див 4 , м 4):

Оскільки , то

Осьові J zі J yта полярний J p моменти інерції завжди позитивні, оскільки під знаком інтеграла знаходяться координати другою мірою. Статичні моменти S zі S y, а також відцентровий момент інерції J zyможуть бути як позитивними, і негативними.

У сортаменті прокатної сталі для куточків наводяться значення відцентрових моментів за модулем. У розрахунок слід запроваджувати їх значення з урахуванням знака.

Для визначення знака відцентрового моменту куточка (рис. 3.2) уявимо його у вигляді суми трьох інтегралів, які обчислюються окремо для частин перерізу, розташованих у чвертях системи координат. Очевидно, що для частин, розташованих у І та ІІІ чвертях будемо мати позитивне значення цього інтеграла, оскільки твір zydAбуде позитивним, а інтеграли, що обчислюються для частин, розташованих у II та IV чвертях будуть негативними (твір zydAбуде негативним). Отже, для куточка на рис. 3.2, а значення відцентрового моменту інерції буде негативним.

Розмірковуючи подібним чином для перерізу, що має хоча б одну вісь симетрії (рис. 3.2, б) можна дійти висновку, що відцентровий момент інерції J zy дорівнює нулю, якщо одна з осей (Оz або Оy) є віссю симетрії перерізу.Дійсно, для частин трикутника, розташованих в 1 та 2 чвертях відцентрові моменти інерції відрізнятимуться лише знаком. Теж можна сказати щодо частин, що знаходяться у III та IV чвертях.

Статичні моменти Визначення центру важкості

Обчислимо статичні моменти щодо осей Оzі Оyпрямокутника, показаного на рис. 3.3.

Рис. 3.3. До обчислення статичних моментів

Тут: А- Площа перерізу, y Cі z C- Координати його центру тяжкості. Центр тяжкості прямокутника перебуває на перетині діагоналей.

Очевидно, що якщо осі, щодо яких обчислюються статичні моменти, проходять через центр тяжкості фігури, то його координати дорівнюють нулю ( z C = 0, y C= 0), і, відповідно до формули (3.6), статичні моменти також дорівнюватимуть нулю. Таким чином, центр тяжкості перерізу – це точка, що має таку властивість: статичний момент щодо будь-якої осі, що проходить через неї,дорівнює нулю.

Формули (3.6) дозволяють знайти координати центру тяжіння z Cі y Cперерізу складної форми. Якщо перетин можна подати у вигляді nчастин, котрим відомі площі і становище центрів тяжкості, то обчислення координат центру тяжкості всього перерізу можна записати як:

.

(3.7)

Зміна моментів інерції при паралельному перенесенні осей

Нехай відомі моменти інерції J z, J yі J zyщодо осей Oyz. Необхідно визначити моменти інерції J Z, J Yі J ZYщодо осей O 1 YZ, паралельних осям Oyz(рис. 3.4) та віддалених від них на відстані a(по горизонталі) та b(по вертикалі)

Рис. 3.4. Зміна моментів інерції при паралельному перенесенні осей

Координати елементарного майданчика dAпов'язані між собою такими рівностями: Z = z + a; Y = y + b.

Обчислимо моменти інерції J Z, J Yі J ZY.

(3.8)

(3.9)

(3.10)

Якщо точка Oперетину осей Oyzзбігається з точкою З– центром тяжкості перерізу (рис. 3.5); статичні моменти S zі S yстають рівними нулю, і формули спрощуються Y i Z iНеобхідно брати з урахуванням символів. На осьові моменти інерції знаки координат не вплинуть (координати зводяться в другий ступінь), а ось на відцентровий момент інерції знак координати вплине (твор Z i Y i A iможе бути негативним).

Якщо осі є центральними, то осі моментів матимуть вигляд:

15.Залежність між моментами інерції при повороті осей:

J x 1 = J x cos 2 a + J y sin 2 a - J xy sin2a; J y 1 = J y cos 2 a + J x sin 2 a + J xy sin2a;

J x 1 y1 = (J x - J y) sin2a + J xy cos2a;

Кут a>0, якщо перехід від старої системи координат до нової відбувається проти годин. J y 1 + J x 1 = J y + J x

Екстремальні (максимальне та мінімальне) значення моментів інерції називаються головними моментами інерції. Осі, щодо яких осьові моменти інерції мають екстремальні значення, називаються головними осями інерції. Основні осі інерції взаємно перпендикулярні. Відцентрові моменти інерції щодо основних осей = 0, тобто. Основні осі інерції - осі, щодо яких відцентровий момент інерції = 0. Якщо з осей збігається чи обидві збігаються з віссю симетрії, всі вони головні. Кут, що визначає положення основних осей: якщо a 0 >0 Þ осі повертаються проти годин.стор. Вісь максимуму завжди становить менший кут з тієї осі, щодо якої момент інерції має більше значення. Головні осі, що проходять через центр ваги, називаються головними центральними осями інерції. Моменти інерції щодо цих осей:

J max + J min = J x + J y. Відцентровий момент інерції щодо головних центральних осей інерції дорівнює 0. Якщо відомі головні моменти інерції, то формули переходу до повернутих осей:

J x 1 = J max cos 2 a + J min sin 2 a; J y 1 = J max cos 2 a + J min sin 2 a; J x 1 y1 = (J max - J min) sin2a;

Кінцевою метою обчислення геометричних показників перерізу є визначення основних центральних моментів інерції та положення основних центральних осей інерції. Радіус інерції - ; J x = F x i x 2 , J y = F x i y 2 .

Якщо J x та J y головні моменти інерції, то i x та i y - головні радіуси інерції. Еліпс, побудований на головних радіусах інерції як на півосях, називається еліпсом інерції. За допомогою еліпса інерції можна графічно знайти радіус інерції i x 1 для будь-якої осі х 1 . Для цього треба провести дотичну до еліпсу, паралельну осі х 1 і виміряти відстань від цієї осі до дотичної. Знаючи радіус інерції, можна визначити момент інерції перерізу щодо осі х 1: . Для перерізів, що мають більше двох осей симетрії (наприклад: коло, квадрат, кільце та ін.) осьові моменти інерції щодо всіх центральних осей рівні між собою J xy = 0, еліпс інерції звертається в коло інерції.

Дано: моменти інерції фігури щодо осей z, y; відстані між цими та паралельними осями z 1 , y 1 – a, b.

Визначити: моменти інерції щодо осей z1, y1 (рис.4.7).

Координати будь-якої точки в новій системі z 1 Oy 1 можна виразити через координати старої системи так:

z 1 = z + b, y 1 = y + a.

Підставляємо ці значення формули (4.6) і (4.8) і інтегруємо почленно:

Відповідно до формул (4.1) і (4.6) отримаємо

,

, (4.13)

Якщо вихідні дані осі zCy – центральні, то статичні моменти S z

S y дорівнюють нулю і формули (4.13) спрощуються:

,

, (4.14)

.

Приклад: визначити осьовий момент інерції прямокутника щодо осі z 1 проходить через основу (рис.4.6,а). За формулою (4.14)

4.4. Залежність між моментами інерції при повороті осей

Дано: моменти інерції довільної постаті щодо координатних осей z, y; кут повороту цих осей (рис.4.8). Вважаємо кут повороту проти годинникової стрілки позитивним.

Визначити: моменти інерції фігури щодо z 1 , y 1 .

Координати довільного елементарного майданчика dF у нових осях виражаються через координати колишньої системи осей наступним чином:

z 1 = OB = OE + EB = OE + DC = zcos α + ysin α,

y 1 = AB = AC – BC = AC – ED = ycos – zsin α.

Підставимо ці значення (4.6) і (4.8) і проінтегруємо почленно:

,

,

Враховуючи формули (4.6) та (4.8), остаточно знаходимо:

. (4.16)

Складаючи формули (4.15), отримаємо: (4.17)

Таким чином, при повороті осей сума осьових моментів інерції залишається постійною. При цьому кожен із них змінюється відповідно до формул (4.15). Зрозуміло, що з якомусь положенні осей моменти інерції матимуть екстремальні значення: одне із них буде найбільшим, інший – найменшим.

4.5. Головні осі та головні моменти інерції

Найбільше практичне значення мають основні центральні осі, відцентровий момент інерції щодо яких дорівнює нулю. Позначатимемо такі осі буквами u, υ. Отже, J uυ = 0. Початкову довільну систему координат z, y треба повернути на такий кут α 0 щоб відцентровий момент інерції став рівним нулю. Прирівнявши нулю (4.16), отримаємо

. (4.18)

Виявляється, що теорія моментів інерції та теорія плоского напруженого стану описуються одним і тим самим математичним апаратом, оскільки формули (4.15) – (4.18) ідентичні формулам (3.10), (3.11) та (3.18). Тільки замість нормальних напруг записуються осьові моменти інерції J z і J y , а замість дотичних напруг zy - відцентровий момент інерції J zy . Тому формули для головних осьових моментів інерції наводимо без висновку за аналогією з формулами (3.18):

.(4.19)

Отримані з (4.18) два значення кута 0 відрізняються один від одного на 90 0 менший з цих кутів по абсолютній величині не перевищує 45 0 .

Радіус інерції та момент опору

Момент інерції фігури щодо будь-якої осі можна подати у вигляді добутку площі фігури на квадрат деякої величини, званої радіусом інерції:

, (4.20)

де i z – радіус інерції щодо осі z.

З виразу (4.20) випливає, що

,
. (4.21)

Головним центральним осям інерції відповідають головні радіуси інерції

,
. (4.22)

Знаючи головні радіуси інерції, можна графічним способом знайти радіус інерції (а, отже, момент інерції) щодо довільної осі.

Розглянемо ще одну геометричну характеристику, що характеризує міцність стрижня при крученні та згинанні – момент опору. Момент опору дорівнює моменту інерції, поділеному на відстань від осі (або від полюса) до найвіддаленішої точки перерізу. Розмір моменту опору - одиниця довжини в кубі (см 3).

Для прямокутника (рис.4.6 а)
,
тому осьові моменти опору

,
. (4.23)

Для кола
(Рис.4.6,б),
тому полярний момент опору

. (4.24)

Для кола
,
тому осьовий момент опору

. (4.25)

Введемо декартову прямокутну систему координат Oxy. Розглянемо у площині координат довільний переріз (замкнену область) із площею A (рис. 1).

Статичними моментами

Точка C з координатами (x C, y C)

називається центром тяжкості перерізу.

Якщо осі координат проходять через центр тяжкості перерізу, то статичні моменти перерізу дорівнюють нулю:

Осьовими моментами інерціїперерізи щодо осей x та y називаються інтеграли виду:

Полярним моментом інерціїперерізу щодо початку координат називається інтеграл виду:

Відцентровим моментом інерціїперерізу називається інтеграл виду:

Головними осями інерції перерізуназиваються дві взаємно перпендикулярні осі, щодо яких I xy =0. Якщо з взаємно перпендикулярних осей є віссю симетрії перерізу, то I xy =0 і, отже, ці осі - головні. Головні осі, що проходять через центр тяжкості перерізу, називаються головними центральними осями інерції перерізу

2. Теорема Штейнера-Гюйгенса про паралельне перенесення осей

Теорема Штейнера-Гюйгенса (теорема Штейнера).
Осьовий момент інерції перерізу I щодо довільної нерухомої осі x дорівнює сумі осьового моменту інерції цього перерізу I з відносної паралельної осі x * , що проходить через центр мас перерізу, і добутку площі перерізу A на квадрат відстані d між двома осями.

Якщо відомі моменти інерції I x і I y щодо осей x і y, то щодо осей ν і u, повернутих на кут α, моменти інерції осьові та відцентровий обчислюють за формулами:

З наведених формул видно, що

Тобто. сума осьових моментів інерції при повороті взаємно перпендикулярних осей не змінюється, тобто. . Головні осі, що проходять через центр тяжкості перерізу, називаються головними центральними осями перерізу. Для симетричних перерізів осі їх симетрії є головними центральними осями. Положення головних осей перерізу щодо інших осей визначають, використовуючи співвідношення:

де ? Осьові моменти інерції щодо головних осей називаються головними моментами інерції:

знак плюс перед другим доданком відноситься до максимального моменту інерції, знак мінус – до мінімального.