Рівновага довільної просторової системи сил – розв'язання задачі. Рівняння рівноваги просторової системи сил Аналітичні умови рівноваги довільної просторової системи сил

02.12.2022

Довільну просторову систему сил, як і плоску, можна призвести до якогось центру Проі замінити однією результуючою силою і парою з моментом . Розмірковуючи так, що для рівноваги цієї системи сил необхідно та достатньо, щоб одночасно було R= 0 і Mо = 0. Але вектори і можуть звернутися в нуль тільки тоді, коли дорівнюють нулю всі їх проекції на осі координат, тобто коли R x = R y = R z = 0 і M x = M y = M z = 0 або, коли діючі сили задовольняють умовам:

Σ X i = 0; Σ M x(P i) = 0;

Σ Y i = 0; Σ M y(P i) = 0;

Σ Z i = 0; Σ M z(P i) = 0.

Таким чином, для рівноваги просторової системи сил необхідно і достатньо, щоб суми проекцій усіх сил системи на кожну з координатних осей, а також суми моментів усіх сил системи щодо кожної осі дорівнювали нулю.

Для отримання більш простих систем рівнянь рекомендується осі проводити так, щоб вони перетинали більше невідомих сил або були перпендикулярні до них (якщо це лише надмірно не ускладнює обчислення проекцій і моментів інших сил).

Новим елементом у складанні рівнянь є обчислення моментів сил щодо осей координат.

У випадках, коли із загального креслення важко побачити, чому дорівнює момент даної сили щодо якоїсь осі, рекомендується зобразити на допоміжному кресленні проекцію тіла, що розглядається (разом із силою) на площину, перпендикулярну до цієї осі.

У тих випадках, коли при обчисленні моменту виникають труднощі у визначенні проекції сили на відповідну площину або плеча цієї проекції, рекомендується розкласти силу на дві взаємно перпендикулярні складові (з яких одна паралельна якій-небудь координатній осі ), а потім скористатися теоремою Варіньйона.

Приклад 5.Рама АВ(рис.45) утримується в рівновазі шарніром Аі стрижнем НД. На краю рами знаходиться вантаж вагою Р. Визначимо реакції шарніра і зусилля в стрижні.

Рис.45

Розглядаємо рівновагу рами разом із вантажем.

Будуємо розрахункову схему, зобразивши раму вільним тілом і показавши всі сили, що діють на неї: реакції зв'язків та вага вантажу Р. Ці сили утворюють систему сил, які довільно розташовані на площині.

Бажано скласти такі рівняння, щоб у кожному було по одній невідомій силі.

У нашому завданні це точка А, де додано невідомі та ; крапка З, де перетинаються лінії дії невідомих сил та ; крапка D- Точка перетину ліній дії сил і . Складемо рівняння проекцій сил на вісь у(на вісь хпроектувати не можна, т.к. вона перпендикулярна до прямої АС).

І, перш ніж складати рівняння, зробимо ще одне корисне зауваження. Якщо на розрахунковій схемі є сила, розташована так, що плече її знаходиться непросто, то при визначенні моменту рекомендується попередньо розкласти вектор цієї сили на дві, зручніше спрямовані. У цій задачі розкладемо силу на дві: і (рис.37) такі, що їх модулі

Складаємо рівняння:

З другого рівняння знаходимо:

З третього

І з першого

Бо вийшло S<0, то стержень НДбуде стиснутий.

Приклад 6.Прямокутна полиця вагою Рутримується в гори-зонтальному положенні двома стрижнями РЄі СD, прикріпленими до стіни в точці Е. Стрижні однакової довжини, AB = 2 a, EO = a. Визначимо зусилля у стрижнях та реакції петель Аі У.

Рис.46

Розглядаємо рівновагу плити. Будуємо розрахункову схему (рис.46). Реакції петель прийнято показувати двома силами перпендикулярними осі петлі: .

Сили утворюють систему сил, довільно розташованих у просторі. Можемо скласти 6 рівнянь. Невідомих – теж шість.

Які рівняння складати – треба подумати. Бажано такі, щоб вони були простішими і щоб у них було менше невідомих.

Складемо такі рівняння:

З рівняння (1) отримаємо: S1 = S2. Тоді з (4): .

З (3): Y A = Y B і, (5), . Значить З рівняння (6), т.к. S 1 = S 2 слід Z A = Z B . Тоді (2) Z A =Z B =P/4.

З трикутника, де, слід,

Тому Y A = Y B = 0,25 P, ZA = Z B 0,25 P.

Для перевірки рішення можна скласти ще одне рівняння і подивитись, чи задовольняється воно при знайдених значеннях реакцій:

Завдання вирішено правильно.

Поєднуємо початок координат з точкою перетину ліній дії сил системи. Проектуємо всі сили на осі координат та підсумовуємо відповідні проекції (рис. 7.4). Отримаємо проекції, що рівнодіє на осі координат:

Модуль рівнодіючої системи схожих сил визначимо за формулою

Напрямок вектора рівнодіючої визначається кутами.

Довільна просторова система сил

Приведення довільної просторової системи зусиль до центру Про.

Дано просторову систему сил (рис. 7.5, а). Наведемо її до центру О.

Сили необхідно паралельно переміщати, у своїй утворюється система пар сил. Момент кожної з цих пар дорівнює добутку модуля сили на відстань до центру приведення.

У центрі приведення з'являється пучок сил, який може бути замінений сумарною силою (головний вектор) F ГЛ (рис. 7.5, б).

Моменти пар сил можна скласти, отримавши сумарний момент системи М гол (головний момент).

Таким чином, довільна просторова система сил наводиться до головного вектора та головного моменту.

Головний вектор прийнято розкладати на три складові, спрямовані вздовж осей координат (рис. 7.5 в).

Зазвичай сумарний момент розкладають на складові: три моменти щодо осей координат.

Абсолютне значення головного вектора (рис. 7.5б) дорівнює

Абсолютне значення головного моменту визначається за такою формулою.

Рівняння рівноваги просторової системи сил

При рівновазі Fгол = 0; М гол = 0. Отримуємо шість рівнянь рівноваги:

Шість рівнянь рівноваги просторової системи сил відповідають шести незалежним можливим переміщенням тіла у просторі: трьом переміщенням вздовж координатних осей та трьом обертанням навколо цих осей.

Приклади розв'язання задач

приклад 1.На тіло у формі куба з ребром а= 10 см діють три сили (рис. 7.6). Визначити моменти сил щодо осей координат, що збігаються з ребрами куба.

Рішення

1. Моменти сил щодо осі Ох:

2. Моменти сил щодо осі Оу.

приклад 2.На горизонтальному валу закріплено два колеса, г 1 = 0,4 м; г 2 = 0,8 м. Інші розміри – на рис. 7.7. До колеса 1 додана сила F 1 ,до колеса 2 - сили F 2= 12 кН, F 3= 4кН.

Визначити силу F 1та реакції у шарнірах Аі Уу стані рівноваги.

Нагадаємо:

1. При рівновазі виконуються шість рівнянь рівноваги.

Рівняння моментів слід складати щодо опор А та Ст.

2. Сили F 2 \\O x; F 2 \\Oy;F 3 \\Oy.

Моменти цих сил щодо відповідних осей дорівнюють нулю.

3. Розрахунок слід завершити перевіркою, використавши додаткові рівняння рівноваги.

Рішення

1. Визначаємо силу F\,склавши рівняння моментів сил щодо осі Oz:

2. Визначаємо реакції в опорі А.На опорі діють дві складові реакції ( Y A ; X A ).

Складаємо рівняння моментів сил щодо осі Ох"(в опорі У).

Поворот навколо осі Ох"не відбувається:

Знак «мінус» означає, що реакція спрямована у протилежний бік.

Поворот навколо осі Оу"не відбувається, складаємо рівняння моментів сил щодо осі Оу"(в опорі В):

3. Визначаємо реакції в опорі В. На опорі діють дві складові реакції ( X B , Y B ). Складаємо рівняння моментів сил щодо осі Ох(опора А):

Складаємо рівняння моментів щодо осі Оу(опора А):

4.Перевірка. Використовуємо рівняння проекцій:

Розрахунок виконаний правильно.

приклад 3.Визначити чисельне значення сили P 1 , при якому вал НД(Рис. 1.21, а)перебуватиме у рівновазі. При знайденому значенні сили Р 1 визначити опорні реакції.

Діючі на зубчасті колеса сили Р і Р 1 направлені по дотичних до початкових кіл коліс; сили Т і Т 1 - по радіусах коліс; сили А 1паралельні осі валу. Т = 0,36Р, 7Т1 = Р1; А1 = 0,12P 1 .

Рішення

Опори валу, зображені на рис. 1.21 а, треба розглядати як просторові шарнірні опори, що перешкоджають лінійним переміщенням у напрямках осей іі v(Вибрана система координат показана на рис. 1.21, б).

Звільняємо вал від зв'язків та замінюємо їх дію реакціями V В, Н В, V C , НС (Рис. 1.21, б). Отримали просторову систему сил, на яку складаємо рівняння рівноваги, користуючись обраною системою координат (рис. 1.21,6):

де А 1*1,25D/2 - момент щодо осі ісили A 1 ,прикладеною до правого зубчастого колеса.

Моменти щодо осі ісил Т 1і А 1(доданих до середнього зубчастого колеса), Р 1 (доданої до правого зубчастого колеса) і Р дорівнюють нулю, так як сили Р, T 1 , Р 1 паралельні осі і,а сила А 1 перетинає вісь в.

звідки V С = 0,37P;

звідки V B =0,37P.

отже, реакції V Bі V Звизначені правильно;

де А 1* 1,25D/2- момент щодо осі vсили А 1 ,прикладеною до середнього зубчастого колеса.

Моменти щодо осі vсил Т, Р 1 (доданої до середнього зубчастого колеса), А 1і Т 1(доданих до правого зубчастого колеса) дорівнюють нулю, так як сили Т, Р 1 , Т 1паралельні осі v,сила А 1перетинає вісь v.

звідки H C = 0,81Р;

звідки H С = 1,274Р

Складемо перевірочне рівняння:

отже, реакції Н Ві Н Звизначено правильно.

На закінчення відзначимо, що опорні реакції вийшли зі знаком плюс. Це вказує на те, що обрані напрямки V B , Н В, V C і Н З збігаються з дійсними напрямками реакцій зв'язків.

приклад 4.Сила тиску шатуна парового двигуна Р = 25 кН передається на середину шийки колінчастого валу в точці Dпід кутом α = 30° до горизонту при вертикальному розташуванні щік коліна (рис. 1.22). На кінець валу насаджений шків ремінної передачі. Натяг провідної гілки ременя вдвічі більше, ніж веденої, тобто. S1 = 2S2. Сила ваги маховика G = 10 кН.

Визначити натяг гілок ремінної передачі та реакції підшипників Аі В,нехтуючи масою валу.

Рішення

Розглядаємо рівновагу горизонтального колінчастого валу зі шківом. Прикладаємо відповідно до умови завдання задані сили Р, S 1 , S 2 і G . Звільняємо вал від опорних закріплень та замінюємо їх дію реакціями V A , Н А, V Bі Н Ст.Координатні осі вибираємо так, як показано на рис. 1.22. У шарнірах Аі Уне виникає реакцій уздовж осі w,так як натяг гілок ременя і всі інші сили діють у площинах, перпендикулярних до цієї осі.

Складемо рівняння рівноваги:

Крім того, за умовою завдання маємо ще одне рівняння

Таким чином, тут є шість невідомих зусиль S 1, S 2 , Н А, V A , Н В і V B і шість зв'язуючих їх рівнянь.

Рівняння проекцій на вісь wу прикладі звертається в тотожність 0 = 0, так як всі сили лежать у площинах, перпендикулярних осі w.

Підставляючи рівняння рівноваги S 1 =2S 2 і вирішуючи їх, знаходимо:

Значення реакції Н Ввийшло зі знаком мінус. Це означає, що насправді її напрямок протилежно прийнятому на рис. 1.22.

Контрольні питання та завдання

1. Запишіть формули для розрахунку головного вектора просторової системи сил, що сходяться.

2. Запишіть формулу розрахунку головного вектора просторової системи довільно розташованих сил.

3. Запишіть формулу розрахунку головного моменту просторової системи сил.

4. Запишіть систему рівнянь рівноваги просторової системи сил.

5. Яке із рівнянь рівноваги потрібно використовувати для визначення реакції стрижня R 1 (рис. 7.8)?

6. Визначте головний момент системи сил (рис. 7.9). Точка приведення – початок координат. Координатні осі збігаються з ребрами куба, ребро куба дорівнює 20 см; F 1 - 20кН; F 2 – 30кН.

7. Визначте реакцію Хв (рис. 7.10). Вертикальна вісь із шківом навантажена двома горизонтальними силами. Сили F 1 і F 2 паралельні осі Ох. АТ = 0,3 м; ОВ= 0,5 м; F 1 = 2кН; F 2 = 3,5 кн.

Рекомендація. Скласти рівняння моментів щодо осі Оу" у точці А.

8. Дайте відповідь на запитання тестового завдання.

Теорема. Для рівноваги просторової системи сил потрібно й достатньо, щоб головний вектор і головний момент цієї системи дорівнювали нулю. Достатність: при F o =0 система сил, що сходяться, прикладених у центрі приведення О, еквівалентна нулю, а при М о =0 система пар сил еквівалентна нулю. Отже, вихідна система сил еквівалентна нулю. Необхідність:Нехай ця система сил еквівалентна нулю. Привівши систему до двох сил, зауважимо, що система сил Q і Р (рис. 4.4) повинна бути еквівалентна нулю, отже, ці дві сили повинні мати загальну лінію дії і повинно виконуватись у Q=–Р. Але це можливо, якщо лінія дії сили Р проходить через точку О, тобто якщо h = 0. А це означає, що головний момент дорівнює нулю (Мо = 0). Т.к. Q+Р=0, a Q=F o +P", то F o +P"+P=0, і, отже, F o = 0. , M o = 0 (4.15),

або, в проекціях на координатні осі, Fox = F kx = F 1x + F 2x + ... + F nx = 0; F Oy = F ky = F 1y + F 2y + ... + F ny = 0; F oz = F kz = F 1z + F 2z + ... + F nz = 0 (4.16). M Ox = M Ox (F k) = M Ox (F 1) + M ox (F 2) + ... + M Ox (F n) = 0, M Oy = M Oy (F k) = M oy ( F 1)+M oy (F 2)+…+M oy (F n)=0, M oz = åМ z (F k)=MOz (F 1)+M oz (F 2)+. .+М oz (F n)=0. (4.17)

Т.о. при вирішенні завдань, маючи 6 ур-ій, можна знайти 6 невідомих. Зауваження: пару сил не можна призвести до рівнодіючої.Приватні випадки: 1) рівновага просторової системи паралельних сил. Нехай вісь Z паралельна лініям дій сили (рис 4.6), тоді проекції сил на x і y дорівнюють 0 (F kx =0 і F ky =0), а залишається тільки F oz . А щодо моментів, то залишаються тільки M ox і M oy , а M oz відсутня. 2) рівновагу плоскої системи сил. Залишаються ур-я F ox , F oy та момент M oz (рис 4.7). 3) рівновагу плоскої системи паралельних сил. (Рис. 4.8). Залишаються лише 2 ур-я: F oy і M oz .При складанні ур-ій рівноваги центр привиду можна вибрати будь-яка точка.

Розглянуто методи розв'язання задач на рівновагу із довільною просторовою системою сил. Наводиться приклад розв'язання задачі на рівновагу плити, що підтримується стрижнями у тривимірному просторі. Показано, як за рахунок вибору осей при складанні рівнянь рівноваги можна спростити розв'язання задачі.

Зміст

Порядок розв'язання задач на рівновагу з довільною просторовою системою сил

Щоб розв'язати задачу на рівновагу твердого тіла з довільною просторовою системою сил, треба вибрати прямокутну систему координат і щодо неї скласти рівняння рівноваги.

Рівняння рівноваги для довільної системи сил, розподілених у тривимірному просторі, являють собою два векторні рівняння:
векторна сума сил, що діють на тіло, дорівнює нулю
(1) ;
векторна сума моментів сил щодо початку координат дорівнює нулю.
(2) .

Нехай Oxyz – обрана нами система координат. Спроектувавши рівняння (1) та (2) на осі цієї системи, отримаємо шість рівнянь:
суми проекцій сил на осі xyz дорівнюють нулю
(1.x) ;
(1.y) ;
(1.z) ;
суми моментів сил щодо осей координат дорівнюють нулю
(2.x) ;
(2.y) ;
(2.z) .
Тут ми вважаємо, що тіло діють n сил, включаючи сили реакцій опор.

Нехай довільна сила, з компонентами, прикладена до тіла у точці. Тоді моменти цієї сили щодо осей координат визначаються за формулами:
(3.x) ;
(3.y) ;
(3.z) .

Таким чином, порядок розв'язання задачі на рівновагу з довільною просторовою системою сил наступний.

Відкидаємо опори та замінюємо їх силами реакцій. Якщо опорою є стрижень чи нитку, то сила реакції спрямована вздовж стрижня чи нитки.
Вибираємо прямокутну систему координат Oxyz.
Знаходимо проекції векторів сил на осі координат, , і точок їх застосування, . Точку застосування сили можна переміщати вздовж прямої, проведеної через вектор сили. Від такого переміщення значення моментів не зміниться. Тому вибираємо найзручніші для розрахунку точки докладання сил.
Складаємо три рівняння рівноваги сил (1.x,y,z).
Для кожної сили за формулами (3.x,y,z) знаходимо проекції моментів сили на осі координат.
Складаємо три рівняння рівноваги моментів сил (2.x,y,z).
Якщо кількість змінних більша за кількість рівнянь, то завдання статично невизначене. Методами статики її вирішити не можна. Потрібно використати методи опору матеріалів.
Вирішуємо отримані рівняння.

Спрощення розрахунків

У деяких випадках вдається спростити обчислення, якщо замість рівняння (2) використовувати еквівалентну умову рівноваги.
Сума моментів сил щодо довільної осі AA′ дорівнює нулю:
(4) .

Тобто можна вибрати кілька додаткових осей, які не збігаються з осями координат. І щодо цих осей скласти рівняння (4).

Приклад розв'язання задачі на рівновагу довільної просторової системи сил

Рівновага плити, у тривимірному просторі, підтримується системою стрижнів.

Знайти реакції стрижнів, що підтримують тонку однорідну горизонтальну плиту тривимірному просторі. Система кріплення стрижнів показано малюнку. На плиту діють: - сила тяжіння G; і сила P, прикладена у точці A, спрямована вздовж сторони AB.

Дано:
G = 28 kН; P = 35 kН; a = 7,5 м; b = 6,0 м; c = 3,5 м.

Рішення завдання

Спочатку ми вирішимо це завдання стандартним способом, який застосовується для довільної просторової системи сил. А потім отримаємо простіше рішення, ґрунтуючись на конкретній геометрії системи, за рахунок вибору осей при складанні рівнянь рівноваги.

Розв'язання задачі стандартним способом

Цей метод хоч і приведе нас до досить громіздких обчислень, але він застосовний для довільної просторової системи сил і може застосовуватися в розрахунках на ЕОМ.

Відкинемо зв'язки та замінимо їх силами реакцій. Зв'язками тут є стрижні 1-6. Вводимо замість них сили, спрямовані вздовж стрижнів. Напрями сил вибираємо навмання. Якщо ми не вгадаємо з напрямом якоїсь сили, то отримаємо для неї негативне значення.

Проводимо систему координат Oxyz із початком у точці O .

Знаходимо проекції сил на осі координат.

Для сили маємо:
.
Тут α 1 - Кут між LQ і BQ. З прямокутного трикутника LQB:
м;
;
.

Сили, і паралельні осі z. Їх компоненти:
;
;
.

Для сили знаходимо:
.
Тут α 3 - Кут між QT і DT. З прямокутного трикутника QTD:
м;
;
.

Для сили:
.
Тут α 5 - Кут між LO і LA. З прямокутного трикутника LOA:
м;
;
.

Сила спрямована по діагоналі прямокутного паралелепіпеда. Вона має такі проекції на осі координат:
.
Тут - напрямні косинуси діагоналі AQ:
м;
;
;
.

Вибираємо точки застосування сил. Скористайтеся тим, що їх можна переміщати вздовж ліній, проведених через вектори сил. Так, як точка докладання сили можна взяти будь-яку точку на прямій TD. Візьмемо точку T , оскільки для неї x та z - координати дорівнюють нулю:
.
Аналогічним способом вибираємо точки застосування інших сил.

В результаті отримуємо наступні значення компонентів сил та точок їх додатків:
; (Точка B);
; (Точка Q);
; (Точка);
; (Точка O);
; (Точка A);
; (Точка A);
; (Точка A);
; (Точка K).

Складаємо рівняння рівноваги для сил. Суми проекцій сил на осі координат дорівнюють нулю.

;

;

.

Знаходимо проекції моментів зусиль на осі координат.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;

Складаємо рівняння рівноваги моментів сил. Суми моментів сил щодо осей координат дорівнюють нулю.

;

;

;

Отже, ми отримали таку систему рівнянь:
(П1) ;
(П2) ;
(П3) ;
(П4) ;
(П5) ;
(П6) .

У цій системі шість рівнянь та шість невідомих. Далі сюди можна підставити чисельні значення та отримати рішення системи, використовуючи математичну програму обчислення системи лінійних рівнянь.

Але для цього завдання можна отримати рішення без використання засобів обчислювальної техніки.

Ефективний спосіб розв'язання задачі

Ми скористаємося тим, що рівняння рівноваги можна становити не єдиним способом. Можна довільним чином вибирати систему координат та осі, щодо яких обчислюються моменти. Іноді, за рахунок вибору осей, можна отримати рівняння, які вирішуються більш просто.

Скористаємося тим, що, у рівновазі, сума моментів сил щодо будь-якої осі дорівнює нулю. Візьмемо вісь AD. Сума моментів сил щодо цієї осі дорівнює нулю:
(П7) .
Далі зауважимо, що всі сили, окрім перетинають цю вісь. Тому їхні моменти дорівнюють нулю. Не перетинає вісь AD лише одна сила. Вона також не паралельна до цієї осі. Тому, щоб виконувалося рівняння (П7), сила N 1 повинна дорівнювати нулю:
N 1 = 0 .

Тепер візьмемо вісь AQ. Сума моментів сил щодо неї дорівнює нулю:
(П8) .
Цю вісь перетинають усі сили, крім . Оскільки сила не паралельна до цієї осі, то для виконання рівняння (П8) необхідно, щоб
N 3 = 0 .

Тепер візьмемо вісь AB. Сума моментів сил щодо неї дорівнює нулю:
(П9) .
Цю вісь перетинають всі сили, крім , і . Але N 3 = 0 . Тому
.
Момент від сили щодо осі дорівнює добутку плеча сили на величину проекції сили на площину перпендикулярну до осі. Плечо дорівнює мінімальній відстані між віссю та прямою, проведеною через вектор сили. Якщо закручування відбувається у позитивному напрямку, то момент позитивний. Якщо у негативному – то негативний. Тоді
.
Звідси
kН.

Інші сили знайдемо з рівнянь (П1), (П2) та (П3). З рівняння (П2):
N 6 = 0 .
З рівнянь (П1) та (П3):
kН;
kН

Таким чином, вирішуючи завдання другим способом, ми використовували такі рівняння рівноваги:
;
;
;
;
;
.
В результаті ми уникли громіздких розрахунків, пов'язаних з обчисленнями моментів сил щодо осей координат і отримали лінійну систему рівнянь з діагональною матрицею коефіцієнтів, яка одразу вирішилася.

N 1 = 0 ; N 2 = 14,0 kН; N 3 = 0 ; N 4 = -2,3 kН; N 5 = 38,6 kН; N 6 = 0 ;

Знак мінус вказує на те, що сила N 4 спрямована у бік, протилежний до тієї, яка вказана на малюнку.

Довільну просторову систему сил, як і пласку, можна привести до якогось центру Проі замінити однією результуючою силою та парою з моментом. Розмірковуючи так, що для рівноваги цієї системи сил необхідно та достатньо, щоб одночасно було R= 0 і Mо = 0. Але вектори і можуть звернутися в нуль тільки тоді, коли дорівнюють нулю всі їх проекції на осі координат, тобто коли R x = R y = R z = 0 і M x = M y = M z = 0 або, коли чинні сили задовольняють умовам

Σ X i = 0; Σ M x(P i) = 0;

Σ Y i = 0; Σ M y(P i) = 0;

Σ Z i = 0; Σ M z(P i) = 0.

У окремих випадках системи схожих чи паралельних сил ці рівняння будуть лінійно залежні, і лише три рівняння із шести будуть лінійно незалежними.

Наприклад, рівняння рівноваги системи сил, паралельних осі Oz, мають вигляд:

Σ Z i = 0;

Σ M x(P i) = 0;

Σ M y(P i) = 0.

Завдання на рівновагу тіла під впливом просторової системи сил.

Принцип вирішення завдань цього розділу залишається тим самим, що й для плоскої системи сил. Встановивши, рівновагу, якого тіла розглядатиметься, замінюють накладені тіло зв'язку їх реакціями і становлять умови рівноваги цього тіла, розглядаючи його як вільне. З отриманих рівнянь визначаються потрібні величини.

Новим елементом у складанні рівнянь є обчислення моментів сил щодо осей координат.

У випадках, коли із загального креслення важко побачити, чому дорівнює момент даної сили щодо якоїсь осі, рекомендується зобразити на допоміжному кресленні проекцію тіла (разом із силою) на площину, перпендикулярну до цієї осі.

У тих випадках, коли при обчисленні моменту виникають труднощі у визначенні проекції сили на відповідну площину або плеча цієї проекції, рекомендується розкласти силу на дві взаємно перпендикулярні складові (з яких одна паралельна до будь-якої координатної осі), а потім скористатися теоремою Варіньйона.

Приклад 5.Рама АВ(рис.45) утримується в рівновазі шарніром Аі стрижнем НД. На краю рами знаходиться вантаж вагою Р. Визначимо реакції шарніра та зусилля у стрижні.

Рис.45

Розглядаємо рівновагу рами разом із вантажем.

Бажано скласти такі рівняння, щоб у кожному було по одній невідомій силі.

І, перш ніж складати рівняння, зробимо ще одне корисне зауваження. Якщо на розрахунковій схемі є сила, розташована так, що її плече перебуває непросто, то при визначенні моменту рекомендується попередньо розкласти вектор цієї сили на дві, зручніше спрямовані. У цій задачі розкладемо силу на дві: і (рис.37) такі, що їх модулі

Складаємо рівняння:

З другого рівняння знаходимо

З третього

І з першого

Бо вийшло S<0, то стержень НДбуде стиснутий.

Приклад 6.Прямокутна полиця вагою Рутримується в горизонтальному положенні двома стрижнями РЄі СDприкріплені до стіни в точці Е. Стрижні однакової довжини, AB=2 a, EO= a. Визначимо зусилля у стрижнях та реакції петель Аі У.

Рис.46

Розглядаємо рівновагу плити. Будуємо розрахункову схему (рис.46). Реакції петель прийнято показувати двома силами перпендикулярними до осі петлі: .

Сили утворюють систему сил, які довільно розташовані у просторі. Можемо скласти 6 рівнянь. Невідомих – теж шість.

Які рівняння складати треба подумати. Бажано такі, щоб вони були простішими і щоб у них було менше невідомих.

Складемо такі рівняння:

З рівняння (1) отримаємо: S1 = S2. Тоді з (4): .

З (3): Y A = Y B і, (5), . Значить З рівняння (6), т.к. S 1 = S 2 слід Z A = Z B . Тоді (2) Z A =Z B =P/4.

З трикутника , де , випливає ,

Тому Y A = Y B = 0,25 P, Z A = Z B 0,25 P.

Для перевірки рішення можна скласти ще одне рівняння та подивитися, чи задовольняється воно при знайдених значеннях реакцій:

Завдання вирішено правильно.

Запитання для самоперевірки

Яка конструкція називається фермою?

Назвіть основні елементи ферми.

Який стрижень ферми називається нульовим?

Сформулюйте леми, що визначають нульовий стрижень ферми.

У чому полягає суть способу вирізування вузлів?

На підставі яких міркувань без обчислень можна визначити стрижні просторових ферм, у яких за заданого навантаження зусилля дорівнюють нулю?

У чому полягає суть способу Ріттера?

Яке співвідношення між нормальною реакцією поверхні та силою нормального тиску?

Що називається силою тертя?

Запишіть закон Амонтона-Кулона.

Сформулюйте основний закон тертя. Що таке коефіцієнт тертя, кут тертя і чого залежить їх значення?

Брус знаходиться в рівновазі, спираючись на гладку вертикальну стіну і шорстку горизонтальну підлогу; центр тяжіння бруса знаходиться у його середині. Чи можна визначити напрямок повної реакції статі?

Назвіть розмірність коефіцієнта тертя ковзання.

Що таке гранична сила тертя ковзання.

Що характеризує конус тертя?

Назвіть причину появи моменту тертя кочення.

Яка розмірність коефіцієнта тертя кочення?

Наведіть приклади пристроїв, де виникає тертя обертання.

У чому різниця між силою зчеплення та силою тертя?

Що називають конусом зчеплення?

Які можливі напрями реакції шорсткої поверхні?

Що являє собою область рівноваги та які умови рівноваги сил, прикладених до бруска, що спирається на дві шорсткі поверхні?

Що називається моментом сили щодо точки? Яка розмірність цієї величини?

Як обчислити модуль моменту сили щодо точки?

Сформулюйте теорему про момент рівнодіючої системи сил, що сходяться.

Що називається моментом сили щодо осі?

Запишіть формулу, яка зв'язує момент сили щодо точки з моментом цієї сили щодо осі, що проходить через цю точку.

Як визначається момент сили щодо осі?

Чому при визначенні моменту сили щодо осі потрібно обов'язково спроектувати силу на площину перпендикулярну до осі?

Як потрібно розташувати вісь, щоб момент даної сили щодо цієї осі дорівнював нулю?

Наведіть формули для обчислення моментів сили щодо координатних осей.

Як спрямований вектор моменту сили щодо точки?

Як визначається на площині момент сили щодо точки?

Якою площею можна визначити числове значення моменту сили щодо цієї точки?

Чи змінюється момент сили щодо цієї точки при перенесенні сили вздовж лінії її дії?

У якому разі момент сили щодо цієї точки дорівнює нулю?

Визначте геометричне місце точок простору, щодо яких моменти цієї сили:

а) геометрично рівні;

б) рівні за модулем.

Як визначаються числове значення та знак моменту сили щодо осі?

За яких умов момент сили щодо осі дорівнює нулю?

При якому напрямку сили, прикладеної до заданої точки, її момент щодо цієї осі найбільший?

Яка залежність існує між моментом сили щодо точки та моментом тієї ж сили щодо осі, що проходить через цю точку?

За яких умов модуль моменту сили щодо точки дорівнює моменту тієї ж сили щодо осі, яка проходить через цю точку?

Які аналітичні вирази моментів сили щодо координатних осей?

Чому рівні головні моменти системи сил, які довільно розташовані в просторі, щодо точки і щодо осі, що проходить через цю точку? Яка залежність між ними?

Чому дорівнює головний момент системи сил, що лежать в одній площині щодо будь-якої точки цієї площини?

Чому дорівнює головний момент сил, що становлять пару, щодо будь-якої точки у просторі?

Що називається головним моментом системи сил щодо заданого полюса?

Як формулюється лема про паралельне перенесення сили?

Сформулюйте теорему про приведення довільної системи сил до головного вектора та головного моменту.

Запишіть формули обчислення проекцій головного моменту на координатні осі.

Наведіть векторний запис умов рівноваги довільної системи сил.

Запишіть умови рівноваги довільної системи сил у проекціях на прямокутні координатні осі.

Скільки незалежних скалярних рівнянь рівноваги можна записати для просторової системи паралельних сил?

Запишіть рівняння рівноваги довільної плоскої системи сил.

За якої умови три непаралельні сили, прикладені до твердого тіла, врівноважуються?

Якою є умова рівноваги трьох паралельних сил, прикладених до твердого тіла?

Які можливі випадки приведення довільно розташованих та паралельних сил у просторі?

Якого найпростішого вигляду можна привести систему сил, якщо відомо, що головний момент цих сил щодо різних точок простору:

а) має те саме значення не дорівнює нулю;

б) дорівнює нулю;

в) має різні значення та перпендикулярний головному вектору;

г) має різні значення та неперпендикулярний головному вектору.

Які умови та рівняння рівноваги просторової системи сходяться, паралельних і довільно розташованих сил і чим вони відрізняються від умов та рівнянь рівноваги такого ж виду сил на площині?

Які рівняння і скільки їх можна скласти для врівноваженої просторової системи сил, що сходяться?

Запишіть систему рівнянь рівноваги просторової системи сил?

Які геометричні та аналітичні умови приведення просторової системи сил до рівнодіючої?

Сформулюйте теорему про момент рівнодіючої просторової системи сил щодо точки та осі.

Складіть рівняння лінії дії рівнодіючої.

Яку пряму у просторі називають центральною віссю системи сил?

Виведіть рівняння центральної осі системи сил?

Покажіть, що дві сили, що схрещуються, можна привести до силового гвинта.

За якою формулою обчислюють найменший момент заданої системи сил?

Запишіть формули для розрахунку головного вектора просторової системи сил, що сходяться?

Запишіть формули розрахунку головного вектора просторової системи довільно розташованих сил?

Запишіть формулу розрахунку головного моменту просторової системи сил?

Якою є залежність головного моменту системи сил у просторі від відстані центру приведення до центральної осі цієї системи сил?

Щодо яких точок простору головні моменти заданої системи сил мають один і той самий модуль і складають із головним вектором один і той самий кут?

Щодо яких точок простору головні моменти системи сил геометрично рівні між собою?

Які інваріанти системи сил?

Яким умовам задовольняють сили, що задаються, прикладені до твердого тіла з однією і двома закріпленими точками, що перебуває в спокої?

Чи буде в рівновазі плоска система сил, для якої суми алгебри моментів щодо трьох точок, розташованих на одній прямій, дорівнюють нулю?

Нехай для плоскої системи сил суми моментів щодо двох точок дорівнюють нулю. За яких додаткових умов система буде у рівновазі?

Сформулюйте необхідні та достатні умови рівноваги плоскої системи паралельних сил.

Що таке моментна точка?

Які рівняння (і скільки) можна скласти для врівноваженої довільної плоскої системи сил?

Які рівняння та скільки їх можна скласти для врівноваженої просторової системи паралельних сил?

Які рівняння та скільки їх можна скласти для врівноваженої довільної просторової системи сил?

Як формулюється план розв'язання задач статики на рівновагу сил?

Порядок розв'язання задач на рівновагу з довільною просторовою системою сил

Спрощення розрахунків

Приклад розв'язання задачі на рівновагу довільної просторової системи сил

Рішення завдання

Розв'язання задачі стандартним способом

Ефективний спосіб розв'язання задачі

Цікавістатті

Цікавістатті